problem

[Gość: matematyk]

Uzasadnij , ze jesli miary katow trojkata sa trzema kolejnymi wyrazami ciagu
geometrycznego o ilorazie 2 to miedzy dlugosciami bokow trojkata zachodzi
zwiazek 1/a=1/b + 1/c

nie wiem jak ruszyc z tym zadaniem prosze o rozwiazanie

[Gość: matematyk]

pomozcie prosze!!

Rozwiązanie geometryczne...

[ellipsis]

Rozważmy trójkąt ABC, w którym
kąt CAB ma miarę pi/7,
kąt ABC ma miarę 2pi/7,
kąt BCA ma miarę 4pi/7.
Oznaczmy
|BC| = a,
|CA| = b,
|AB| = c.
Przedłużmy odcinek BC w kierunku za punkt C i odłóżmy odcinek BD długości b.
Wtedy trójkąt ABD jest równoramienny, więc
kąt DAB ma miarę 2pi/7,
kąt BDA ma miarę 3pi/7.
Zatem skoro trójkąt ACD także jest równoramienny, to
kąt ACD ma miarę 3pi/7,
kąt DAC ma miarę pi/7.
Z twierdzenia sinusów dla trójkąta ABC mamy:
a / sin (pi/7) = b / sin (2pi/7) = c / sin (4pi/7),
wobec czego
a/c = sin (pi/7) / sin (4pi/7).
Z twierdzenia sinusów dla trójkąta ACD mamy:
(b-a) / sin (pi/7) = b / sin (3pi/7),
wobec czego
1 - a/b = sin (pi/7) / sin (3pi/7).
Z własności funkcji sinus mamy
sin (3pi/7) = sin (4pi/7).
Wobec tego ostatecznie
1/a - 1/b - 1/c = 1/a * (1 - a/b - a/c) =
= 1/a * (sin (pi/7) / sin (3pi/7) - sin (pi/7) / sin (4pi/7)) = 0.
To kończy dowód! :)

Rozwiązanie geometryczne...

[ellipsis]

Rozważmy trójkąt ABC, w którym
kąt CAB ma miarę pi/7,
kąt ABC ma miarę 2pi/7,
kąt BCA ma miarę 4pi/7.
Oznaczmy
|BC| = a,
|CA| = b,
|AB| = c.
Przedłużmy odcinek BC w kierunku za punkt C i odłóżmy odcinek BD długości b.
Wtedy trójkąt ABD jest równoramienny, więc
kąt DAB ma miarę 2pi/7,
kąt BDA ma miarę 3pi/7.
Zatem skoro trójkąt ACD także jest równoramienny, to
kąt ACD ma miarę 3pi/7,
kąt DAC ma miarę pi/7.
Z twierdzenia sinusów dla trójkąta ABC mamy:
a / sin (pi/7) = b / sin (2pi/7) = c / sin (4pi/7),
wobec czego
a/c = sin (pi/7) / sin (4pi/7).
Z twierdzenia sinusów dla trójkąta ACD mamy:
(b-a) / sin (pi/7) = b / sin (3pi/7),
wobec czego
1 - a/b = sin (pi/7) / sin (3pi/7).
Z własności funkcji sinus mamy
sin (3pi/7) = sin (4pi/7).
Wobec tego ostatecznie
1/a - 1/b - 1/c = 1/a * (1 - a/b - a/c) =
= 1/a * (sin (pi/7) / sin (3pi/7) - sin (pi/7) / sin (4pi/7)) = 0.
To kończy dowód! :)

[Gość: Joa]

Miary katów trójkąta muszą być A= p/7.B=2p/7,c=4p/7 gdzie p=pi.Z tw sinusów mamy
a/sinA=b/SinB==c/sin C<=>
a/sinA=b/sin2A=c/sin4A<=>a/sinA=b/2sinAcosA=c/4sinAcosAcos2A
<=>a=b/2cosA=c/4cosAcos2A <=>b=2acosA i c=4acosAcos2A
1/a=1/b + 1/c<=> 1/a=1/2acosA +1/4acosAcos2A <=> 1=1/2cosA + 1/4cosAcos2A<=>
1=(2cos2A+1)/4cos Acos2A
jeśli ta równosc zachodzi dla a=p/7 to zadanie jest skończone,jeśli nie- teza
jest fałszywa. Przesledź dokładnie przekształcenia, bo może jest gdzie bład, ale
idea wydaje mi sie być sluszna.

[pamusz]

Wyrażenie otrzymane przez Joa można przedstawić w równoważnej postaci :
2cos2A(2cosA-1)=1 po podstawieniu A=pi/7 otrzymujemy (kalkulatorem)wartość
wyrażenia z lewej strony L=1,0000000022501,zas P=1 . Można więc przyjąć,że
praktycznie związek 1/a=1/b +1/c zachodzi.Nie wiem, czy na poziomie
elementarnym jest inna metoda niż tablicowe określenie funkcji kata
pi/7=25st.42'51,43''.

[Gość: Joa]

Bardzo pomysłowe! Jak sie wpada na takie pomysły?Idea: znaleźć trójkąt zbudowany
tylko ze znanych elementów? W całym rozumowaniu nie potrzeba nawet używać
symbolu pi/7 tylko oznaczyć katy x,2x,4x, z uwagą sin4x=sin3x, (co upraszcza zapis)

[ellipsis]

Gość portalu: Joa napisał(a):
> Bardzo pomysłowe! Jak sie wpada na takie pomysły?
Mam często to samo odczucie czytając Twoje rozwiązania, zawierające
nieoczekiwaną ideę, podczas gdy ja potrafię podać jedynie rozwiązanie analityczne...
Zadanie było proste - chcemy wykazać, że
1/a = 1/b + 1/c = (b+c) / (bc).
Niestety, odcinek o długości b+c nie występuje w naturalny sposób na rysunku...
Za to po przekształceniu dowodzonej równości do postaci
1/c = 1/a - 1/b = (b-a) / (ab)
widzimy długość b-a. Dalej już tylko należy znaleźć trójkąt o bokach b-a i a
lub b-a i b...
PS. Prawdę pisząc rozwiązanie tego problemu zajęło mi znacznie więcej czasu...
Najpierw rysowałem wiele różnych dwusiecznych, otrzymując wiele trójkątów
równoramiennych (i nawet jeden romb!) i wiele ciekawych zależności między a, b i
c. W którymś momencie dostałem trójkąt o bokach x, y i z proporcjonalnych do a,
b i c, którego boki spełniały zależność
1/x = 1/y + 1/z.
Wtedy wystarczyło już tylko ,,zmazać" niepotrzebne linie...

[Gość: Joa]

Dziękuję! Bardzo mi sie to podobało! Pozdrawiam serdecznie.