Teoria katastrof

[innppp]

Czy ktos wie jakie sa losy teorii katastrof?
Czy rozwija sie, czy znalazla jakies zastosowania, czy
ja uogolniono?

Pozdrawiam
i.

[Gość: Stefan]

innppp:
> Czy ktos wie jakie sa losy teorii katastrof?

Wydaje mi sie, ze jak wybuchla i zachwycila swiat, to
taka juz
pozostala. Ale moge sie mylic.

- Stefan

[lisa2]

A tak przy okazji, to co to jest (ta teoria katastrof)?

lisa2

[Gość: Stefan]

lisa2:
> A tak przy okazji, to co to jest (ta teoria katastrof)?

Teoria zjawisk nieciaglych. Pochodzi sprzed 30 lat, dyrygentem jest Rene Thom,
matematyk francuski. Z matematycznego punktu widzenia stanowi ona czesc
topologii rozniczkowej.

W wielkim uproszczeniu mozna tak powiedziec. Wiele zjawisk obserwowanych przez
nas jako nieciagle (katastrofy) wynika z ograniczonego (np. nizej wymiarowego)
spojrzenia na jakies zjawisko ciagle. Naiwny przyklad: histereza. Narysuj
sobie w klasycznym ukladzie wspolrzednych linie krzywa, ktora idzie w prawo i w
gore; nastepnie zawraca i idzie w lewo i w gore; nastepnie znowu zawraca i idzie
w prawo i w gore. Teraz wyobraz sobie, ze pozioma os to czas. Jesli poruszamy
sie wzdluz tej osi w prawo a jakas mierzona wielkosc zmienia sie wg narysowanej
krzywej, to w pewnym momencie MUSI nastapic nieciagla zmiana jakosciowa --
przeskok w inne miejsce tej krzywej, bo czas nie moze zaczac sie cofac, zeby nas
puscic po tej krzywej w lewo. A wiec obserwujemy nieciaglosc ale jest to efekt
ograniczonego spojrzenia na zjawisko ciagle.

Zaskakujacym osiagnieciem bylo poklasyfikowanie wszystkich mozliwych
nieciaglosci tego rodzaju w przypadku, gdy zamiast 1-wymiarowej krzywej
dopuscimy powierzchnie 4-wymiarowa. Okazalo sie, ze z dokladnoscia do lokalnego
wyginania (bez rozrywania i sklejania) jest tylko 7 roznych ,,katastrof''
4-wymiarowych. Dalo to nadzieje na poklasyfikowanie wszelkich zjawisk
nieciaglych. O ile wiem, ta nadzieja sie nie spelnila, to znaczy podobnej
klasyfikacji dla katastrof wyzej wymiarowych nie dorobiono sie. Ale w tej
sprawie moge sie dramatycznie mylic.

Thom i jego chlopcy podali wiele przykladow zjawisk prowadzacych do nieciaglosci
opisywalnych (przynajmniej w zasadzie) przez teorie katastrof. Oczywistym
zrodlem takich przykladow jest fizyka i inne nauki ,,twarde''. Ale
najglosniejsze byly przyklady dotyczace swiata zywego (np. nieciaglych
,,decyzji'' rozwojowych komorki jajowej po zaplodnieniu), lub psychologii czy
etologii (teorii zachowania zwierzat). Dlatego wielu naukowcow z
najrozmaitszych dziedzin studiowalo teorie katastrof z wypiekami na twarzach i
probowalo je stosowac np. w badaniu jezykow naturalnych lub analizie tekstow
literackich. Oczywiscie zawsze byli tacy, ktorzy wysmiewali probe zrobienia
,,matematycznej teorii wszystkiego''. Sam Thom stal sie w koncu bardziej
filozofem niz matematykiem.

- Stefan

[lisa2]

Dziękuję za wyjaśnienie. Trochę za trudne dla mnie.

lisa2

[innppp]

Dziekuje za opinie. Przejrzalem dokonania TK w fizyce,
rzeczywiscie
nie wygladaja najlepiej. Chyba jednak TK na razie
pozostaje
niezbyt plodna. Rene Thom to chyba jednak bardzo
porzadny
matematyk, w koncu medal Fieldsa to jest cos.
Filozofem zas, zostal chyba dopiero na starosc.

Pozdrawiam
i.

[Gość: thrundui]

> Dziekuje za opinie. Przejrzalem dokonania TK w fizyce,
> rzeczywiscie nie wygladaja najlepiej.

a jakie sa zastosowania w fizyce jakiejkolwiek teorii jakosciowej?
mam wrazenie, ze nie wielkie
nawet jakosciowe rownania rozniczkowe nie wydaja sie byc bardzo uzyteczne.
wiekszosc zastosowan jakie widzialem sprowadzalo sie bardziej lub mniej
bezposrednio do pokazania, ze model nie ma sensu lub jakis tam sens ma.

[innppp]

Rzeczywiscie, o takie nie tak latwo. Pewnym przykladem
(w potocznym rozumieniu) moze byc klasyfikacja przejsc
fazowych (I,II,..., rodzaju).

Tylko, co to jest teoria jakosciowa?
Jakby mnie ktos zapytal, to powiedzialbym najpierw, ze
jest
to teoria bez modelu matematycznego.

Jesli dobrze rozumiem, teoria katastrof
sluzyla klasyfikacji osobliwych zachowan rownan
rozniczkowych. Moge sobie wyobrazic, ze taka
klasyfikacja moze byc pozyteczna dla zbadania
jak bedzie wygladal dany uklad (np. ekonomia) po
katastrofie. Zastosowania w fizyce, ktore napotkalem
dotyczyly zdaje sie czarnych dziur, czy tez kolapsow.

Pozdrawiam

[Gość: thrundui]

> Jesli dobrze rozumiem, teoria katastrof
> sluzyla klasyfikacji osobliwych zachowan rownan
> rozniczkowych.

wiec teoria katastrof jest zwyklym poklasyfikowaniem bifurkacji?
tam tez ilosc mozliwych bifurkacji jest skonczona. I chyba spodkalem sie gdzies z
ich wyliczeniem, ktorych ilosc oscylowala wokol 10.

[Gość: Pulbek]

Gość portalu: thrundui napisał(a):

> wiec teoria katastrof jest zwyklym poklasyfikowaniem
> bifurkacji?

Tak a propos, co to wlasciwie jest bifurkacja? Zawsze
chcialem sie dowiedziec...

Pulbek.

[Gość: Stefan]

Pulbek:
> Tak a propos, co to wlasciwie jest bifurkacja? Zawsze chcialem sie
> dowiedziec...

Lac. furca == widly (stad ang. fork). Lac. bifurcus == rozdwojony widlasto,
dwuzebny. Ang. bifurcation == rozwidlenie. Mam bardzo metne wyobrazenie o tym,
co to oznacza poza zrodloslowem. Mysle, ze zgodnie z ideologia teorii katastrof
chodzi o o sytuacje, w ktorych zmiana ,,jakosciowa'' lub ,,nieciaglosc''
pochodzi z ograniczonego spojrzenia na cos calkiem gladkiego.

Typowym przykladem jest falda. Wez kawalek plaskiego materialu dajacego sie
troche naciagac, jego polowe (dla xɘ ) pozostaw bez zmiany a na drugiej polowie
(dla xɬ ) zrob falde. Np. tak, zeby prosta prostopadla wystawiona w pkcie
(x,y) miala z tym materialem 3 punkty przeciecia jesli xɬ i -x<y<x ; 2 punkty
przeciecia jesli x>=0 i |y|=x (linie graniczne); 1 punkt przeciecia poza tym.
Teraz ta calosc troche zdeformuj tak, zeby sfaldowana powierzchnia byla gladka.
Jesli teraz lazimy jakos po plaszczyznie a jakas wielkosc zmienia nam sie wedlug
tej powierzchni, to ta wartosc zalezy nie tylko od naszego miejsca na
plaszczyznie, ale rowniez od drogi, ktora do tego miejsca doszlismy. Np. jesli
szlismy z zachodu na wschod i ominelismy (0,0) od polnocy to bedziemy na innym
,,placie'' faldy niz jesli ominelismy go od poludnia. Polproste xɬ & y=x (na
pln.wschod) oraz xɬ & y=-x (na pld.wschod) sa liniami katastrofy. Osobliwy
punkt (0,0), od ktorego odchodza linie katastrofy jest punktem bifurkacji.

Thom klasyfikowal rozmaitosci w okolicach takich punktow osobliwych ze wzgledu
(chbya) na lokalne dyfeomorfizmy (gladkie homeomorfizmy). Wydaje mi sie, ze w
wymiarach wyzszych od 4 do niczego nie doszedl a w wymiarach do 4 wlacznie
udowodnil, ze jest ich 7. Kazdemu nadal dzwieczna nazwe: falda, zmarszczka,
jaskolczy ogon, motyl i trzy gatunki umbilik

Nie czytac poprzedniego postu, tylko ten!

[Gość: Stefan]

Ciagle zapominam, ze GW nie lubi matematyki a juz specjalnie jest zawzieta na
nierownosci. W poprzednim poscie wyszly one calkiem nieczytelnie. Ten post
rozni sie od poprzedniego tylko tymi nierownosciami. Mam nadzieje, ze tym razem
wyjda czytelnie.

______________________________________________________________________________


Pulbek:
> Tak a propos, co to wlasciwie jest bifurkacja? Zawsze chcialem sie
> dowiedziec...

Lac. furca == widly (stad ang. fork). Lac. bifurcus == rozdwojony widlasto,
dwuzebny. Ang. bifurcation == rozwidlenie. Mam bardzo metne wyobrazenie o tym,
co to oznacza poza zrodloslowem. Mysle, ze zgodnie z ideologia teorii katastrof
chodzi o o sytuacje, w ktorych zmiana ,,jakosciowa'' lub ,,nieciaglosc''
pochodzi z ograniczonego spojrzenia na cos calkiem gladkiego.

Typowym przykladem jest falda. Wez kawalek plaskiego materialu dajacego sie
troche naciagac, jego polowe (dla x < 0 ) pozostaw bez zmiany a na drugiej
polowie (dla x > 0 ) zrob falde. Np. tak, zeby prosta prostopadla wystawiona w
pkcie (x,y) miala z tym materialem 3 punkty przeciecia jesli
x > 0 i -x < y < x ; 2 punkty przeciecia jesli x >= 0 i |y| = x (linie
graniczne); 1 punkt przeciecia poza tym. Teraz ta calosc troche zdeformuj tak,
zeby sfaldowana powierzchnia byla gladka. Jesli teraz lazimy jakos po
plaszczyznie a jakas wielkosc zmienia nam sie wedlug tej powierzchni, to ta
wartosc zalezy nie tylko od naszego miejsca na plaszczyznie, ale rowniez od
drogi, ktora do tego miejsca doszlismy. Np. jesli szlismy z zachodu na wschod i
ominelismy (0,0) od polnocy to bedziemy na innym ,,placie'' faldy niz jesli
ominelismy go od poludnia. Polproste x > 0 & y = x (na pln. wschod) oraz
x > 0 & y = -x (na pld. wschod) sa liniami katastrofy. Osobliwy punkt (0,0), od
ktorego odchodza linie katastrofy jest punktem bifurkacji.

Thom klasyfikowal rozmaitosci w okolicach takich punktow osobliwych ze wzgledu
(chbya) na lokalne dyfeomorfizmy (gladkie homeomorfizmy). Wydaje mi sie, ze w
wymiarach wyzszych od 4 do niczego nie doszedl a w wymiarach do 4 wlacznie
udowodnil, ze jest ich 7. Kazdemu nadal dzwieczna nazwe: falda, zmarszczka,
jaskolczy ogon, motyl i trzy gatunki umbilik

[Gość: thrundui]

> > Tak a propos, co to wlasciwie jest bifurkacja? Zawsze chcialem sie
> > dowiedziec...

klasyfikacja bifurkacji dotyczy nastepujacego zagadnienia:
mamy rownanie rozniczkowe z parametrem i badamy wlasciwosci jakosciowe tego
rownania - istnienie punktu czy cyklu stabilnego itp. w zaleznosci od tego
parametru.
Przy zmianie parametru cykl lub punkt stabilny moze pojawiac sie lub znikac.

Jezeli rownanie rozniczkowe posiada dwa parametry, wtedy zmiana jakosciowa
rozwiazan rozniczkowych nie nastepuje nagle - jest punkt stabilny i znika. W
otoczeniu dwuwymiarowym punktu nieciaglosci punkt czy cykl stabilny nadal bedzie
istnial. Zniknie w otoczeniu jednowymiarowym ale nie w dwuwymiarowym, w ktorym
tylko sie przesunie.

Klasyfikacja dotyczy wszystkich mozliwych sposobow na jakie wlasciwosci
jakosciowe rownania rozniczkowego moga zalezec od parametrow.
Tak mniej wiecej, bo mialem z tym kontakt dawno temu.

Jest to bardzo podobne do opisu teorii katastrof.
Tyle tylko, ze zagadnienie to ma wiecej lat niz 30

[innppp]

Ja sadze, ze TK to nie tyle teoria zwyklych bifurkacji,
ale innych
osobliwosci - katastrof wlasnie.
Tak jak pisze Stefan, katastrofy biora sie z tego, ze
obserwujemy
tylko czesc zmiennych ukladu wielowymiarowego.
Nasza niewiedza na temat szybkozmiennych stopni
swobody,
powoduje, ze mozliwe sa nieciaglosci w zachowaniu
ukladu
ze wzgledu na zmienne wolnozmienne.

pozdr
i.

[Gość: Pulbek]

Gość portalu: thrundui napisał(a):

> klasyfikacja bifurkacji dotyczy nastepujacego
> zagadnienia: mamy rownanie rozniczkowe z parametrem i
> badamy wlasciwosci jakosciowe tego rownania - istnienie
> punktu czy cyklu stabilnego itp. w zaleznosci od tego
> parametru.

Troche malo sie na tym znam, wiec nie bardzo rozumiem.
Jedyne co slyszalem o bifurkacjach (teraz sobie
przypomnialem) dotyczylo punktow stalych funkcji z
parametrem. O ile pamietam jest tam jakas niesamowita
stala Feigenbauma o ktorej nie wiadomo czy jest wymierna.

A rownania rozniczkowe z parametrem? Co to jest punkt
staly albo cykl stabilny rownania rozniczkowego? Czy
chodzi o punkt staly albo cykl stabilny rozwiazania tego
rownania?

W kazdym razie dzieki.

Pulbek.

[Gość: Pulbek]

Gość portalu: Stefan napisał(a):

[...]
> chodzi o o sytuacje, w ktorych zmiana ,,jakosciowa''
> lub ,,nieciaglosc'' pochodzi z ograniczonego spojrzenia
> na cos calkiem gladkiego.
>
> Typowym przykladem jest falda.
[...]

Dzieki, chociaz to akurat wiedzialem. Moja wiedza o
teorii katastrof jest na zenujacym poziomie artykulow z
"New Scientist", co oznacza tyle ze wiem ze dzwonia.

Pozdrowienia,

Pulbek.

[Gość: LPiotrek]

Bifurkacja nie jest terminem scisle zwiazanym z rownaniami
rozniczkowymi. W innym kontekscie moze po prostu oznaczac
rozwidlenie jak juz to Stefan napisal.
W telekomunikacji wlasnie wystepuje w takim znaczeniu.
Ostatnio w sobote mialem na wykladzie slajd : "Reguly
niebifurkacyjne prowadzenia pakietu przez siec".
Bogatszy o wyjasnienia Stefana wiedzialem juz co jest grane.
Ale na wszelki wypadek zapytalem wykladowce co znaczy bifurkacja.
W odpowiedzi uslyszalem ,ze brzmi to jak furkanie ,ale chodzi
o stabilnosc ,a reszty dowiemy sie pozniej.
Postanowilem nie drazyc tematu glebiej. Znajomosc zrodloslowu
okazuje sie czasem cenna zwlaszcza wtedy gdy zabraknie jej
naszym wykladowcom. W takim kontekscie klasyfikacja
bifurkacji nabiera innego znaczenia niz to wyspecjalizowane
zwiazane z rownaniami rozniczkowymi.

pozdrawiam
LPiotrek