wsiadanie do samolotu

[Gość: grzesiek]

Pozwolę sobie odgrzać nie swoją zagadkę która już tu chyba była, ale nie mogę jej znaleźć w archiwum.
Do samolotu wsiadają pasażerowie. Jest ich dokładnie tylu ile miejsc. Pierwszy siada na przypadkowym miejscu. Następni są zdyscyplinowani i jeśli ich miejsce jest wolne, to na nim siadają, jeśli nie, to siadają na którymś wolnym. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ostatni pasażer usiądzie na swoim miejscu?

[Gość: Krzyś]

Rozumiem, że to "któreś wolne" może być też właściwym (przydzielonym) miejscem, które zajmiemy bezwiednie.

[Gość: Krzyś]

Wystarczy, że pierwszy usiądzie na właściwym, 1/N

[Gość: Krzyś]

chyba 1/2

[Gość: grzesiek]

> chyba 1/2

A dlaczego?

[Gość: XXX]

z trudnym zadaniem trzeba parę dni pochodzić.....coś czuję, że to właśnie 1/2

[Gość: Krzyś]

rozpisałem wszystkie układy zajmowania miejsc od najłatwiejszego, czyli 2 pasażerów, potem 3 ...

[jacekstu]

dla n=1 oczywiście 100%
dla n=2, n=3, n=4, n=5 mi też wyszło 50%
dla n=6 lub więcej szczerze mówiąc nie chce mi się liczyć, obstawiam, że prawdopodobieństwo zawsze będzie 50% dla dowolnego n>1 ale do wzoru ogólnego nie potrafię dojść :(

[Gość: XXX]

Jest 50 %.

Spróbuję to wyjaśnić na tzw. „chłopski rozum”….nie można inaczej.

Pierwszy pasażer usiadł na obcym miejscu a ostatni na swoim miejscu. Kiedy to się stanie ?

Weźmy np: trzy fotele o nr.1, 13 i 28 i okazało się, że :
Pasażer 1 usiadł na fotel 13. Pasażer 13 usiadł na 28. Pasażer 28 usiadł na fotel 1.

Weźmy np.: fotele 1, 10,15 i 20.
Pasażer 1 usiadł na 10. 10 usiadł na 15. 15 usiadł na 20. 20 usiadł na fotel nr 1.

Czyli mamy numery foteli zgodnych z numerami pasażerów którzy je zajęli. Nazywam to pętle.
2-elementowe 3-elementowe 7-elementowe 37-elementowe…..itp. W każdym rejsie jest tylko jedna pętla.
W tych warunkach zawsze ostatni pasażer usiądzie na swoje miejsce.

A teraz spróbuję opisać sytuację gdzie ostatni siada na obce miejsce.

Weźmy np.: fotele 1, 10, 15 i 20.
Pasażer 1 usiadł na fotel 10. 10 usiadł na 15. 15 usiadł na 20 a pasażer 20 usiadł na fotel inny niż 1.
Reszta usiadła na swoje miejsca a ostatni na miejsce nr 1.

Te zestawy nazywam pętlą przerwaną lub łańcuch. 2-elementowy 4-elementowy
11-elementowy 41-elementowy itd.
W tym przypadku ostatni pasażer nie trafi na swój fotel.

Wniosek nasuwa się sam: Ilość pętli i łańcuchów musi być taka sama. Po 50 %.

Uwaga końcowa : Wyobraź sobie jakiś rejs , spis pasażerów i foteli na których siedzieli
z informacją który pasażer ostatni zajmował miejsce i które. Większość będzie siedziała
na właściwych miejscach a z pozostałych otrzymasz jedną pętle albo jeden łańcuch.

[Gość: grzesiek]

To już coś, jest jakaś odpowiedź, chociaż nie jest jasne dlaczego liczby pętli i łańcuchów muszą być równe. Jest prostsze wyjaśnienie. Wierzę że ktoś wymyśli.

[rgucz]

Tego nie da się obliczyć bo nie ma żadnych liczb do odgadnięcia tej zagadki.

[Gość: XXX]

Każda dowolna liczba foteli tworzy albo pętlę albo łańcuch z prawdopodobieństwem 1/2.

Ostatni pasażer ma zawsze do wyboru albo swoje miejsce albo te z numerem jeden w zależności od tego czy " pomylone miejsca" tworzą pętlę czy łańcuch.

[Gość: grzesiek]

To jest trafna obserwacja, że ostatni usiądzie na swoim albo na pierwszym. Nie może być inaczej, bo to by znaczyło że któryś pasażer, inny niż pierwszy nie usiadł na swoim miejscu mimo, że było wolne. Jednak z tymi łańcuchami i pętlami to niepotrzebna komplikacja, bo nie widać na pierwszy rzut oka dlaczego miały by występować z równymi prawdopodobieństwami.

[Gość: XXX]

Grzesiek, jeżeli w przedszkolu maluchy złapią się za rączki to zawsze pójdą w " kółko graniaste " albo " jedzie pociąg z daleka". z prawdopodobieństwem 1/2.

[szara.de]

trudne!!

[ramborambo]

Ponieważ zbiór nie jest wartością stałą, czyli ilość siedzeń, to nie możemy określić sztywnej wartości prawdopodobieństwa.
ilość siedzen - n
ilość zdarzeń prawdziwych - (n!-1) / to ile razy ostatni pasażer siada na swoim miejscu

Prawdopodobieństwo to:

P(x)=(n!-1)/n!

Permutacje bez powtórzeń, czyli szczególny przypadek wariacji bez powtórzeń.

[ramborambo]

pomyliłem miejsce znaku silni we wcześniejszym poście


Ponieważ zbiór nie jest wartością stałą, czyli ilość siedzeń, to nie możemy określić sztywnej wartości prawdopodobieństwa.
ilość siedzen - n
ilość zdarzeń prawdziwych - (n-1)! / to ile razy ostatni pasażer siada na swoim miejscu

Prawdopodobieństwo to:

P(x)=(n-1)!/n!

Permutacje bez powtórzeń, czyli szczególny przypadek wariacji bez powtórzeń.