monotoniczność funkcji

[Gość: Tomek lo]

Funkcja określona jest wzorem f(x)=(m-2)x^3/3+(2m-3)x^2+(5m-6)x+m^2-5 .
Wyznacz te wartości parametru m, dla których funkcja f jest malejąca w zbiorze
liczb rzeczywistych

[Gość: Julka]

Liczysz pochodną. Otrzymasz funkcję kwadratową zmiennej x. Funkcja jest
malejąca w przedziale, w którym jej pochodna jest ujemna. Zapisujesz pochodna
jako nierówność stopnia drugiego i piszesz warunki (delta <0 i a<0), itd

[Gość: Tomek lo]

delta chyba ma być mniejsza bądź równa 0?

[Gość: Julka]

Nie. Musi być ujemna

[pamusz]

Funkcja y=-x^3 jest malejąca, a jej pochodna jest niedodatnia y'=-3x^2;[y'(0)=0]
Tomek ma rację.

[Gość: Julka]

Dlaczego Ty mnie tak pamusz nie lubisz?

[Gość: Julka]

Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w pewnym przedziale i dla każdego x z tego
przedziału f'(x)<0 to funkcja jest malejąca w tym przedziale.

Jeżeli natomiast funkcja jest malejąca w danym przedziale to pochodna f'(x)
jest liczbą niedodatnią dla każdego x z tego przedziału.

Amica Julka, sed magis amica veritas... ;)

[ellipsis]

Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w przedziale [a,b] i dla każdego x z [a,b]
zachodzi f'(x) <= 0, to funkcja f jest nierosnąca w [a,b].
Jeżeli ponadto nie istnieje przedział zawarty w [a,b] taki, że f'(x)=0 dla
każdego x z tego przedziału, to funkcja f jest (ściśle) malejąca w [a,b].
W rozważanym zadaniu pochodna f' jest funkcją kwadratową (przypadek m=2
odrzucamy, gdyż w takim przypadku funkcja f byłaby funkcją kwadratową, która z
całą pewnością nie jest funkcją malejącą w R), więc ta pochodna nie jest stała w
żadnym przedziale. Zatem Tomek lo ma rację.