Szachownica i kwadraty

[nelsonek]

Ile kwadratów można zobaczyć na szachownicy o wymiarach n x n

[re4ct0r]

Na szachownicy o wymiarach n x n mozna zobaczyc M kwadratow gdzie
M=1^2+2^2+3^2+...+n^2
---
znak "^" oznacza potege.

[Gość: Kujonik]

Na normalnej szachownicy (8x8)można się doliczyć 89440 kwadratów. Obaj moi
poprzednicy maja rację, ale wzor uważnego jest bardziej efektywny.

[Gość: Uważny]

1/6 n(n+1)(2n+1)

[Gość: Kama]

Ja jeszcze widzę dodatkowe kwadraty wyznaczone przez przekątne - mam taką
szachownicę.Nelsonku! Mam też je liczyć?

[nelsonek]

a czy NORLMALNA szachownica posiada przekatne? WYDAJE mi sie ze nie:)
ale z drugiej strony to ciekawe. wiec policze rowniez:)
pozdrawiam

[nelsonek]

No a teraz wariacja na temt:
czy liczba kwadratow, jakie mozna zobaczyc na szachownicy 2005 x 2005 jest wieksza niz liczba jednostkowych szescianow w kostce 2005 x 2005 x 2005?
i tok rozumowania prosze:)

[re4ct0r]

Kujonik, masz racje moj wzor nie jest zbyt efektywny (co nie zmienia faktu ze
jest poprawny), bo nie spedzilem nad jego wymyslaniem zbyt duzo czasu... Jest
to tak jakby wzor Uwaznego rozlozony na czesci pierwsze;]
---
A teraz odpowiedz na pytanie o kwadraty i szesciany:
Wystarczy rozwiazac nierownosc korzystajac ze wzoru Uwaznego (dzieki Uwazny:D):
(n*(n+1)(2*n+1))/6<n^3
z ktorej wychodzi ze ilosc jednostkowych szescianow jest wieksza od ilosci
kwadratow na szachownicy dla kazdego n>1 (dla n=1 jest taka sama:), a wiec...
wlasciwie na pytanie juz odpowiedzialem...
Na upartego mozna to tez obliczyc... dla n=2005:
Ilosc kwadratow na szachownicy = 2688727055
Ilosc jednostkowych szescianow = 8060150125

[Gość: Kujonik]

Liczba sześcianików jest większa o 5 371 423 070, ale takie zadanie po podaniu
wzoru przez uwaznego jestlekko niepowazne - czysta arytmetyka.
Ciekawsze jest zadanie kamy : ile jest tych kwadratów "nienormalnych"To troche
trudniejsz, niż Twoje.

[jamaska]

hmmmm.......a po prostu n do kwadratu?

[re4ct0r]

Jamaska: oprocz tych "malych kwadracikow" sa jeszcze np. wieksze kwadraty
zawierajace 4 male;] itd...
---
A co do tych nie normalnych kwadratow... To moze ktos wymysli wzor na ilosc
wszystkich kwadratow ktorych wierzcholki znajduja sie na przecieciach odcinkow
tworzacych szachownice (nie tylko te male, wieksze i po przekatnych), to jest
dopiero HARDCORE;]

[Gość: Uważny]

Oto wzory na liczbę kwadratów, którycch boki pokrywaja przekątne małych
kwadratów szachownicy o wymiarach n x n
n=2k =>S(n) = k(2k-1)(2k+1)/3;
n=2k+1=>S(n)= 2k(k+1)(2k+1)/3
Liczba wszystkich kwadratów o których mówi re4ct0r jest stosunkowo prosto
obliczalna dla konkretnego n, ale wzór ogólny nie jest możliwy, bo jest rózny
dla roznych n. Już dla przekątnych sa dwa wzory - dla nowych typów kwadratów,
np o boku równym 5, będzie kilka wzorow zależnyc od podzielności n przez 5
Same rachunki sa dosyc żmudne, ale wykonalne.

Rozwinięte zadanie Nelsonka

[Gość: Kama]

Duży sześcian o wymiarach 10x10x10 jest zbudowany z 1000 małych ponumerowanych
sześcianików o krawedzi 1. Ile róznych prostopadłościanów o wymiarach 1x2x3, o
wierzchołkach wyznaczonych przez szwścianiki, ukrytych jest w
duzum.Prostopadłosciany różniące sie przynajmniej jednym numerem uzytego
sześcianuka są rózne.

[jamaska]

oki, jasne ;-)

[nelsonek]

A co mi tam. Pociagnijmy dalej. A ile prostokatow mozna zobaczyc na szachownicy n x n?

[Gość: Uwazny]

{[n(n+1)]^2}/4
Masz i sprawdź, czy ci zadziała. Zastosuj indukcję.Odsapnij!

[Gość: Kama]

Uważny! Możesz zobaczyć ile chcesz, bo nelsonek jest mało precyzyjny. Twój wzór
jest dobrydla istmiejacych kwadratów, ale nie wiadomo, czy nelsonek o tum
pomyślał.

[nelsonek]

ze co? o czym mowisz? z tego co mi wiadomo to kazdy kwadrat jest prostokatem.

[Gość: Kama]

Ale nie napisałeś, czy chodzi o prostokąty wyznaczone przez boki kwadratów, czy
np przekątne. Chodzi o precyzję sformułowań, a nie podważanie tego,że kwadrat
jest prostokątem. Nic nie mówisz o przedstawianych Ci wzorach, tylko suniesz z
nowymi zadaniami.Trochę wyluzuj!

[nelsonek]

A co mam mowic o nowych wzorach? Po co? Czy na tym forum istnieje obowiazek komentowania kazdego wzoru? I czy na tym forum istnieje obowiazek rozwiazywania kazdej nowej lamiglowki/zadania? A moze mam pytac kogos o opinie do zadania a nstepnie dopiero je publikowac?

Pozdrawiam

[Gość: Kujonik]

nelsonek napisał:
< A co mam mowic o nowych wzorach? Po co?
Jesli dałeś zadanie do rozwiązania, to wypada poinformowac rozwiązujacych, czy
ich odpowiedź jest poprawna, albo zastrzec od poczatku,że odpowiedzi nie znasz
i sam czekasz na opinie innych. Rozpoczynający wątek ma pewne zobowiązania w
stosunku do chcących ten wątek rozwijać.

[nelsonek]

Przepraszam, ze osmielam sie zapytac: czy to obowiazek komentowac czyjes odpowiedzi? Skoro jestes lamiglowkowiczem (z postow wnioskuje, ze uzdolnionym) to powinienes wiedziec czy odpowiedz jest poprawna czy nie. zreszta co do wzorow opinie na ich temat pojawily sie. I niekoniecznie musza one ochodzic od autora watku. Ciekawi mnie jeszcze jedna rzecz: skoro wkurzysz sie na kogos (niech bedzie, ze na mnie) to przestaniesz rozwiazywac zagadki/zadania podane przeze mnie?
Ciekawe...

[re4ct0r]

Kama zadanie brzmi: "Ile prostokatow mozna zobaczyc na szachownicy n x n?" i
jezeli czlowiek wie jak wyglada szachownica, to wie takze ze nie ma na niej
przekatnych... Nelsonek pyta ile mozna zobaczyc prostokatow, a jak mozesz
zobaczyc prostakat utworzony z przekatnych ktorych nie widac (bo poprostu na
szachownicy ich nie ma)?

[Gość: Kama]

Była juz o tym mowa. Na szachownicy o wymiarach n x n jest (n+1)^2 wierzchólków
kwadratów jednostkowych. Wierzchołki te wyznaczaja nowe figury, m.in.
prostokąty, a wśród nich i takie, których boki nie pokrywaja sie z bokami
kwadracików. Takich prostokątów jest znacznie więcej niż tych "normalnych"
utworzonych z pełnych kwadratów jednostkowych.
Mam szachownicę, na kórej są zaznzczone przekatne i środek każdego pola.

[nelsonek]

forum.gazeta.pl/forum/72,2.html?f=514&w=23388343&a=23390507