mózgi matematyczne PROSZE o pomoc

[Gość: licealistka]

mam zrobic takie zadanie jak ktos by mi je rozwiazał bede bardzo wdzieczna
Zad 1
W dużą kulę wpisano 3 małe kule o jednakowych promieniach w taki sposób ze
każda z kul jest styczna do 3 pozostałych. Oblicz skale podobieństwa małej
kuli do dużej.
podaje moj nr gg 8244833 :)))

[Gość: Julka]

Niech r - promień małej kuli. Promienie r tworza trójkat równoboczny o boku 2r.
Wysokość tego trójkata to rV3
Niech R - promień dużej kuli
R=(2/3)h+r=r((2/3)V3+1)
r/R=2V3-3

Chyba literówka jest w innym miejscu...

[ellipsis]

Gość portalu: licealistka napisał(a):
> (...)
> W dużą kulę wpisano 3 małe kule o jednakowych promieniach w taki sposób ze
> każda z kul jest styczna do 3 pozostałych.
Myślę, że chodzi o wpisanie _czterech_ małych kul (w przypadku trzech kul
problem sprowadzałby się do rozważenia wpisania trzech mniejszych kół w jedno
większe). W takim przypadku rozwiązanie będzie nieco dłuższe.
1. Najpierw wyznaczamy długość promienia kuli opisanej na czworościanie,
którego wierzchołkami są środki małych kul. Oto moja metoda - być może można
prościej?...
a) Przetnijmy nasz czworościan płaszczyzną zawierającą jego wysokość i jeden z
wierzchołków podstawy. Otrzymamy trójkąt równoramienny, którego dwa boki są
wysokościami ścian czworościanu, a trzeci jest krawędzią czworościanu. Ponieważ
krawędzie tego czworościanu mają długość 2r, więc wysokość czworościanu H będzie
miała długość 2rV(2/3).
b) Następnie wyznaczamy promień kuli _wpisanej_ w czworościan - oznaczmy go
literą w. Porównując wzór na objętość czworościanu:
V = 1/3 * P * H
(P jest polem podstawy) z sumą objętości czterech ,,małych" czworościanów (trzy
wierzchołki wyjściowego czworościanu + środek kuli wpisanej)
V = 4 * 1/3 * P * w,
otrzymamy
H = 4w.
c) Na koniec wyznaczamy promień kuli opisanej na naszym czworościanie. Będzie to
H - w = 3/4 * H = 3/4* 2r V(2/3) = rV(3/2).
2. Promień kuli opisanej na układzie czterech małych kul to
rV(3/2) + r.
Zatem szukana skala podobieństwa to
r/R = r/(rV(3/2) + r) = V6 -2.

[Gość: Julka]

Może i literówka :)
Styczne do trzech pozostałych ja rozumiem: styczne do dwóch małych i jednej
dużej.

Może i tak...

[ellipsis]

Czy nie uważasz jednak, że w takim przypadku to zadanie staje się takie
jakieś... płaskie? ;)
PS. Jak zwykle odpowiedź Autorki rozstrzygnie, kto miał rację... :)

[Gość: Julka]

Stało się płaskie. Fakt :)