pogoda

[Gość: Krzys]

w dwóch stacjach telewizyjnych nadają prognozę pogody. Jedna przepowiada
pogodę z prawdopodobieństwem 0,80 a druga 0,65. Dziś obydwie zgodnie twierdzą,
że jutro będzie deszcz. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że jutro będzie
padało?

[hrabia-monter-christo]

a od kiedy to pogoda zalezy od "przepowiadaczy" ?

[Gość: Krzys]

Pogoda nie zależy od przepowiadaczy; takiego stwierdzenia nie ma w zagadce.

[hrabia-monter-christo]

Gość portalu: Krzys napisał(a):

> Pogoda nie zależy od przepowiadaczy; takiego stwierdzenia nie ma w zagadce.

no niema, ale jest takie :
" Jakie jest prawdopodobieństwo tego, ZE JUTRO BEDZIE PADALO "

a to nie to samo co : jakie prawdopodobienstwo wynika z prognoz tych dwoch stacji

[smiechowiec]

Jeśli stacja, ma skuteczność 80% to wnioskuję, że z takim prawdopodobieństwem
przewiduje pogodę, więc stawiam na 0.8.

[kihooj]

93%?

[smiechowiec]

Wszystko zależy od tego czy przewidywania są niezależne.
Jeśli na podstawie tych samych przesłanek 10 stacji podających z tą samą
skutecznością np. 80% poda przewidywanie, to fakt czy usłyszymy jedno czy 10
stacji nie ma wpływu na wynik naszego przewidywania.

[Gość: Krzys]

Są niezależne. Każda stacja ma swoje modele, na których bazuje tworząc prognozę
i nie słucha innych stacji.

1/2

[hrabia-monter-christo]

Gość portalu: Krzys napisał(a):

> Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że jutro będzie
> padało?

1/2

[Gość: Krzys]

gdyby rzeczywiście tak było, to nikt by nie bawił się w pogodynki - można by
było rzucać monetą.

CHyba po prostu 80% n/t

[bigda]

[kornel-1]

bigda napisał:
CHyba po prostu 80%

Tak się zastanawiam... Jeśli stacja A ma "sprawdzalność" 80% i twierdzi, że
będzie deszcz a stacja C ma "sprawdzalność" 10% (jacyś dyletanci) i twierdzi, że
deszczu NIE będzie to...?

Czy deszczu należy się spodziewać na 9/10?
k.

[bigda]

kornel-1 napisał:

> bigda napisał:
> CHyba po prostu 80%
>
> Tak się zastanawiam... Jeśli stacja A ma "sprawdzalność" 80% i twierdzi, że
> będzie deszcz a stacja C ma "sprawdzalność" 10% (jacyś dyletanci) i twierdzi, ż
> e
> deszczu NIE będzie to...?
>
> Czy deszczu należy się spodziewać na 9/10?
> k.


Hm... kiedy to ja rachunek prawdopodobieństwa miałem... :(
Ale na to wygląda - 9/10.

[kornel-1]

Według (ostatnich) rachunków smiechowca wyglądałoby to tak:

Dodaj do ulubionych Skasujcie

Oba przewidzą dobrze 0.8 x 0.1 = 0.08
0.8 - dobrze, 0.1 źle 0.8 x (1 - 0.1) = 0.72
0.8 - źle, 0.1 dobrze (1 - 0.8) x 0.1 = 0.02
Oba przewidzą źle (1 - 0.8) x (1 - 0.1) = 0.18
Jako że oba przewidują RÓŻNIE, pełen zakres zdarzeń obejmuje
przypadki DRUGI i TRZECI więc prawdopodobieństwo prawidłowego
przewidzenia będzie wynosić
0.72 / (0.72 + 0.02) = 0.97 czyli 97%

Intuicyjnie się z tym zgadzam, bo jeśli 10-procentowy "dyletant" twierdzi, że
deszczu nie będzie, to szansa na deszcz... rośnie!

Kornel

[bigda]

Pewnie tak, muszę odświeżyć swoją znajomość probabilistyki.

[belkor]

Mam pytanie: to, że jakaś stacja przepowiada pogodę z prawdopodobieństwem 0.8
oznacza, że:

1. Jeśli np. stacja zapowie, że jutro pada deszcz, to na 80% jutro będzie padał
deszcz
czy:
2. Jeśli np. jutro będzie padał deszcz, to stacja zapowie to z
prawdopodobieństwem 80%?

[Gość: Krzys]

to oznacza, że na 1000 poprzednich prognoz (tutaj: takich zerojedynkowych
pada/nie pada - w praktyce jest to oczywiście trudniejsze do jednoznacznego
określenia) 800 się sprawdziło.

[smiechowiec]

Ogólnie dla tych 2 stacji przy założeniu, że zdarzenia badanie są
niezależne mamy takie prawdopodobieństa
Oba przewidzą dobrze 0.8 x 0.65 = 0.52
0.8 - dobrze, 0.65 źle 0.8 x (1 - 0.65) = 0.28
0.8 - źle, 0.65 dobrze (1 - 0.8) x 0.65 = 0.13
Oba przewidzą źle (1 - 0.8) x (1 - 0.65) = 0.07
Jako że oba przewidują tak samo, pełen zakres zdarzeń obejmuje
przypadki pierwszy i czwarty więc prawdopodobieństwo prawidłowego
przewidzenia będzie wynosić
0.52 / (0.52 + 0.07) = 0.88 czyli 88%

[belkor]

Nie jestem pewien czy to dobra odpowiedź. Wydaje mi się, że w tym zadaniu jest
za mało danych aby podać jednoznaczne rozwiązanie. Podam przykład podobnej zagadki:

Rzucamy parą monet. Obok mamy dwie maszyny. Jeśli któraś wyświetli zielone
światło, to w następnym rzucie z prawdopodobieństwem 0.5 wypadną 2 orły. Obie
maszyny są niezależne. Zakładając, że obie wyświetlają zielone światło, jakie
jest prawopodobieństwo, że w następnym rzucie wypadną 2 orły?

Według Twojego rozumowania otrzymujemy 50%, ale to niekoniecznie jest właściwa
odpowiedź. To zależy dokładnie od działania maszyn. Na przykład: możliwe jest,
że pierwsza wyświetla zielone światło zawsze, gdy na pierwszej monecie wypadnie
orzeł, a druga zawsze, gdy wypadną identyczne monety. Wtedy maszyny spełniają
warunki zadania, a prawdopodobieństwo wynosi 100%. Z kolei gdy np. pierwsza
wyświetla zielone światło gdy pierwszą monetą jest reszka, to też spełniają
warunki zadania, a prawdopodobieństwo wynosi 0%. W tym zadaniu z pogodą mam
wrażenie, że też prawdopodobieństwo może być różne w zależności od innych, nie
podanych informacji. Trzebaby to rozpisać bardziej matematycznie.

[belkor]

> Z kolei gdy np. pierwsza
> wyświetla zielone światło gdy pierwszą monetą jest reszka, to też spełniają
> warunki zadania, a prawdopodobieństwo wynosi 0%.

Tu oczywiście popełniłem błąd, bo w tym drugim przypadku maszyny nie spełniają
warunków zadania, ale pierwszy przypadek jest dobry.

[Gość: tomek]

52/59 ~ 0,88

[Gość: Krzys]

No to kończymy. Mam rzeczywiście odpowiedź 88%

[kornel-1]

Muszę powiedzieć, że przedstawiony przez belkora przykład z monetą zachęcił mnie
do własnych przemyśleń.

Uważam, że należy spodziewać się deszczu z prawdopodobieństwem 80%.

Moje uzasadnienie.
Po pierwsze, deszcz jest generowany przez siły przyrody, a nie przez ośrodki
stawiające prognozy (niestety!). Prognoza polega na przewidywaniu zdarzeń na
podstawie zaistniałych faktów (można użyć jakichś modeli, ale niekoniecznie!).
Im mniejszy przedział czasowy dzielący prognozę od zdarzenia, im silniejsze
przesłanki, im lepsze modele tym trafniejsze są przewidywania.

Wyobraźmy sobie dwóch obserwatorów śledzących upadek monety. Ich zadaniem jest
przewidzieć wynik: R lub O. Ale nie statystycznie (p=50%), lecz w konkretnym
rzucie. Gdy któryś z obserwatorów ma jakąś pewność (nie 100-procentową ale
wystarczająco dużą, sensowną większą niż 50%) mówi: "wypadnie orzeł/reszka". Ta
prognoza opiera się na obserwacji lotu monety i wiedzy z zakresu fizyki (tu
modele grawitacji, tarcia, sprężystości itp.). Oczywiście, bezpośrednio przed
upadkiem monety, szansa na prawidłową prognozę wyniku znacznie rośnie. Jeśli
zmusimy i drugiego obserwatora do wypowiedzi w tym samym czasie - może się
zdarzyć, że będą mieć podobne zdania (obaj zgodnie prognozują).

Tym niemniej, ich umiejętności są różne: jeden z nich ma lepsze narzędzia do
obserwacji (np. lepszą kamerę, lunetę) lub lepszy model (np. nie zapomniał o
odbiciu od podłoża). W rezultacie - jeden z nich częściej przewiduje prawidłowy
wynik upadku monety.

Obserwatorzy analizują to samo zjawisko, zdarzenie. Jeden z nich robi to
lepiej. Obaj mogą popełnić błąd - gdyż nie posiadają pełnej wiedzy (moim zdaniem
wynik dla _już_spadającej_monety_ jest określony, zdeterminowany).

Dla mnie - z punktu widzenia niby naukowego - prognozowanie pogody jest sposobem
dochodzenia do prawdy. Obserwator 80-procentowy jest po prostu bliższy tej
prawdy niż 65-procentowy. Stąd mój wniosek przedstawiony na wstępie.

No, ale mogę się mylić ;-)

Kornel

[Gość: Krzys]

nie chcę podawać dobrego wyniku. Ale rozumowanie Kornela dokładnie oddaje
sytuację. W jednej stacji meteorologowie być może poddają pomiarom więcej
czynników, lepiej wychwytują współzależności pomiędzy tymi czynnikami, a może
przy okazji mają większe znajomości u szamanów.

[kornel-1]

Gość portalu: Krzys napisał(a):
> przy okazji mają większe znajomości u szamanów.

Ale zadaniem szamanów jest WPŁYWANIE na pogodę! ;-)

k.

[Gość: Krzys]

zatem; dwóch szamanów wpływa na pogodę, jeden ma skuteczność ...... :-)

ich rolą jest sprawianie, by inni byli przekonani, że oni wpłynęli na pogodę po
tych wszystkich kompotach :-)

[Gość: tomek]

pytanie jest o prawdobodobieństwo, wielkość ściśle określoną matematycznie. nie
rozumiem po co to dorabianie ideologii, skoro coś takiego po prostu można policzyć.

[Gość: Krzys]

tak tak, oczywiście
to tylko redundantne dygresyjki

to nie tylko redundantne dygresyjki.

[bigda]

Gość portalu: Krzys napisał(a):

> tak tak, oczywiście
> to tylko redundantne dygresyjki

1) Nie ma rcji tomek twirdząc, że pytanie było o prawdopodobieństwo. W takiej postaci to nie byłaby łamigłówka (problem do rozpatrzenia) tylko zadanie dla licealistów (gdybym był ciągle w liceum pewnie pamiętałbym, jak to policzyć ☺).

2) Nie jestem fachowcem, ale czy to nie jest przypadkiem tak, że rachunek prawdopodobieństwa ma zastosowanie do dużych liczb, a do pojedynczych przypadków raczej nie?

3) Jedna stacja ma 80% skuteczności, druga 65%. A jeśli okaże się że 65% pokrywa się (zawiera) w tych 80%? To znaczy zawsze, kiedy gorsza stacja ma rację to ta lepsza też, tylko ta lepsza ma jeszcze 15% dodatkowych trafień. Ciągle będziemy się upierać przy 88%?

[Gość: tomek]

1. Jakby nie patrzeć pytanie jest o prawdopodobieństwo. treść jest jednoznaczna
i nie ma znaczenia, czy umieści się ją na tym forum, czy w zbiorku dla licealistów.

2. tu mamy do czynienia z dużymi liczbami (skuteczność modeli jest wyliczona w
oparciu o dużą liczbę pomiarów).

3. a jeśli się nie okaże? domyślnie zakłada się, że wszystko jest niezależne.

póki co nie chce się upierać przy swoim, ani wchodzić z kolegami w jałową
polemikę, bo przecież rozwiązanie jest jednoznaczne(?). ale wydaje mi się, że
troche ponosi was fantazja. może napisz po prostu jak jest odpowiedź.

Nieporozumienie ;-)

[kornel-1]

Gość portalu: tomek napisał(a):
> póki co nie chce się upierać przy swoim, ani wchodzić z kolegami w
> jałową polemikę, bo przecież rozwiązanie jest jednoznaczne(?). ale
> wydaje mi się, że troche ponosi was fantazja. może napisz po prostu
> jak jest odpowiedź.

Nie wiem, czy zauważyłeś, że zabawa na tym forum polega na 1) zgłaszaniu zagadek
2) podawaniu swoich rozwiązań 3) dyskusji podczas rozwiązywania i po rozwiązaniu.

Podoba mi się twoja fraza opatrzona znakiem pytajnym: "przecież rozwiązanie jest
jednoznaczne(?)".

Bigda podał swoją odpowiedź. Przeczytaj uważnie wątek. Czas na ciebie, nie
wstydź się! Jeśli nie chcesz wchodzić w jałową polemikę - nie musisz. Wystarczy,
że raz a dobitnie napiszesz swoją odpowiedź.

Kornel

[bigda]

Gość portalu: tomek napisał(a):

> 1. Jakby nie patrzeć pytanie jest o prawdopodobieństwo. treść jest jednoznaczna
> i nie ma znaczenia, czy umieści się ją na tym forum, czy w zbiorku dla
licealistów.

No właśnie przedstawiłem taki punkt widzenia, z którego przestaje być aż tak
jednoznaczna. Spróbuj użyć wyobraźni - masz podjąć decyzję o wyjeździe na
weekend na podstawie prognoz z 2 stacji. Gdyby to miało być tylko zadanie
matematyczne, nie byłoby zabawy. Matematyka też nie została wymyślona sama dla
siebie, ale po to, żeby opisywać nią rzeczywistość. Spróbujmy zatem przełożyć
sytuacje na rzeczywistość.

> 2. tu mamy do czynienia z dużymi liczbami (skuteczność modeli jest wyliczona w
> oparciu o dużą liczbę pomiarów).

Zapewne, ale przewidywanie dotyczy jednostkowego zdarzenia. Co innego, gdyby
pytanie dotyczyło prawdopodobieństwa 100 następnych prognoz.
Pewnie samo pojecie prawdopodobieństwa możemy odnieść do jednostkowego zdarzenia
(choć nie upieram się), ale korzyść z tego żadna.

> 3. a jeśli się nie okaże? domyślnie zakłada się, że wszystko jest niezależne.

Zakłada się? Nic się samo nie zakłada. Założył to autor zagadki indagowany przez
forumowiczów. W rzeczywistości prognozy pogody nie mogą być niezależne, ponieważ
służba meteorologiczna jest w kraju jedna. Udostępnia dane, stacja sama sobie je
interpretuje, ale wnioski są wyciągane na podstawie tych samych danych.

>
> póki co nie chce się upierać przy swoim, ani wchodzić z kolegami w jałową
> polemikę, bo przecież rozwiązanie jest jednoznaczne(?). ale wydaje mi się, że
> troche ponosi was fantazja. może napisz po prostu jak jest odpowiedź.


Odpowiedź jak widać nie jest jednoznaczna. Ale skoro dyskusje na temat zagadek
są jałowe, to może niech ich autorzy zamieszczają je od razu łącznie z
odpowiedziami. Zagadka, odpowiedź, zero dyskusji.

[Gość: Krzys]

Zakłada się? Nic się samo nie zakłada. Założył to autor zagadki indagowany przez
forumowiczów. W rzeczywistości prognozy pogody nie mogą być niezależne, ponieważ
służba meteorologiczna jest w kraju jedna. Udostępnia dane, stacja sama sobie je
interpretuje, ale wnioski są wyciągane na podstawie tych samych danych.

Zgadzam się w pełni - łamigłówki są miejscem do dyskusji.

Służba meteo może być jedna, ale może też korzystać z różnych modeli pogodowych.
W Polsce to COSMO i ALADIN. A skoro te modele są różne to zapewne różnią się
skutecznością. W zadaniu jeden model ma 80%, a drugi 65%. Modele działają
niezależnie od siebie, a ta służba musi "wydać werdykt".

Tak wyglądają prognozy z tych modeli:
www.imgw.pl/internet/zz/zz_xpages/internauci/prognoza_z_imgw.html

[Gość: tomek]

Macie Panowie rację. warto rozmawiać! zatem dyskutujmy. to dlaczego nie 88%? tak
mi wyszło i nie chce inaczej.

rozumowałem podobnie jak śmiechowiec:
forum.gazeta.pl/forum/72,2.html?f=514&w=88740296&a=88766251

pozdrawiam

[Gość: bigda]

No przy założeniu, że prognozy są całkowicie niezależne, no to chyba tak.

[hrabia-monter-christo]

Gość portalu: tomek napisał(a):

> Macie Panowie rację. warto rozmawiać! zatem dyskutujmy. to dlaczego
> nie 88%? tak mi wyszło i nie chce inaczej.

mam propozycje dla tych ktorym "wychodzi" wiecej niz wynika z najbardziej
skutecznej prognozy - tu 80%

zebrac kilka juz gotowych prognoz (nie danych do prognozy), policzyc i oglosc
swoja prognoze - splendor murowany, skoro bedzie skuteczniejsza od prognoz
zrodlowych :-))

[smiechowiec]

hrabia-monter-christo napisała:
> mam propozycje dla tych ktorym "wychodzi" wiecej niz wynika z najbardziej
> skutecznej prognozy - tu 80%
>
> zebrac kilka juz gotowych prognoz (nie danych do prognozy), policzyc i oglosc
> swoja prognoze - splendor murowany, skoro bedzie skuteczniejsza od prognoz
> zrodlowych :-))
Twoje rozumowanie jest nie zgodne z warunkami podanymi przez autora.
Jeśli wyniki są całkowicie niezależne to znaczy że pochodzą od innych
przesłanek, np obserwacji mrówek ptaków, Indian, Górali, danych przekazywanych
przez stacje meteorologiczne czy zdjęć satelitarnych. Na podstawie uzyskanych
informacji synoptycy korzystając z przyjętego modelu typują wynik, który
sprawdza się z pewnym prawdopodobieństwem byle różnym od 50 %.
Jeżeli natomiast obi stacje korzystają z tych samych danych wtedy ich wyniki są
zależne i prawdopodobieństwo danego zdarzenia równe 80 zawiera w sobie już te
65%, które podaje druga stacja.
Wtedy tak jak w rzeczywistości, a nie jak w tym zadaniu, bez względu na ilość
stacji podających prognozę najlepiej zrobimy gdy zaufamy tej, która ma najlepszą
sprawdzalność.

[Gość: Krzys]

Ale to rozumowanie dałoby ten sam wynik, gdyby stacje miały identyczną
skuteczność równą sqrt(0,52). Przypadek 2 ma większą wagę niż przypadek 3, bo
więcej jest warta prognoza 0,8

[Gość: malpp]

Jesli to, co napisze, juz zostalo napisane, to przepraszam, ale nie
mam czasu czytac wszystkich postow.

Generalnie nie zgadzam sie, ze 80%. Myślę, że najprostszym dowodem
na to jest obalenie błędnego (niewynikającego z treści) założenia,
że ten, który przewiduje z 80% skutecznością, przewidział wszystkie
te przypadki, co ten od 65% skuteczności, plus parę innych. Przecież
zgodnie z logiką są też sytuacje, w których tylko ten drugi miał
rację.

Stąd rozwiązanie >80%. Pewnie te 88%, ale to już wymaga ciut więcej
czasu niż teraz posiadam.

Pozdrawiam i przy okazji: wesołych Świąt!

[kihooj]

Zastanawiam się, czemu nikt jeszcze nie podał liczby 0,725. Myślałem, że taka
będzie większość odpowiedzi i że jest tu jakiś haczyk, dlatego palnąłem swoje
93%, czego się teraz wstydzę. A najbardziej podoba mi się odpowiedź 80%. Ale nie
upieram się przy niej, bo jakoś "nie czuję" tego zadania.

[kornel-1]

kihooj napisał:
> Zastanawiam się, czemu nikt jeszcze nie podał liczby 0,725

Odpowiem ci na przykładzie, dlaczego nie można wyciągać średniej arytmetycznej.
Wyobraźmy sobie, ze produkuję parasole (lub okulary słoneczne). Czy nie byłoby
rozsądne dla interesów firmy, gdybym wygłaszał rzadko sprawdzalne (np. 5%)
prognozy zgodne z prognozami fachowców?
80-procentowy mówi: deszcz
5-procentowy mówi: deszcz
Ludzie sobie myślą: eee... raczej nie będzie padać (42.5%)

A ja stoję na rogu i sprzedaję parasole ;-)
;-)
Kornel

[Gość: Krzys]

rozumiem, że wcześniej byś znał prognozy i celowo je przeinaczał, bo przy pogoda
/ deszcz uzyskanie 5% byłoby błyskiem geniuszu. Bo wystarczyłoby, by ktoś mówił
coś przeciwnego i miałby 95%

[kornel-1]

Gość portalu: Krzys napisał(a):

> rozumiem, że wcześniej byś znał prognozy i celowo je przeinaczał,
> bo przy pogoda / deszcz uzyskanie 5% byłoby błyskiem geniuszu. Bo
> wystarczyłoby, by ktoś mówił coś przeciwnego i miałby 95%

W moim uzasadnieniu dot. średniej arytmetycznej posłużyłem się żartem i skrajnym
przypadkiem. Muszę przyznać, że sposób wyznaczania "sprawdzalności" prognozy
jest mi nieznany. A jest ona zwykle wysoka np. 95%. Prognoza pogody składa się z
wielu elementów (opady, temp., zachm., ciśn., wiatr) i niesprawdzenie się
JEDNEGO z elementów raczej nie dyskredytuje prognozy. Musi istnieć jakiś algorytm.

5-procentową przewidywalność (sprawdzalność) łatwo osiągnąć precyzując elementy
prognozy. Na przykład:
"Jutro wiatr 16.8-17 m/s, opad 3.3-3.4 mm, temperatura w dzień 4.5-4.7oC."

Kornel

[Gość: Krzys]

tak, dlatego napisałem że przy 0/1 prognozie, a nie wielokryterialnej

A gdybyśmy doprecyzowali.

[bigda]

Powstał przekonujący argument, że przecież te 65% trafień zawiera się w tamtych
80% dlatego 80%. Ale przecież nie musi się zawierać w całości. Nawet gorsza
stacja czasem może się okazać lepsza. Załóżmy, że stacja z trafnością 65% ma to
do siebie, że 60% tych trafnych zawiera się w owych 80% drugiej stacji, ale
pozostałe 5% trafnych jest unikatowe, to znaczy jest trafne, ale sprzeczne z
przewidywaniami drugiej stacji (czyli 5% prognoz maja trafnych wtedy, kiedy
druga stacja ma swoje 20% nietrafnych).
Jak wtedy policzymy prawdopodobieństwo? Przyznam, że musiałbym sporo
posiedzieć,żby sobie do tego stopnia przypomnieć rachunek.

[Gość: Krzys]

no jest dokładnie tak jak piszesz. Tak samo, jak przy wyścigach konnych -
czasem ktoś kto zwykle przegrywa, jednak "pokona" bukmacherów.

[belkor]

> Powstał przekonujący argument, że przecież te 65% trafień zawiera się w
tamtych 80% dlatego 80%. Ale przecież nie musi się zawierać w całości. Nawet
gorsza stacja czasem może się okazać lepsza.

Jeśli zdarzenia są niezależne (tak napisał autor w jednym z poprzenich postów),
to żadne z tych zdarzeń nie może zawierać się w drugim. Wtedy byłyby bardzo
zależne. Jedynym wyjątkiem jest, gdy któreś ze zdarzeń jest pewne
(prawdopodobieństwo 1).

[belkor]

> Jeśli zdarzenia są niezależne (tak napisał autor w jednym z poprzenich
postów), to żadne z tych zdarzeń nie może zawierać się w drugim. Wtedy byłyby
bardzo zależne. Jedynym wyjątkiem jest, gdy któreś ze zdarzeń jest pewne
(prawdopodobieństwo 1).

Zapomniałem dodać: jest to też możliwe, gry któreś ze zdarzeń ma
prawdopodobieństwo 0.

[Gość: Krzys]

w tym "zawieraniu" jednak chyba chodziło o to, że jak stacja 1 przepowiedziała
dobrze, to stacja 2 też wtedy przepowiedziała dobrze (niezależnie)

[smiechowiec]

bigda napisała:
> Powstał przekonujący argument, że przecież te 65% trafień zawiera
się w tamtych
> 80% dlatego 80%. Ale przecież nie musi się zawierać w całości.
Nawet gorsza
> stacja czasem może się okazać lepsza. Załóżmy, że stacja z
trafnością 65% ma t
> o
> do siebie, że 60% tych trafnych zawiera się w owych 80% drugiej
stacji, ale
> pozostałe 5% trafnych jest unikatowe, to znaczy jest trafne, ale
sprzeczne z
> przewidywaniami drugiej stacji (czyli 5% prognoz maja trafnych
wtedy, kiedy
> druga stacja ma swoje 20% nietrafnych).
> Jak wtedy policzymy prawdopodobieństwo? Przyznam, że musiałbym
sporo
> posiedzieć,żby sobie do tego stopnia przypomnieć rachunek.
Jeśli chodzi o prawdopodobieństwo danego zdarzenia to jest ono równe
stosunkowi liczby przypadków sprzyjających do liczby wszytskich
przypadków możliwych.

W przypadku gdy wyniki są całkowicie zależne uwzględniamy tylko
wyniki stacji, która ma 80% skuteczność,
wtedy mamy wynik z definicji równy 80%, natomiast ignorujemy wynik
drugiej stacji.
Jeśli jednak uwzględnimy wyniki z obu stacji wtedy może być nieco
gorzej.
Obie wskazują poprawnie dla 0.65 przypadków
Obie wskazują niepoprawnie dla 0.20 przypadków
Więc prawdopodobieństwo poprawnego typowiania przy uwzględnieniu obu
stacji mamy 65 / (65 + 20) = 76 %

Natomiast jeżeli obie stacje typują prawidłowo dla 60 %,
a jedna stacja dodatkowo dla 5% (razem 65%), gdzie druga typuje
niewłaściwie,
natomiast druga typuje poprawnie dodatkowo 20% (razem 80%), gdzie
pierwsza typuje niewłaściwie
Wtedy mamy prawdopodobieństwo prawidłowego wytypowania równe 60 /
(60 + 15) = 80%
czyli tyle samo gdybyśmy uwzględniali tylko lepszą stację.
Gdyby wyniki były całkowicie niezależne wtedy warto uwzględnić oba
wyniki.
Wniosek praktyczny jest taki, że skoro wiemy, że rzeczywiste wyniki
stacji są zależne
najkrzystniej jest słuchać jedynie stacji o największej skuteczności.

[belkor]

Próbowałem to rozpisać ze wzorów, ale nadal twierdzę, że jest za mało danych. Odpowiedź 88% raczej nie jest właściwa.

Przykładowo, wyobraźmy sobie, że mamy taką sytuację: w pewnym miejscu ZAWSZE pada. Są dwie stacje meteorologiczne. W pierwszej z prawdopodobieństwem 0.8 mówią, że jutro będzie padało, a z prawdopodobieństwem 0.2, że jutro będzie słonecznie. W drugiej podobnie, z prawdopodobieństwami 0.65 i 0.35.

Ten przypadek spełnia warunki zadania. Pierwsza stacja w 80% przypadków podaje dobrą pogodę, a druga w 65%. Obie stacje działają niezależne. Jeśli obie podadzą, że jutro będzie padać, to nastąpi to z prawdopodobieństwem 100%, a nie 88%.

Taki przykład jest dość ekstremalny, ale pokazuje, że to nie jest właściwa odpowiedź. Autor podał za mało danych, wynik może być różny w zależności od innych okoliczności (m. in. rzeczywistego prawdopodobieństwa wystąpienia deszczu).

[Gość: Krzys]

Ale to nie ma wtedy sensu. Dysponując apriori wiedzą o zdarzeniu pewnym, nie
można posługiwać się prawdopodobieństwem. Stacja 2 nie byłaby stacją meteo gdyby
w takim miejscu w którym ciągle pada miała taką skuteczność.

[belkor]

Prawdopodobieństwo jest ustaloną wartością i nie zależy od naszej wiedzy.

Poza tym, postanowiłem sprawdzić to eksperymentalnie. Napisałem program, który ma symulować tą sytuację. Działa następująco:
- Wybierana jest losowo jutrzejsza pogoda (jedna z 10 dostępnych, jedną z nich jest deszcz).
- Pierwsza stacja wybiera przewidywaną pogodę. Z prawdopodobieństwem 80% przewiduje dobrze, w przeciwnym przypadku wybiera losowo jedną z pozostałych.
- Tak samo dla drugiej stacji z prawdopodobieństwem 65%.

Takie stacje oczywiście spełniają warunki zadania. Program przeprowadził 10^6 prób. W 53271 przypadkach obie stacje odpowiedziały, że jutro będzie deszcz. W 52268 przypadkach było to prawdą. Daje to ok. 98%.

Potem zmieniłem trochę działanie programu - ustawiłem, że jeśli jutro nie będzie padało, a stacja przepowie złą pogodę - to zamiast losować z pozostałych zawsze wybierze deszcz. Po tej zmianie stacje nadal spełniają warunki zadania, bo w ilości sukcesów nic to nie zmienia. Tym razem wyszło 52290 / 115609, czyli ok. 45%.

Oba przypadki spełniały warunki zadania, a prawdopodobieństwo zupełnie różne.

[bigda]

Blekor, nie masz racji.

Jeśli jedna stacja ma trafność 80% a druga 65%, to przynajmniej 45% przewidywań
musi się pokrywać między nimi. To, że przewidywania są niezależne, oznaczałoby,
że zdarzenia są losowe. Wtedy 88% jest chyba trafną odpowiedzią. Ale wiadomo, ze
prognoza pogody nie jest zdarzeniem losowym.

[belkor]

Uściślę: pod pojęciem "zdarzenie A zawiera się w zdarzeniu B" rozumiem: "jeśli wystąpi zdarzenie B, to znaczy że wystąpiło też zdarzenie A". W takim sensie zdarzenie "stacja 2 przewidziała pogodę" nie zawiera się w zdarzeniu "stacja 1 przewidziała pogodę", bo może się zdarzyć, że stacja 1 będzie miała dobrą prognozę, a stacja 2 złą.

Poza tym, w tym zadaniu można jeszcze zwrócić uwagę na jeden szczegół: właściwie nic nie wiemy o tym, jak stacje radzą sobie z przewidywaniem deszczu. Możliwe, że w jakimś miejscu bardzo rzadko pada i jest to trudne do przewidzenia. Stacje bardzo rzadko zgadują poprawnie czy będzie padać, ale dobrze sobie radzą z przewidywaniem innych rodzajów pogody i dzięki temu osiągają podane skuteczności. W takim przypadku, jeśli obie stacje uznają że jutro będzie padać, prawdopodobieństwo że to nastąpi może być w rzeczywistości dość małe. Z kolei w innym miejscu, gdzie radzą sobie z tym już lepiej (np. specjalizują się w przewidywaniu deszczu, z innymi pogodami radzą sobie słabiej), prawdopodobieństwo to będzie znacznie większe.

[Gość: grzesiek]

Wydaje się że Belkor dochodzi do sedna, a tym sednem jest
właściwe zdefiniowanie co to znaczy że dezcz jest prognozowany
z prawdopodobieństwem P%. Treść zadania tego nie specyfikuje.
Do wyboru są co najmniej dwie definicje, obie używają pojęcia prawdopodobieństwa
warunkowego:
1) P% to prawdopodobieństwo spadnięcia deszczu jutro pod warunkiem
że dziś prognozowany jest deszcz,
2) P% to prawdopodobieństwo tego że dziś wyprognozowano deszcz pod
warunkiem że jutro deszcz spadnie.

Kiedyś na Forum była już bardzo podobna zagadka autorstwa Krzysia.
W tamtej zagadce było doprecyzowane że z takim samym
prawdopodobieństwem trafienia stacja prognozuje złą i dobrą pogodę.
Ta informacja była potrzebna do wyliczenia wyniku, ale ciągle
nie wystarczająca. Okazało się że trzeba jeszcze znać
prawdopodobieństwo że deszcz w ogóle spadnie. Podam wzory dla
obu definicji skuteczności prognozy.
Oznaczenia:
A=0.80
B=0.65
D= prawdopodobieństwo że dowolnego dnia pada
X= szukane prawdopodobieństwo że jutro bedzie padać
1) X = 1 / (1 + (1-A)*(1-B)*D/(A*B*(1-D)))
2) X = 1 / (1 + (1-A)*(1-B)*(1-D)/(A*B*D))
Oba wzory dają ten sam wynik gdy D=0.5 i jest to X=0.88

[kornel-1]

Gość portalu: grzesiek napisał(a):

> 1) P% to prawdopodobieństwo spadnięcia deszczu jutro pod warunkiem
> że dziś prognozowany jest deszcz, [...]
> Okazało się że trzeba jeszcze znać prawdopodobieństwo że deszcz w ogóle
spadnie. [...]
> 1) X = 1 / (1 + (1-A)*(1-B)*D/(A*B*(1-D)))
> [...] Oba wzory dają ten sam wynik gdy D=0.5 i jest to X=0.88

No tak. Prawdopodobieństwo, że w Krakowie deszcz spadnie jest znane: na
podstawie statystyk (ilość dni deszczowych w roku, w miesiącu).
Ale czy nie jest również tak, że prognoza pogody (o skuteczności, trafności,
przewidywalności = A v B) UWZGLĘDNIA to prawdopodobieństwo D?

Kornel

[Gość: grzesiek]

> Ale czy nie jest również tak, że prognoza pogody (o skuteczności, trafności,
> przewidywalności = A v B) UWZGLĘDNIA to prawdopodobieństwo D?

Zaproponuj definicję oceny skuteczności prognozy która D uwzględnia.
Dwie definicje zaproponowane przeze mnie tego nie uwzględniają.