Rzutki

[Gość: Krzyś]

Jorguś celuje rzutkami do tarczy o średnicy 2 cm. Jorguś nie ma nic więcej do
roboty i rzuca cały dzień. Z jednakowym prawdopodobieństwem trafia w dowolny
punkt tarczy, ale zawsze trafia gdzieś w tarczę.

Jaka będzie średnia odległość jego trafień od środka (w linii prostej oczywiście)?

[Gość: bigda]

No cóż, jeśli z takim samy prawdopodobieństwem w każdy punkt trafia, to średnia
odległość będzie chyba różna promieniowi koła o powierzchni połowy tarczy.

[belkor]

Nie napisałeś, jaki model losowania przyjąć w zadaniu. To, że prawdopodobieństwo
wylosowania każdego punktu jest takie samo nie mówi zbyt wiele. Przy założeniu,
że losujemy z prawdopodobieństwem jednostajnym wyszło mi, że średnia odległość
będzie wynosić 2/3cm. Dawno nie liczyłem całek, więc nie postawiłbym zbyt dużo
na to, że jest to właściwa odpowiedź, ale symulacje na komputerze wydają się to
potwierdzać.

[smiechowiec]

Wydaje mi się, że dla tak postawionego problemu będzie to promień
koła, którego powierzchnia jest równa połowie powierzchni całej
tarczy.
Wychdzi w cm jakieś 1 podzielić na pierwiastek z 2 czyli około 0.7cm.

[belkor]

> Wydaje mi się, że dla tak postawionego problemu będzie to promień
> koła, którego powierzchnia jest równa połowie powierzchni całej
> tarczy.
> Wychdzi w cm jakieś 1 podzielić na pierwiastek z 2 czyli około 0.7cm.

Wydaje mi się, że to trochę za dużo. Jeśli podzielimy koło na część wewnętrzną (koło o promieniu 1/sqrt(2)) i zewnętrzną (pierścień o szerokości 1-1/sqrt(2)), to przy każdym trafieniu prawdopodobieństwo trafienia w każdą z tych części wyniesie 1/2. Każde trafienie w część wewnętrzną "ściąga" średnią odległość w kierunku zera, a trafienie w część zewnętrzną "ściąga" średnią w kierunku 1.

Jednak w wewnętrznej części możliwe oległości są z przedziału 0 - 0.7, a w zewnętrznej z przedziału 0.7 - 1. W wewnętrznej części przedział ten jest większy. Jeśli np. trafię w pobliżu środka tarczy (odległość 0.2), to aby to zrównoważyć do 0.7, potrzebuję co najmniej dwóch trafień w zewnętrzną część. Można się więc spodziewać, że średnia odległość będzie bardziej bliska środka.

[Gość: Krzyś]

Brawa dla Belkora, 2/3 cm to dobra odpowiedź