Liczby naturalne

[Gość: Julka]

Czy 0 jest liczbą naturalną?
Mnie zawsze uczono, że najmniejszą liczbą naturalną jest 1, tzn.
1) 1 należy do N
2) jeżeli n należy do N, to n+1 należy do N.
Dlaczego niektóre podreczniki piszą, że 0 jest liczbą naturalną i potem,
szczególnie przy ciągach liczbowych, wprowadzają zapis N+.
Przecież to chyba nie może być takie dowolne.
Może to też błahy problem, ale niech na maturze uczeń poda odpowiedź: n
należy do N. Według niego, oczywistym jest, że w tym zbiorze nie ma zera.
Egzaminator może nie uznać, bo według niego powinno być: n należy do N+

[Gość: Kolega]

W matematyce nie ma zgody co do tego czy liczby naturalne to 0, 1, 2, 3, ... czy
też 1, 2, 3, ... Obie wersje posiadają ścisłe formalne definicje. Różni
matematycy w zależności od wygody i przyzwyczajeń przyjmują jedną lub drugą
przez co symbol N jest dwuznaczny (może oznaczać N=Z+ lub N=Z+ U {0}). Czytając
tekst matematyczny zawsze warto się upewnić jak rozumie go autor.
Poniżej zaprezentowano definicję zaproponowaną przez Peano w wersji oryginalnej
(zakładającej {0}eN jednak zmieniając pierwszy aksjomat łatwo otrzymać definicję
wykluczającą zero .
pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_naturalne

[Gość: Julka]

Ja wiem, że są dwie wersje. W Polsce na różnych uniwersytetach przyjmuje się
różne wersje.
Ale chodzi mi o problem na nowej maturze. Dopóki prace sprawdzane były przez
nauczycieli uczących w danej szkole, nie było problemu.
A teraz ...
Na przykład egzaminator sprawdza prace z dwóch szkół. Albo nawet tylko dwie
prace. W jednej jest odp. N+ w drugiej N.
No jasne, że może a nawet powinien skonsultować z innym egzaminatorem. Tym
bardziej, że prace mogą trafić do weryfikatora. Może też w każdym przypadku
przyznać maksymalną liczbę punktów - na korzyść ucznia.
Pewnie niepotrzebnie robię problem, ale... może nie powinno być takich zadań na
maturze.

[Gość: be-ata]

Uważam,ze uczniom należy powiedzieć o dwóch znaczeniach symbolu N w związku ze
zbiorem liczb, aby nie byli tym zaskoczeni na maturze. O ile wiem, dysponują na
egzaminie tablicami, w których są definicje pojęć występujących na egzaminie.
Uczeń ma wykazać umiejętność wykorzystania tego do zadań.

[Gość: Julka]

żeby to było takie proste. Uczeń, który od zawsze uważa, że 0 nie jest liczbą
naturalną, choć zna i inną teorię, na pewno nie będzie tego szukał w tablicach.
Tym bardziej na maturze.
W tablicach to on może sprawdzić, no wiesz... jakieś wzory itp
Dzięki za odpowiedź :)

[Gość: bimbka]

> Ja wiem, że są dwie wersje. W Polsce na różnych uniwersytetach przyjmuje się
> różne wersje.
Raczej na różnych przedmiotach nawet na jedym uniwersytecie :).

Czy 0 jest liczbą naturalną...

[ellipsis]

To nie takie proste...
W analizie matematycznej najczęściej przyjmuje się, że najmniejszą liczbą
naturalną jest 1. Dzięki temu np. pisząc o szeregu SUMA 1/n, możemy stosować
sumowanie ,,po wszystkich naturalnych n" lub ,,po n od 1 nieskończoności". Ale
nawet w analizie matematycznej rozważając szeregi potęgowe wygodniej jest
rozważać sumowanie ,,po n od 0 nieskończoności"... :(
W teorii mnogości liczby naturalne definiuje się (pewne uproszczenie) jako
liczebności zbiorów skończonych. Wobec tego 0 oczywiście _jest_ liczbą
naturalną, bo zbiór pusty (zeroelementowy) jest oczywiście skończony.
Można podać aksjomatyczną definicję zbioru liczb naturalnych, tzw. aksjomatykę
Peano. Niestety, jak to zwykle bywa w takich przypadkach, zarówno N jak i N+
spełniają wymogi tej definicji (są izomorficzne). :(
Wnioski? Nie ma jednoznacznej definicji zbioru liczb naturalnych. Ponadto
trudno oczekiwać, by takowa powstała, bo każde z podejść ma swoje wady i zalety.
Kwestia, czy 0 jest liczbą naturalną, zależy zawsze od piszącego, ale zwykle
znaczenie symbolu N można wywnioskować z kontekstu.
W szkole najczęściej przyjmuje się, że 0 nie jest liczbą naturalną. Z drugiej
strony nie sądzę, aby egzaminator obniżył punktację tylko dlatego, że uczeń
zastosował inne oznaczenia niż te, do których egzaminator jest przyzwyczajony. A
rada dla ucznia? Aby uniknąć nieporozumień, powinien wypisać kilka pierwszych
elementów danego zbioru, przykładowo napisać
,,Odp. Rozwiązaniem równania jest każdy element zbioru {2n : n e N} = {2, 4, ...}".
PS. Zadajesz wiele pytań o to, co zrobi egzaminator w spornej sytuacji. Myślę,
że na szkoleniach rozważa się tego typu problemy. Jeżeli nie zapomnę, :( to przy
najbliższej okazji zapytam o to koleżankę.