Zadania z geometrii czy ktos mi pomoze???

Gość: Gonia Re: Zadania z geometrii czy ktos mi pomoze??? IP: *.toya.net.pl 04.03.07, 17:12

Zadanie 1
V=8
wzór na objętość V=a^3
więc a^3=8
a=pierwiastek trzeciego stopnia z 8
czyli a=2
Czworościan wszystkie krawędzie ma tej samej długości, więc wysokość
tegoczworościanu też wynosi 2.

ellipsis Chodzi o czworościan, a nie o sześcian! 04.03.07, 18:01

Część I. Najpierw należy albo skorzystać z gotowego wzoru, albo wyprowadzić
wzór na objętość czworościanu foremnego o krawędzi a.
1. Przecinamy nasz czworościan płaszczyzną zawierającą jego wysokość i jedną z
krawędzi bocznych. Otrzymamy trójkąt równoramienny, którego ramiona mają długość
równą wysokości trójkąta równobocznego (podstawy i jednej ze ścian bocznych) -
czyli h = a V3 /2, a podstawa ma długość a.
2. Obliczamy pole tego trójkąta, stosując albo wzór Herona:
p = połowa obwodu = a (V3 +1) /2,
P = V(p(p-a)(p-h)^2) = V(a (V3+1)/2 * a (V3-1)/2 * (a/2)^2) = a^2 V2 /4,
albo wyznaczając najpierw z twierdzenia Pitagorasa długość wysokości
opuszczonej na bok o długości a:
V(h^2 - (a/2)^2) = a V2 /2,
P = a * a V2 /2 /2 = a^2 V2 /4.
3. Wyznaczamy wysokość ostrosłupa (czyli długość wysokości opuszczonej na bok o
długości a V3 /2:
P = h * H /2
H = 2P / h = a^2 V2 / (a V3) = a V6 /3
4. Wyznaczamy objętość czworościanu:
V = (a * h /2) * H /3 = a^2 V3 /4 * a V6 /3 /3 = a^3 V2 /12.

Część II. Z warunków zadania
V = a^3 V2 /12 = 8.
Wobec tego
a = ...
i ostatecznie
H = a V6 /3 = ...

PS. Jeżeli korzystamy z gotowego wzoru na objętość czworościanu foremnego
V = a^3 V2 /12,
to po wyliczeniu długości krawędzi a długość wysokości H wyznaczamy ze wzoru
V = (a*h/2)*H/3,
gdzie h = a V3 / 2.

Gość: Gonia Re: Zadania z geometrii czy ktos mi pomoze??? IP: *.toya.net.pl 04.03.07, 17:28

Zadanie 3
Wzór na objętość kuli: V=4/3*Pi*r^3

Kula wpisana w sześcian:
r=1/2
V1=4/3*Pi*(1/2)^3=1/6*Pi

Kula opisana na sześcianie:
przekątna podstawy sześcianu ma długość d=pierwiastek drugiego stopnia z 2
następnie z tw. Pitagorasa obliczysz przekątną sześcianu:
D^2=(pierwisatek drugiego stopnia z 2)^2+1^2
D^2=2+1
D^2=3
D=pierwiastek drugiego stopnia z 3
Promień tej kuli to R=1/2*pierwiastek drugiego stopnia z 3
V2=4/3*Pi*(pierwiastek drugiego stopnia z 3)^3=1/2*pierwiastek drugiego stopnia
z 3*Pi

Teraz wystarczy odjąć V2-V1=1/2*pierwiastek drugiego stopnia z 3*Pi - 1/6*Pi =
1/2*Pi ( pierwiastek drugiego stopnia z 3 - 1/3)

ellipsis Zadanie 2 04.03.07, 18:25

Przyjmuję, że chodzi o _ostrosłup_ prawidłowy czworokątny. Być może w tym
miejscu popełniam błąd... :(
1. Oznaczamy długość krawędzi podstawy literą a, długość krawędzi bocznych
literą r, długość wysokości ściany bocznej opuszczonej na bok o długości a
symbolem h_1, a długość wysokości ściany bocznej opuszczonej na bok o długości
r symbolem h_2.
2. Przecinamy nasz ostrosłup płaszczyzną zawierającą wysokości dwóch sąsiednich
ścian bocznych, opuszczonych na tę samą krawędź boczną ostrosłupa. Otrzymamy
trójkąt równoramienny, którego ramiona mają długość h_2, a podstawa jest
przekątną podstawy, a więc ma długość a V2. Z warunków zadania kąt między
ramionami ma miarę 120 stopni. Wobec tego łatwo wyznaczamy
sin 60 = (a V2 /2) / h_2
V3 /2 = (a V2 /2) / h_2
h_2 = a V2 / V3
3. Rozważmy ścianę boczną ostrosłupa.
a) Jej pole powierzchni jest równe
a h_1 /2,
jak również
r h_2 /2.
Wobec tego
a h_1 = r h_2 = r a V2 / V3
h_1 = r V2 / V3
b) Z twierdzenia Pitagorasa
(a/2)^2 + h_1^2 = r^2
h_1^2 = r^2 - a^2 /4
4. Z powyższego
(r V2 / V3)^2 = r^2 - a^2 /4
2r^2 /3 = r^2 - a^2 /4
a^2 /4 = r^2 /3
a = 2r / V3
5. Na koniec przecinamy nasz ostrosłup płaszczyzną zawierającą wysokości dwóch
przeciwległych ścian bocznych, opuszczonych na krawędź podstawy ostrosłupa.
Otrzymamy trójkąt równoramienny, którego ramiona mają długość h_1, a podstawa ma
długość a. Cosinus poszukiwanego kąta jest więc równy
(a/2) / h_1 = (r/V3) / (rV2/V3) = V2 /2,
wobec czego poszukiwany kąt ma miarę 45 stopni.
PS. To samo zadanie można rozwiązać znacznie prościej - kilka linijek tekstu! ;)
(Należy zauważyć, że 6 takich ostrosłupów ułożonych na 6 ścianach sześcianu o
krawędzi a wypełni nam dokładnie ten sześcian. Krojąc ten sześcian płaszczyzną
zawierającą wysokości dwóch przeciwległych ścian bocznych, opuszczonych na
krawędź podstawy ostrosłupa, otrzymamy trójkąt prostokątny równoramienny, skąd
poszukiwany kąt ma miarę 45 stopni.)

ellipsis Zadanie bez numeru 04.03.07, 18:28

Wiemy, że:
V = pi r^2 h /3 = 1000
r / h = tg 30 = V3 /3
Stąd łatwo wyznaczamy r i h. Następnie z twierdzenia Pitagorasa (lub funkcji
trygonometrycznych) wyznaczamy długość tworzącej l. Na koniec stosujemy wzór
P_b = pi r l.

kasiap66 Re: Zadanie bez numeru 04.03.07, 19:04

wielkie dzieki za pomoc
- Gość: kolega Re: Zadanie bez numeru IP: *.neoplus.adsl.tpnet.pl 04.03.07, 20:10
  
  kasiap66 napisała:
  > wielkie dzieki za pomoc
  Za pomoc!? Przecież zrobiono za Ciebie wszystko. Musisz tylko przepisać.

Najnowsze z forum Matematyka

Zaloguj się