Geometria Zadania

[Gość: Mateusz]

Mam problem z kilkoma zadaniami. Wiem że dla niektórych to pestka ale mi
spełniają spore trudności. Bardzo proszę o ich rozwiązanie i z góry dziękuję.
:)) Oto one:
1. Długość odcinków AB, BC, BD i CD spełniają warunki:
AB=AC+BC oraz BC+BD=CD. Uzasadnij, że punkty A,B,C,D leżą na jednej prostej.
2. Uzasadnij, że w dowolnym pięciokącie wypukłym długość każdego boku jest
mniejsza od sumy długości pozostałych boków.
3. Uzasadnij, że suma odległości dowolnego punktu płaszczyzny od wierzchołków
danego czworokąta jest większa od połowy obwodu tego czworokąta.
4. Uzasadnij, że suma odległości punktu przecięcia przekątnych czworokąta od
wierzchołków czworokąta jest mniejsza od sumy odległości dowolnego innego
punktu płaszczyzny od wierzchołków tego czworokąta.
5. Punkt X jest dowolnym punktem leżącym wewnątrz równoległoboku ABCD.
Uzasadnij, że:
AX<BX+CX+DX
6. W trójkącie równoramiennym ABC, AC=BC, punkt D jest spodkiem wysokości
trójkąta poprowadzonej z wierzchołka C, a punkt E jest środkiem boku BC i
CD=DE. Udowodnij, że trójkąt CDE jest równoboczny.
7. W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę jest równa
odcinkowi, który łączy środek podstawy ze środkiem ramienia. Podstawa trójkąta
ma długość a. Jaką długość ma wysokość opuszczona na podstawę.
8. W trójkącie ABC poprowadzono środkową CD. Wierzchołek A połączono ze
środkiem E środkowej CD i przedłużono go aż do przecięcia w punkcie F z bokiem
CB. oblicz stosunek CF:FB.

[Gość: Ania]

1) z warunku pierwszego wynika, że punkty A, B i C leżą na jednej prostej
(narysuj to sobie, punkt C pomiędzy A i B)
a z warunku drugiego, że B, C i D leżą na jednej prostej (D między B i C)
zatem wszystkie punkty A, B, C i D leżą na jednej prostej
2) narysuj pięciokąt, oznacz wierzchołki po kolei A, B, C, D i E
narysuj odcinki AC i AD, pięciokąt został podzielony na 3 trójkąty
wykorzystaj nierówność trójkąta (każdy bok jest mniejszy niż suma pozostałych
dwóch:
AC<AB+BC, AD<AE+DE, CD<AC+AD
podstaw dwie pierwsze nierówności do trzeciej:
CD<AC+AD<(AB+BC)+(AE+DE)
i mamy, że każdy bok pięciokąta jest mniejszy niż suma pozostałych

[Gość: Ania]

3) również należy wykorzystać nierówność trójkąta
czworokąt ma wierzchołki A, B, C i D a punkt nazwiemy X
AX+BX>AB, BX+CX>BC, CX+DX>CD, AX+DX>AD
następnie dodajemy nierówności stronami:
AX+BX+BX+CX+CX+DX+AX+DX>AB+BC+CD+AD
dzielimy przez 2 i mamy, że suma odległości od punktu X jest większa
od połowy obwodu
5) kolejny raz używamy nierówności trójkąta, dodatkowo również
właściwości równoległoboku.
tworzymy nierówności:
CX+DX>CD=AB i BX+AB>AX
podstawiamy pierwszą nierówność do drugiej i otrzymujemy:
BX+(CX+DX)>AX