Tempus fugit

[republican]

Podsluchane

Klepsydra sklada sie z dwoch identycznych stozkow.
.
W momencie wyjsciowym gorny stozek jest pelny piasku, dolny stozek
jest pusty.

Piasek opada w dol rownomiernie i po 90 minutach gora jest pusta.
Kiedy wysokosc piasku w dolnej czesci bedzie rowna polowie wysokosci
w gornym stozku?

[jacekstu]

tak na szybko.. wyszło mi ze po 11 minutach i 15 sekundach

[jacekstu]

tzn.. wróć.. nie po 11:15 tylko po 90 - 11:15 czyli 01:18:45

[jacekstu]

Przemyślałem trochę i:
moje przedstawione powyżej wyliczenie jest właściwe przy założeniu, że w dolnej
części klepsydry piasek rozsypuje się tak, że cały czas tworzy jakby ścięty
stożek (tzn powierzchnia piasku jest pozioma). Jeśli natomiast ziarenka piasku
układają się od razu na kształt stożka (a tak jest przecież w realnym świecie)
to zakładając, że powierzchnia boczna stożka "piaskowego" jest cały czas
równoległa do kształtu powierzchni bocznej docelowego stożka, którego kształt
narzuca sama klepsydra, to wysokość tworzonego stożka i stożka w górnej części
klepsydry zostanie osiągnięta po 45 minutach.

[republican]

jacekstu napisał:

> Przemyślałem trochę i:
> moje przedstawione powyżej wyliczenie jest właściwe przy
założeniu, że w dolnej
> części klepsydry piasek rozsypuje się tak, że cały czas tworzy
jakby ścięty
> stożek (tzn powierzchnia piasku jest pozioma).
ZAKLADAMY TU TE IDEALNBA SYTUACJE
Jeśli natomiast ziarenka piasku
> układają się od razu na kształt stożka (a tak jest przecież w
realnym świecie)
> to zakładając, że powierzchnia boczna stożka "piaskowego" jest
cały czas
> równoległa do kształtu powierzchni bocznej docelowego stożka,
którego kształt
> narzuca sama klepsydra,
NIEKONIECZNIE, KSZTALT PIASKU JEST OKRESLONY INNYMI WSPOLCZYNNIKAMI
to wysokość tworzonego stożka i stożka w górnej części
> klepsydry zostanie osiągnięta po 45 minutach.
Wobec informacji ktore posiadam idealne wyrownanie wysokosci bedzie
osiagniete szybciej.

[jacekstu]

Jeśli wysokość w górnej i dolnej części klepsydry ma być taka sama to można
wyobrazić sobie zwykły stożek o wysokości h, przecięty poziomo w połowie
wysokości i górną część z tego obciętego stożka "odwracamy" o 180 stopni.

Mamy więc otrzymamy jeden stożek o wysokości h/2 i stożek ścięty o wysokości h/2.
Objętość pierwotnego, dużego stożka to (pi * R^2 * h)/3 natomiast objętość
małego odwróconego stożka to (pi * r^2 * h/2)/3.

Wiemy, że h/2 ma się tak do r jak h do R a stąd R=2r. Z tego otrzymnujemy, że
V1/V2=8, gdzie V1 to objętość dużego stożka a V2 to objętość małego stożka.
Zatem objętość małego stożka stanowi 1/8 objętości stożka dużego. Objętośc
zmienia się liniowo w czasie, więc 90min/8 = 11min 15sek (jest to czas
przesypywania się pozopstałej części stożka - tego małego), więc odpowiedz na
zadane pytanie to czas, który upłynął od początku przesypywania się piasku do
momentu aż do całkowitego przesypania pozostanie tylko mały stożek, czyli 90min
- 11min:15sek, czyli 78:45

jeśli coś źle rozumuję, to proszę o poprawkę

[republican]

Wedlug Ciebie wysokosc kazdej czesci klepsydry (gornej i dolnej )
jest h.
Mamy w zadaniu ze stosunek wysokosci piasku w gornej i dolnej czesci
klepsydry jest 2 to wcale nie znaczy ze wysokosc piasku jest h/2.

Pamietaj tez ze wysokosc w gornej czesci mierzymy od szyjki w gore a
w dolnej od podstawy w gore.
Czy zgadzasz sie ze mna?

[jacekstu]

republican napisał:

> Pamietaj tez ze wysokosc w gornej czesci mierzymy od szyjki w gore a
> w dolnej od podstawy w gore.
> Czy zgadzasz sie ze mna?

tak, tak, z tym sie zgadzam. źle przeczytałem treść zadania :|
licze od nowa..

[jacekstu]

teraz powinno być dobrze:

stożek o wysokości h, przecinamy poziomo nie w połowie a na wysokości h/3 od
podstawy

otrzymamy więc jeden stożek o wysokości 2h/3 i stożek ścięty o wysokości h/3.
Objętość pierwotnego, dużego stożka to (pi * R^2 * h)/3 natomiast objętość
małego odwróconego stożka (pozostałość w górnej części klepsydry) to (pi * r^2 *
2h/3)/3.

Wiemy, że 2h/3 ma się tak do r jak h do R a stąd R=1.5r. Z tego otrzymnujemy, że
V1/V2=27/8, gdzie V1 to objętość dużego stożka a V2 to objętość małego stożka.
Zatem objętość małego stożka stanowi 8/27 objętości stożka dużego.

czas przesypywania się stożka dużego to 90min więc mały stożek przesypie się
przez 26min:40sek
z tego mamy, że czas, który upłynął od początku przesypywania się piasku do
momentu aż do całkowitego przesypania pozostanie tylko mały stożek to
1godz:3min:20sek

[republican]

Wspaniale!
Przepraszam ze nie bylem zbyt dokladny formulujac zadanie.

[republican]

Prostsze rozwiazanie
Wysokosc piasku w gorze jest 2/3h w dolnej 1/3h
Wiec objetosc piasku w gorze jest proporcjonalna do (2/3)^3=8/27