Trójkąty

[Gość: bartek]

Dostałem zadanie:
W dowolnym trójkącie ABC każdy kąt podzielono półprostymi na trzy równe części
i otrzymano trójkąty: ABK(z kątami A/3,B/3);BCL(z kątami B/3 i C/3) i CAM(z
kątami C/3 i A/3)Wykazać,że trójkąt KLM jest równoboczny.
Probowałem z twierdzenia sinusow i cosinusow wyznaczyć długości boków, ale
wychodzą straszne rachunki. Może ktoś podsunie pomysł. Z góry dziękuję.

[Gość: Julka]

Pomysł? To może wykaż, że kąty w trójkącie MKL są równe

[Gość: Joa]

Niech ABC będzie danym trójkatem
Zacznij od trójkąta równobocznego, budując na jego bokach trójkąty równoramienne
o katach przy podstawie 60-A/3,60-B/3 i 60-C/3 (w stopniach), gdzie A,B,C - kąty
danego trójkąta. Przedłużenie ramion tych trójkątów utworzy "gwiazdę"
trójwierzchółkową o wierzchołkach K,L,M i kątach ostrych A/3,B/3 i C/3.Musisz
wykazać,że w trójkącie KLM ramiona gwiazdy dzielą katy tego trójkata na trzy
równe częsci. Wyniknie to z podobieństwa trójkatów wyznaczonych przez prostą
równoległą
do boku trójkata równobocznego, przechodzącego przez jego wierzchołek.Otrzymany
trojkąt KLM ma wiec kąty A,B C, jest więc podobny do trójkąta ABC, co kończy dowód.
Opis byłby bardziej czyteeeelny z rysunkiem, ale z tym są kłopoty