Logiczny sposób

[Gość: jola]

Czy może mi ktoś w prosty sposób wytłumaczyć co to znaczy , że funkcja jest
parzysta, nieparzysta i że jest wzajemnie jednoznaczna !!

[jacekmk]

Na funkcje określone na zbiorze liczb rzeczywistych można, w uproszczeniu,
spojrzeć jak na 'czarne skrzynki', do których wrzucamy pewną liczbę, a skrzynka
nam zwraca inną (ale uwaga: skrzynka nie działa losowo; liczby, które zwraca,
są obliczane według ścisłego wzoru, dzięki czemu skrzynka jest przewidywalna;
jeżeli będziemy do niej wrzucać cały czas tą samą liczbę, to zawsze otrzymamy
tą samą wartość). Z każdą funkcją związana jest inna skrzynka.
Część skrzynek ma taką własność, że jeżeli wrzucimy do niej pewną liczbę, np.
5, i liczbę do niej przeciwną, czyli -5, to skrzynka nam zwróci tą samą
wartość. Np. skrzynka związana z funkcją x*x (x do kwadratu) ma taką własność.
Wprowadzając do niej liczbę 5 otrzymujemy 25, wprowadzając liczbę -5
otrzymujemy także 25. Posługując się formalizmem matematycznym możemy napisać,
że jeżeli funkcja f(x) spełnia warunek: f(-x)=f(x), to jest parzysta. Zapis x
i -x oznacza argumenty o przeciwnych wartościach (czyli takich wartościach,
które w sumie dają zero). Zapisy f(x) i f(-x) oznaczają wartości zwrócone przez
skrzynkę dla liczb x i -x.
O naszej skrzynce powiemy, że jest nieparzysta wtedy, gdy dla argumentów o
przeciwnych wartościach (np. 3 i -3) skrzynka zwraca przeciwne liczby. Jako
przykład weźmy skrzynkę związaną z funkcją x*x*x (x do trzeciej): jeżeli do
skrzynki wprowadzimy liczbę 3, to zwróci nam 27, jeżeli wrzucimy -3 (czyli
liczbę przeciwną do 3), to otrzymamy -27 (czyli liczbę przeciwną do 27). Za
pomocą formalizmu matematycznego piszemy: jeżeli f(-x)=-f(x), to funkcja f(x)
jest nieparzysta. f(x) i f(-x) oznaczają wartości zwracane przez naszą skrzynkę
dla przeciwnych argumentów (x i -x). W naszym przypadku napisalibyśmy: f(3)=-f(-
3). Podstawiając za f(3) liczbę 27, a za f(-3) liczbę -27 otrzymujemy równość:
27=-(-27). Jak widać, jest ona prawdziwa.
Ważna jest jeszcze jedna rzecz. Liczby, czyli argumenty, które wrzucamy do
skrzynek pochodzą z pewnego zbioru liczbowego (może to być cały zbiór liczb
rzeczywistych, jak i jego dowolny podzbiór, np.: ]-3;102]). Nazywamy go
dziedziną funkcji lub zbiorem argumentów. Mówiąc o pewnej funkcji zawsze
powinniśmy pamiętać o jej dziedzinie. Co więcej, jeżeli dwie funkcje opisane są
tym samym wzorem ale ich dziedziny są inne, to są to dwie różne funkcje
(wracając do naszego skrzynkowego przykładu: nie tylko jest ważny wzór, według
którego skrzynka oblicza odpowiedź, ale także to, jakie liczby możemy do
skrzynki wrzucać; skrzynka opisana jest zarówno wzorem, jak i zbiorem liczb,
które do skrzynki mogą być wprowadzane).
Wracając do funkcji parzystych i nieparzystych - podane wyżej równości (dla
funkcji parzystej: f(-x)=f(x), dla nieparzystej: f(-x)=-f(x)) muszą zachodzić
dla dowolnej liczby x należącej do dziedziny. Dopiero wówczas możemy powiedzieć
o funkcji, że jest parzysta albo nieparzysta.
Często funkcje przedstawia się w postaci wykresu. Wykres funkcji parzystej jest
symetryczny względem osi rzędnych (OY), a wykres funkcji nieparzystej jest
symetryczny względem początku układu współrzędnych.
To na razie tyle. Jeżeli było zrozumiałe, to mogę napisać coś więcej (pojęcie
funkcji wzajemnie jednoznacznych, czyli bijekcji, jest trochę trudniejsze).
Pozdrawiam