Wysokości trójkąta

[Gość: Przyszły student]

Mam problem: Jak wykazać,że wysokości trójkata(lub proste je zawierające)
przecinaja się w jednym punkcie?

[Gość: grzesiek]

Też się nad tym zastanawiałem przy okazji jednej z niedawnych zagadek. Udało mi się
następująco: Umieściłem trójkąt w układzie współrzędnych tak, że podstawa leży na
osi X, i rozciąga się między punktami A:( X=a) i B:( X=b). Wysokość trójkąta leży na osi Y i sięga
do punktu H(Y=h). Teraz rysuję drugą wysokość, np. z punktu B do boku AH i wyliczam współrzędną
Y punktu przecięcia tej nowej wysokości z tą pierwszą (punkt P). Korzystam tu z faktu że wektory
BP i AH są prostopadłe i ich iloczyn skalarny równa się zero. Stąd współrzędna Y punktu P = a*b/h.
Analogicznie trzecia wysokość przecina pierwszą na wysokości b*a/h, czyli w tym samym
punkcie co druga pierwszą.

Bardziej elegancki dowód nie korzystałby z układu współrzędnych, ale go nie znam.

[Gość: uważny]

Dla trójkata ostrokątnego dowod przebiega nasepująco:
Niech odcinki AA',BB' I CC' oznaczają wysokości trójkata ABC.Z tr.ACC':
AC'=b cosA i z tr.ABB': AB'=c cosA, a wieć tr.AB'C'jest podobny do tr. ABC i
skala podsobieństwa wynosi cosA. Podobnie jest z trójkatami BA'C' i CA'B'.
Inaczej mówiąc trójkaty odcięte z trojkata ABC przez tr. A'B'C' są podobne do
początkowego trójkąta.
Dochodzimy do wniosku, że kąt AC'B'=kąt BC'A'= kąt ACB, zatem CC' jest
dwusieczna kąta C, w tr.A'B'C'. podobnie powiemy o BB' i CC', Wiemy,że
dwusieczne katów trójkata mają punkt wspolny, tzn nasze wysokości przecinaja
się w jednym punkcie.
Dla tr. rozwartokątnego dowód przebiega podobnie, ale trójkąty podobne
wystepuja w innej konfiguracji.
Dowod w geometrii analitycznej jest oczywiście poprawny, choć - w przypadku
ogólnym - kłopotliwy rachunkowo, ze wzgledu na mnogośc parametrów.
Powodzenia w rozwiązywaniu zadań.

[butelka_kleina]

Wezmy trojkat ABC i Wysokosci AA1,BB1,CC1. Prowadzimy prosta równoleglą do boku
AB i przechodząca przez punkt C. Na następnie na tej prstej odkladamy dwa razy
dlugosc boku AB, z wiecholka C i w dwie strony. W ten sposob powstaje odcinek
A'B' , ktorego C jest srodkiem. Alanogiczenie robimy z dwoma pozostalymi
bokami.(AC,BC)
W ten sposob powstaje nowy trojkąt A'B'C'. Proste zawierające wysokości AA1,
BB1,CC1 są symetralnymi nowego trojkata (A'B'C'). A wiadomo ze symetralne
przecinaja sie w jednym punkcie. Stad wysokosci przecinają się w jednym punkcie.

[Gość: Przyszły student]

To wszystko jest proste, tylko jak na to wpaśc? Dziękuję za zainteresowanie.
Widzę,że sporo przede mnaą.

[Gość: dżordż]

a przecinają się?