ile skończonych

[neuroleptyk]

Ile jest skończonych zbiorów liczb naturalnych??
Nie chodzi mi o podanie konkretnej liczby ale, odpowiedź na pytanie czy jest ich nieskończona bądź skończona liczba.

[stefan4]

neuroleptyk:
> Ile jest skończonych zbiorów liczb naturalnych??

Dokładnie tyle, ile liczb naturalnych. Dowód przez kodowanie Goedla z niewielką poprawką.

neuroleptyk:
> Nie chodzi mi o podanie konkretnej liczby

W takim razie nie podaję Ci liczby kardynalnej ℵ_0, a gdyby się sama podała, to nie patrz.

neuroleptyk:
> ale, odpowiedź na pytanie czy jest ich nieskończona bądź skończona liczba.

Co Ty, kpisz? Jak może być skończona? Ach, bo to pewnie znowu ,,problem'' od tego Twojego pastora...

- Stefan

[neuroleptyk]

stefan4 napisał:

> neuroleptyk:
> > Ile jest skończonych zbiorów liczb naturalnych??
>
> Dokładnie tyle, ile liczb naturalnych. Dowód przez kodowanie Goedla z niewielk
> ą poprawką.
>
> neuroleptyk:
> > Nie chodzi mi o podanie konkretnej liczby
>
> W takim razie nie podaję Ci liczby kardynalnej ℵ_0, a gdyby się sama poda
> ła, to nie patrz.
>
> neuroleptyk:
> > ale, odpowiedź na pytanie czy jest ich nieskończona bądź skończona liczba
> .
>
> Co Ty, kpisz? Jak może być skończona? Ach, bo to pewnie znowu ,,problem'' od
> tego Twojego pastora...
>
> - Stefan

Jak o tym myslałem to doszedłem do wniosku iż nie może być ani skończona ani nieskończona. Jeżeli mamy sekwencję liczb naturalnych skończonych 1,2,3 itd to jak może być ich nieskończona liczba jeżeli nieskończona ilość kroków daje nieskńczoną liczbę (intuitywnie) i wtedy już nie mówimy o nieskończonej liczbie??

[petrucchio]

neuroleptyk napisał:

> Jak o tym myslałem to doszedłem do wniosku iż nie może być ani skończona ani ni
> eskończona. Jeżeli mamy sekwencję liczb naturalnych skończonych 1,2,3 itd to ja
> k może być ich nieskończona liczba jeżeli nieskończona ilość kroków daje nieskń
> czoną liczbę (intuitywnie) i wtedy już nie mówimy o nieskończonej liczbie??

Że co? Przerażasz mnie!

[neuroleptyk]

petrucchio napisał:

> neuroleptyk napisał:
>
> > Jak o tym myslałem to doszedłem do wniosku iż nie może być ani skończona
> ani ni
> > eskończona. Jeżeli mamy sekwencję liczb naturalnych skończonych 1,2,3 itd
> to ja
> > k może być ich nieskończona liczba jeżeli nieskończona ilość kroków daje
> nieskń
> > czoną liczbę (intuitywnie) i wtedy już nie mówimy o nieskończonej liczbie
> ??
>
> Że co? Przerażasz mnie!

Bez odwoływania sie do pojęcia zbioru chodziło mi o liczbę wszystkich liczb skończonych.

[petrucchio]

neuroleptyk napisał:

> Bez odwoływania sie do pojęcia zbioru chodziło mi o liczbę wszystkich liczb sko
> ńczonych.

Jak rozumiem, masz na myśli tylko liczby naturalne, a nie "wszystkie liczby skończone". Bez odwoływania się do pojęcia zbioru w ogóle nie sposób uogólnić pojęcie "liczby" tak, żeby dało się zastosować do "wszystkich liczb naturalnych". Zresztą wyrazić się w ten sposób to nic innego, jak odwołać się do pojęcia zbioru w sposób niejawny.

Założenie, że liczb naturalnych jest skończenie wiele natychmiast prowadzi do sprzeczności, o ile zgadzamy się na aksjomat, że następnik dowolnej liczby n, czyli n+1, nie jest równy n.

[neuroleptyk]

petrucchio napisał:

> neuroleptyk napisał:
>
> > Bez odwoływania sie do pojęcia zbioru chodziło mi o liczbę wszystkich lic
> zb sko
> > ńczonych.
>
> Jak rozumiem, masz na myśli tylko liczby naturalne, a nie "wszystkie liczby sko
> ńczone".

Tak


> Założenie, że liczb naturalnych jest skończenie wiele natychmiast prowadzi do s
> przeczności, o ile zgadzamy się na aksjomat, że następnik dowolnej liczby n, cz
> yli n+1, nie jest równy n.

A mnie interesuje w tej chwili liczba skończonych liczb naturalnych, a może nie ma czegoś takiego jak liczba N która jest nieskończona ?

[petrucchio]

neuroleptyk napisał:

> A mnie interesuje w tej chwili liczba skończonych liczb naturalnych, a może nie
> ma czegoś takiego jak liczba N która jest nieskończona ?

Nie ma nieskończonej liczby naturalnej. Ale nikt nie powiedział, że moc zbioru wszystkich liczb naturalnych musi być liczbą naturalną (zresztą wiemy, że nie jest). "Liczby nieskończone" oczywiście istnieją *w matematyce* jako abstrakcyjne obiekty, które dają się porządnie zdefiniować, na których można przeprowadzać dobrze określone operacje formalne i których właściwości można badać. Innego "sposobu istnienia" matematyka nie zna.

[petrucchio]

stefan4 napisał:

> Co Ty, kpisz? Jak może być skończona? Ach, bo to pewnie znowu ,,problem'' od
> tego Twojego pastora...

Nawet liczba jednoelementowych podzbiorów N jest nieskończona, co chyba zauważy każde dziecko ;)

[stefan4]

petrucchio:
> Nawet liczba jednoelementowych podzbiorów N jest nieskończona, co chyba
> zauważy każde dziecko ;)

Dziecko

[neuroleptyk]

stefan4 napisał:

> petrucchio:
> > Nawet liczba jednoelementowych podzbiorów N jest nieskończona, co chyba
> > zauważy każde dziecko ;)
>
> Dziecko

[stefan4]

neuroleptyk:
> Jesteś niepotrzebnie złośliwy i to już nie pierwszy raz.

Przepraszam. Ale Twoja ciągła fascynacja przechodzeniem do nieskończoności przy absolutnym braku (i odrzucaniu) wiedzy o nieskończoności jest rzadkim kuriozum. W końcu sięgnij po jakiś podręcznik do teorii mnogości.

neuroleptyk:
> A jeżeli chodzi o liczbę? kiedy liczba N jest skończona a kiedy nie?

Kiedy bal jest huczny a kiedy drewniany?

W zbiorze liczb naturalnych (jego dotyczyło Twoje oryginalne pytanie) nie ma podziału na skończone i nieskończone. Wszystkie liczby naturalne są mocami zbiorów skończonych. Cóż by w ogóle miało oznaczać pojęcie ,,nieskończona liczba naturalna''? Nikt czegoś takiego nie rozważa, więc ta nazwa jest wolna. Mozesz jej użyć w dowolny sposób, pod warunkiem, że porządnie zdefiniujesz.

Jeśli wyjdziesz poza zbiór liczb naturalnych, to już możesz pewne liczby nazwać nieskończonymi (chociaż matematyk i tak będzie się miał do czego przyczepić). Np. liczby kardynalne to moce zbiorów juz niekoniecznie skończonych (każda liczba naturalna jest kardynalna, ale nie na odwrót). Od bidy możesz nazwać nieskończonymi liczby rzeczywiste nie 10-wymierne, czyli nie mające skończonego rozwinięcia dziesiętnego.

neuroleptyk:
> To, że czegoś jakaś konkretna teoria nie zna nie oznacza iż nie ma to znaczenia.

Pytałeś o liczby naturalne. Otóż w arytmetyce liczb naturalnych nie występuje pojęcie ,,liczby nieskończonej'' i musiałbyś ją strasznie nagiąć, żeby takie pojęcie mogłoby w niej wystąpić i okazać się przydatne. W innych dziedzinach matematyki jest więcej miejsca na taką terminologię, ale w każdym przypadku musisz zacząć od definicji, a dopiero potem badać cudowne własności tego pojęcia.

- Stefan

[neuroleptyk]

Jaka to będzie liczba jeżeli będziemy mieli nieskończoną sumę 1+1+1.......... gdzie ilość jedynek będzie równa zbiorowi liczb naturalnych?

chodzi o coś takiego

1+1+1...
1 2 3...

[wariant_b]

neuroleptyk napisał:
> Jaka to będzie liczba jeżeli będziemy mieli nieskończoną sumę 1+1+1..........

Będzie to liczba kardynalna zwana alef-0 czyli potocznie nieskończoność przeliczalna.
pl.wikipedia.org/wiki/Moc_zbioru
Licząc elementy zbioru otrzymujemy moc zbioru, czyli właśnie ilość jego elementów.
Liczb naturalnych jest nieskończenie wiele, a dokładnie równo alef-0.
Liczba kardynalna alef-0 nie jest liczbą naturalną.

Enumeratywnie (przez wyliczenie wszystkich elementów) da się podać jedynie
skończone podzbiory liczb naturalnych. Ale da się skonstruować (podać regułę
przynależności do zbioru) podzbiory nieskończone i każdy z nich będzie miał
moc alef-0, czyli będzie równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych.

Nieskończoność jest bardzo użytecznym pojęciem, jeśli mamy do czynienia
ze zbiorami o wprawdzie skończonej, ale nie poddającej się wyliczeniu
liczbie elementów. A może nawet nie tyle sama nieskończoność, co pojęcie
dążenia do nieskończoności. Dzięki temu możemy stosować różne konstrukcje
nie zastanawiając się nad ich rzeczywistą interpretacją. Na przykład przywołane
przez ciebie liczby naturalne. Możemy z nich korzystać nie martwiąc się,
że nie jesteśmy w stanie podać żadnego realnie istniejącego zbioru, do którego
przeliczenia byłyby faktycznie niezbędne. Do przeliczenia zbioru skończonego
nie trzeba sięgać aż po liczby naturalne, wystarczy nazwać poszczególne elementy.
Ale w drugą stronę - przy pomocy liczb naturalnych możemy przeliczyć dowolny
zbiór skończony i gratis wszystkie zbiory przeliczalne, jakie skonstruujemy.
Jeśli będą skończone ich moc wyraża się liczbą naturalną, jeśli nie - liczbą alef-0.

[stefan4]

neuroleptyk:
> Jaka to będzie liczba jeżeli będziemy mieli nieskończoną sumę 1+1+1..........
> gdzie ilość jedynek będzie równa zbiorowi liczb naturalnych?
>
> chodzi o coś takiego
>
> 1+1+1...
> 1 2 3...

To jest bezsens, czyli kleks, czyli nie jest niczemu równe, a w dodatku nie wiadomo, o co pytasz. Działanie dodawania ma dwa argumenty, moze więc służyc do zsumowania dwóch liczb. Jeśli ktoś pisze

    a + b + c + d

to ma na myśli

    ((a + b) + c) + d

czyli każdy plus służy do zsumowania tylko dwóch liczb, jak mówiłem wyżej. Nie ma sumowania nieskończonych zbiorów liczb.

Natomiast z sum liczbowych można stworzyć ciąg i ten ciąg w pewnych warunkach moze mieć granicę

[petrucchio]

stefan4 napisał:

> Natomiast z sum liczbowych można stworzyć ciąg i ten ciąg w pewnych warunkach m
> oze mieć granicę

[neuroleptyk]

petrucchio napisał:

> stefan4 napisał:
>
> > Natomiast z sum liczbowych można stworzyć ciąg i ten ciąg w pewnych warun
> kach m
> > oze mieć granicę

[petrucchio]

neuroleptyk napisał:

> Może nie ma po prostu czegoś takiego jak nieskończoność albo zbióru wszystkich
> liczb naturalnych.

Są, skoro można o nich mówić i badać je, uzyskując na ich temat wiedzę sprawdzalną i intersubiektywnie komunikowalną, nie popadając przy tym w logiczną sprzeczność. Istnieją jako obiekty matematyczne. Paradoks z grupowaniem składników sumy nieskończonej, który pokazałem powyżej, jest pozorny. Trywialna pułapka, w którą żaden matematyk nie wpadnie, bo dowiedział się na dość wczesnym etapie swojej edukacji, czym naprawdę jest "suma nieskończona" (i czym nie jest

[kala.fior]

Neuroleptyku ,

, są naprawdę znacznie ciekawsze zastosowania teorii mnogości, jak na przykład Exhibit Xe

Errata

[petrucchio]

petrucchio napisał:

> A może tak?: 1-1+1-1+1-1+1-1+... = 1-(1-1)-(1-1)+(1-1)+(1-1)+... = 1-0-0-0-...

Oczywiście miało być:
1-1+1-1+1-1+1-1+... = 1-(1-1)-(1-1)-(1-1)-(1-1)+... = 1-0-0-0-...

[bimota]

Ale nafilozofowales...

"liczba nieskonczona"=nieskonczonosc...

[neuroleptyk]

stefan4 napisał:

> neuroleptyk:
> > Jaka to będzie liczba jeżeli będziemy mieli nieskończoną sumę 1+1+1......
> ....
> > gdzie ilość jedynek będzie równa zbiorowi liczb naturalnych?
> >
> > chodzi o coś takiego
> >
> > 1+1+1...
> > 1 2 3...
>
> To jest bezsens, czyli kleks, czyli nie jest niczemu równe, a w dodatku nie wia
> domo, o co pytasz. Działanie dodawania ma dwa argumenty, moze więc służyc do z
> sumowania dwóch liczb. Jeśli ktoś pisze
>

 > a + b + c + d
 > 

to ma na myśli
>

 > ((a + b) + c) + d
 > 

czyli każdy plus służy do zsumowania tylko dwóch liczb, jak mówiłem wyże
> j. Nie ma sumowania nieskończonych zbiorów liczb.

To może inaczej czy jest w zbiorze liczb naturalnych taki element gdzie miedzy 1 a nim jest nieskończona liczba elementów?

[stefan4]

neuroleptyk:
> To może inaczej czy jest w zbiorze liczb naturalnych taki element gdzie miedzy
> 1 a nim jest nieskończona liczba elementów?

Nie.

- Stefan

[neuroleptyk]

stefan4 napisał:

> neuroleptyk:
> > To może inaczej czy jest w zbiorze liczb naturalnych taki element gdzie m
> iedzy
> > 1 a nim jest nieskończona liczba elementów?
>
> Nie.
>
> - Stefan

Chodzi mi o [1,2,3,4,5,.......]
jako elementy mam na myśli po prostu liczby, więc jeżeli nie ma takiego elementu czyli w tym wypadku liczby oddalnej od 1 o nieskończoną ilość innych liczb poprzedzających to jak taki zbiór może być nieskończony jako kompletna kolekcja??

[stefan4]

neuroleptyk:
> czy jest w zbiorze liczb naturalnych taki element gdzie miedzy 1 a nim jest
> nieskończona liczba elementów?

stefan4:
> Nie.

neuroleptyk:
> Chodzi mi o [1,2,3,4,5,.......]

Tak. O liczby naturalne.

neuroleptyk:
> jeżeli nie ma takiego elementu czyli w tym wypadku liczby oddalnej od 1 o
> nieskończoną ilość innych liczb poprzedzających to jak taki zbiór może być
> nieskończony jako kompletna kolekcja??

A jak ludzie mogą gdzieś przybywać tłumnie, skoro żaden pojedynczy człowiek nie może przybyć tłumnie?

Od początku tej wymiany zdań usiłuję Ci wytłumaczyć, że ,,nieskończoność'' jest cechą zbioru liczb, a nie żadnej pojedynczej liczby z osobna. Istnieje definicja zbioru nieskończonego (równoliczny z jakimś swoim podzbiorem właściwym); nie ma definicji elementu nieskończonego.

- Stefan

[dum10]

neuroleptyk napisał:

> To może inaczej czy jest w zbiorze liczb naturalnych taki element gdzie miedzy
> 1 a nim jest nieskończona liczba elementów?

Jest taki element,a raczej musi byc, bo inaczej jak slusznie zauwazasz ten zbior nie moglby
byc nieskonczony.Jest tylko trudnosc zwiazana ze wskazaniem tego elementu gdyz jest on
oddalony wlasnie np. od 1 o nieskonczona liczbe liczb naturalnych.

[petrucchio]

neuroleptyk napisał:

> A jeżeli chodzi o liczbę? kiedy liczba N jest skończona a kiedy nie?
...
> To, że czegoś jakaś konkretna teoria nie zna nie oznacza iż nie ma to znaczenia.

"Teoria mnogości" Kuratowskiego i Mostowskiego to piękna książka. Jeśli nie masz jej na półce, błagam, przeczytaj przynajmniej rozdział III online. Jeśli się wciągniesz, spróbuj IV i V:
matwbn.icm.edu.pl/kstresc.php?tom=27&wyd=10

[dum10]

neuroleptyk napisał:

> A jeżeli chodzi o liczbę? kiedy liczba N jest skończona a kiedy nie?
> ...
> To, że czegoś jakaś konkretna teoria nie zna nie oznacza iż nie ma to znaczenia.

Twoj problem jest problemem fizycznym a nie matematycznym.
W matematyce nie istnieje liczba nieskonczona ale w fizyce tak. Jest to kazda liczba wieksza
od liczby dla ktorej dane wyrazenie zachowuje sie tak samo ze wzgledu na wyliczone obserwable.
Czasami mowi sie ze jest ona "dostatecznie duza".Odpowiednikiem matematycznym
moga byc symbole Landau ktore ustalaja relacje asymptotyczna pomiedzy funkcjami.
Sam Landau byl z reszta z nich bardzo dumny mowiac ze tylko dwie rzeczy udalo mi sie
w zyciu zrobic,dobrze sie ozenil i wymyslil symbole Landau.

Ile boków ma koło?

[grzeg34]

A ile boków ma koło?