trygonometria

[republican]

Udowodnic(bez excelow i innych puterow) ze:
cos(pi/7) - cos (2pi/7) +cos(3pi/7) =1/2

[Gość: grzesiek]

[Gość: grzesiek]

(poprzednio za wcześnie mi się wysłało).

Narysujmy siedmioramienną gwiazdę, tak aby jedno z ramion było skierowane do
góry. Nazwijmy wierzchołki ramion od A (górny) do G zgodnie z kierunkiem zegara.
Nazwijmy H jeszcze jeden punkt - środek odcinka C-F.
Jeszcze niech narysowane linie (np. A-D) mają długość 1. Zauważmy że:
1) Linia C-F jest pozioma,
2) Wierzchołek A znajduje się nad środkiem linii C-F, czyli nad punktem H,
3) Kąty wierzchołkowe wynoszą pi/7 kazdy.
Jeśli teraz zapiszemy długość odcinka F-H (=1/2) jako rzut poziomy drogi
F-B-E-A, to otrzymamy równanie z zagadki.

[republican]

Gość portalu: grzesiek napisał(a):

> (poprzednio za wcześnie mi się wysłało).
>
> Narysujmy siedmioramienną gwiazdę, tak aby jedno z ramion było skierowane do
> góry. Nazwijmy wierzchołki ramion od A (górny) do G zgodnie z kierunkiem
zegar
> a.
> Nazwijmy H jeszcze jeden punkt - środek odcinka C-F.
> Jeszcze niech narysowane linie (np. A-D) mają długość 1. Zauważmy że:
> 1) Linia C-F jest pozioma,
> 2) Wierzchołek A znajduje się nad środkiem linii C-F, czyli nad punktem H,
> 3) Kąty wierzchołkowe wynoszą pi/7 kazdy.
> Jeśli teraz zapiszemy długość odcinka F-H (=1/2) jako rzut poziomy drogi
> F-B-E-A, to otrzymamy równanie z zagadki.
Swietne, gratuluje.
pomyslalem tylko, jak narysowac te gwiazde ale tu puter google) pomogl:
mathworld.wolfram.com/Heptagon.htmlpozdr
R

[Gość: uważny]

Zadanie można rozwiązac bez "podpórki" geometrycznej.Dana rowność jest
równowazna nastepujacej:(obie strony mnozymy przez 2sin(p/7), gdzie p=pi)

2sin(p/7)cos(p/7)-2sin(p/7)cos( 2p/7)+2sin(p/7)cos(3p/7)=sin(p/ 7)

L=sin(2p/7)-[sin(3p/7)-sin(p/7) ]+[sim(4p/7)-sin(2p/7)]=sin(4p/ 7)-sin(3p/7)+
+sin(p/7)=2cos(7p/14)sin(p/14)+ sin(p/7)=2cos(p/2)cos(p/14)+sin (p/7)=0+sin(p/7)
=sin(p/7)=P a więc L=P a to znaczy,zżei dany zwiazek zachoszi
( cos(p/2)=0)

[republican]

Gość portalu: uważny napisał(a):

> Zadanie można rozwiązac bez "podpórki" geometrycznej.Dana rowność jest
> równowazna nastepujacej:(obie strony mnozymy przez 2sin(p/7), gdzie p=pi)
>
> 2sin(p/7)cos(p/7)-2sin(p/7)cos( 2p/7)+2sin(p/7)cos(3p/7)=sin(p/ 7)
>
> L=sin(2p/7)-[sin(3p/7)-sin(p/7) ]+[sim(4p/7)-sin(2p/7)]=sin(4p/ 7)-sin(3p/7)+
> +sin(p/7)=2cos(7p/14)sin(p/14)+ sin(p/7)=2cos(p/2)cos(p/14)+sin (p/7)=0+sin
(p/7
> )
> =sin(p/7)=P a więc L=P a to znaczy,zżei dany zwiazek zachoszi
> ( cos(p/2)=0)

dziekuje
r