Banany i malpka

[republican]

Podsluchane i trudne.

Pieciu rozbitkow laduje na malej wysepce na ktorej rosna banany
mieszka malpka.
W pierwszy dzien zrywaja wszystkie banany i zmeczeni ida spac
uzgadniajac ze podziela sie rano.

O pierwszej w nocy budzi sie pierwszy rozbitek , dzieli banany na
5 rownych czesci i jeden pozostaly banan daje malpce, chowa swoja
czesc.
O drugiej godzinie drugi majtek robi to samo z pozostalymi bananami.
Ta sytuacja powtarza sie o trzeciej, czwartej i piatej.

Nastepnego ranka jak gdyby nic dziela juz mniejsza kupke na 5 czesci
i daja malpce pozostalego banana.

Ile bylo bananow na wyspie?

[jacekstu]

republican napisał:


> Ile bylo bananow na wyspie?

rozwiązań jest oczywiście nieskończenie wiele, rozumiem, że chodzi o najmniejszą
możliwą liczbę bananów?

[republican]

jacekstu napisał:

> republican napisał:
>
>
> > Ile bylo bananow na wyspie?
>
> rozwiązań jest oczywiście nieskończenie wiele, rozumiem, że chodzi
o najmniejsz
> ą
> możliwą liczbę bananów?

Tak, wysepka jest malutka

[jacekstu]

jak na małą wysepkę to wyszło mi całkiem sporo bananów
zakładając, że żaden z pięciu rozbitków nie ciął bananów na kawałki robiąc nocny
podział (oraz ten właściwy rano) znalazłem najmniejszą możliwą liczb która jest
(!) pięciocyfrowa a suma jej cyfr to 15, zgaduję, że to pewnie za dużo?

[republican]

tak , jak do tego doszedles bo rownanie to koszmzr.

[jacekstu]

x - początkowa liczba bananów
po podziale zrobionym przez pierwszego rozbitka zostaje:
a=x-(x-1)/5
po drugim podziale:
b=a-(a-1)/5
itd.. (po trzecim podziale zostaje c, po czwartym d, po piątym e)
na koncu otrzymujemy liczbę bananów którą dostał każdy z rozbitków:
y=(e-1)/5
no i teraz zaczyna się zabawa, bo trzeba znaleźć najmniejszą liczbę y tak aby
wszystkie liczby a, b, c, d, e, x, y były całkowite.
ja znalazłem najmniejszą y=1023

[marchewa4]

republican napisał:

> tak , jak do tego doszedles bo rownanie to koszmzr.

To rownanie nie jest takie koszmarne :-)

Niech a(0) poczatkowa liczba bananow

Po podziale przez i+1-szego rozbitka
a(i+1)= a(i) - (a(i)-1)/5 - 1
czyli a(i+1) = (4 a(i) - 4) / 5 dla i = 0, 1, 2, 3, 4

Wyliczajac z tego a(i) wzgledem a(i+1) mamy
a(i) = 5 a(i+1) / 4 + 1

Z drugiej strony a(5) musi byc postaci 5x+1 [podzial poranny]
I teraz lecimy "od tylu"

a(4) = 5 a(5) / 4 + 1 = (25x+5)/4 + 1 = 6x + 2 + (x+1)/4
a(3) = 5 a(4) / 4 + 1 = (30 x + 10) / 4 + 5(x+1)/16 + 1 = 7x + 2 +
(2x + 2)/4 + 5(x+1)/16 + 1 = 7x + 3 + (13x + 13)/16
a(2) = 5 a(3) / 4 + 1 = (35 x + 15) / 4 + 5(13x+13)/64 + 1 = 8x + 3
+ (3x+3)/4 + (65x+65)/64 + 1 = 8x + 4 + (113x+113)/64 = 9x + 5 +
(49x+49)/64
a(1) = 5 a(2) / 4 + 1 = (45 x + 25) / 4 + 5(49x+49)/256 + 1 = 11x +
6 + (x+1)/4 + (245x+245)/256 + 1 = 11x + 7 + (309x+309)/256 = 12x +
8 + (53x+53)/256
a(0) = 5 a(1) / 4 + 1 = (60 x + 40) / 4 + 5(53x+53)/1024 + 1 = 15 x
+ 11 + (265x+265)/1024

a(0) musi byc calkowite, zatem 265(x+1)/1024 musi byc calkowite

265 i 1024 nie maja wspolnych podzielnikow, zatem x+1 musi byc
podzielne przez 1024.

Najmniejsze takie x to 1023.
a(0) = 15621

Pozdrowienia
M.

[kihooj]

> Ile bylo bananow na wyspie?

Najmniejsza możliwa liczba n1=15621

[kornel-1]

Banany do małpy bardziej mi pasują niż kokosy!
;-)

k.
(w=90681773)

[republican]

I dla majtkow tez bardziej pozywne.
Jak pisalem, podsluchane.