Pytanie z matematyki

[Gość: kakadu]

Czy kto moglby udzielic mi odpowiedzi na nastepujaca pytanie: czy nieciaglosci
w funkcji Dirichleta sa usuwalne? Tzn. jesli zmienimy definicje tej funkcji i
przyjmiemy, ze zarowno dla liczb wymiernych jak i niewymiernych przyjmuje ona
wartosc 1 (lub 0), to chyba nie bedzie juz nieciagla, bo innych liczb na osi
liczb R (poza wymiernymi i niewymiernymi) nie ma. Wowczas otrzymamy funkcje
stala. Nie bedzie to juz funkcja Dirichleta, ale nie bedzie w niej
nieciaglosci. Czy to jest prawda? A poza tym: jak sa na osi rozmieszczone
liczby wymierne i niewymierne? Czy sa na przemian? Bo intuicyjnie wydaje sie,
ze tych wymiernych jest wiecej, a wiec pomiedzy niektorymi nie ma zadnej
niewymiernej. Wowczas funkcja Dirichleta musialaby byc "kawalkami" ciagla.
Bede bardzo wdzieczna za odpowiedz.

[Gość: flm]

Na początek zaznaczę, że nie jestem ekspertem od matematyki. Jeśli palnę jakieś
głupstwo, to mam nadzieję, że ktoś mnie poprawi.
> Czy kto moglby udzielic mi odpowiedzi na nastepujaca pytanie: czy nieciaglosci
> w funkcji Dirichleta sa usuwalne?
Podaj definicję nieciągłości usuwalnej, którą stosujesz. Ja znam taką:
1) Funkcja w punkcie x0 ma nieciągłość pierwszego rodzaju, jeśli istnieją
granice lewostronna i prawostronna w danym punkcie. Nieciągłość jest usuwalna,
jeśli granice te są sobie równe, w przeciwnym wypadku nieusuwalna.
2) Nieciągłość drugiego rodzaju - jeśli nie istnieje chociażby jedna granica.

Przy tej definicji funkcjs Dirichleta R->R ma w każdym punkcie nieciągłość
drugiego rodzaju, więc mówienie o usuwalności jest bez sensu.
Tzn. jesli zmienimy definicje tej funkcji i
> jesli zmienimy definicje tej funkcji i
> przyjmiemy, ze zarowno dla liczb wymiernych jak i niewymiernych przyjmuje ona
> wartosc 1 (lub 0), to chyba nie bedzie juz nieciagla, bo innych liczb na osi
> liczb R (poza wymiernymi i niewymiernymi) nie ma. Wowczas otrzymamy funkcje
> stala. Nie bedzie to juz funkcja Dirichleta, ale nie bedzie w niej
> nieciaglosci. Czy to jest prawda?
Tak, ale w ten sposób raczej nie można usuwać nieciągłości (przynajmniej wg.
definicji, którą podałem).
> A poza tym: jak sa na osi rozmieszczone
> liczby wymierne i niewymierne? Czy sa na przemian?
Między każdymi dwoma różnymi liczbami wymiernymi są liczby niewymierne. Między
każdymi dwoma różnymi liczbami niewymiernymi są liczby wymierne. Na kartce nie
da się tego narysować.
> Bo intuicyjnie wydaje sie,
> ze tych wymiernych jest wiecej, a wiec pomiedzy niektorymi nie ma zadnej
> niewymiernej. Wowczas funkcja Dirichleta musialaby byc "kawalkami" ciagla.
Funkcja Dirichleta jest nieciągła w każdym punkcie dziedziny.