7.11

[grzechoz]

Uwaga pana Johna Smith'a została przykuta przez neonowy napis na
supermarkecie, który był raczej dość dziwny - bo było na nim tylko
napisane "7.11". Zdziwiony pan Smith wszedł do tego sklepu i po chwili
znalazł się wewnątrz wielkiej hali.

- Co to oznacza? - wskazując palcem na napis, spytał się pana z obsługi,
który podszedł, aby go przywitać.

- Och, to proste. Jesteśmy otwarci w godzinach od 7 rano do 11 wieczorem -
odpowiedział mu dobry człowiek.

Rzeczywiście, proste. Pan Smith wiedział, co chciał wiedzieć, więc właściwie
mógł już opuścić ten sklep, ale... w końcu jak już jest w środku... wybrał
więc 4 produkty z kolorowych półek, podchodzi do kasy i natychmiast pada
odpowiedź kasjera:

- płaci pan 7.11 złotych

- Co? Dlaczego? - zapytał zdziwiony.

- To jest 7 złotych i 11 groszy za wszystkie towary, które pan wybrał -
odpowiedział kasjer.

- Bo takie są godziny waszego otwarcia? - zapytał z jeszcze większym
zdziwieniem?

- Nie proszę pana. Ja po prostu wziąłem wartość każdej z tych cen, wymnożyłem
je i wynik jest 7.11 - wyjaśnił kasjer.

- Że co pan zrobił ?!?!? Pan powinien je dodać, nie pomnożyć!!! - Istotnie.
Muszę pana przeprosić - Kasjer zaczął znowu wklepywać dane na swojej kasie i
po chwili pada wynik - płaci Pan 7.11.

- Pan sobie chyba żartuje!!! - wykrzyknął zirytowany John.

- Nie proszę pana. Może pan to osobiście sprawdzić.

Po dokładnym zweryfikowaniu pan Smith musiał przyznać, że kasjer, a raczej
jego maszyna nie popełniła błędu w obydwu działaniach.

Jakie były wartości cen tych 4 produktów? Dużo ważniejszym pytaniem jest: jak
to może być policzone? Dużo ważniejsze są tutaj algorytmy i wywody
filozoficzne na ten temat niż sam wynik.

Pozdrawiam.

[cardemon]

Muszę przyznać, że zagadka od razu bardzo mi się spodobała, tylko nie znalazłem
wcześniej czasu, by się nią "zająć".

Rozwiązanie brzmi:
Ceny czterech towarów, zakupionych przez pana Smitha wynoszą 1.20, 1.25, 1.50 i
3.16.
A jak to może być policzone? Nie jest to takie łatwe do przedstawienia. Wiadomo
przede wszystkim, że iloczyn czterech liczb musi wynieść 711. Rozbierając tę
liczbę na iloczyn liczb pierwszych otrzymamy, że 711=79*3*3, czyli rozpatrując
wszystkie cztery ceny w groszach otrzymamy z treści zadania:

a+b+c+d=711
a*b*c*d=7.11*10^8=711*10^6=79*3*3*10^6 (gdzie ^ = do potęgi)

Biorac pod uwagę, że 10^6=(2*5)^6=2^6*5^6 rozbijamy dalej ten ostatni iloczyn
na iloczyn liczb pierwszych:

a*b*c*d=79*3*3*2^6*5^6=79*3*3*2*2*2*2*2*2*5*5*5*5*5*5

Łatwo więc widać, że każda z czterech liczb a,b,c,d musi być przedstawiona
przez iloczyn którejś z liczb 79, 3, 2, 5 (ewentualnie 1). Teraz "wystarczy
tylko" znaleźć składniki każdej z liczb i rozwiązanie nasuwa się samo. Ja w
każdym bądź posłużyłem się w tym celu komputerem, bo kombinacji jest dość
sporo. :)

Wyszło mi więc:

79*2*2=316
3*2*5*5=150
5*5*5=125
3*2*2*2*5=120 (mnożę równania stronami)
------------------
79*3*3*2^6*5^6=711000000

pzdr. CdM

Brawo!

[grzechoz]

Brawo!!!
Po prostu jesteś dobry!!!
Pozdr.

Grzechoz

Ciąg dalszy

[Gość: AntyP]

Dużo ciekawszym ale i znacznie trudniejszym problemem jest znalezienie
wszystkich liczb z przedziału 0 do 10, który można przedstawić w postaci sumy i
iloczynu tych samych czterech (trzech,pięciu) liczb.

[cardemon]

Gość portalu: AntyP napisał(a):

> Dużo ciekawszym ale i znacznie trudniejszym problemem jest znalezienie
> wszystkich liczb z przedziału 0 do 10, który można przedstawić w postaci sumy
> i iloczynu tych samych czterech (trzech,pięciu) liczb.

Domyślam się, że chodzi o liczby będące cenami. No cóż, nie jest to zadanie aż
tak trudne, jeśli można się posłużyć komputerem. Bez komputera od razu widać,
że 8.00 spełnia warunek, bowiem:

1.00+1.00+2.00+4.00=8.00=1.00*1.00*2.00*4.00

Wydaje się też, że tych zestawów czterotowarowych do 10 zł powinno być całkiem
sporo. Tylko ile w końcu ma być tych towarów: cztery, trzy, pięć czy sześć? Bez
doprecyzowania tej zagadki, trudno coś zacząć, a z kolei liczenie wszystkiego
możliwego bardzo "rozmywa" całe zadanie. Rozumiem, że raczej trzymamy się
oryginalnej treści zadania i warunek suma=iloczyn dotyczy czterech towarów. Czy
tak?

[Gość: AntyP]

Faktycznie z precyzją było kiepsko. Chodzi o cztery różne liczby (tak jak w
pierwotnym zadaniu), ilość miejsc po przecinku ograniczamy do dwóch (bo są to
ceny wyrażone w złotych i groszach). Miłej zabawy

Rozwiązanie i kolejna zagadka.

[cardemon]

Gość portalu: AntyP napisał(a):

> Dużo ciekawszym ale i znacznie trudniejszym problemem jest znalezienie
> wszystkich liczb z przedziału 0 do 10, który można przedstawić w postaci sumy
> i iloczynu tych samych czterech (trzech,pięciu) liczb.
(...)
> Chodzi o cztery różne liczby (tak jak w pierwotnym zadaniu).

W rozwiązaniu tego zadania zastosowałem filozofię pracy chłopa, która wyraża
się w zdaniu "chłop leży, a zboże mu samo dojrzewa". Zapuściłem bowiem mój
komputer, by się męczył z powyższym problemem, a sam poszedłem spać. Po nocy
mój komp nadal nie był gotowy z robotą. Poszedłem więc do pracy, by się tam
wylegiwać jak ten chłop, a jak wróciłem do domu, to mój komp jeszcze się zmagał
z zadaną mu pracą. Krótko mówiąc, trwało to prawie 24 godz. zanim całe
rozwiązanie niniejszego zadania zostało znalezione. Problem w tym, że
rozwiązanie liczy sobie ze trzy strony maszynopisu i obejmuje dokładnie (!) sto
liczb z zakresu od 0.01 Zł do 10.00 Zł. Domyślam się więc, że AntyP zapuścił na
tym forum zmodyfikowaną wersję zagadki Grzechoza, będąc nieświadom rozmiarów
rozwiązania. Oczywiście nie zamierzam wstukiwać tu tych stu liczb, będących
rozwiązaniem, bo byłaby to zbędna strata czasu, natomiast chętnie zapuszczę
zagadkę-klona, posiadającą JEDNO rozwiązanie:

Do sklepu wybrało się dwóch matematyków. Jeden z nich kupił cztery towary o
różnych cenach. Przy kasie zapłaciwszy za zakup powiedział swojemu towarzyszowi:

-Zobacz jakie to dziwne. Suma jaką zapłaciłem jest równa iloczynowi cen
wszystkich czterech zakupionych przeze mnie towarów.

Na to jego przyjaciel po namyśle odpowiedział:

-Oj, to się nawet często zdarza, że gdy płacisz poniżej 10 zł za zakupione
cztery towary, to łączna cena jest równa iloczynowi cen tych czterech
zakupionych rzeczy. Natomiast w Twoim przypadku cała sprawa jest zupełnie
wyjątkowa, bowiem nie ma możliwości, by uzbierać w koszyku cztery rzeczy
kosztujące w sumie mniej niż 10 Zł, spośród których najtańsza byłaby jeszcze
tańsza niż Twoja najtańsza. :)

Ile zapłacił przy kasie matematyk i jakie były ceny wszystkich czterech towarów?

Pzdr. CdM

[Gość: Antyp]

[Gość: AntyP]

Jeżeli suma i iloczyn liczb nie będą ograniczone do 10 wówczas rozwiązaniem
zadania Cardemona będzie czwórka liczb:
0,05 * 5,75 * 8,75 * 9,6 = 24,15 (suma i iloczyn)
Jeżeli pozostaniemy przy ograniczeniu
0,32 * 2,5 * 3,1 * 4 = 9,92
Z ilości rozwiązań tego zadania przy ograniczeniu do 10 i bez ograniczenia
zdawałem sobie sprawę (też mam komputer). Nie wiem jakiego algorytmu użyłeś do
liczenia, bo trwało Twoje liczenie bardzo długo. Mój czas liczenia to około 1
godziny a mój sposób liczenia był bardzo prymitywny. Wybierałem po prostu
wszystkie czwórki różnych liczb następnie mnożyłem i dodawałem je.

Rozwiązania

[Gość: Antyp]

Wszystkie rozwiązania (jest ich 159).
0.32+2.50+3.10+4.00=9.92
0.34+2.50+2.85+4.00=9.69
0.35+2.50+2.74+4.00=9.59
0.35+2.50+3.00+3.60=9.45
0.37+2.00+3.25+4.00=9.62
0.40+1.63+3.75+4.00=9.78
0.40+1.80+3.50+3.75=9.45
0.40+2.00+2.50+4.90=9.80
0.40+2.04+2.50+4.75=9.69
0.40+2.20+2.50+4.25=9.35
0.40+2.25+2.50+4.12=9.27
0.40+2.30+2.50+4.00=9.20
0.40+2.50+2.56+3.50=8.96
0.40+2.50+2.95+3.00=8.85
0.42+2.40+2.50+3.50=8.82
0.43+2.10+2.50+4.00=9.03
0.45+1.50+3.50+4.00=9.45
0.45+2.00+2.50+3.96=8.91
0.47+1.40+3.00+5.00=9.87
0.48+1.70+2.50+4.50=9.18
0.48+1.75+2.50+4.30=9.03
0.48+2.30+2.50+3.00=8.28
0.50+1.20+3.75+4.36=9.81
0.50+1.25+3.20+4.95=9.90
0.50+1.25+3.60+4.28=9.63
0.50+1.28+3.75+3.95=9.48
0.50+1.40+2.76+5.00=9.66
0.50+1.44+2.50+5.55=9.99
0.50+1.49+3.20+3.75=8.94
0.50+1.50+2.40+5.50=9.90
0.50+1.50+3.00+4.00=9.00
0.50+1.56+2.50+4.80=9.36
0.50+1.58+2.40+5.00=9.48
0.50+1.60+2.50+4.60=9.20
0.50+1.70+2.72+3.75=8.67
0.50+1.75+2.50+4.00=8.75
0.50+1.80+2.50+3.84=8.64
0.50+1.90+2.40+3.75=8.55
0.50+2.00+2.25+3.80=8.55
0.50+2.00+2.40+3.50=8.40
0.50+2.00+2.75+3.00=8.25
0.50+2.32+2.50+2.80=8.12
0.50+2.40+2.50+2.70=8.10
0.52+1.25+3.75+3.84=9.36
0.54+1.60+2.50+4.00=8.64
0.58+2.00+2.25+3.00=7.83
0.60+1.00+3.30+5.00=9.90
0.60+1.00+3.75+4.28=9.63
0.60+1.25+3.00+3.88=8.73
0.60+1.42+2.50+4.00=8.52
0.60+1.50+2.50+3.68=8.28
0.60+1.52+2.00+5.00=9.12
0.60+2.00+2.50+2.55=7.65
0.62+1.50+2.25+4.00=8.37
0.64+1.00+3.75+3.85=9.24
0.64+1.25+2.50+4.39=8.78
0.64+1.25+2.82+3.75=8.46
0.64+1.50+2.00+4.50=8.64
0.65+0.96+3.75+4.00=9.36
0.65+1.30+2.50+4.00=8.45
0.67+2.00+2.20+2.50=7.37
0.68+1.00+3.00+4.50=9.18
0.69+1.25+2.50+3.84=8.28
0.70+1.00+2.50+5.60=9.80
0.70+1.00+2.68+5.00=9.38
0.70+1.12+2.50+4.50=8.82
0.70+1.20+2.50+4.00=8.40
0.70+1.25+2.38+4.00=8.33
0.70+1.75+2.40+2.50=7.35
0.70+2.00+2.08+2.50=7.28
0.72+1.25+2.75+3.20=7.92
0.74+0.75+4.00+4.50=9.99
0.74+1.00+2.25+6.00=9.99
0.74+1.20+1.80+6.25=9.99
0.75+0.80+3.75+4.24=9.54
0.75+0.90+2.80+5.00=9.45
0.75+1.00+2.32+5.50=9.57
0.75+1.00+3.00+3.80=8.55
0.75+1.20+2.40+3.75=8.10
0.75+1.20+2.50+3.56=8.01
0.75+1.25+1.92+4.90=8.82
0.75+1.25+2.40+3.52=7.92
0.75+1.25+2.60+3.20=7.80
0.75+1.28+1.85+5.00=8.88
0.75+1.29+2.50+3.20=7.74
0.75+1.35+2.00+4.00=8.10
0.75+1.47+1.60+5.00=8.82
0.75+1.50+2.00+3.40=7.65
0.75+1.76+2.00+2.75=7.26
0.76+1.10+2.50+4.00=8.36
0.76+1.25+2.50+3.28=7.79
0.79+1.00+2.50+4.40=8.69
0.80+0.88+2.50+5.50=9.68
0.80+0.90+2.50+5.25=9.45
0.80+1.00+2.50+4.30=8.60
0.80+1.20+1.65+6.25=9.90
0.80+1.25+1.61+6.00=9.66
0.80+1.25+2.00+4.05=8.10
0.80+1.25+2.22+3.50=7.77
0.80+1.25+2.25+3.44=7.74
0.80+1.26+2.50+3.00=7.56
0.80+1.31+2.00+3.75=7.86
0.80+1.36+1.45+6.25=9.86
0.80+1.46+1.50+5.00=8.76
0.80+1.50+2.40+2.50=7.20
0.80+1.75+2.02+2.50=7.07
0.81+1.10+2.00+5.00=8.91
0.82+1.00+2.20+5.00=9.02
0.84+1.00+2.60+3.75=8.19
0.85+0.98+2.50+4.00=8.33
0.85+1.00+2.00+5.50=9.35
0.85+1.00+2.56+3.75=8.16
0.85+1.16+1.60+6.25=9.86
0.85+1.25+1.75+4.48=8.33
0.88+1.00+2.50+3.65=8.03
0.88+1.75+1.80+2.50=6.93
0.90+1.00+2.50+3.52=7.92
0.90+1.25+2.00+3.32=7.47
0.92+1.00+1.72+6.25=9.89
0.92+1.00+2.50+3.40=7.82
0.94+1.00+1.68+6.25=9.87
0.96+1.25+1.75+3.60=7.56
1.00+1.05+2.50+2.80=7.35
1.00+1.15+2.48+2.50=7.13
1.00+1.18+2.40+2.50=7.08
1.00+1.20+1.30+6.25=9.75
1.00+1.20+1.44+5.00=8.64
1.00+1.20+1.70+3.75=7.65
1.00+1.20+2.00+3.00=7.20
1.00+1.20+2.35+2.50=7.05
1.00+1.25+1.30+5.68=9.23
1.00+1.25+1.41+4.80=8.46
1.00+1.25+1.60+3.85=7.70
1.00+1.25+1.80+3.24=7.29
1.00+1.25+2.02+2.80=7.07
1.00+1.27+1.60+3.75=7.62
1.00+1.28+1.75+3.25=7.28
1.00+1.30+1.50+4.00=7.80
1.00+1.40+1.96+2.50=6.86
1.00+1.44+1.90+2.50=6.84
1.00+1.50+1.68+2.75=6.93
1.00+1.50+2.00+2.25=6.75
1.00+1.60+1.70+2.50=6.80
1.00+1.75+1.90+2.00=6.65
1.04+1.25+1.40+4.50=8.19
1.06+1.25+2.08+2.50=6.89
1.12+1.20+1.25+5.25=8.82
1.12+1.25+1.44+3.75=7.56
1.12+1.50+1.60+2.50=6.72
1.13+1.25+2.00+2.40=6.78
1.14+1.20+2.00+2.50=6.84
1.17+1.25+1.60+3.00=7.02
1.19+1.25+1.50+3.20=7.14
1.20+1.25+1.29+4.00=7.74
1.20+1.25+1.40+3.50=7.35
1.20+1.25+1.50+3.16=7.11
1.20+1.25+1.80+2.50=6.75
1.25+1.40+1.86+2.00=6.51
1.25+1.60+1.75+1.84=6.44

[cardemon]

Gość portalu: Antyp napisał(a):

> Wszystkie rozwiązania (jest ich 159).

(...)

Ja trochę inaczej podszedłem do rozwiązań. U mnie jedno rozwiązanie to była
konkretna suma/iloczyn. Nawet jak tę sumę (iloczyn) można było skonstruować za
pomocą różnych cen-liczb. Tak więc licząc w ten sposób doliczyłem się około
setki sum/iloczynów.

> Jeżeli suma i iloczyn liczb nie będą ograniczone do 10 wówczas rozwiązaniem
> zadania Cardemona będzie czwórka liczb:
> 0,05 * 5,75 * 8,75 * 9,6 = 24,15 (suma i iloczyn)
> Jeżeli pozostaniemy przy ograniczeniu
> 0,32 * 2,5 * 3,1 * 4 = 9,92

Świetnie!

> Z ilości rozwiązań tego zadania przy ograniczeniu do 10 i bez ograniczenia
> zdawałem sobie sprawę (też mam komputer). Nie wiem jakiego algorytmu użyłeś
do
> liczenia, bo trwało Twoje liczenie bardzo długo. Mój czas liczenia to około 1
> godziny a mój sposób liczenia był bardzo prymitywny.

Sam zastosowałem prymitywny algorytm, ale ustawiłem pętle na szukaniu
sumy/iloczynu. Tak więc mój komp wielokrotnie wykonywał te same operacje dla
każdej kolejnej liczby. Twój algorytm jest lepszy, a i pewno masz szybszy
komputer, bo mój to już siedmioletni staruszek. :(

pzdr. CdM