Pajaczki

[Gość: WMI]

Tutaj jeszcze nie bylo.
Wiec jest tak. Jest pokoj, podloga jest kwadratowa, dlugosc jednej sciany, to
jeden metr. W kazdym rogu pokoju siedzie pajaczek. Glodny pajaczek. Pajaczek
kanibal. I w pewnym momencie kazdy z pajaczkow postanawia zjesc kolege, ktory
siedzi w rogu po jego prawej stronie.
_________
¦A D¦
¦ ¦
¦ ¦
¦B C¦
---------

Czyli, pajaczek A, zaczyna gonic B, B C, C D, a D A.
Jak sie latwo domyslic, po jakims czasie wszystkie dopadna sie nawzajem w
srodku pokoju.
Przyjmijmy, ze pajaczki biegna z predkoscia metra na sekunde.
Pytanie:
Po jakim czasie pajaczki sie spotkaja ???

Szkic

[Gość: WMI]

Rysunek powiniem wygladac jakos tak:
_________
¦A.....D¦
¦.......¦
¦.......¦
¦B.....C¦
---------

[tpudel]

Jezeli potraktowac pajaczki za pojedyncze punkty to one nie spotkaja sie
nigdy. Zauwazmy, ze pajaczek uciekajacy przed danym obiera zawsze trase
prostopadla do pajaczka go goniacego, czyli nawet jak punkty beda oddalone
powiedzmy 1/1000 mm od siebie to w kolejnej jednostce czasu tez sie nie
spotkaja. Mam nadzieje, ze sie nie myle. Wydaje mi sie, ze to zadanie bedzie
rozwiazywalne dopiero jak zalozymy, ze pajaczki nie sa pojedynczymi punktami,
tylko maja jakis promien np. 1mm.

mam racje ??

[tpudel]

[Gość: WMI]

Nie masz.
Ale jak Ci to ulatwi zycie, to zaloz sobie, ze pajaczek jest kwadratem o boku 1
cm.

[tpudel]

Gość portalu: WMI napisał(a):

> Nie masz.
> Ale jak Ci to ulatwi zycie, to zaloz sobie, ze pajaczek jest kwadratem o
boku 1 cm.

Jestem przekonany, ze jezeli traktowac pajaczki za punkty materialne to one
nigdy sie nie spotkaja, bez dowodu, ze sie myle nie uwierze :).
Ja moge swoja hipoteze wyjasnic w taki sposob:
podzielmy czas na bardzo male jednostki czasu, i zaluzmy, ze pajaczek koryguje
swoj tor w kazdej takiej jednostce. Teraz zalozmy, ze maja one sie spotkac w
srodku i ma to nastapic po takiej wlasnie jednostce czasu. Jednak z tego
wynika, ze w danej chwili (przed uplywem tej jednostki czasu) zaden pajaczek
nie jest w srodku, czyli zaden z pajaczkow nie obierze toru do srodka kwadratu
i po kazdej takiej jednostce czasu historia bedzie sie powtarzac. W kazdej
takiej jednostce czasu odleglosc bedzie malala o x%, ale w zadnej z nich nie
zmaleje o 100%. Czyli spotkaja sie dopiero po n jednostkach czasu, gdzie n
dazy do nieskonczonosci :)).
Pozdrawiam Pudel.
ps. niech ktos to potwierdzi lub przekona mnie, ze sie myle,
pps. waznym argumentem w mojej teorii jest takze to, ze tory ruchow kolejnych
pajaczkow przecinaja sie zawsze pod kontem prostym. Jesli weszly by wszystkie
do srodka to jednostke czasu wczesniej warunek ten musialby byc zlamany lub
pajaczki musialy by zakrecic nagle o 90 stopni, co tez nie jest mozliwe.

[tpudel]

tpudel napisał:
> pps. waznym argumentem w mojej teorii jest takze to, ze tory ruchow
kolejnych
> pajaczkow przecinaja sie zawsze pod kontem prostym. Jesli weszly by
wszystkie
> do srodka to jednostke czasu wczesniej warunek ten musialby byc zlamany lub
> pajaczki musialy by zakrecic nagle o 90 stopni, co tez nie jest mozliwe.
drobna pomylka, nie o 90 stopni tylko 0 45, a to jest niemozliwe, poniewaz
znaczyloby to, ze pajaczek np. A zamiast gonic B goni teraz C.

[grzk]

Rzeczywiście styczne do torów pajączków są do siebie prostopadłe, ale nie masz
racji. Intuicyjne wytłumaczenie jest takie, że z każdą chwilą maleje odległość
pajączka do środka pokoju (to, że nie chodzą po okręgu jest oczywiste).
Moim zdaniem pajączki idą po łuku o promieniu a/2 (długość boku pokoju)
łączącym wierzchołek ze środkiem pokoju. Tak więc droga jaką przebędą =
(2pi*r)/4. Dalej już chyba nie muszę pisać

Grzegorz

Wyjasnienia

[Gość: WMI]

1. Pajaczki w koncu sie spotkaja, nawet jezeli sa punktami.

> Moim zdaniem pajączki idą po łuku o promieniu a/2 (długość boku pokoju)
> łączącym wierzchołek ze środkiem pokoju. Tak więc droga jaką przebędą =
> (2pi*r)/4. Dalej już chyba nie muszę pisać

2. Nie jest to dobra odpowiedz.

[Gość: azubi02]

ja chcialem tylko dodac, ze to nie jest Twoja teoria, problem ten jest juz
znany od dawna i zazwyczaj jest przedstawiany z uciekajacym zolwiem i goniacym
go Achillesem w rolach glownych;
pozdrawiam

[mesquaki]

Każdy pająk w każdym momencie naprowadza swoją trasę na kierunek pająka,
którego ściga ("psia krzywa";)). W rezultacie poruszają się po jakiejś spirali,
i zbliżają do jej początku w środku pokoju. Jak to tam ze spiralami było, to
nie pamiętam. W każdym razie zawsze poruszają się prostopadle do siebie. A więc
niezależnie od ich orientacji w przestrzeni , jeśli gonią pająka przed sobą, i
mają do niego odległość początkową 1m, i poruszają się do niego prostopadle, z
prędkością 1 m/s, to dogonią się po sekundzie...?

[Gość: WMI]

Jak zwykle niezawodna.

[mesquaki]

Przepyszne zadanko :).

[grzk]

Przemyślałem sprawę i nie zgadzam się z mesquaki:

> Każdy pająk w każdym momencie naprowadza swoją trasę na kierunek pająka,
> którego ściga ("psia krzywa";)). W rezultacie poruszają się po jakiejś
spirali,

1. Jeżeli za środek układu współrzędnych przyjmiemy środek pokoju, to zobaczymy
obracający się kwadrat o zmniejszającym się boku. Wierzchołki kwadratu
(pajączki) mogą leżeć na spirali. Natomiast jeszcze nie wiem czy te spirale
przetną się w punkcie (0,0) czy będą do niego asymptotycznie się zbliżały.
A więc być może rację ma jednak pudel pisząc, że nigdy się nie spotkają. Nie
wiem muszę jeszcze pomyśleć?

> niezależnie od ich orientacji w przestrzeni , jeśli gonią pająka przed sobą,
i
> mają do niego odległość początkową 1m, i poruszają się do niego prostopadle,
z
> prędkością 1 m/s, to dogonią się po sekundzie...?

2. Tego wyjaśnienia poprostu nie rozumiem, ale spróbuję Cię przekonać, że
droga, którą przebędzie pajączek jest dłuższa niż 1m (czas > 1sek.):
Przyjmij za początek układu współrzędnych pajączka, którego gonisz. Poruszasz
się wówczas po krzywej, której styczna tworzy kąt 45 stopni z prostą
przebiegającą przez obydwa pajączki. Wszystko jedno czy pajączka docelowego
ominiesz i będziesz krążyć po spirali, czy odrazu go złapiesz - musisz przebyć
drogę dłuższą niż długość odcinka łączącego oba pajączki.

Grzegorz

[mesquaki]

Odpowiem chętnie, ale najwcześniej w piątek.

[grzk]

Sprawę przemyślałem (gdzie zawodzi intuicja, trzeba użyć matematyki). W moim
rozumowaniu nie uwzględniłem, że jeżeli jeden pająk jest środkiem układu, to
drugi porusza się względem niego z prędkością pierwiastek(2). W przypadku, gdy
krzywa do stycznej z promieniem tworzy kat a=pi/4 mamy:
cos(a) = dr/ds, ponieważ prędkość jest stała i wynosi sqrt(2): ds = sqrt(2)dt.
i warunek początkowy r(t=0)=1.
Po rozwiązaniu otrzymujemy: r=-t+1. A więc jednak r=0 dla t=1.
Mam nadzieję, że tym razem się nie pomyliłem ;).
Ciekawy wynik. Pajączki poruszają się po dosyć skomplikowanej krzywej, a
odległość między nimi zmniejsza się liniowo.

Chylę głowę przed spostrzegawczością mesquaki

[tpudel]

wkoncu ktos poparl moja teorie :) ( a moze nie do konca ), to co napisales
zgadza sie z tym co ja mysle.
Mam jeszcze jeden argument: zeby ktorys pajaczek wykonal ruch w kierunku
srodka to musi zajsc jeden z warunkow:
1. pajaczek, ktorego goni jest juz w sroku pokoju ( nie mozliwe bo tracimy
wtedy symetrycznosc )
2. pajaczek goniony musi byc po przeciwleglej stronie srodka, (co tez nie moze
sie zdarzyc, poniewaz, gdzie by sie wtedy znajdowaly pozostale pajaczki ? ).
W zwiazku z tym powiedzcie mi jak to mozliwe, zeby ktorykolwiek pajaczek
wszedl kiedykolwiek do srodka skoro nigdy nie skieruje toru swojego ruchu ku
srodkowi.

[Gość: WMI]

Panowie i Panie,

Rozwiazanie, ktore podala mesquaki, jest prawidlowe.
Analizowanie krzywej, po jakiej poruszaja sie pajaczki nie wnosi nic nowego.
Wlasciwie, to jest to haczyk, na ktory latwo sie nabrac.

Bez watpienia zgodzicie sie ze mna, ze pajaczki poruszaja sie w dwuwymiarowym
kartezjanskim ukladzie wspolrzednych. Srodek takiego ukladu umiescmy na
grzbiecie jednego z pajaczkow. Wowczas, bez watpienia, os Xow zawsze, ale to
zawsze bedzie wskazywac na pajaczka gonionego. Poniewaz pajaczek porusza sie z
predkoscia jednostajna, wzdluz prostej, znamy jego predkosc, znamy odlegosc
jaka ma do przebycia, wiec w czym problem ???