Środek Ziemi

[neuroleptyk]

Przeniesienie odpowiedzi dla Negativum.

>Na Ziemi nie ma problemu ustalić środka Ziemi.

Są tu dwie kwestie.

1) Ziemia się porusza, więc może chodzić o pozycję środka Ziemi w jakimś absolutnym układzie odniesienia.
2) Może chodzi o lokalny układ. Jeśli zdefiniujemy powierzchnię Ziemi jak elipsoidę WGS 84 w układzie współrzędnych geodezyjnych lub w ECEF, to definiujemy powierzchnię Ziemi względem środka układów, więc dla danej lokalizacji pozostaje kwestia obliczenia odległości i kątów.

Jak chcesz ustalić środek Ziemi bez przyjęcia modelu Ziemi? Będziesz losowo "wiercił", aż napotkasz napis "tu jest środek Ziemi"? Starożytni wiedzieli, że Ziemia jest w przybliżeniu kulą, później odkryto, że Ziemia jest "wybrzuszona na równiku", czyli jej powierzchnia w lepszym przybliżeniu jest elipsoidą.

Parametry geodezyjnie dla WGS 84, wzory i przekształcenia z układu współrzędnych geodezyjnych do ECEF:

a = 6378137 m – promień równikowy,
b = 6356752,314245 m – promień biegunowy,
ε^2 = 1 - b^2/a^2 – kwadrat mimośrodu,
φ – szerokość geodezyjna (geograficzna),
θ – szerokość geocentryczna,
λ – długość geograficzna, λ = 0° odpowiada południkowi zerowemu,
h – wysokość nad elipsoidą wzdłuż normalnej w m,

dla φ, θ ≠ 90°,
θ = atan(tan(φ) ∙ (1 - ε^2)),
φ = atan(tan(θ)/(1 – ε^2)),
n(φ) = a/sqrt(1 - ε^2 ∙ sin(φ)^2) – odległość normalna dla kąta φ od powierzchni elipsoidy do osi polarnej w m.

geodezyjne(φ, λ, h) → ECEF(x, y, z):
x = (n(φ) + h) ∙ cos(φ) ∙ cos(λ),
y = (n(φ) + h) ∙ cos(φ) ∙ sin(λ),
z = (n(φ) ∙ (1 – ε^2) + h) ∙ sin(φ).

Możemy z tego uzyskać wzory dla współrzędnych ECEF dla elipsy będącej południkiem 0°, czyli dla λ = 0°, oraz dodatkowo dla h = 0 m.
W rzeczywistości powyższe wzory uzyskuje się z wzorów dla elipsy tj.:

x_elipsoida = x_elipsa ∙ cos(λ) + h ∙ cos(φ) ∙ cos(λ)
y_elipsoida = x_elipsa ∙ sin(λ) + h ∙ cos(φ) ∙ sin(λ)
z_elipsoida = z_elipsa + h ∙ sin(φ)

geodezyjne(φ, 0, h) → ECEF(x, z):
x = (n(φ) + h) ∙ cos(φ),
z = (n(φ) ∙ (1 – ε^2) + h) ∙ sin(φ).

Jeżeli chcemy obliczyć odległość do środka Ziemi dla danej szerokości geograficznej na wysokości h = 0 m, to mamy takie wzory:

x = n(φ) ∙ cos(φ),
z = n(φ) ∙ (1 – ε^2) ∙ sin(φ).

d – odległość do środka Ziemi.

Jeśli φ = 90°, to d = b.
Jeśli φ = 0°, to d = a.
Jeśli φ ≠ 0° i φ ≠ 90°, to d = sqrt(x^2 + z^2).

Dla 51° d ≈ 6365264,579 m ≈ 6365 km.
Wikipedia podaje średni promień Ziemi = 6371 km, więc używając WGS 84 uzyskujemy wynik różniący się o ≈ 6 km.

[negativum]

Możesz opisać jak ustalić pion?
Ponoć potrafili to już Sumerowie.

[neuroleptyk]

negativum napisał:

> Możesz opisać jak ustalić pion?
> Ponoć potrafili to już Sumerowie.

Proste i dobre przybliżenie to zawieszony stożkowy ciężarek na sznurku.

[negativum]

neuroleptyk napisał:

> negativum napisał:
>
> > Możesz opisać jak ustalić pion?
> > Ponoć potrafili to już Sumerowie.
>
> Proste i dobre przybliżenie to zawieszony stożkowy ciężarek na sznurku.
>

I tyle trzeba mając dwa punkty na Ziemi.
W podobny sposób Grecy określili promień Ziemi. Wymagało to synchronizacji czasu. Z mniejszą lub większą dokładnością.

Problem Stefana polega na ślepej wierze w matematykę. Dostanie jedno rozwiązanie.
Chemicy czy fizycy cieszą się ochłapami prawdopodobieństwa.

Znajdź mi elektron wokół protonu? Powodzenia życzę. W zależności od tego do tego potrzebujemy, określamy "coś" jako chmurę, albo paczkę, etc. Heisenberg wykazał, że skupiając się na jednej właściwości tracimy drugą (rozmywa się druga). W przeciwieństwie do Stefana, wiem że nic nie wiem. Patrzę na świat kierując się intuicją i rozumem.

Gatunki, które się nie kierowały, wyginęły. 99% gatunków, które na Ziemi istniało przestało istnieć. Nasz mózg ewoluował przez mld lat, tak by przeżyć, w czasach gdy nie było kondomów. Co będzie z ludzkością za dajmy na to 500 lat nie wiem. Może gatunek wyginie, a jego miejsce zajmą inteligentne pawiany?

[stefan4]

negativum:
> W podobny sposób Grecy określili promień Ziemi.

Tacy trochę egipscy Grecy: matematyk Eratosthenes z Aleksandrii.

negativum:
> Wymagało to synchronizacji czasu.

To robiło za niego Słońce. On założył tylko, że południe w Aleksandrii jest dokładnie wtedy, kiedy południe w Asuanie. Niewielki błąd wynikał z tego, że one nie leżą jednak na dokładnie tym samym południku, jak zakładał Eratosthenes.

Do reszty Twojego postu się nie odnoszę, bo nie łączy się on z żadnym tematem i sprawia wrażenie, jakby kot biegał Ci po klawiaturze naciskając klawisze to tu, to tam.

- Stefan

[neuroleptyk]

negativum napisał:

> I tyle trzeba mając dwa punkty na Ziemi.
> W podobny sposób Grecy określili promień Ziemi. Wymagało to synchronizacji czas
> u. Z mniejszą lub większą dokładnością.

Eratostenes miał kilka istotnych problemów:

1) Aleksandria i dzisiejszy Aswan nie są na tym samym południku, jest ≈ 3° różnicy,
2) Aswan nie jest dokładnie na zwrotniku raka, ≈ 0,5 ° różnicy.

Jeżeli założymy synchronizację pomiaru, to te kwestie nadal mają wpływ.

Przyjmujemy x,y,z z ECEF, tj. południk Greenwich ma y = 0.

Mamy układ współrzędnych kulistych:

x = r ∙ cos(φ) ∙ cos(λ),
y = r ∙ cos(φ) ∙ sin(λ),
z = r ∙ sin(φ).

Dla powierzchni kuli jednostkowej tj. r = 1:

x = cos(φ) ∙ cos(λ),
y = cos(φ) ∙ sin(λ),
z = sin(φ).

Dla λ = 0 mamy y = 0.

s – wektor dla Słońca w zenicie.
p – wektor interesującej nas pozycji.

p = <cos(φ_p) ∙ cos(λ_p), cos(φ_p) ∙ sin(λ_p), sin(φ_p)>
s = <cos(φ_s) ∙ cos(λ_s), cos(φ_s) ∙ sin(λ_s), sin(φ_s)>

Obliczamy iloczyn skalarny p i s, jest on oznaczony •, w odróżnieniu od mnożenia ∙.
Dla niezerowych wektorów a i b mamy a • b/(||a|| ∙ ||b||) = cos(θ), gdzie θ to kąt między wektorami. W przypadku naszego problemu θ to kąt zenitalny słońca.

||p|| = sqrt((cos(φ_p) ∙ cos(λ_p))^2 + (cos(φ_p) ∙ cos(φ_p))^2 + sin(φ_p)^2)
= sqrt(cos(φ_p)^2 ∙ cos(λ_p)^2 + cos(φ_p)^2 ∙ cos(φ_p)^2 + sin(φ_p)^2)
= sqrt(cos(φ_p)^2 ∙ (cos(λ_p)^2 + sin(λ_p)^2) + sin(φ_p)^2)
= sqrt( cos(φ_p)^2 + sin(φ_p)^2)
= 1

||s|| = 1 – tutaj podobnie jak dla p.

p • s/(1 ∙ 1) = cos(θ)
p • s = cos(θ)
0 < θ < π
acos(p • s) = θ

p • s = cos(φ_p) ∙ cos(λ_p) ∙ cos(φ_s) ∙ cos(λ_s) + cos(φ_p) ∙ sin(λ_p) ∙ cos(φ_s) ∙ sin(λ_s) + sin(φ_p) ∙ sin(φ_s)
= cos(φ_p) ∙ cos(φ_s) ∙ (cos(λ_p) ∙ cos(λ_s) + sin(λ_p) ∙ sin(λ_s) ) + sin(φ_p) ∙ sin(φ_s)
= cos(φ_p) ∙ cos(φ_s) ∙ cos(λ_s - λ_p) + sin(φ_p) ∙ sin(φ_s)

cos(θ) = cos(φ_p) ∙ cos(φ_s) ∙ cos(λ_s - λ_p) + sin(φ_p) ∙ sin(φ_s)

Mała uwaga: cos(α) = cos(-α), więc cos(λ_s - λ_p) = cos(-(λ_s - λ_p)) = cos(λ_p - λ_s).
Więc powyższy wzór ma często taką formę:

cos(θ) = sin(Φ) ∙ sin(δ) + sin(Φ) ∙ cos(δ) ∙ cos(h),
h – kąt godzinny,
h = λ_p - λ_s,
φ_s = δ – kąt deklinacji Słońca,
φ_p = Φ – szerokość geograficzna.

Przechodząc do kolejnej formuły:
d = r ∙ θ,
r = d/θ,
θ – kąt w radianach,
d – odległość po łuku,
r – promień.

Łącznie uzyskujemy taki wzór na promień.

r = d/acos(cos(φ_p) ∙ cos(φ_s) ∙ cos(λ_s - λ_p) + sin(φ_p) ∙ sin(φ_s))

Powiedzmy, że pozycja Słońca w zenicie zamiast w Aswan jest na zwrotniku raka.

Parametry:
r0 = 6371 km,
φ_s = 23,43°, λ_s = 33°,
φ_p = 31,2°, λ_p = 30°,
d = 909 km.

Wyniki:
r ≈ 6341 km,
abs((r0 - r)/r0) ≈ 0,0047,
θ ≈ 8,21°.

Parametry:
λ_s = λ_p = 30°,
wszystko inne takie samo jak wcześniej.

Wyniki:
r ≈ 6703 km,
abs((r0 - r)/r0) ≈ 0,0521,
θ ≈ 7,77°.

Widać wyraźnie pogorszenie dokładności.

To oczywiście zakłada synchronizację. Eratostenes nie miał takiej możliwości, więc prawdopodobnie porównał roczne minima kątów zenitalnych w obydwu miejscach i założył, że położenie punktów pomiarowych jest na tym samym południku, tj. λ_s = λ_p, więc λ_s _ λ_p = 0° lub λ_s _ λ_p = 0. Zaznaczę, że lepiej pracować w radianach i później w zależności od potrzeby przekonwertować na stopnie. Używając kalkulatora trzeba uważać, by użyć odpowiednich ustawień w zależności od miary kąta jakiej używamy. Jeśli funkcje trygonometryczne przyjmują radiany, to wprowadzenie wartości w stopniach skutkuje niemal pewnymi błędami.

Przyjmując λ_s = λ_p.

cos(θ) = cos(φ_p) ∙ cos(φ_s) ∙ cos(λ_s - λ_p) + sin(φ_p) ∙ sin(φ_s)
cos(θ) = cos(φ_p) ∙ cos(φ_s) ∙ cos(0) + sin(φ_p) ∙ sin(φ_s)
= cos(φ_p) ∙ cos(φ_s) + sin(φ_p) ∙ sin(φ_s)
= cos(φ_p - φ_s)

Więc dla 0 ≤ φ_p - φ_s ≤ π:

r = d/acos(cos(φ_p - φ_s)) = d/(φ_p - φ_s).

Więc przy założeniu, że punkty pomiarów leżą na tym samym południku, to musimy znać tylko odległość po łuku i różnicę kątów φ. Mały kąt zenitalny oznacza bardzo małą refrakcję. Eratostenes uzyskał φ_p - φ_s z różnicy minimalnych kątów zenitalnych w roku. Czyli dokonał pomiarów w czasie przesilenia letniego w Aleksandrii – wyznaczył tam minimum. Znał też minimum w miejscu studni na terenie dzisiejszego Aswan. Być może wysłał kogoś w okolice studni, by w tym samym dniu zanotował tamtejsze minimum kąta zenitalnego. Przynajmniej taka metodologia jest sensowna i pasuje do ograniczeń technologii tamtych czasów. Trzeba zaznaczyć, że starożytni nie znali wzorów na cosinus kąta zenitalnego, ale wiedzieli, że minimalny kąt jest w południe słoneczne, kiedy kąt godzinny = 0°.

[negativum]

Dokładność 5% jest bardzo dobrą dokładnością. Szczególnie jak na czasy antyczne.
W spektroskopii lantanowców współcześnie używany jest model Judd-Ofelt. Od 1962 roku. Tam przy dokładności większej niż 8% można mówić o cudzie.

Poczytaj sobie o założeniach tego modelu, to wyłysiejesz. Oczywiście były próby jego doprecyzowania. Ale prócz wrzucania kolejnych zmiennych/parametrów do modelu nie wiele wnosiły.

Jest to model, który na ludzki rozum nie ma nic wspólnego z logiką. Skoro tak lubisz formułki, to polecam Ofelta
1. G. S. Ofelt, J. Chem. Phys. 37, 511–520 (1962).

[neuroleptyk]

negativum napisał:

> Dokładność 5% jest bardzo dobrą dokładnością. Szczególnie jak na czasy antyczne

Z dzisiejszego punktu widzenia to słaba dokładność. Według kryterium znajomości rozmiaru z grubsza, jak przyjmiemy ≤ 5 % jako dobry wynik, to będzie to dobra dokładność.

Ktoś może się zastanawiać jak jest zdefiniowany średni promień Ziemi.
Metoda dyskowa do obliczania objętości brył obrotowych.

V = π ∙ ∫_l R(ξ)^2 dξ l → od a do b, R(ξ) to funkcja odległości punktów na powierzchni od osi ξ, czyli promień dysku.

Równanie elipsy x^2/a^2 + z^2/b^2 = 1

x^2/a^2 = 1 - z^2/b^2
x^2 = a^2 - a^2/b^2 ∙ z^2 ← funkcja R
V_sferoidy = π ∙ ∫ a^2 - a^2/b^2 ∙ z^2 dz od -b do b ← bo całkujemy względem z
= π ∙ (a^2 ∙ z - a^2/b^2 ∙ z^3/3)| od -b do b
= π ∙ (a^2 ∙ b - a^2 ∙ b/3 - (-a^2 ∙ b + a^2 ∙ b/3))
= π ∙ (a^2 ∙ b - a^2 ∙ b/3 + a^2 ∙ b - a^2 ∙ b/3)
= π ∙ (2 ∙ a^2 ∙ b - 2 ∙ a^2 ∙ b/3)
= π ∙ (6 ∙ a^2 ∙ b - 2 ∙ a^2 ∙ b)/3
= π ∙ (4 ∙ a^2 ∙ b)/3
= 4/3 ∙ π ∙ a^2 ∙ b

V_sferoidy = 4/3 ∙ π ∙ a^2 ∙ b

Dla kuli.
Równanie wyśrodkowanego okręgu x^2 + y^2 = r^2

y^2 = r^2 - x^2 ← funkcja R
V_kuli = π ∙ ∫ r^2 - x^3 dx od -r do r
= π ∙ (r^2 ∙ x - x^3/3)| od -r do r
= π ∙ (r^3 - r^3/3 - (- r^3 + r^3/3))
= π ∙ (r^3 - r^3/3 + r^3 - r^3/3)
= π ∙ (2 ∙ r^3 - 2 ∙ r^3/3)
= π ∙ (6 ∙ r^3 - 2 ∙ r^3)/3
= π ∙ (4 ∙ r^3)/3
= 4/3 ∙ π ∙ r^3

V_kuli = 4/3 ∙ π ∙ r^3

Średni promień sferoidy to promień kuli o tej samej objętości.

V_kuli = V_sferoidy
4/3 ∙ π ∙ r^3 = 4/3 ∙ π ∙ a^2 ∙ b
r^3 = a^2 ∙ b
r = cbrt(a^2 ∙ b)

Więc według WGS 84 dla Ziemi uzyskujemy średni promień ≈ 6371000,79 m.

[neuroleptyk]

neuroleptyk napisał:

Korekty.

>x^2 = a^2 - a^2/b^2 ∙ z^2 ← funkcja R

x^2 = a^2 - a^2/b^2 ∙ z^2 ← funkcja R^2

>y^2 = r^2 - x^2 ← funkcja R

y^2 = r^2 - x^2 ← funkcja R^2

[negativum]

neuroleptyk napisał:

> negativum napisał:
>
> > Dokładność 5% jest bardzo dobrą dokładnością. Szczególnie jak na czasy an
> tyczne
>
> Z dzisiejszego punktu widzenia to słaba dokładność. Według kryterium znajomości
> rozmiaru z grubsza, jak przyjmiemy ≤ 5 % jako dobry wynik, to będzie to dobra
> dokładność.

Jeśli chodzi o wyznaczanie sił oscylatora dla przejść zabronionych, regułami wyboru. To jest to naprawdę sukces.
ze coś takiego idzie policzyć. Teoretycznie powinny wynosić 0.000000000000000000000000…

J. H. V. Vleck, J. Phys. Chem. 41, 67–80 (1937). Widziano coś, ale nie zgadzało się to z teorią i dalej nie zgadza.

Judd był eksperymentem
B. R. Judd, Phys. Rev. 127, 750–761 (1962).

Ofelta już tu cytowałem (teoretyk).

I od 1937 roku cisza. Są małe poprawki, ale nic już nie wnoszące. Za 12 lat będzie 100 lat. Jak na rozwój fizykochemii to wieczność. Lantanowce i aktynowce trzymają się twardo.
Wielu próbowało swoich funkcji trygonometrycznych. Polegli.

Lantanowce to RE (coś o co zabija się świat). Można na nich konstruować lasery militarne. Są jak husaria. Mało ich ale dzielnych. :)

[stefan4]

negativum:
> Dokładność 5% jest bardzo dobrą dokładnością. Szczególnie jak na czasy antyczne

A to jest uwaga do czego?

Jeśli na pole mającej nastąpić rzezi zamiast 1000 zbrojnych zakapiorów stawiało się ich tylko 950, to nawet starożytni bez trudu umieli się tego doliczyć. Co niekoniecznie powstrzymywało rzeź...

Ale jeśli ta uwaga dotyczy stwierdzenia Neuoroleptyka

neuroleptyk:
> Aswan nie jest dokładnie na zwrotniku raka, ≈ 0,5 ° różnicy

to chyba pomyliłeś stopnie z procentami i cyfry po przecinku z cyframi przed przecinkiem. Błąd 0.5° w długości geograficznej to nie 5% tylko 0.14%. Błąd 0.5° w szerokości geograficznej to nie 5% tylko 0.28%.

- Stefan

[stefan4]

negativum:
> Możesz opisać jak ustalić pion?

neuroleptyk:
> Proste i dobre przybliżenie to zawieszony stożkowy ciężarek na sznurku.

To zależy, co będziemy rozumieć przez ,,pion'': czy kierunek ku środkowi masy Ziemi, czy kierunek prostopadły do geoidy. Różnica między nimi będzie wynosiła   φ−θ   wg oznaczeń na Twoim rysunku.

A gdyby Ziemia była pełnym torusem (czyli obwarzankiem z dziurką, z równomiernym rozkładem ciasta), to ciężarek na sznurku wskazywałby środek pustego miejsca w dziurce. W szczególności, istniałyby miejsca, gdzie ciężarek wychylałby się ku ,,horyzontowi'' oraz inne miejsca, gdzie pionowo w górę.

To pokazuje, że kiedy dyskutujemy o Wszechświecie, który nie jest nam tak znany jak Ziemia, to pojęcia ,,środka'' czy ,,pionu'' wymagają starannego przedefiniowania. Kto o nich rozprawia bez podania nowych definicji, ten majaczy.

- Stefan

Trzymaj poziom… :)

[negativum]

stefan4 napisał:


> To pokazuje, że kiedy dyskutujemy o Wszechświecie, który nie jest nam tak znany
> jak Ziemia, to pojęcia ,,środka'' czy ,,pionu'' wymagają starannego przedefini
> owania. Kto o nich rozprawia bez podania nowych definicji, ten majaczy.
>
> - Stefan
>

[neuroleptyk]

stefan4 napisał:

> > Proste i dobre przybliżenie to zawieszony stożkowy ciężarek na sznurku.
>
> To zależy, co będziemy rozumieć przez ,,pion'': czy kierunek ku środkowi masy Z
> iemi, czy kierunek prostopadły do geoidy. Różnica między nimi będzie wynosiła
>   φ−θ   wg oznaczeń na Twoim rysunku.

Jeszcze są piony grawitacyjne i taki wskazuje ciężarek na sznurku.
Na sferoidzie WGS 84 te różne piony nie będę się pokrywały, na geoidzie piony grawitacyjne są z definicji normalne do jej powierzchni.
Odchylania od sferoidy WGS 84 dla EGM96 są rzędu ± 100 m.



> A gdyby Ziemia była pełnym torusem (czyli obwarzankiem z dziurką, z równomierny
> m rozkładem ciasta), to ciężarek na sznurku wskazywałby środek pustego miejsca
> w dziurce. W szczególności, istniałyby miejsca, gdzie ciężarek wychylałby się
> ku ,,horyzontowi'' oraz inne miejsca, gdzie pionowo w górę.

Trzeba brać pod uwagę, że F_grawitacji = G ∙ m1 ∙ m2/r^2, więc środek masy nie gwarantuje, że dla każdej geometrii z jednorodną gęstością ciężarek będzie wskazywać na niego. Trzeba całkować numerycznie żeby znaleźć wektor dla danego punktu. Wpierw jednak należy ten problem rozwiązać dla Ziemi sferoidy, torus będzie na deser.