Druga opowieść Zajarzyna

03.02.04, 05:37
Zajarzyn ledwie zakończył swą opowieść o kupcu, dekarzu i cyruliku, a
Wartkodum dopowiedział niedopowiedzianą resztę tej historii
(forum.gazeta.pl/forum/72,2.html?f=514&w=7795321), kiedy okazało się,
że uczestników biesiady wokół ichniego stołu znacznie przybyło. Biesiadnicy z
sąsiednich ław czym śpieszniej przesiedli się bliżej, by wysłuchać kolejnej
opowieści szlachcica.

- Prosimy waćpanie Zajarzynie, opowiedzcie no jeszcze jakąś historyję z dworu
miłościwie nam panującego króla Gwizdoniusza! – zakrzyknął imćpan Piwociąg.

- Dobrze, waćpanowie - odparł Zajarzyn - historyja będzie z dworu naszego
szlachetnego Gwizdoniusza, ale będzie właściwie o królu Barberiuszu, który
ostatniego lata wybrał się w odwiedziny do naszego pana z drogocennym
naszyjnikiem wysadzanym diamentami i szmaragdami. Jaki był cel tej wizyty i
po co Barberiusz wiózł ze sobą był ten naszyjnik, może kiedy indziej waćpanom
objaśnię, pozwólcie jednak, że teraz opowiem, co przydarzyło się z tym
naszyjnikiem. Otóż dwóch złodziei zakradło się nocą do skrzyń Barberiusza,
jak ten gościł na dworze naszego Gwizdoniusza i skradło ten naszyjnik.
Naszyjnik był bardzo drogocenny, stanowił jedną całość bez rozpinki i był
wysadzany diamentami i szmaragdami. Wiadomo też było, że znajdowała się w nim
parzysta ilość diamentów i parzysta ilość szmaragdów, ale dokładnie ile
każdego kamienia, tego nie wiem.
- Otóż wyobraźcie sobie waćpanowie – ciągnął dalej opowieść Zajarzyn po
wzięciu sporego łyku z kufla – że te dwa zbóje po skradzeniu naszyjnika
podzieliło łup po połowie między siebie, czyli znaczy przecięli naszyjnik w
dwóch miejscach i każdy z nich wziął dokładnie połowę diamentów i połowę
szmaragdów. Na szczęście złapano łotrów, a święciła się już niezła afera
dyplomantyczna na całego, a i na szczęście odnaleziono przy nich obie połówki
naszyjnika. Złotnik naszego miłościwie nam panującego króla Gwizdoniusza miał
sporo roboty, by całość poskładać, ale zdołał tak to zrobić, że ani trochę
nie było widać, iż naszyjnik był przecięty, choć Barberiusz mimo to coś
kręcił nosem.

- Ech, no panie Zajarzynie, toć to musiał być jakyś specyjalny naszyjnik, w
którym diamenty i szmaragdy poukładane były symetrycznie jeden za drugim, by
dwa cięcia wystarczyły do równego podziału – rzekł Piwociąg.
- Tak, to całkiem możliwe – odparł bez przekonania Zajarzyn.
- Oj nie!- wtrącił się Wartkodum. – Te kamienie mogły być zupełnie dowolnie
ułożone.
- No jakże to tak? – zapytał Piwociąg. - Musiały być przecie ułożone jeden za
drugim i w tej samej ilości lub według innego określonego wzoru, nieprawdaż
waćpanowie?!
- Zupełnie nie! - zripostował Wartkodum. - Mogły być w dowolnych ilościach i
w dowolnym ułożeniu w tym naszyjniku, byle parzyście, jak zaznaczył imćpan
Zajarzyn.

Wśród biesiadników karczmy rozgorzała prawdziwa dysputa, co do ilości i
ułożenia kamieni w naszyjniku i nikt nie potrafił rozstrzygnąć sporu, aż w
końcu w drzwiach karczmy pojawił się Kultonóg, który po opowiedzeniu sobie
powyższej historii od początku do końca, przedstawił niezbity dowód na to,
jak na pewno było z tym naszyjnikiem.

Kto miał więc rację, Piwociąg czy Wartkodum? A może nikt z nich nie miał
racji? Jakiego wywodu użył Kultonóg, by przekonać uczestników biesiady?


Życzę owocnych zmagań nad tą zagadką,
CdM
    • cardemon Re: Druga opowieść Zajarzyna 03.02.04, 05:40
      działający poprawnie link do pierwszej opowieści Zajarzyna:

      forum.gazeta.pl/forum/72,2.html?f=514&w=7795321
    • Gość: pafcio Re: Druga opowieść Zajarzyna IP: *.aster.pl / *.aster.pl 03.02.04, 10:19
      dla mnie rację miał warkodum, choć dowód który przytaczam jest dość
      niedopracowany w prostocie;)
      mając na naszyjniku 2n diamentów oznaczmy je liczbami od 1 do 2n. jst 2n
      podziałów naszyjnika by na każdej części znajdowała się ta sama liczba
      diamentów to jest od 1 do n (na razie naszyjnik tniemy dokłądnie za diamentem),
      od 2 do n+1 itd aż do 2n-1 do n-1. teraz rozpatrzmy liczę szmaragdów jaka w
      każdym takim podziale się znajduje. jeżeli w pierwszym takim podziale jest
      liczba n-x (w ogóle na razie nie patrzę na liczbę szmaragdów pomiędzy
      diamentami 2n i 1 oraz 1 i 2) to oznacza to że w podziale diamentów n+1 i 2n
      znajduje się liczba szmaragdów n+x. zatem gdzieś pomiędzy przedziałem 1..n i
      n+1..2n liczba szmaragdów zmineia się z niedoboru do n w naddatek do n. czy
      jest możliwe żegy taka zmiana nie mogła przejść przez n? no nie za bardzo bo
      skokowa zmiana z np n-1 na n+2 oznacza przysrost 3 szmaragdów który to przyrost
      możemy regulować podziałem naszyjnika nie tuż za diamentem.

      no to na tyle
      pozdrowionka
    • bbaju Re: Druga opowieść Zajarzyna 03.02.04, 17:45
      cardemon napisał:

      > te dwa zbóje po skradzeniu naszyjnika
      > podzieliło łup po połowie między siebie, czyli znaczy przecięli naszyjnik w
      > dwóch miejscach i każdy z nich wziął dokładnie połowę diamentów i połowę
      > szmaragdów.

      No właśnie! Jeżeli diamentów było 2d, szmaragdów 2s, wystarczy, by każda
      połówka zawierała odpowiednio po d diamentów i s szmaragdow w ZUPEŁNIE
      DOWOLNYM PORZĄDKU. To tak, jakby cały naszyjnik był złożony z dwóch,
      rozciętych wcześniej, naszyjników tego typu, a złodziejaszkowie musieli tylko
      wypatrzyć miejsce hipotetycznego łączenia.

      > Barberiusz mimo to coś
      > kręcił nosem.

      Zapewne złotnik, składając na nowo całość, odwrócił połówki i dlatego
      Barberiusz, zauważając zmianę, "kręcił nosem".

      Tak to było?

      Pozdrawiam,
      Baj
      • cardemon Re: Druga opowieść Zajarzyna 04.02.04, 03:28
        bbaju napisała:

        > (...) Jeżeli diamentów było 2d, szmaragdów 2s, wystarczy, by każda
        > połówka zawierała odpowiednio po d diamentów i s szmaragdow w ZUPEŁNIE
        > DOWOLNYM PORZĄDKU. To tak, jakby cały naszyjnik był złożony z dwóch,
        > rozciętych wcześniej, naszyjników tego typu, a złodziejaszkowie musieli tylko
        > wypatrzyć miejsce hipotetycznego łączenia.
        >
        > > Barberiusz mimo to coś
        > > kręcił nosem.
        >
        > Zapewne złotnik, składając na nowo całość, odwrócił połówki i dlatego
        > Barberiusz, zauważając zmianę, "kręcił nosem".
        >
        > Tak to było?
        >

        No cóż, na ogół na tak wczesnym etapie, od chwili pojawienia się zagadki na
        forum, staram się nie udzielać żadnych wskazówek, ani nie komentować rozwiązań.
        Tym razem zrobię drobny wyjątek. :)
        Zacznę od końca. Tak, rzeczywiście, powód "kręcenia nosem" Barberiusza bardzo
        trafnie określiłaś! :)

        Natomiast co do części pierwszej, to właśnie sednem zagadki jest, by wykazać,
        że dowolny układ 2d diamentów i 2s szmaragdów w naszyjniku (gdzie d i s -
        liczby naturalne) pozwala na takie jego DWA przecięcia, by można było po
        połowie rozdzielić wszystkie zawarte w nim kamienie pomiędzy dwóch
        złodziejaszków. Potrafisz dać na to prosty dowód?

        pzdr. CdM
    • Gość: puciapucia Re: Druga opowieść Zajarzyna IP: 193.220.82.* 04.02.04, 16:42
      Mysle, ze Wartkodum wyjasnial to w ten sposob:
      Jesli naszyjnik ma pewna parzysta ilosc diamentow i szmaragdow to istnieje
      jakas ilosc kombinacji w jakim porzadku moga byc nanizane na lancuszek ( ani ja
      ani prawdopodobnie Wartkodum nie mamy pojecia jaki to wzor)
      Teraz, gdybysmy zdjeli te kamienie i rozrzucili na powierzchni kola
      ograniczonego tym lancuszkiem to wychodzac z kazdego punktu tego obwodu mozemy
      przeprowadzic linie (krzywa) ktora obejmie polowe tych kamieni i zakonczyc w
      przeciwleglym punkcie lancuszka, czyli zgarnac na polowe.
      Ilosc tych kombinacji jest taka sama, czyli wynika z tego, ze przy kazdym
      ulozeniu kamieni na obwodzie lancuszka sa dwa punkty ktore dziela ilosc kamieni
      na polowe.
      Uklony, puciapucia
    • stomek Re: Druga opowieść Zajarzyna 04.02.04, 18:32
      Załóżmy, że naszyjnik ma 2k kamieni w tym 2d diamentów (d <= k).
      Wyobraźmu go sobie jako okrąg.
      Można go na 2k sposobów wybrać z niego połówkę zaczynając od
      każdego z kamieni i biorąc k kolejnych kamieni zgodnie z kierunkiem
      ruchu wskazówek zegara.
      Liczba diamentów w "sąsiednich" połówkach nie może się różnić bardziej
      niż o 2 (bo połówki różnią się o dwa kamienie).
      Jeśli więc nie będzie połówki o liczbie diamentów równej d to
      znaczy, że wszystkie mają więcej niż d lub wszystkie mniej niż d.
      Jeśli zsumujemy liczbę diamentów we wszystkich połówkach to dostaniemy
      liczbę różną od 2k * d. A przy takim sumowaniu każdy diament policzmymy
      k razy bo wchodzi do połowy połówek. Oznacza to, że liczba diamentów jest
      różna od 2d co jest niezgodne z założeniem.
      Czyli istnieje połówka o liczbie diamentów równej d. Z czystej arytmetyki
      wynika, że ta połówka ma k - d szmaragdów czyli połowę wszystkich (2k - 2d).
      c.d.n.

      pozdrawiam,
      Tomek

    • bbaju Re: Druga opowieść Zajarzyna 04.02.04, 22:15
      Rzeczywiście, umknął mej uwadze duży kwantyfikator.

      Wydaje się dobra idea dowodu pafcia.

      Podzielę cały naszyjnik tak, by w każdej części było d diamentów, czyli cięcia
      będą między i-tym i i+1 -szym oraz d+i a d+i+1 - szym diamentem. Między
      konkretnymi kolejnymi diamentami mogą, ale nie muszą znajdować się szmaragdy i
      dla każdej pary pary diamentów poprowadzę wszystkie możliwe cięcia (między
      szmaragdami). Jeżeli znajdzie się cięcie dzielące szmaragdy równo - nie ma
      problemu. Problem się zaczyna, gdy takiego cięcia nie znajdę.
      Oznaczmy przez S1(i) liczbę szmaragdów przy i-tym cięciu, w
      pierwszej "połówce", zaś S2(i) - w drugiej.
      Każdorazowo zachodzi więc nierówność S1<S2, lub odwrotnie, czyli zawsze jedna
      część będzie zawierała więcej niż s szmaragdów, druga mniej." Jest oczywiste,
      że dla ustalonej pary diamentów, wszystkie cięcia dają stały znak wyrażeń: S1
      (i)-s, S2(i)-s., inaczej, zmieniając cięcia wewnątrz par diamentów o jeden
      szmaragd, natrafilibyśmy na równość szmaragdów, a to wykluczyłam.
      Jednym słowem: dla każdego i - S1 jest wielkością większą lub mniejszą od s,
      przy czym nie może to być nierówność tylko jednego rodzaju. Wynika to z faktu,
      że S2(i)=S1(d+i). Prowadząc teraz kolejne cięcia od 1 do 2d, otrzymuję ciąg sgn
      (S1(i)-s). (Tak naprawdę chodzi o ciąg faktów, czy S1(i) jest większe, czy
      mniejsze od s.)
      Niech k będzie tym krokiem, przy którym S1(k)>s zaś S1(k+1)<s.

      I tu dochodzę do sprzeczności.
      Ponieważ dla wszystkich cięć między k i k+1 szym oraz d+k i d+k+1
      diamentatami cięcia dają S1>s więc również cięcie tuż przed k+1 szym i d+k+1
      szym diamentem jest takie. Cięcie tuż za tymi diamentami (to już k+1 szy
      krok) nie zmienia położenia szmaragdów i wielkość S1 jest dokładnie taka sama,
      a więc S1(k+1) jest również większe od s. Ale przecież k tak wybrano, by S1
      (k+1) było mniejsze od s.

      Musi więc znaleźć się podział równo dzielący nie tylko diamenty, ale i
      szmaragdy.

      Pozdr.
      Baj
      • tororo Re: Druga opowieść Zajarzyna 05.02.04, 19:28
        Jak zwykle Cradmon zamieścił fajną zagadke. A ja jak zwykle grzebię w
        szczegółach.

        Otóż w treści zadania Cardemon wyraźnie napisał:
        „Naszyjnik był bardzo drogocenny, stanowił jedną całość bez rozpinki i był
        WYSADZANY diamentami i szmaragdami”

        Specjalnie wielkimi literami napisałem WYSADZANY –jako, ze wyraźnie to okresla,
        ze kamienie nie były nanizane na nitkę, ale osadzone na czymś jak na przykład w
        naszyjniku Nefretete.

        Rozważania Szanownych Forumowiczów na razie dotycza przypadku kiedy kamienie
        rozmieszczone sa jeden za drugim – tak jakby były własnie nanizane na nitkę –
        czyli tak naprawde rozpatrywane jest zagadnienie jednowymiarowe. Ale w
        przypadku wysadzania kamieni na np. złotej płytce zadanie może być dwuwymiarowe
        i wtedy wszystko się paskudnie komplikuje. Powstaje oczywiście wtedy pytanie o
        kształt linii cięcie – prosta czy nie?

        Fajnie by było jakby Cardemon zdefiniował czy chodzi tu o zadanie jedno czy
        dwuwymiarowe. Jeślli dwuwymiarowe to obecne rozważania proponuję potraktować
        jako leciutki trening przed wejściem w drugi wymiar. :)

        Pozdr
        Tororo
        • bbaju Re: Druga opowieść Zajarzyna 05.02.04, 20:27
          Witaj Tororo! gdzieżeś to bywał, gdy Cię nie było?

          Ale do rzeczy!
          Z toczącej sie dyskusji i z posta Cardemona z dnia 4-tego, wynika, ze być może
          naszyjnik, to nie nanizane drogocenne kamienie, ale jednak "jednowymiarowe"
          dzieło, skoro mozna części odwrócić i zmontować inaczej niż wprzódy było.

          Baj - Baj,

          PS. Jednowymiarowe w nawiasie, wszak i tak, takie coś nie może być
          jednowymiarowe w ścislym tego słowa znaczeniu.
        • cardemon Re: Druga opowieść Zajarzyna 06.02.04, 03:25
          tororo napisał:

          > (...)
          > Fajnie by było jakby Cardemon zdefiniował czy chodzi tu o zadanie jedno czy
          > dwuwymiarowe. Jeślli dwuwymiarowe to obecne rozważania proponuję potraktować
          > jako leciutki trening przed wejściem w drugi wymiar. :)

          Zdecydowanie jednowymiarowe. Moim zamierzeniem było przedstawienie zagadki dość
          prostej, do której jednakowoż wcale nie tak łatwo znaleźć oczywisty dowód.
          Użyte przeze mnie określenie "wysadzany" dotyczy faktu, że diamentów nie
          przewierca się (chyba że się mylę, może ktoś ma więcej na ten temat
          wiadomości), by nanizać w celu zrobienia naszyjnika, a jedynie osadza w
          odpowiedniej oprawie i jako takie łączy łańcuszkiem ze złota.
          Tym niemniej Twoje rozważania o naszyjniku "dwuwymiarowym" uważam za bardzo
          interesujące. Przykładem takiego naszyjnika mógłby być na przykład w dużym
          uproszczeniu okrąg z cięciwą, no ale to już zupełnia inna para kaloszy. :)

          Pozdrawiam, CdM
    • mucha102 Re: Druga opowieść Zajarzyna 07.02.04, 07:57
      Witam,
      przyjmujemy dowolny podział naszyjnika.
      Mamy pecha, za dużo szmaragdów, za mało diamentów - a wiemy, że w całym
      naszyjniku jest ich tyle samo, i jest to parzysta liczba.
      Hm, to w pozostałej musi byś za dużo diamentów - no to przesuwamy o jeden
      klejnot w prawo, i liczymy, i tak powtarzamy do skutku.

      Jeśli obeszlibyśmy cały naszyjnik, i nie znaleźli żądanego podziału, znaczyć to
      musiałoby, że w naszyjniku jest różna ilość diamentów i szmaragdów, a tych - z
      założenia - jest tyle samo.

      Jeszcze jedno - za każdym "przesunięciem" zyskujemy klejnot na początku, tracąc
      jednocześnie końcowy. więc po przesunięciu możemy oczekiwać:
      1. brak zmiany
      2. przybył jeden diament, ubył szmaragd
      3.przybył jeden szmaragd, ubył diament
      zmiana będzie dot. zatem jedności.
Pełna wersja