Matematycy

[republican]

W kwadratowym pokoju o boku 10m mamy czterech
studentow z ich profesorem.
W kazdym rogu jest student z pistoletem wodnym o
zasiegu 10m.
Obliczyc powierzchnie pola w ktorym profesor jest w
zasiegu wszystkich studentow.

[Gość: Linear]

całka, całka, całka, kiedy ja to ostatnio liczyłem. Może ktoś inny się na to
skusi. Wyszło mi, że pole to można wyrazić wzorem:

pole = 4*całka(od x=5 do x=5*sqrt(3))całka(od y=5 do y=sqrt(r^2-x^2))dxdy

Można by też przejść do sferycznego układu współrzędnych ale nie mam już siły

pozdrawiam
Linear

[smiechowiec]

Wydaje mi się, że można to zrobić i w szkole podstawowej.
Po narysowaniu kwadratu z czterech linii ograniczających zasięg sikawki powstaje coś w rodzaju kwiatka.
Oznaczmy długość boku kwadratu przez a.
Mamy 3 typy figur, szukana jest środkowa część kwiatka w kształcie poduszki oznaczmy jej pole przez s0.
Pola części przyległych do szukanej poduszki i mające czubek w narożnikach w oznaczmy przez s1.
Pola części przyległych do boków kwadratu oznaczmy przez s2.

Mamy więc 3 zmienne s0, s1 i s2 wystarczy napisać 3 równania i obliczy pole s0.

I równanie wynika z faktu, że suma wszystkich pól jest równa polu kwadratu o boku a czyli
s0 + 4s1 + 4s2 = s^2

II równanie wynika z faktu, że suma pól ograniczona zasięgiem jednej sikawki oraz dwóch boków kwadratu stanowi czwartą część powierzchni koła o promieniu a czyli
s0 + 3s1 + 2s2 = (Pi * a^2) / 4


III równanie utworzymy korzystając z faktu, że pole utworzone przez obszar wspólny dla powierzchni zalanych z dwu sąsiednich narożników składa się s trójkąta równobocznego i dwóch kawałków koła, które pojedynczo tworzą z trójkątem szóstą część koła, jako wycinki koła dla łuku 60 stopni, czyli
s0 + 2s1 + s2 = (Pi * a^2) / 3 - (a^2 pierwiastek(3) )/ 4

Tak na szybko to mniej więcej
s0 = a^2 (1 + Pi / 3 - pierwiastek(3))

[republican]

Cos tu nie tak, albowiem
s0 = a^2 (1 + Pi / 3 - pierwiastek(3))
czyli
s0> a^2
Podejscie podoba mi sie bardzo bo przestraszylem sie
Calkowania Linear.
Sa jeszcze inne zaleznosci geometryczne, czy ktos
widzi je?

[Gość: Linear]

Witam

No dobra, całka całką ale da się to policzyć inaczej

oznaczmy wierzchołki kwadratu
k1(0,0) k2(0,a) k3(a,a) k4(a,0)

teraz wierzchołki figury, której pole obliczamy
f1 (godzina 12), f2 (godzina 3), f3 (godzina 6), f4 (godzina 9)

Prowadzimy prosta z f1 do k1 i razem z połową podstawy mamy trójkąt prostokątny.
podstawa to 0.5a, przeciwprostokątna to a. Cos(alfa) = 0.5a/a czyli alfa = 60
stopni. Zatem kąt k2, k1, f1 wynosi 30 stopni.

Analogicznie kat f2, k1, k4 wynosi tyle samo.

Teraz wiemy, że kąt f1, k1, f2 wynosi też 30 stopni.

pole figury f1, k1, f2 to 1/3 z ćwiartki okręgu o promieniu a. Pole to wynosi :
p1 = 1/3 * 1/4 * pi * a^2

Teraz popatrzmy na pole trójkąta f1, k1, f2. Kąt f1, k1, f2 to 30 stopni. Jest
to trójkąt równoramienny zatem kąt f2, f1, k1 wynosi 75 stopni.
Z twierdzenia sinusów mamy: bok (f1, f2 oznaczmy jako b)
b = a /(sin (30) * sin (75))

pole trójkątna równoramiennego to:
p2 = b^2 * (cos (75) - 1 ) / (4 * (sin 75))

różnica tych pól to taki taki mały kawałek f1, f2 ,f1

teraz obliczmy pole trójkąta f1, f2, c(5,5)
pt = 1/2((5*sqrt(3) - 5)^2)

zatem szukane pole to:
szukane pole = 4 * (p1 - p2 + pt)

Uff
Pozdrawiam
Linear

[Gość: Linear]

Czołem

Małe błędy:
p2 = b^2 * (cos (75) + 1 ) / (4 * (sin 75))
b = (a * sin (30)) /(sin (75))

Zobaczmy to na liczbach:
p1 = 26,17

b = 5,2

p2 = 8,9 (coś małe w porównaniu do p1 ... nic to zobaczmy dalej)

pt = 6,7

szukane pole = 95,88 cos tu nie gra. Wyszedł mi prawie cały kwadrat

Mimo wszystko pozdrawiam
Linear

[smiechowiec]

republican napisał:
> Cos tu nie tak, albowiem
> s0 = a^2 (1 + Pi / 3 - pierwiastek(3))
> czyli
> s0> a^2
Nie chce mi się wieżyć, bo na moim kalkulatorze
1 + 1.05 - 1.73 = 0.32 < 1
czyli to pole to niecałe 1/3

> Sa jeszcze inne zaleznosci geometryczne, czy ktos
> widzi je?
Podstawowe zależności to te, które podałem, pozostałe są raczej ich kombinacją
img340.imageshack.us/img340/9707/kwiat02.gif
img340.imageshack.us/img340/9228/kwiat03.gif
img340.imageshack.us/img340/5941/kwiat04.gif
img340.imageshack.us/img340/5896/kwiat05.gif

[republican]

Super, przepraszam.
Przeoczylem minus w nawiasie.