Słoiczek tabletek ver. 2.0

[kornel-1]

...minął rok... Łykanie ćwiartek tabletek spodobało się staruszkowi,
podreptał więc do lekarza po kolejny słoiczek. Dostał ich trochę mniej
(powiedzmy ok. 91). Dalej cytuję andy'ego:
"Lekarz przepisał pacjentowi słoiczek tabletek, które ma brać po ćwiartce
dziennie. Pacjent przyjął następującą strategię: wyciąga codziennie tabletkę
i jeżeli jest to cała tabletka (tak będzie na pewno pierwszego dnia) dzieli
ją na połowy, jedną połówkę odkłada do słoiczka, drugą połówke dzieli na
ćwiartki, ćwiartkę odkłada do słoiczka, a ćwiartkę łyka.
Jeżeli wyciągnie połówkę to dzieli ją na ćwiartki, z których jedną odkłada do
słoiczka, a drugą połyka. Jeśli wyciągnie ćwiartkę to po prostu ją połyka.
Zakładamy, że cały czas rozkład tabletek w słoiczku jest przypadkowy (każdego
dnia słoiczek jest dokładnie wstrzasany)."

Staruszek łyka ćwiartki od początku roku, OSTATNIĄ ćwiartkę zażyje 31 grudnia
(zakładamy, że dożyje).

Przeprowadziłem trochę symulacji i widzę, że w początkach marca tabletek
każdego rodzaju będzie (mniej więcej) po równo, zaś maksimum ćwiartek
wypadnie na Wielkanoc. Całe tabletki są w słoiku i po Bożym Narodzeniu...
Dzielenie tabletek jako żywo przypomina mi reakcje następcze:
A ---> B ---> C ze znanymi funkcjami opisującymi ich kinetykę (i zmiany
stężenia tabletek w czasie. Najciekawsza jest jednak (jak w życiu) końcówka
terapii.

A teraz zmodyfikowane pytanie: jakie jest prawdopodobieństwo, że 30 grudnia
na dnie słoiczka ujrzy połówkę tabletki?

pozdr.,
Kornel

[andy._]

kornel-1 napisał:

> A teraz zmodyfikowane pytanie: jakie jest prawdopodobieństwo, że 30 grudnia
> na dnie słoiczka ujrzy połówkę tabletki?

Ale się narobiło! W ver. 1.0 nie trzeba było nic liczyć, a teraz trzeba się
trochę wysilić. Tymczasowo ulegnę wrodzonemu lenistwu i pospekuluję:
30 grudnia w słoiczku będą albo 2 ćwiartki albo połówka. Dokładam stawkę do
puli i biorąc pod uwagę to co napisał Kornel stawiam 18% dla połówki. Kto
będzie najbliższy prawdy zgarnie pulę i chwałę.
Pozdr. A.

[marchewa4]

Nie mam pomyslu na spraytne rozwiazanie tego zadania.
Liczylem na pale (maszynowo) zgodnie ze wzorem:
P(n,x,y,z) =
P(n-1, x+1, y-1, z-1)*(x+1)/(x+y+z-1) +
P(n-1, x, y+1, z-1) * (y+1)/(x+y+z) +
P(n-1,x,y,z+1)*(z+1)/(x+y+z+1),
gdzie n - numer dnia, x liczba calych, y - polowek, z - cwiartek.

Wyszlo mi, ze to prawdopodobienstwo wynosi ok. 17,29%.

Pozdrawiam

M.

[andy._]

marchewa4 napisał:

> Wyszlo mi, ze to prawdopodobienstwo wynosi ok. 17,29%.

Moje podejście w poprzednim liście było raczej luzackie. Myślałem, że parę osób
włączy się do zgadywania w ciemno i będzie coś w rodzaju loterii. Niestety
okazałem się jedynym uczestnikiem tej loterii, ale jeśli wynik Marchewy jest
prawidłowy to mój strzał 18% okazał się rewelacyjny :)

Pozdr. A.

[kornel-1]

marchewa4 napisał:
> Wyszlo mi, ze to prawdopodobienstwo wynosi ok. 17,29%.
andy._ napisał:
> Moje podejście w poprzednim liście było raczej luzackie.[...] to mój strzał
18% okazał się rewelacyjny :)

No cóż ja na policzenie "sprytnym" wzorkiem szukanego prawdopodobieństwa jestem
za głupi. Natomiast zaprosiłem milion staruszków, kupiłem im po słoiczku
witamin i na fortranowym stole łamaliśmy tabletki ;-)
Wyszło mi hm... 35.57% dla połówki tabletki 30 grudnia.
Sprawdziłem zależność wyniku końcowego od początkowej liczby tabletek (wyniki
dla miliona staruszków, liczone do ostatniej tabletki):
1 tabletka -> 49,95% (to oczywiste, 1/2)
2 tabletki -> 39,61%
3 tabletki -> 37,41%
10 tabletek -> 35,70%
100 tabletek -> 35,4%
1000 tabletek -> ok 34% (ho ho! starczy na 11 lat)
Mam wrażenie, że granicą jest 1/3.
Zastanawiam się nad współczynnikiem "2" wiążącym wynik marchewy i mój.... może
coś poknociłem..?

K.

[marchewa4]

kornel-1 napisał:

> marchewa4 napisał:
> Sprawdziłem zależność wyniku końcowego od początkowej liczby tabletek
(wyniki
> dla miliona staruszków, liczone do ostatniej tabletki):
> 1 tabletka -> 49,95% (to oczywiste, 1/2)
> 2 tabletki -> 39,61%
> 3 tabletki -> 37,41%

Sprawdzilem recznie dla 2 i dla 3 tabletek. Wcale nie jest tak duzo tych
przypadkow i da sie narysowac drzewko. Dla 2 szukane prawdopodobienstwo wynosi
0,36111 (13/36), a dla 3 wynosi 0,31568121 (1636491/51840000). Twoje wyniki
symulacyjne sa (zwlaszcza dla 3) odlegle od moich analitycznych. Ze
zrozumialych wzgledow nie bede liczyl recznie dalej ;-))) Gdyby ktos chcial
mnie sprawdzic chetnie podesle obliczenia.

Zaraz znajde chwile, zeby puscic symulacje.

Pozdrawiam

M.

[andy._]

marchewa4 napisał:

> Dla 2 szukane prawdopodobienstwo wynosi 0,36111 (13/36)

Ja miałem ten sam pomysł sprawdzenia dokładnego wyniku dla dwóch tabletek .
Wynik Marchewy zdopingował mnie do obliczeń i wyszło mi 0.35185 (19/54). Nie
chce mi sie już sprawdzać kto popełnił drobny błąd, ale symulacje Kornela
wydają się w świetle tych wyników podejrzane.

Pozdr. A.