Kombinatoryka, prawdopodobieństwo

[Gość: Kulka]

Zadanie 1.
Rozwiązać równanie:

a) n+6 'po' 2 = 28

b) n 'po' 3 = 20


Nie zgadzają mi się wyniki z odpowiedziami... Pomożecie?

[Gość: ja]

Zadanie 2

W biegu na 100m startuje 4 Amerykanów, 3 Anglików i 1 Grek. Przed
biegiem losują tory [1-8].

Ile jest takich możliwych wyników losowania, że żadnych 2
Europejczyków nie pobiegnie na sąsiednich toracH?



Rozważyłam sytuację, kiedy Europejczycy mają miejsca 1,3,5,7 oraz
2,4,6,8, ale nie potrafię poradzić sobie z sytuacją, kiedy zajmują
miejsca 1 i 8...

Kiełbasa?

[Gość: mag]

Mogą zająć miejsca 1, 3, 5, 8 lub 1, 3, 6, 8 lub 1, 4, 6, 8. Więc
tych możliwości jest 3 * 4! * 4!.

Zadanie chyba z kiełbasy.

[Gość: ja]

Zadanie 3
Ze zbioru {1,2,...,7} losujemy 3 cyfry ze zwracaniem i zapisujemy je
w kolejności wylosowania, otrzymując liczbę 3-cyfrową. Oblicz P
otrzymania liczby podzielnej przez 4.

[Gość: miks]

Q=7*6*5
A-utworzona liczba jest podzielna przez 4, czyli ma na "końcu" 12
lub 16 lub 24 lub 32 lub 36 lub 44 lub 52 lub 56 lub 64 lub 72 lub
76; daje to 11 możliwości.
W każdej sytuacji na pierwszym miejscu może być jedna z pięciu
pozostałych cyfr, zatem liczb podzielnych przez 4 może być 11*5
Prawdopodobieństwo to iloraz 11*5/7*6*5=11/42

[ellipsis]

Przypomnijmy: liczba abc (zapis cyframi, nie iloczyn!) dzieli się przez 4 wtw,
gdy liczba bc dzieli się przez 4.
Dalej: liczba bc dzieli się przez 4 wtw, gdy
albo b jest parzyste, a c jest podzielne przez 4,
albo b jest nieparzyste, a c jest parzyste i niepodzielne przez 4.
Tworzę drzewko. Użyję następujących symboli:
* - wylosowano dowolną cyfrę, czyli 1, 2, 3, 4, 5, 6 lub 7,
N - wylosowano cyfrę nieparzystą, czyli 1, 3, 5 lub 7,
4 - wylosowano cyfrę podzielną przez 4, czyli 4,
P - wylosowano cyfrę parzystą niepodzielną przez 4, czyli 2 lub 6.
Ponieważ losujemy ze zwracaniem, prawdopodobieństwa zajścia w konkretnym
losowaniu N, 4 i P nie zależą od numeru losowanej cyfry - są to odpowiednio 4/7,
1/7 i 2/7. (W przypadku losowania bez zwracania byłoby bardziej skomplikowanie!)
Mamy następujące możliwości:
#1: *NN
#2: *N4
#3: *NP
#4: *4N
#5: *44
#6: *4P
#7: *PN
#8: *P4
#9: *PP
Zgodnie z napisanym wcześniej, interesują nas tylko możliwości *NP, *44 i *P4,
czyli pozycje #3, #5 i #8. Obliczamy prawdopodobieństwa tych możliwości (np.
P(*NP) = 1 * 4/7 * 2/7 = 8/49) i dodajemy je do siebie.
Odp. 11/49.
PS. miks dobrze (choć inną metodą) wyliczył liczbę poprawnych końcówek
(uwzględniając liczbę 44, w której 4 się powtarza), ale źle określił liczbę
możliwości wyboru pierwszej cyfry (bo przyjął, że musi ona być różna od dwóch
pozostałych; powinien pomnożyć 11 przez 7) i liczebność zbioru zdarzeń
elementarnych (powinno być 7*7*7). Gdyby zrobił to dobrze, otrzymałby
7*11/(7*7*7) = 11/49.

[ellipsis]

a) Chodzi chyba o
(n+6) po 2 = 28.
Wtedy mamy równanie
(n+6)*(n+5)/2! = 28.
Dalej już łatwo... Należy odrzucić pierwiastek ujemny.
Odp. n=2.
b) Mamy równanie
n*(n-1)*(n-2)/3! = 20,
czyli
n^3 - 3n^2 + 2n - 120 =0.
Rozkładamy na czynniki:
(n-6)*(n^2 + 3n + 20) = 0.
To równanie ma dokładnie jeden pierwiastek. (Uzasadnij!).
Odp. n=6.