i znowu równanie

[Gość: pafcio]

czy zna moze ktoś z Was jakieś w miarę przystepny sposób znalezienia
najmniejszego rozwiązania równania w liczbach naturalnych a*a+b*b=5*c*c gdzie
a,b,c boki trójkąta, a najmniejsze oznacza najmniejszy obwód?
z góry dzięki
pzdr

[kornel-1]

Gość portalu: pafcio napisał(a):

> czy zna moze ktoś z Was jakieś w miarę przystepny sposób znalezienia
> najmniejszego rozwiązania równania w liczbach naturalnych a*a+b*b=5*c*c gdzie
> a,b,c boki trójkąta, a najmniejsze oznacza najmniejszy obwód?

Szukasz trójkąta o obwodzie = 4 i bokach a=1, b=2, c=1?
Nie za bardzo rozumiem pytanie. Czy trójkąt ma być dowolny (dla trójkąta
prostokątnego nie widzę rozwiązań)?

Kornel

[Gość: eMPiotr]

Bez przesady, niby to trojkat: 1, 1, 2.
Pole zero, przypadek calkiem nieciekawy
i zapewne nie o taki trojkat chodzilo...
pozdrawiam PM.

[Gość: pafcio]

no tak. chodzi mi (chyba;) o rozwiązanie 13, 19, 22... ale jak do niego dojść?
dzięki i pozdr

[Gość: pafcio]

a konkretniej, zeby nei było wątpliwości to trójkątem prostokątnym jest trójkąt
o bokach a,b i sqrt(5)*c. natomiast ja szukam trójkąta o bokach a,b,c w
liczbach naturalnych dla którego długości boków zachodzi równanie powyższe
pzdr

[bbaju]

Myślę, że nie da rady obyć się bez przeszukiwania, ale pewnie i Ty podepszerz
się programikiem, więc nie ma problemu.. Trzeba tylko znaleźć jakiś system..

Ja proponuję taki:

Na początku ustalono już, że odpada 1,1,2, siłą rzeczy odpada więc i c,c,2c.
Nie dowodziłam, ale na czuja, spośród trzech boków najmniejszym będzie c. By
zaś a, b, i c mogły być bokami trójkąta i spełniały podany warunek musi być
(1)…c<aɚc
Ponadto jeden z a,b musi spełniać:
(2)…a<=c*sqr(5/2) ~ 1,6c

Obydwa warunki znacznie ograniczają przeszukiwanie.

No to zaczynamy!
c=1 już odrzuciliśmy;
c=2: (1) i (2) spełnia zaledwie a=3, wtedy b=sqr(11) - odpada;
c=3: możliwe jedynie a=4, b=sqr(29), odpada;
c=4: a=5 lub 6, i b=sqr(55) lub b=sqr(44), też na nic;
…
Dalej analogicznie i być może dopiero przy
c=13, sprawdzając a w zakresie (13,20),
natkniesz się po raz pierwszy na całkowite b.

Też raczej na nosa czuję, że dla najmniejszego znalezionego c i obwód będzie
najmniejszy. Zawsze jednak można sprawdzić jeszcze z dwa kolejne c i porównać,
potem na pewno będzie już obwod znacznie odbiegał.

Pozdrawiam,
Baj

[Gość: pafcio]

dziekuję
pzdr

[Gość: Antyp]

19 22 13
22 31 17
38 41 25
38 44 26
44 62 34
57 66 39
58 59 37
58 71 41
62 101 53
66 93 51
76 82 50
76 88 52
Są to wszystkie trójkąty spełniające równanie a*a +b*b=5*c*c, o boku nie
większym niż 101. Rozwiązanie podane przez Ciebie jest faktycznie trójkątem o
najmniejszym obwodzie. Wszystkie pozostałe rozwiązania (podane przez inne
osoby) nie spełniają warunku, że suma długości dwóch boków w trójkącie jest
większa od długości trzeciego boku. Rozwiązanie otrzymałem przy pomocy
banalnego programu. Czyli nie spełnia ono warunku przystępności (rozwiązania
algebraicznego).