kombinacje

[Gość: Matka Chrzestna]

witam :)

mam takie proste zadanka do rozwiazania i mam z nimi problem proszę o
wyjasnienia
1. Spotkało się dziesięcioro przyjaciół i każdy z każdym przywitał się
uściskiem dłoni. Ile było powitań?
To zadanie jest tak proste ze wiem, że powinno być 9+8+7+6+5+4+3+2+1=45
uścisków
ale zastanawiam się czy jak bym miała takie zadanie na maturze albo
sprawdzianie to czy ten powyższy zapis by wystarczył? Można to jakoś
wyraźniej zapisać?

2.W turnieju szachowym rozegrano 55 partii. Ilu było uczestników, jeżeli
każdy uczestnik rozegrał jedną partię z każdym z pozostałych?

no w tym zadaniu to już wogóle mam problem z zapisem. (w odpowiedziach jest
że było 11 uczestników)

[Gość: Joa]

Można inaczej: Każda osoba(z tych dziesięciu)witała się 9 razy, więc pozornie
było 10*9 powitań, ale każde powitanie liczone było przez dwie osoby, wiec
otrzymana poprzednio liczbę należy podzielić przez dwa otrzymamy 45.
Ogólnie dla n osób - każda wita się n-1 razy i jak wyżej, dzielimy przez dwa.
Mamy wzór liczba powitań L = n(n-1)/2
Korzystając z tego wzoru znajdziesz n kiedy L=55. n(n-1)=110 można nawet
odgadnąć, jeśli zapomniałaś rozwiązania równania kwadratowego.

[ellipsis]

Pytanie: Ile różnych podzbiorów k-elementowych ma zbiór n-elementowy? *)
Odpowiedź: n po k.
Pytanie: Jak wyliczyć n po k?
Odpowiedź: Należy podzielić n! przez k!*(n-k)!.

Rozwiązanie zad. 2.
Niech n będzie liczbą uczestników turnieju. Skoro każdy uczestnik grał z każdym
z pozostałych jedną partię (tego założenia nie ma w poście, ale jest w
oryginalnym zadaniu; bez tego założenia zadanie ma wiele rozwiązań...), to
liczba rozegranych partii wynosi
n po 2,
czyli
n! /(2!*(n-2)!) = n*(n-1)/2.
Musimy zatem rozwiązać równanie
n(n-1)/2 = 55.
Jego jedynym dodatnim rozwiązaniem jest n=11.

*) Oto inne sformułowanie tego samego pytania: Ile jest różnych kombinacji
k-elementowych zbioru n-elementowego?

dzięki za pomoc :)

[Gość: Matka Chrzestna]

ok dzięki za pomoc :)