proszę o pomoc

[Gość: radek]

witam

proszę o pomoc w znalezieniu ekstrema lokalnego i monotoniczności
funkcji

f(x)=x/2+2/x

z góry dziękuję za pomoc

[Gość: kolega]

Dla a,b eR+zachodzi nierówność a/b +b/a >=2, prz czym równość zachodzi, kiedy a=b.
jezeli x e R+ i f(x)=x/2 + 2/x , to f(2)=2= minimum i na przedziale (0,2)funkcja
maleje, a na przedziale 2,+oo) - rośnie. Podobnie rozpatrz funkcje na zbiorze R-
- tam f(-2)jest maksimum funkcji.
Jeżeli znasz pochodne,to f'(x)=1/2 - 2/x^2 ;x<>0 f'(x)=0<=>x=2 v x=-2,
f'(x)<0<=>x e(-2,0)U(0,2) i f'(x)>0<=>x e(-oo,-2)U(2,+oo). Wnioski jak wyzej.

Monotoniczność bez pochodnych...

[ellipsis]

Rozważmy dowolne x, t <> 0. Wtedy
f(x) - f(t) = x/2 + 2/x - t/2 - 2/t = (x^2 t + 4 t - x t^2 - 4 x) / (2xt) =
= [xt*(x-t) - 4 (x-t)] / (2xt) = (xt-4) (x-t) / (2xt).
Wobec tego:
* jeżeli t < x <= -2, to xt - 4 > 0, x - t > 0, 2xt > 0 i ostatecznie
f(x) - f(t) > 0;
* jeżeli -2 <= t < x <0, to xt - 4 < 0, x - t > 0, 2xt > 0 i ostatecznie
f(x) - f(t) < 0;
* jeżeli 0 < t < x <= 2, to xt - 4 < 0, x - t > 0, 2xt > 0 i ostatecznie
f(x) - f(t) < 0;
* jeżeli 2 <= t < x, to xt - 4 > 0, x - t > 0, 2xt > 0 i ostatecznie
f(x) - f(t) > 0.
Wobec tego:
* funkcja f jest ściśle rosnąca w przedziałach (-oo,2] i [2,+oo);
* funkcja f jest ściśle malejąca w przedziałach [-2,0) i (0,2].
Ponadto:
* funkcja f ma maksimum lokalne w punkcie -2;
* funkcja f ma minimum lokalne w punkcie 2.