PUCHAR POLSKI w rozwiązywaniu łamigłówek & & #35; 8211; zadan

[tororo]

Sa już na stronach Sfinksa www.sfinks.org.pl i na stronach WSiP
www.wsip.com.pl zadania treningowe, a także regulamin i instrukcja. Do
wczoraj zadania te pobralo ponad 350 osób. Zapowiada się więc zacięta
rywalizacja w walce o finał!

Jeśli ktos więc myśli o tym aby wystartować – to warto żeby zapoznał się z
tymi przykładowymi zadaniami.

Próba rozwiązania zagadek treningowych

[hetman_sloniowy]

1) Równanie kwadratowe

IKS*IKS=YGREK
248*248=61504

2)Dom pełen luster

Oznaczając pola na dłuższym boku od A do D (od lewej do prawej); na krótszym od
1 do 3(od dołu do góry) podaję położenie
Zombich: A1,B2,C2,C1
Wampirów: A3,B3,D1,D3
Reszta to oczywiście lustra.

3)Bitwa Morska; sądziłem, że brak ostatniej cyfry u góry to błąd, ale chyba da
się rozwiązać bez tej cyfry; współrzędne podaję jak przy zadaniu z lustrami, na
dole litery od A do J; z boku liczby od 1 do 10.
Jednomasztowce: D10,G4,J4,J1
Dwumasztowce: B1-B2; F9-G9; I9-J9
Trójmasztowce: E2-G2; C4-E4
Czteromasztowiec: B9-B6

4) Kiedyś jeszcze pokombinuję :)

5)Muchy na kloszu;
Sądzę, że 50%. Uważam, że zawsze można wyodrębnić taką półkulę, która obejmie 3
muchy. Jak mamy dwie, to zawsze możemy poprowadzić okrąg o środku w środku
kuli, na którym będą siedziały obydwie muchy, gdy dochodzi trzecia to już
wyodrębniamy półkulę, a zatem czwarta moża usiąść na obszarze tej wyodrębnionej
półkuli lub nie, czyli 50%.

Jeśli zaś klosz jest podzielony na konkretne dwie półkule, to chyba
prawdopodobieństwo będzie takie samo jak wynik 4 orłów przy 4 rzutach monetą.
Ale raczej jestem za pierwszym rozwiązaniem. :)

[Gość: pafcio]

5)Muchy na kloszu;
> Sądzę, że 50%. Uważam, że zawsze można wyodrębnić taką półkulę, która obejmie
3
>
> muchy. Jak mamy dwie, to zawsze możemy poprowadzić okrąg o środku w środku
> kuli, na którym będą siedziały obydwie muchy, gdy dochodzi trzecia to już
> wyodrębniamy półkulę, a zatem czwarta moża usiąść na obszarze tej
wyodrębnionej
>
> półkuli lub nie, czyli 50%.

no cóż, też taką pierwsza myśl miałem, ale chwilę później przy nastepnym
kieliszku;) zastanowiłem się że to musi być więcej niż 50%. bo masz, w Twoim
toku rozumowania, wyodrębnioną półkulę przy pomocy muchy 1 i 2, a wskazaną
przez 3. a co z pólkulą wyodrębnioną przez muchę 1 i 3 i wskazną przez 2 oraz
wyodrębnioną przez 2 i 3 a wskazaną przez 1? wszystkie te 3 pókule mają obszar
(czy wspólny czy nie to nieważne) na których może siąść mucha 4 spełniając
warunki zadania
pozdrawiam

[sidelfius]

4) Skoczki i gońce

Znalazłem rozwiązanie z 48 ruchami.
Same skoczki, kolory na wzór szachownicy.
Czy to jest max?

5) Kula z 4 muchami na jednej półkuli

Dla odcinka i dwóch punktów p-stwo wynosi 1/2.
Dla koła i trzech punktów p-stwo wynosi 3/4 (przecałkowałem ;)
Dlatego wnioskuję, że dla kuli i czterech punktów p-stwo wynosi 7/8,
ale całkować mi się nie chce i uważam, że powinno być
ładniejsze rozwiązanie.
Może ktoś ma pomysł?

[Gość: Dr Zoidberg]

Lepiej zajmnij sie czyms prostszym niz calki, albo przynajmniej czyms
sensowniejszym.
Pozdro
Dr Zoidberg

[Gość: Mike]

Mi wyszlo 3/4, ale byc moze zle.

Pozdrawiam
Mike

[hetman_sloniowy]

Po Waszych wskazówkach, przyszedł mi do głowy pewien pomysł. Otóż:

Dzieląc odcinek na dwie równe części mamy 5 kombinacji dla czterech much, które
na nim siadają.

Potem mamy kwadrat i dzielimy go na cztery równe części - przez środki boków,
nie przez przekątne(czyli możemy wyszczególnić 4 połowy kwadratu). Liczba
możliwych kombinacji układu much na tych częściach wynosi tyle co liczba
kombinacji rzutów 4K4 (cztery razy kością czterościenną), czyli 4 do potęgi
czwartej, co daje: 256

I wreszcie sześcian dzielimy na 8 części tak, że powstaje osiem mniejszych
sześcianów o równej objętości. Teraz mamy 8 miejsc, na których mogą usiąść
muchy, czyli kombinacji jest tyle co możliwych wyników na 4K8 (cztery rzuty
kością ośmiościenną), czyli 8 do potęgi 4, co daje 4096

Jednak w zadaniu mamy kulę. Mimo to, wydaje mi się, że prawdopodobieństwo
będzie takie samo jak przy sześcianie. W nim możemy wyszczególnić 6 połówek
(jakby 6 różnych półkul), a jedną taką połówkę możemy potraktować jak kwadrat z
powyższego opisy. Na kwadracie mieliśmy 256 kombinacji, ale w sześcianie mamy
takich kwadratów 6, a więc wg mnie 6*256/4096 daje prawdopodobieństwo, o które
pytają w zadaniu. Wynik wynosi 37,5% czyli 3/8.

To rozwiązanie wydaje mi się rozsądniejsze od poprzedniego, ale stuprocentowej
pewności nie mam. Nie wiem czy można rozpatrywać w tym zadaniu kulę jak
sześcian. Czy wyjdzie na to samo? Intuicyjnie wydaje mi się, że tak.
Poza tym, muchy są rozpatrywane jako punkty, co jeśli któraś znajdzie się na
granicy między elementami sześcianu? Czy należy odrzucić możliwość, że mucha
stanie idealnie na granicy? Trochę mankamentów jest...

[hetman_sloniowy]

oj, źle policzyłem... Liczyłem tak jakby ważne było która mucha gdzie usiądzie,
a przecież powinienem liczyć kombinacje bez powtórzeń... :)

[Gość: Dr Zoidberg]

Oczywiscie, ignorujac glupie wpisy na temat liczenia prawdopodobienstwa w
swiecie nieskonczonym na modle swiatow (czytaj: struktur) skonczonych, chcialem
przejsc do niejasnosci wynikajacych w zadaniu z muchami.
Jak mnie upewnila ostatnio dysputa z kolega Mackiem, bez dodatkowych informacji
to zadanie jest o pupe potluc. Tak naprawde jest to 3D - problem zwiazany z
paradoksem Bertranda. Aby go rozwiazac, przydaloby sie uszczegolowic informacje
dotyczace przestrzeni zdarzen elementarnych w ktorej chcielbysmy sie znalezc.
Nie wchodzac w szczegoly mozna napisac, ze przy zadanych iformacjach (tzn ze
muchy siadaja przypadkowo, czy jak tam bylo w tresci) mozna powiedziec, ze
szansa jest, ale okreslenie jej dokladnie nie wchodzi w rachube. Polecam
zapoznac sie z problemem trojkata ostrokatnego wpisanego w okrag (czyli jak
mowilem 2D wersji tej zagadki).
Strasznie irytuja mnie lamiglowko-zagadki o niedopracowanej tresci. Zaczalem
teraz rozwiazywac zadania z PP w lamiglowkach i raczej czesto sie irytuje.
Polecam autorem wiecej przemyslen przed publikowaniem czesto-gesto bubli.
Pozdrawiam
Dr Zoidberg

Problem

[hetman_sloniowy]

Widziałem na zdjęciach, że na drugiej biesiadzie łamigłówkowej układaliście
jakieś kartoniki z kolorowymi liniami. Mam coś podobnego, tylko kartoniki są
kwadratowe, na każdym są cztery kolorowe sznurki, a kartoników jest 25. Czy
ktoś byłby uprzejmy wyjaśnić mi o co chodzi w tej łamigłówce, jakie jest
konkretnie zadanie, bo niestety nie mam do tej zabawki żadnego opisu ani
instrukcji :)
Będę wdzięczny.

[tororo]

Są to płytki z gry Tantrix - link do strony z tą grą znajdziesz na stronach
Sfinksa w linkowi. My bawilismy sie taka łamigłowka promocyjna tej gry - jest
10 płytek i trzeba tak ułozyć te płytki aby powstała zamknieta linia o
okreslonym kolorze. Układa sie kolejno. Najpierw z 3 płytek, potem z 4 potem z
5 itd. Wciagajace.

Pozdr



tororo
www.rozgrywka.pl

[hetman_sloniowy]

O, dzięki za wyjaśnienie Tororo. Moja zabawka ma nazwę "Rubik's Tangle" i mam
ją od bardzo dawna, jak byłem mały to nie umiałem układać i pewnie musiałem
gdzieś posiać instrukcję. Za to teraz się pobawię "już na poważnie". :)

Pozdrawiam

Ad vocem Sidelfiusowi

[bbaju]

Twój pomysł z przeniesieniem zadania o musze na inne wymiary był genialny.
Sprawdziłam dla trzech w kole - pasuje, jest 3/4.
Sprawdziłam dla odcinka, gorzej.

Wydaje mi się, że aby móc go (odcinek) podciągnąć pod ten sam typ zadania,
trzeba je trochę inaczej sformułować.

"Jakie jest prawdopodobieństwo, że dwie muchy usiądą na odcinku w odległości
niewiększej niż połowa długości całego odcinka".

Przecież klosza też z góry nie dzieli się na dwie połówki tylko trzeba, by one
usiadły na wspólnej połowie.

Przy takich wymogach też P=3/4.

Sprawdziłam teraz dla kuli (chyba dobrze, obyło się bez całek) - jest 3/4.

Więc na dzień dzisiejszy twierdzę:
P=3/4.

Pozdrawiam
Baj

[bbaju]

Miałam dodać, że z marszu też wpierw zrobiłam jak hetman i dopiero Twoja uwaga
mnie natchnęła.

Baj

[hetman_sloniowy]

Tak jest, pomysł inspirujący, brawo! :)

Szkic rozwiązania

[sidelfius]

Udało mi się znaleźć pewne rozwiązanie (bez całek) popierające
moje poprzednie spostrzeżenia.
Dozwolona jedynie konstruktywna krytyka :)

Najpierw definicja n-wymiarowej sfery:
Są to wszystkie punkty w n-wymiarowej przestrzeni odległe
o pewne r od pewnego punktu.

1) Dla jednego wymiaru mamy dwa punkty na prostej odległe od
siebie o 2r. Jakie jest p-stwo, że leżą one na tej samej połowie?
Przyjmuję, że jest to równoważne z pytaniem o p-stwo leżenia
w tym samym punkcie.
Wtedy wynik jest prosty 1/2.

2) Dla dwóch wymiarów mamy trzy punkty na okręgu o środku x
i promieniu r. Jakie jest p-stwo, że leżą one na tym samym półokręgu?

Policzmy jakie jest p-stwo, że nie leżą na tym samym półokręgu.

Weźmy 2 punkty a i b na okręgu i poprowadżmy proste ax i bx,
które przecinają okrąg po drugiej stronie w punktach a1 i b1.
Trzeci punkt c wyskoczy poza wspólny półokrąg, gdy znajdzie się
na krótszym łuku a1b1.

Niech A - zdarzenie, że a i c leżą po różnych stronach prostej bx,
B - zdarzenie, że b i c leżą po różnych stronach prostej ax.
Jest P(A)=P(B)=1/2. Musimy policzyć P(A i B).
Można dowieść, że A i B są zdarzeniami niezależnymi.
Czyli P(A i B)=P(A)P(B)=1/2x1/2=1/4, a rozwiązaniem problemu
w dwóch wymiarach jest 3/4.

3) Dla trzech wymiarów mamy cztery punkty na sferze o środku x
i promieniu r. Jakie jest p-stwo, że leżą one na tej samej półsferze?

Podobnie liczymy p-stwo zdarzenia odwrotnego.
Weźmy 3 punkty a, b i c leżące na sferze i poprowadźmy płaszczyzny
abx, bcx i cax, które przecinają się po drugiej stronie sfery
ze sobą w punktach a1, b1 i c1.
Czwarty punkt d wyskoczy poza wspólną półsferę, gdy znajdzie się
w trójkącie sferycznym a1b1c1.

Niech A - zdarzenie, że a i d leżą po różnych stronach płaszczyzny bcx.
Odpowiednio podobnie definiujemy zdarzenie B i C.
Mamy P(A)=P(B)=P(C)=1/2.
Musimy policzyć P(A i B i C).

Podobnie jak dla dwóch wymiarów można pokazać, że A, B i C są parami
niezależne. Dodatkowo jest P(A i B i C)=1-P(A lub B lub C).
Czyli z zasady włączeń i wyłączeń.
P(AlubBlubC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AiB)-P(BiC)-P(CiA)+P(AiBiC)
2P(AiBiC)=1-P(A)-P(B)-P(C)+P(A)P(B)+P(B)P(C)+P(C)P(A)=1/4
P(AiBiC)=1/8
Ostatecznie rozwiązaniem problemu w trzech wymiarach jest 7/8.

Pozdrawiam