Zawody strzeleckie

[cardemon]

W pewnym – nazwijmy je "naszym" - liceum były dwie klasy: 3a i 3b, które
uczęszczały na zajęcia ze strzelectwa z karabinku kbk. Po wielu godzinach
zajęć na strzelnicy okazało się, że chłopcy z klasy 3a są lepsi niż
dziewczęta z tej samej klasy, podobnie było również w klasie 3b, tutaj
chłopcy również byli lepsi niż dziewczęta. Pojęcie ‘lepsi’ oznaczało, że
statystycznie ujmując stosunkowo częściej zdarzało się wśród chłopców
ustrzelić co najmniej 90% możliwych punktów, niż wśród dziewcząt tej samej
klasy.
Od czasu do czasu odbywały się zawody strzeleckie między ‘naszym’ liceum, a
tym z sąsiedniej gminy. To znaczy zawody odbywały się między klasami 3a oraz
3b obu szkół. Do zawodów trzeba było wylosować kogoś z grupy chłopców lub
dziewcząt z każdej klasy. Dyrektor sąsiedniej szkoły zawsze wystawiał losowo
dwóch chłopców ze swoich dwóch klas trzecich. Tak też czynił dyrektor naszego
liceum, który, jako że był matematykiem, doskonale znał się na statystyce i
rachunku prawdopodobieństwa i wiedział, że większe szanse zwycięstwa w
zawodach daje wystawienie dwóch chłopców.
Któregoś dnia jednak przyszło zalecenie z kuratorium, by w ramach
oszczędności wystawiać tylko jedną reprezentację, czyli jednego zawodnika z
połączonych klas 3a i 3b. Dyrektor sąsiedniego liceum i tym razem wystawił
losowo chłopaka, natomiast nasz dyrektor postanowił wylosować do tych
zawodów którąś spośród dziewcząt połączonych klas 3a i 3b.
Dlaczego tak zadecydował? Jaki miał powód, by tak zrobić? Potrafisz wyjaśnić
jego postępowanie?

Życzę powodzenia w zmaganiach nad tą zagadką, ale ostrzegam, że jest ona z
gatunku tych bardzo trudnych, choć muszę przyznać, że "bardzo trudna" jest on
tylko do momentu znalezienia rozwiązania. :)

CdM

PS. Domyślam się, że są tu na forum łamigłówkowicze, którzy z góry znają (z
racji swego zawodu lub wykształcenia) odpowiedź na postawione w zagadce
pytania. Bardzo Was proszę, poczekajcie choć chwilę z pełnym rozwiązaniem.
Dajcie po prostu znać, że wiecie w czym rzecz.

[Gość: pafcio]

tajemnica wydaje mi się tkwi w różnicy umiejętności strzeleckich w grupach
chłopców (możemy śmiało założyć że np prawie wszyscy strzelali w miarę
jednakowo) i w grupach dziewcząt, w których były dużo super snajperek dużo
lepszych od chłopców ale i kilka dziewczyn które nałogowo strzelały w niebo.
wylosowanie z takiej grupy 2 dziewcząt mogło oznaczać że prawdopodobieństwo
znalezienia się w takiej grupie dwóch super snajperek gwarantujących wygraną z
liceum sąsiednim było mniejsze niż prawdopodobieństwo wygrania przez chłopaków
tej rywalizacji. natomiast prawdopodobieństwo znalezienia się w 1-osobowej
drużynie takiej snajperki (gwarantujące wygraną) mogło byc już wieksze niż
prawdopodobieństwo wygrania przez chłopaka z naszego liceum z chłopakiem z
sąsiedniego liceum... trochę zawiłe ale jak trzeba mogę to przedstawić na
liczbach dla przykłądowych ośmioosobowych klas.

[cardemon]

Gość portalu: pafcio napisał(a):

> tajemnica wydaje mi się tkwi w różnicy umiejętności strzeleckich w grupach
> chłopców (możemy śmiało założyć że np prawie wszyscy strzelali w miarę
> jednakowo) i w grupach dziewcząt, w których były dużo super snajperek dużo
> lepszych od chłopców (...)

Przede wszystkim słowa uznania za pierwsze ugryzienie problemu. :)
Niestety nie tędy droga do wyjaśnienia dziwnego zachowania naszego dyrektora.
Dyrektor nic nie wie na temat, jak dokładnie rozkładają się wyniki strzeleckie.
Ma jedynie do dyspozycji suche liczby: tyle a tyle chłopców wynik powyżej 90%,
tyle a tyle chłopców wynik poniżej 90%, tyle a tyle dziewcząt wynik powyżej 90%
itd., to samo dla drugiej klasy. Klasy są bardzo typowe, w moim rozwiązaniu
liczą one sobie odpowiednio 18 i 23 uczniów (ale oczywiście w innym rozwiązaniu
może w nich być inna liczba uczniów).

Tyle podpowiedzi na teraz. :)

pzdr. CdM

[tororo]

Troche policzyłem róznych wariantów i wyszło mi że:


1 - mimo, że dyrektor sąsiedniej szkoły w nowej sytucaji dalej wybierał
rezpreznetacje tylko wsród chłopców -to w wcale nie musiał byc głupszy od
dyrektora z naszego liceum mimo, ze tak jak w naszym liceum miał rowniez taka
sytuacje ze w kazdej z obu klas 90% skutecznośc czesciej uzyskiwali chlopaki
niz dziewczyny

2 - w naszym liceum w nowej sytuacji w moim wariancie najbardziej oplacalo sie
losowac zawodnika wsrod dziewczyn, nastepnie wsrod wszystkich uczennic i
uczniow, a najmniej wsrod chlopcow.

Przyjałem identyczna liczebnosc klas jak Cardemon, ale to nie ma znaczenia. Z
pelnym moim wyjasnieniem sie nie spiesze, zeby nie posuc zabawy innym.

Pozdr
Tororo

[kornel-1]

tororo napisał:
> Troche policzyłem róznych wariantów i wyszło mi że:

Być może klasy różniły się bardzo poziomem umiejętności strzeleckich (przy
lepszych wynikach chłopców).
Być może w sytuacji, gdy można było wystawić tylko jednego zawodnika, losowanie
ze zbioru dziewczyn z obu klas dawało przewagę.
Ale dlaczego dyrektor nie losował wśród chłopców tylko z jednej, lepszej klasy?

k.

[Gość: Spartkaus]

Stosunek dziewcząt do chłopaków był o wiele większy, a więc statystycznie -
powyżej progu 90% - znalazło się więcej dziewczyn???

[uller]

Odp. Była to raczej męska szkoła gdzie dziewcząt było mniej od chłopaków i w
jednej z klas żadna z dziewcząt nie strzelała dobrze.

Rozważmy przykład:
W klasie 3a było np. 25 osób - 2 dziewczyny i 23 chłopaków. Obydwie dziewczyny
strzelały bardzo słabo a wśród chłopaków był jeden snajper. ( 0/2 < 1/23 ) W
klasie 3b było też 25 osób - 3 dziewczyny i 22 chłopaków. Dwie dziewczyny
strzelały bardzo dobrze. Wśród chłopaków super strzelców było 16 ( 2/3 <
16/22 ) Po połączeniu jednak mamy 2 dobrze strzelające dziewczyny wśród 5 i 17
dobrze strzelających chłopaków wśród 45. Popatrzmy zatem na proporce
superstrzelców w połączonych klasach 2/5 > 17 /45.

Jeszcze inny przykład

[uller]

3a 26 osób: 3 dziewczyny (1 dobrze strzelająca) 23 chłopaków (8 dobrze
strzelających)
1/3 < 8/23
3b 22 osóby: 19 dziewczyn (12 dobrze strzelających) 3 chłopaków (2 dobrze
strzelających)
12/19 < 2/3

a po połączeniu:
13/22 > 10/26

Ijeszcze jeden przykład

[tororo]

Ja bawiłem się przykładem z takimi liczbami:
Klasa A
17 chłopców - 1 ma 90% skuteczność
1 dziewczyna - nie ma 90% skuteczności.

Zatem jeśli losować wystawiać 1 osobę do reprezentacji tej klasy - to losowac
trzeba wśród chłopców a nie brać dziewczynę

Klasa B
2 chłoców - 1 ma 90% sukteczności
21 dziewczyn - 10 ma 90% skuteczności. Zatem prawdopodobieństwo wylosowania
strzelca o 90% skuteczności w tej klasie wynosi wsród chłopaków 0,5 a wsród
dziewczyn - 0,476
Zatem jesli mamy mieć reprezentacje po 1 osobie z kazdej klasy - to zawsze
losujemy wsród chłopaków

Ale jeślli mamy mieć reprezentację 1 osoby z obu klas to losujemy wsród
dziewcząt bo:
prawdopodobieństwo na wylosowanie dziewczyny o skuteczności 90% wynosi
10/22=0.45
a chłopaka o tej samej skuteczności wynosi 2/19=0,105

Pozdr
Tororo

Końcowy komentarz- Re: Zawody strzeleckie

[cardemon]

Najwyższa pora zamknąć zagadkę i podać jakiś końcowy komentarz. Cały problem w
łamigłówce sprowadzał się do znalezienia odpowiedzi na "nielogiczność"
postępowania naszego dyrektora, bo skoro w grupie pierwszej jak i drugiej
lepiej postawić na chłopca, to dlaczego po połączeniu obu klas lepiej jest
wybrać dziewczynę? Innymi słowy, skoro większą szansę zajścia określonego
zdarzenia daje wybór elementu A z dwóch zbiorów składających się tylko z
elementów A i B, to na zdrowy chłopski rozum po połączeniu obu tych zbiorów w
jeden, większą szansę wygranej powinno również dawać wybranie tego samego
elementu czyli A. I na tym polegała cała trudność zagadki, że trzeba było wbrew
zdrowemu rozsądkowi przyjąć, że może jednak w połączonym zbiorze korzystniejsze
jest wybranie elementu B czyli dziewczyny w naszym przypadku.
Uller i Tororo bardzo dobrze przezwyciężyli w sobie naturalną "logikę chłopa" i
obnażając powyższy "paradoks" podali przykłady na prawidłowe postępowanie
dyrektora. Niepotrzebnie natomiast przyjęli tak nierównomierny rozkład klas
(mnóstwo chłopaków, mało dziewczyn), bo można było na przykład tak:

klasa 3a - chłopcy powyżej 90% = 5, chłopcy poniżej 90% = 6, dziewczyny powyżej
90% = 3, dziewczyny poniżej 90% = 4; prawdopodobienstwo, że wylosowany chłopiec
ustrzeli > 90% = 5/11, prawdopodobieństwo, że dziewczyna = 3/7
klasa 3b - chłopcy powyżej 90% = 6, chłopcy poniżej 90% = 3, dziewczyny powyżej
90% = 9, dziewczyny ponizej 90% = 5; prawdopodobieństwo, że wylosowany chłopiec
ustrzeli > 90% = 6/9, prawdopodobieństwo, że dziewczyna = 9/14.

A dla połączonych klas:

prawdopodobieństwo, ze chłopak ustrzeli więcej niż 90%= (5+6)/(5+6+6+3)=11/20
prawdopodobieństwo, ze dziewczyna ustrzeli więcej niż 90% = (3+9)/(7+14)=12/21

Czyli lepiej postawić na dziewczynę. Niewiarygodne, ale prawdziwe. Ta dziwność
nazywa się "paradoksem Simpsona" (nie mylić z Bertem Simpsonem) i została tak
nazwana za jej odkrywcą, który był matematykiem-statystykiem żyjącym ponad pół
wieku temu.

Pozdrowienia dla łamigłówkowiczów,
CdM

Końcowy komentarz- Re: Zawody strzeleckie

[kornel-1]

> Czyli lepiej postawić na dziewczynę. Niewiarygodne, ale prawdziwe. Chłop swój
rozum ma... a dyrektor?

Moje pierwsza uwaga jest następująca: w podpowiedzi z dnia 25.10.03 Cardemon
istotnie zawęził rozwiązanie zagadki. Czymś bowiem innym jest oryginalne
stwierdzenie "Pojęcie ‘lepsi’ oznaczało, że statystycznie ujmując stosunkowo
częściej zdarzało się wśród chłopców
ustrzelić co najmniej 90% możliwych punktów [...]" od zdania "[Dyrektor] Ma
jedynie do dyspozycji suche liczby: tyle a tyle chłopców wynik powyżej 90%,
[...]". W tym drugim przypadku mamy (dyrektor ma) ustalone liczności zbiórów
chłopców(ᢒ%), dziewczyn(ᢒ%) itd; A zadaniem forumowiczów jest tylko
odgadnąć ten rozkład. W pierwotnej wersji również dyrektor nie zna konkretnego
rozkładu: wie tylko, że "częściej się zdarza". Czy ma to znaczenie? Tak! i to
duże.
Przeanalizowałem dla przedstawionych na forum przykładowych klas WSZYSTKIE
możliwe rozkłady "snajperów" i "nie-snajperów" dla ustalonych wartości
uczniów/chłopców/dziewczyn. Zmieniała się tylko liczba "snajperów" wśród
chłopców i dziewczyn *) - oczywiście tak, że był spełniony warunek,
by "stosunkowo częściej zdarzało się, itd". Otrzymywałem dla różnych klas po
kilkadziesiąt możliwych układów (liczby odnoszą się do IIIa i IIIb):
cardemon: 47 74
tororo: 17 32
uller1: 35 45
uller2: 47 39
Następnie sprawdzałem**) kiedy w obrębie tych układów zdarza się sytuacja by
losowanie z połączonych sił dziewczyn dawało lepszy wynik niż losowanie wsród
chłopców. Otrzymałem (odpowiednio liczba sukcesów wariantu z chłopakami i
dziewczynami):
cardemon: 3519 80
tororo: 399 194
uller1: 1641 7
uller2: 1564 351
Wyniki są jednoznaczne: nie znając dokładnego rozkładu snajperów tj. wiedząc
tylko, że chłopcy są "częściej" lepsi należy wysłać chłopaka! Znalezione przez
zwycięzców i autora łamigłówki rozkłady są - co tu dużo mówić - rzadkimi
przypadkami. Oczywiście paradoksu Simpsona w niczym to, co piszę nie podważa:
SĄ takie rozkłady, które itd...
Mogę więc tak spuentować odpowiedź na zagadkę, że dyrektor zdecydował się na
dziewczę, gdyż ZNAŁ rozkład "snajperów"

Druga uwaga: nie doczekałem się komentarza Cardemona do mojego stwierdzenia, że
najsensowniejszym rozwiązaniem jest losowanie (jeśli już musimy kogoś losować a
nie typować najlepszego) wśród zbioru chłopców z lepszej klasy. Oczywiście
wtedy nie mamy do czynienia z paradoksem Simpsona lecz po prostu z optymalną
strategią. Na zarzut niedemokratycznego potraktowania "gorszej" klasy odpowiem
argumentem o dotychczasowym seksistowskim podejściu dyrektora!

pozdrawiam

W oczekiwaniu na krytykę,


Kornel



*)ze względu na rozwiązanie Tororo dopuściłem liczbę 0 dziewczyn(ᢒ%);
maksymalna liczba "snajperów" wśród chłopców równała się liczbie chłopców.

**) dopuszczam myśl o błędzie w programiku ;-)

Końcowy komentarz- Re: Zawody strzeleckie

[cardemon]

kornel-1 napisał:

> Moje pierwsza uwaga jest następująca: w podpowiedzi z dnia 25.10.03 Cardemon
> istotnie zawęził rozwiązanie zagadki. Czymś bowiem innym jest oryginalne
> stwierdzenie "Pojęcie ‘lepsi’ oznaczało, że statystycznie ujmując
> stosunkowo częściej zdarzało się wśród chłopców ustrzelić co najmniej 90%
> możliwych punktów [...]" od zdania "[Dyrektor] Ma jedynie do dyspozycji suche
> liczby: tyle a tyle chłopców wynik powyżej 90%,

Przyznaję rację. W pierwotnej treści zadania nie zostało jasno powiedziane, że
dyrektor ma wgląd w wyniki strzeleckie i w związku z tym zna rozkłady. Wydaje
mi się natomiast, że można to było domyślnie przyjąć jako pewnik, bo skoro
dyrektor to matematyk, to opiera się na konkretnych liczbach w wystawianiu
dryżyny na zawody, czyli ma do dyspozycji jakieś liczby, czyli ma wyniki
strzeleckie. Wiem, nie było to takie oczywiste, dlatego w moim uzupełnieniu do
treści zadania znalazła się już odpowiednia wstawka.

> W pierwotnej wersji również dyrektor nie zna konkretnego
> rozkładu: wie tylko, że "częściej się zdarza". Czy ma to znaczenie? Tak! i to
> duże.

Te 'częściej się zdarza' miało w moim zamyśle właśnie oznaczać, że dyrektor wie
ilu jest w obu klasach snajperów wśród chłopców i dziewcząt. Myślę, że dyrektor
szkoły może doskonale zorientować się w rozkładach. W końcu wystarczy zajrzeć
do dziennika danej klasy i w rubryce 'strzelanie' sprawdzić, kto dostał na
koniec zajęć piątkę (a dostają ci z wynikiem > 90%).

> Przeanalizowałem dla przedstawionych na forum przykładowych klas WSZYSTKIE
> możliwe rozkłady "snajperów" i "nie-snajperów" dla ustalonych wartości
> uczniów/chłopców/dziewczyn. (...)

Muszę przyznać, że zadałeś sobie z tym wiele trudu. Domyślam się, że pomogłeś
sobie w tym celu jakimś programikiem. Na pewno bardziej liczebne będą
przypadki, że to chłopcy stanowią lepszą reprezentację szkoły. Nie o to
natomiast chodziło w tej łamigłówce. Zależało mi bowiem w tej zagadce na tym,
by przedstawić paradoks Simpsona, czyli zwrócić uwagę na fakt, że może
zaistnieć taki rozkład, że po połączeniu grup prawdopodobieństwo się "odwraca".

> Mogę więc tak spuentować odpowiedź na zagadkę, że dyrektor zdecydował się na
> dziewczę, gdyż ZNAŁ rozkład "snajperów"

Puenta jak najbardziej słuszna. :) Natomiast prosi się ona o dodanie krótkiego
komentarza nawiązującego do paradoksu Simpsona.

> Druga uwaga: nie doczekałem się komentarza Cardemona do mojego stwierdzenia,
> że najsensowniejszym rozwiązaniem jest losowanie (jeśli już musimy kogoś
> losować a nie typować najlepszego) wśród zbioru chłopców z lepszej klasy.

Ale nie o to mi chodziło w zagadce (patrz wyżej). Przyznaję, że warunki
zagadki, jakie ustanowiłem, były dość sztuczne, kto bowiem losuje, jak lepiej
wytypować najlepszego i już, ale w końcu to tylko zagadka, a jako taka może
rządzić się swoimi prawami (wpierw losowanie w OBU klasach, później w
połączonych klasach) i swoją logiką (losowanie a nie typowanie).

Pozdrawiam,
CdM

inny przykład

[mesquaki]

forum.gazeta.pl/forum/72,2.html?f=514&w=7874774