Zadanie na pograniczu matematyki i fizyki

[kasia_na_102]

Witam

Dostałam na rozmowie kwalifikacyjnej zadanie do rozwiązania i nawet nie mam
(do tej pory!) pomysłu, jak się za nie zabrać. Dodam, że czasu na rozwiązanie
było niewiele (kilka minut), więc powinno się dać je jakoś prosto policzyć.

Na łące stoją 3 psy. Każdy jest oddalony od dwóch pozostałych o 60m. W pewnym
momencie psy zaczynają się gonić. Pierwszy goni drugiego, drugi trzeciego, a
trzeci pierwszego z prędkością 6m/s. Po jakim czasie się spotkają?

Na moje oko, to one będą biegły po spirali (każdy po swojej) wewnątrz trójkąta
równobocznego. Ale nie mam bladego pojęcia jak wyznaczyć ich drogę.

Wysyłam na dwa fora, bo nie wiem, które jest bardziej odpowiednie... Dzięki za
wszelkie pomysły!

Kasia

[winoman]

kasia_na_102 napisała:

> Witam
>
> Dostałam na rozmowie kwalifikacyjnej zadanie do rozwiązania i nawet nie mam
> (do tej pory!) pomysłu, jak się za nie zabrać. Dodam, że czasu na rozwiązanie
> było niewiele (kilka minut), więc powinno się dać je jakoś prosto policzyć.
>
> Na łące stoją 3 psy. Każdy jest oddalony od dwóch pozostałych o 60m. W pewnym
> momencie psy zaczynają się gonić. Pierwszy goni drugiego, drugi trzeciego, a
> trzeci pierwszego z prędkością 6m/s. Po jakim czasie się spotkają?
>
> Na moje oko, to one będą biegły po spirali (każdy po swojej) wewnątrz trójkąta
> równobocznego. Ale nie mam bladego pojęcia jak wyznaczyć ich drogę.
>
> Wysyłam na dwa fora, bo nie wiem, które jest bardziej odpowiednie... Dzięki za
> wszelkie pomysły!
>
> Kasia


Odpowiedź: spotkają się po 10 sekundach.

Najprościej zobaczyć to wybierając ruchomy układ współrzędnych, o początku w
pierwszym psie i osi wskazującej drugiego. W tym układzie pies pierwszy jest
nieruchomy, a drugi zbliża się do niego po linii prostej z prędkością 6 m/s.

Pozdrawiam!

[winoman]

Kilka sekund namysłu i można jeszcze prościej: oś skierujmy w stronę trzeciego
psa, wtedy dla pierwszego psa trzeci rzeczywiście biegnie po linii prostej w
jego stronę.

Pozdrawiam!

no nie wiem

[llukiz]

JAkoś nie czuje sie przekonany. Policzyłem sobie co będzie po 1/10 czasu
zakładając że każdy pies przesunął się 1/10 drogi w kierunku położenia
początkowego drugiego psa i wyszło mi że odległość między psami po tej 1/10
czasu wcale nie wynosi 9/10 lecz 0,854. Różnica jest zbyt duża by przypisać ją
mojemu przybliżeniu.

już wiem :)

[llukiz]

Zamiast liczyć głupoty wystarczyło pomyśleć. Względna prędkość psów to
pierwiaste z 3 razy prędkość pojedynczego psa. Należy po prostu sobie złożyć
wektory prędkości.

[winoman]

Tak, ale licząc prędkość względną przechodzisz do ruchomego układu odniesienia i
musisz uwzględnić zmianę długości trajektorii psów w tym układzie.

Można wziąć jeszcze inny układ odniesienia, o początku w środku ciężkości
wyjściowego trójkąta i obracający się tak, by psy po liniach prostych zbliżały
się do tego środka. Rachunek jest nieco bardziej skomplikowany (pojawiają sie
pierwiastki z 3, ale się skracają), a wynik wychodzi taki sam, 20/3.

Pozdrawiam!

Pozdrawiam!

[winoman]

OK, moje rozwiązanie będzie dobre dla czterech psów znajdujących się we
wierzchołkach kwadratu. Zapomniałem o uwzględnieniu składowej radialnej
prędkości gonionego psa, równej w tym przypadku 3 m/s. Stąd prędkość drugiego
psa w układzie związanym z pierwszym wyniesie 6+3 czyli 9 m/s, a więc czas
wyniesie 60/9, czyli 6 i 2/3 sekundy.

Przepraszam i pozdrawiam!

[llukiz]

> OK, moje rozwiązanie będzie dobre dla czterech psów znajdujących się we
> wierzchołkach kwadratu. Zapomniałem o uwzględnieniu składowej radialnej
> prędkości gonionego psa, równej w tym przypadku 3 m/s. Stąd prędkość drugiego
> psa w układzie związanym z pierwszym wyniesie 6+3 czyli 9 m/s, a więc czas
> wyniesie 60/9, czyli 6 i 2/3 sekundy.

No tak, ja w poście wyżej też sie pomyliłem pisząc że prędkość względna to
V*sqrt(3). Oczywiście jak by wziąć odpowiednią składową prędkości przypadającą
na kierunek psa to wychodzi oczywićście (3/2)*V, czyli tak jak napisałeś

wiedziałeś

[Gość: maku]

Było dobrze...

One stoją w wierzchołkach trójkąta o boku 60m,
biegną 6m/s i każdy celuje prosto w następnego,
więc tor krzywi się, a spotkają się w środku trójkąta.

Prędkość zbliżania (z tw. cosinusów):
u2 = v2 + v2 + 2v2*cos(60) = 3v2,
u = sqrt(3)v

odległość do pokonania:
s = 60m
czyli:
t = s/u = 60/[6sqrt(3)] = 10*sqrt(3)/3 = ~5.77s

[winoman]

Gość portalu: maku napisał(a):

> Było dobrze...
>
> One stoją w wierzchołkach trójkąta o boku 60m,
> biegną 6m/s i każdy celuje prosto w następnego,
> więc tor krzywi się, a spotkają się w środku trójkąta.
>
> Prędkość zbliżania (z tw. cosinusów):
> u2 = v2 + v2 + 2v2*cos(60) = 3v2,
> u = sqrt(3)v
>
> odległość do pokonania:
> s = 60m
> czyli:
> t = s/u = 60/[6sqrt(3)] = 10*sqrt(3)/3 = ~5.77s


Mówisz o przędkości zbliżania, więc posługujesz się zapewne układem odniesienia
związanym z jednym z biegnących psów. Jesteś pewien, że w tym układzie
"odległość do pokonania" dalej jest równa 60 m? Pamiętaj, że długość
trajektorii zależy od układu odniesienia (klasyczny przykład: trajektoria
piłeczki pingpongowej podczas gry na ruchomym stole pingpongowym, na przykład
umieszczonym prostopadle do kierunku ruchu.

Pozdrawiam!

[llukiz]

Ale tylko jeden celuje a drugi celuje gdzie indziej. Więc należy wziąć tylko
składową prędkości odpowiadającą za zbliżanie, tak więc po uwzględnieniu tego
wychodzi 3/2 a nie sqrt3

[yoma]

Po 20 s

[Gość: t0g]

zadania z poziomu fizyki uniwersyteckiej. Można je znaleźc w wielu zbiorach zadań.
Sam je dawałem na jakims egzaminie, tyle, że nie z psami, tylko z rakietami
samonaprowadzajacymi się, i nie trzema, a czterema, ustawionymi na poczatku w
kwadrat. No i rakieta A naprowadza się w sposób ciagły na B, B na C, C na D, a D
na A. Wprowadzając rotujący układ współrzednych zadanie istotnie rozwiązuje sie
"w try miga", bo w kazdym momencie połozenia rakiet tworza kwadrat, no i ten
kwadrat kurczy się do zera. Czyli droga przebyta przez każda z rakiet jest równa
długosci boku kwadratu na początku. W przypadku innej figury - trójkąta,
pięciokata, etc. - jest tak samo.

Trudność dopiero rozpoczyna sie, kiedy zapytamy o krzywa, po której beda podązać
rakiety - i zażyczymy sobie "alternatywnego" rozwiązania poprzez obliczenie
długości tej krzywej. Tam wychodzi jakaś wykładnicza spirala, o ile mnie pamiec
nie myli.

Chodzi mi tez po głowie, ze rozwiązanie zadania - właczając tę "trudną" metode z
całkowaniem - podane jest w zbiorze zadań, którego autorami sa m. in. A. Hennel
i W. Szuszkiewicz. Mam to w pracy, mogę sprawdzić.

[llukiz]

> Czyli droga przebyta przez każda z rakiet jest równa
> długosci boku kwadratu na początku. W przypadku innej figury - trójkąta,
> pięciokata, etc. - jest tak samo.

W kwadracie tak jest, w trójkącie nie. W pięciokącie i w innych też bym się nie
spodziewał. Poczytaj co wyżej napisano.

[Gość: t0g]

Istotnie nad tymi wariantami sie nigdy nie zastanawiałem.

W pracy powinienem mieć rozwiązanie dla przypadku 4 rakiet (psów), wiec sie
przypatrze - nie bardzo mi sie chce w tej chwili rozwiązywać od początku. Dla
trzech równanie różniczkowe, z którego wylicza się tor, bedzie chyba zblizone,
jakis inny sinus czy cosinus tylko trza będzie wstawić.

[Gość: t0g]

Z symetrii problemu wynika, że psy w każdym momencie będą znajdować sie w
wierzchołkach trójkąta równobocznego.

Wprowadźmy biegunowy układ współzednych, ze srodkiem układu porywającym się ze
środkiem tegoz trójkata. Połozenie psa opisują nam teraz dwie współrzędne,
promień wodzący R, i kąt fi pomiedzy R a wyrózniona osia układu.

Wektor predkosci psa w jakims wierzchołku trójkata w każdym momencie "celuje" w
sąsiedni wierchołek. Zatem rzut tego wektora na na promień wodzący R jest
Vcos(30). Wiec równanie opisujące różniczkowa zmiane R w czasie dt jest:

dR = -Vcos(30)dt

Składowa wektora predkosci normalna do promienia R jest Vsin(30). Zatem
rózniczkowa zmiana kata fi w czasie dt jest:

d(fi) = (1/R)Vsin(30)dt

Eliminując dt, otrzymujemy równanie rózniczkowe na zależnośc R do fi, czyli,
innymi słowy, na tor:

dR/R = -cot(30)d(fi)

Co ma oczywiscie prościutkie rozwiazanie: R = Ro exp[-(fi -fio)cot(30)]

Gdzie Ro i fio to początkowe wartości. Dobierając układ tak, by początkowa
wartosc fi była zero, dostajemy:

R=Ro exp[-fi cot(30)]

Ro to początkowa odległosc od środka trójkata do wierzchołaka, czyli bedzie to
początkowa odległośc pomiędzy psami (długośc boku trójkata) podzielona przez
pierwiastek z 3.

Oczywiście "cot(30)" znaczy "cotangens trzydziestu stopni", tylko nie ma symbolu
stopnia na tym forum!

Teraz jeszcze trzeba pocałkowac krzywą, żeby obliczyc DŁUGOSĆ toru do momentu,
kiedy wszystkie trzy wpadną na siebie

[Gość: t0g]

Równanie toru jesr R=Ro exp[-sqrt(3) fi]

Wiec jak sie weźmie wzór na długosc łuku krzywej

[winoman]

> czas wyniósłby 6 i 2/3 sekundy. Ale nie wiem, czy sie gdzies po drodze nie
> pomyliłem, bo robiłem to wszystko dosłownie "na kolanie".

Dokładnie tyle samo, mamy więc już trzy różne metody dające ten sam wynik :-)

Pozdrawiam!

[Gość: t09]

Pies A "skraca" odległość dzieląca go od B z szybkoscia 6 m.s. Pies B biegnie w
kierunku C, ale rzut wektora jego predkości na odcinek AB jest V*cos(60) = 3
m/s, czyli on "skraca" dystans miedzuy soba a psem A z taka własniepredkoscią.
Zatem odległosc miedzy psami A i B "skraca sie" w tempie 9 m/s i czas do momentu
spotkania wyniesie 60/9 s = 6 i 2/3 s. Czyli policzyło mi sie dobrze w
powyższych dwóch atkach.

Faktycznie przy czworokącie rakieta B nie "uczestniczy" w skracaniu dystansu do
rakiety A, a tylko sama rakieta A - stąd przy czwoeokącie czas to jest po prostu
początkowa odległosc podzielonaprzez prędkośc. A przy pieciokacie rakieta B
wnosi składową nie skracjąca dystans, a przeciwnie, wydłużajacą, wiec wtedy czas
wyniesie t= D/[V(1-cos(72)]

[winoman]

A więc jak zwykle sztuka polega na dobraniu odpowiedniego układu współrzędnych.
Zawsze powtarzam, że matematycy są szczególnie leniwymi ludźmi, cała ich praca
polega na wymyślaniu sposobów unikania skomplikowanych obliczeń. Myślę, że z
większością fizyków jest podobnie :-))

Pozdrawiam!

[picard2]

Za pozno wskoczylem na FS wiec zostala mi tylko jak najbardziej chamska metoda
"elementow skonczonych".Po podziale trojkonta na trojkaty elementarne i
zakladajac ze szybosc psow jest stala w "elemencie skonczonym" orzymujemy za
pomoca "MATHLAB" 6,73 sec. zwiekszenie gestosci triangulacji ma maly wplyw na
wynik.
Chris

Inne rozwiązanie analityczne

[winoman]

Nie ma tu miejsca na szczegóły, ale nietrudno (naśladując przykłąd llukiza z
obliczeniami dla 1/10 czasu) napisać równanie różniczkowe dla funkcji wektorowej
R(t) której wartość w chwili t jest równa wektorowi o początku w psie pierwszym,
a końcu w psie drugim, oczywiście położenia psów też w chwili t. Jeśli wektory
utożsamimy z liczbami zespolonymi, to równanie to wygląda tak:

R'(t) = (moduł wektora R(t)) . v . (exp(ia)-1),

gdzie v jest szybkością psa, zaś "a" oznacza kąt 2pi/n (rozwiązujemy przypadek n
psów). Nietrudno wyliczyć stąd pochodną modułu wektora R(t), czyli szybkość
w(t) zmian odległości między dwoma rozważanymi psami. Okazuje się, że szybkość
w jest stała i jest równa

w = v.(cos(a)-1),

(jest ujemna, więc odległość rzeczywiście maleje!), a więc czas od chwili startu
do spotkania jest równy

T = r/ v(1-cos(a)).

Jest to dokąłdnie ten sam wynik, który dla n=3 podaliśmy wcześniej, poprzez
dobranie ruchomego układu współrzędnych i wyliczenie radialnej składowej
prędkości. Dla n=4 też się zgadza, wówczas cos(a)=0 i rozwiązanie jest
szczególnie proste.

Uff, koniec zabawy, czas wrócić do pracy.

Pozdrawiam!

[winoman]

Oczywiście r oznacza początkową odległość, w naszym przypadku r=60.

Pozdrawiam!

excellent... almost

[Gość: hetman]

Bardzo dobrze, tylko że te psy biegały po Ziemi,
a to jest planeta, czyli kula, a nie płaszczyzna, hi hi.

[no_login]

Myślę że przy tych odległościach
zakrzywienie ziemi możesz spokojnie
pominąć.
Prędkość światła też :-)

[winoman]

Gość portalu: hetman napisał(a):

> Bardzo dobrze, tylko że te psy biegały po Ziemi,
> a to jest planeta, czyli kula, a nie płaszczyzna, hi hi.

Dodaj jeszcze efekt płynący ze skończoności prędkości światła (pies nie biegnie
w kierunku innego psa, a w kierunku, skąd nadlatuje jego opóźniony obraz) :-))

No a znalezienie na powierzchni ziemi odpowiednio płaskiej łąki nie jest chyba
takie trudne ...

Pozdrawiam!

torusik albo mobius, to by dopiero było...

[Gość: hetman]

To może chociaż na torusiku... takim malutkim.

Kiedyś planowałem obliczyć grawitację torusa
(większego, wielgachnego - czarna dziurawa dziura!).

Chciałem zobaczyć jak będzie drgać masa na jego osi...
sama niesamowitość,
może ktoś ciachnie taki torusik?

[Gość: t0g]

[winoman]

Gość portalu: hetman napisał(a):

> To może chociaż na torusiku... takim malutkim.

Problem psów biegających na powierzchni torusa? Przypuszczam, że nie da się
rozwiązać analitycznie, a co gorsza, rozwiązanie może nie istnieć. Już trzy psy
biegające po powierzchni o zmiennej krzywiźnie, nawet jeśli w chwili początkowej
znajdują się w równych od siebie odległościach, chwilę później stracą tę
własność i mogą się nie spotkać w jednym punkcie. Trzy psy na "małym obwodzie"
będą się gonić w nieskończoność (tak jak trzy psy na równiku sfery).

>
> Kiedyś planowałem obliczyć grawitację torusa
> (większego, wielgachnego - czarna dziurawa dziura!).

Cuchnie mi to całką eliptyczną, ale jako były matematyk jestem jeszcze bardziej
leniwy niż dawniej, więc nie będę sprawdzał, skąd to śmierdzi.

> Chciałem zobaczyć jak będzie drgać masa na jego osi...
> sama niesamowitość,
> może ktoś ciachnie taki torusik?

No tak, orbity satelitów krążących (czy to dobre słowo?) wokół toroidalnej
planety mogą być wielce osobliwe. Życie na takiej planecie zresztą też :-)

Pozdrawiam!

czarny torus, ten to dopiero jest...

[Gość: hetman]

> No tak, orbity satelitów krążących (czy to dobre słowo?) wokół toroidalnej
> planety mogą być wielce osobliwe. Życie na takiej planecie zresztą też :-)

Planety mogą orbitować zwyczajnie - z daleka każda bryła to punkt.

Pewnie masywne gwiazdy (te w centrum galaktyki) to takie masywne torusy.
Osobliwość może sobie wtedy spokojnie egzystować w pustym środku.
Musi to oczywiście odpowiednio wirować... trzeba by obliczyć jak szybko.

Pole magnetyczne i elektryczne ma tu istotne znaczenie.
Pulsar - masa spada do centrum (tej niedoszłej osobliwości)
i anihiluje, tak to pewnie wygląda!

[adam228]

Obwód trójkąta równobocznego zmniejsza się z prędkością 3x6m/s czyli 18m/s a
obwód wynosi 3x60m czyli 180m.
Więc czas spotkania to 10sek.

[winoman]

adam228 napisał:

> Obwód trójkąta równobocznego zmniejsza się z prędkością 3x6m/s czyli 18m/s a
> obwód wynosi 3x60m czyli 180m.
> Więc czas spotkania to 10sek.

Gdybyś przeczytał co wcześniej napisano, wiedziałbyś od razu, gdzie zrobiłeś
błąd (ja go zresztą też w pierwszej chwili zrobiłem). Prędkość zmiany obwodu
jest większa niż napisałeś, gdyż nie tylko pies pierwszy biegnie w kierunku
drugiego, ale i drugi, biegnąc w stronę trzeciego, jednocześnie biegnie "trochę"
w kierunku pierwszego. To "trochę" ma prędkość 3 m/s. I tak dalej.

Pozdrawiam!

[kasia_na_102]

Dzięki za tyle możliwych rozwiązań. Rzeczywiście niektóre dałoby się na palcach
zrobić w 5 minut, ale... to był test i możliwe odpowiedzi to 15s, 18s, 21,2 (nie
pamiętam ile było po przecinku) i jeszcze coś więcej... Być może źle pamiętam
prędkość, z jaką psiaki biegły, ale chyba przy większej prędkości czas byłby
jeszcze krótszy? No i teraz nie wiem, czy ten test był źle ułożony, czy o co
chodzi...

PS. Może niech się torusy ścigają po pulsarze ;)

[Gość: p_n_t]

Gość portalu: hetman napisał(a):
...
> Kiedyś planowałem obliczyć grawitację torusa
> (większego, wielgachnego - czarna dziurawa dziura!).
...

"Czarna dziurawa dziura"
Fajna i trafna nazwa, pyta się
czy może wykorzystać jako tutuł nowego wątku :)

[adam228]

Winoman masz rację 6+3=9m/s
a czas to 60/9=6 i 2/3 sek.

Zajrzyj tu zagadki.net/forum/index.php

[picard2]

adam228 napisał:

> Winoman masz rację 6+3=9m/s
> a czas to 60/9=6 i 2/3 sek.
>
> Zajrzyj tu zagadki.net/forum/index.php
Troche mnie to dziwi ze po podaniu wynikow elementarnych obliczen metoda
skonczonych elementow duzo forumowiczow ciagle odkrywa Ameryke.Metody cyfrowe
sa malo eleganckie ale dosc dokladne.

[winoman]

> Troche mnie to dziwi ze po podaniu wynikow elementarnych obliczen metoda
> skonczonych elementow duzo forumowiczow ciagle odkrywa Ameryke.Metody cyfrowe
> sa malo eleganckie ale dosc dokladne.

Mnie to nie dziwi, wręcz przeciwnie, cieszy. W końcu wykorzystanie programu
komputerowego do przeprowadzenia obliczeń da, owszem, wynik (przyznasz jednak
sam, że tylko przybliżony), jednak w niczym nie pomoże w zrozumieniu istoty
problemu. Sprowadzenie zadania do prostych zasad jest tu dużo lepsze, nie tylko
dlatego, że daje wynik dokładny, w dodatku bez skomplikowanych obliczeń, ale też
dlatego, że wtedy rzeczywiście rośnie nasza wiedza i zdolność rozumienia. W
naszym przypadku jednakowo rozwiązuje się problem trójkąta jak i dowolnego
wielokąta, do tego raczej zapamiętam to zadanie i jeg rozwiązanie, więc
rzeczywiście dziś rozumiem więcej.

Pamiętam też zdanie, które przeczytałem kiedyś u Feynmana. Brzmiało jakoś tak:
"zaczynam obliczenia dopiero wtedy, gdy wiem, jaki wyjdzie wynik". To jedna z
najmądrzejszych wypowiedzi na temat pracy fizyka, jakie znam. Owszem, Feynman
był geniuszem, a ja nie jestem fizykiem, ale w jakimś sensie i mnie to zdanie
dotyczy.

Przy okazji: lubię mieć więcej niż jedno rozwiązanie zadania, bo z jednej strony
lepiej rozumiem problem, z drugiej zaś mam pewność, że rozwiązanie jest dobre.

Pozdrawiam!