Elementarne zadania z geometrii

[Gość: Olala]

Chyba jeszcze nie przyzwyczaiłam się do trybu szkolnego. Mam problem
z PODSTAWOWYMI zadaniami. Możecie pomóc?

(proszę o wskazówki, chcę sama rozwiązać te zadania)


Zadanie 1.
Jaką długość ma promień okręgu opisanego na trójkącie o bokach
długości V3cm, V5cm, 2V2cm?

[Gość: ggg]

Oblicz pole tego trójkata, ze wzoru Herona na przykład, albo
korzystając z tw, cosinusów. Potem skorzystaj z wzoru P=abc/4R.
Zresztą jest wzór na promień okręgu opisanego na trójkącie, ale ja
go nie znam, bo i po co...:)

[Gość: Olala]

A jakiś inny sposób na to zadanie? Istnieje na pewno, bo żadnego z
wyżewj opisanych nie "przerabiliśmy"...

Proszę o pomoc...

[Gość: ggg]

Mozna zauważyć, ze jest to trójkąt prostokatny, czyli R=V2 (połowa
przeciwprostokatnej)

[Gość: Olala]

łomatko, rzeczywiście. ech, alem gópia. dziękuję.

[Gość: Olala]

Zadanie 2.
Odcinki łączące środki boków trójkąta równobocznego ABC dzielą go na
4 mniejsze trójkąty.
Wykaż, że każdy z tych trójkątów jest obrazem trójkąta ABC w pewnej
jednokładności.




(Nie lubie zadań pt. 'wykaż'. jak mam wykazać?!)

[ellipsis]

Niech A, B i C będą wierzchołkami pewnego trójkąta. Oznaczmy środki
przeciwległych ścian odpowiednio literami A', B' i C'. (Zrób rysunek!) Mamy
pokazać, że dla każdego z trójkątów: AC'B', BA'C' i CB'A' istnieje
jednokładność, która przekształca trójkąt ABC na ten trójkąt. Musimy zatem
wskazać środki i skale tych jednokładności. Wskażę te elementy dla trójkąta
BA'C' - z pozostałymi trójkątami postępujemy analogicznie.
(* Jednokładność przekształca proste przechodzące przez środek jednokładności -
i tylko takie proste! - w siebie. Wobec faktu, że odcinek BA' jest zawarty w
odcinku BC, wnioskujemy, że prosta k zawierająca te odcinki przechodzi przez
środek szukanej jednokładności. Rozumując podobnie dla odcinków C'B i AB
otrzymamy, że prosta l zawierająca te odcinki przechodzi przez środek szukanej
jednokładności. Ponieważ B jest jedynym punktem wspólnym prostych k i l, więc
jest to szukany środek jednokładności.
Każda jednokładność przekształca trójkąty na trójkąty, przy czym wierzchołki są
przekształcane na wierzchołki. Punkt B przechodzi w siebie jako środek szukanej
jednokładności. Punkty B, A' i C są współliniowe, więc punkt C musi zostać
przekształcony na A'. Odcinek BA' jest dwukrotnie krótszy od odcinka BC, więc
szukana skala jednokładności musi być równa 1/2. *)
Pokażemy, że jednokładność J o środku B i skali 1/2 przekształca trójkąt ABC na
trójkąt BA'C'. Wiemy, że
a) z definicji J(B)=B - jest to środek szukanej jednokładności,
b) skoro A' jest środkiem boku BC i J(B)=B, to J(C)=A',
c) podobnie skoro C' jest środkiem boku AB i J(B)=B, to J(A)=C'.
Ponieważ jednokładność przekształca odcinki w odcinki, więc jednokładność J
przekształca:
a') odcinek BC na odcinek BA',
b') odcinek BA na odcinek BC',
c') odcinek AC na odcinek C'A'.
Stąd wnioskujemy, że obrazem trójkąta ABC w jednokładności J jest trójkąt BA'C'.
PS. Część powyższego tekstu zawarta między znakami (* i *) nie jest konieczna -
formalnie dowodem istnienia żądanej jednokładności jest końcówka powyższego
tekstu. Jednak fragment ten pozwala zorientować się, dlaczego rozważamy właśnie
taką jednokładność...

[Gość: Olala]

Zadanie 3.
Udowodnij, że odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta jest
równoległy do trzeciego boku i dwukrotnie od niego krótszy.



(Jak mam to udowodnić, skoro to jest oczywiste!?)

To nie jest oczywiste...

[ellipsis]

Pamiętaj, że nie wolno Ci wnioskować z czegoś, co jest oczywiste z rysunku! W
matematyce słowo ,,udowodnij" oznacza ,,wskaż ciąg prawdziwych implikacji
prowadzących od znanych twierdzeń i założeń rozważanego twierdzenia do tezy
rozważanego twierdzenia". Nie wiem, z czego wolno Ci korzystać.
Najprawdopodobniej masz
a) albo skorzystać z twierdzenia, że jednokładność przekształca odcinki na
odcinki równoległe (lub współliniowe), przy czym iloraz długości obrazu
ustalonego odcinka do długości tegoż odcinka jest zawsze równy skali
jednokładności - wtedy musisz wskazać jednokładność o skali 1/2, która
przekształca ustalony bok trójkąta na odcinek łączący środki pozostałych boków
(patrz mój drugi post),
b) albo skorzystać z twierdzenia Talesa - tutaj otrzymasz tezę niemal natychmiast.
Wydaje mi się mniej prawdopodobne (ale nie niemożliwe!), abyś miała udowodnić
to twierdzenie korzystając jedynie z aksjomatów geometrii absolutnej...