Prosta na sferze

[sapiezanka]

Witam.
Zmeczyly mnie robotki na drutach, do ktorych zagonil mnie jeden z forumowiczow( niejaki LICEUM/forum2), wiec
dla odprezenia chce zadac kilka pytan.

Didok pisal:
"Jesli chodzi o czterowymiarowa przestrzen jako zamknieta
hiperprzestrzen, to przyznaje, mam z tym klopoty (moze by mi pomoglo, gdyby mi
ktos zechcial wyjasnic ktory wymiar jest zamkniety?)..."


Czy nie jest tak, ze jesli mamy do czynienia ze sferä/powierzchniä kuli,
to wymiary dlugosci i szerokosci sä w jakims sensie "zamkniete" przez
zakrzywienie kätowe sfery rowne 360 stopni*?

Pytam o prosta. Definicja prostej wywodzi sie z plaskiej geometrii
Euklidesa. Prosta to najkrotszy odcinek miedzy punktami A i B, ale
na plaskiej przestrzeni! Do takiej ta definicja byla stworzona.
(A moze sie myle?) Taka prosta na sferze staje sie polokregiem
( patrz poludniki) albo okregiem ( patrz rownik i rownolezniki).

Czym jest okrag jesli nie rodzajem ODKSZTALCENIA PROSTEJ
(plaskiej!) o zerowej krzywiznie katowej do krzywej o zakrzywieniu
kätowym 360stopni ? Takie odksztalcenie zakrzywia prosta w krzywä
typu okräg. Mowienie o okregu (lub polokregu) jako o prostej o plasz
czyznie niezerowej moze ma jakis sens, ale jest sporym naduzyciem
wzgledem uzywanego pojecia. Mowienie o rowniku albo o poludnikach
jako prostych na sferze jest olbrzymim uproszczeniem. Przyklad:
Mam drut, prosty jak drut i pilke plazowa i tym prostym drutem chce
owinac pilke. Co robie? Prosty drut odksztalcam rownolegle do zakrzy
wienia pilki i uzyskuje w ten sposob krzywa, ktora zamyka sie w okregu.
A (zewnetrzne) zakrzywienie katowe drutu zamknietego w okrag,
od zerowego przechodzi w trzystuszescdziesieciostopniowe!

Gdyby opisac poludniki sfery/powierzcni kuli na 2.wspolrzednych
x ( dlugosc poludnikow) i k (katy zakrzywienia poludnikow),
to poludniki = polokregi mialyby na x wytyczonä takä samä, stalä dlugosc.
Natomiast na wspolrzednej k, katy zakrzywienia poludnikow zawieralyby
sie od 0 (zera) stopnia - punkt bieguna A do 180 stopni - punkt bieguna B.

Gdyby opisac rownik i rownolezniki powierzchni kuli na 2. wspolrzednych
x (dlugosc rownoleznikow) i k (käty zakrzywienia rownoleznikow),
to dlugosc rownoleznikow zawieralaby sie na wspolrzednej x od 0 (zera)
stopnia na biegunie A, dalej roslaby do swojego maksimum X - w polowie
czyli rowniku, i z powrotem malalaby do 0 (zera) na biegunie B.
Natomiast na wspolrzednej k käty zakrzywienia rownoleznikow i
rownika bylyby stale i wynosily 360stopni.
( Odksztalcenie dlugosci rownoleznikow zgodne jest z zakrzywieniem
samej sfery/ powierzchni kuli i jej "wysokosciä" od bieguna A do bieguna B).

Gdyby powierzchnie kuli/ sfere opisac przy pomocy czterech wektorow:
- znanych 3. wymiarow: x- dlugosci, y- szerokosci i z -wysokosci oraz
k- zakrzywienia kätowego, to jesli zakrzywienie kätowe potraktujemy jako
4.wymiar moze okazac sie, ze scala on pozostale 3wymiary do ksztaltu sfery.
Wektor k nie musi byc wspolrzedny do pozostalych wektorow
wspolrzednych x, y i z. Jesli nie musi byc wspolrzedny, to jaki moze byc?

I jeszcze jedno, czy nie jest tak, ze w trojkacie (trzy punkty zakrzywienia
kätowego o sumie 180stopni), kwadracie ( cztery punkty zakrzywienia
kätowego o sumie 360stopni) i wszystkich innych figurach geometrycznych
"zamkniecie" dlugosci, szerokosci i wysokosci implikuja w pewnym sensie käty?

Serdecznie pozdrawiam
- "zakrzywiona" sapiezanka

[Gość: Stefan]

sapiezanka:
> Zmeczyly mnie robotki na drutach, do ktorych zagonil mnie jeden z
> forumowiczow( niejaki LICEUM/forum2), wiec dla odprezenia chce zadac kilka
> pytan.

Mam nadzieje, ze nie popsulas sobie oczu nad ta niezdrowa czynnoscia. Czy
uzyskalas chociaz jakiegos ladnego ciucha?

sapiezanka:
> Czy nie jest tak, ze jesli mamy do czynienia ze sferä/powierzchniä kuli, to
> wymiary dlugosci i szerokosci sä w jakims sensie "zamkniete" przez
> zakrzywienie kätowe sfery rowne 360 stopni*?

Czy masz na mysli dlugosc i szerokosc geograficzna? Poludniki sa OK, wyznaczaja
kierunek, mozesz uznac je za ,,wymiar''. Tak, okrag poludnikowy (taki zlozony z
dwoch poludnikow rozniacych sie o 180 stopni) jest czyms w rodzaju prostej na
sferze i istotnie, jest zamkniety. Z rownoleznikow tylko rownik ma ta wlasnosc.
Inne rownolezniki nie sa odpowiednikami prostej.

sapiezanka:
> Pytam o prosta. Definicja prostej wywodzi sie z plaskiej geometrii
> Euklidesa. Prosta to najkrotszy odcinek miedzy punktami A i B, ale na plaskiej
> przestrzeni! Do takiej ta definicja byla stworzona.

Zeby zaadaptowac to rozumienie prostej do powierzchni nieplaskiej, trzeba
wstawic do niej slowko ,,lokalnie''. I zwykle nie uzywa sie wtedy terminu
,,prosta'', mowi sie ,,geodezyjna''. A wiec geodezyjna to taka linia na
powierzchni (np. na sferze), ktora jest lokalnie najkrotsza droga miedzy kazdymi
swoimi dwoma punktami. To znaczy, ze tak jest, jesli te punkty sa bliskie. Na
przyklad:

[lisa2]

Skoro Sapieżanka robi na drutach to i ja mogę, ale ja nie robię a drutach,
tylko na wełnie.

W z wiązku z powyższym wymyśliłam (sic!) błąd w rozumowaniu Sapieżanki i w
wyjaśnieniu dość trudnym Stefana i idącym zbyt daleko, odnosząc się do globu.

Otóż odwzorowaniem prostej na sferze jest prosta (?) utworzona przez przecięcie
sfery i każdej płaszczyzny przecinającej sferę i przechodzącą przez jej środek.

Stefan zasugerował się odniesieniem do równika i południków, dlatego wyjaśniał
od strony rzeczywistych prostych geodezyjnych.

Sapieżanka błędnie rozróżniała równik, równoleżniki i południki. Jeśli już tak,
to nie wszystkie równoleżniki (równik jest szczególnym równoleżnikiem) i nie
wszystkie południki spełniają podaną przeze mnie definicję. Spełnia ją równik i
parami południki oddalone od siebie o kąt 180 stopni parami (tworzące zamknięty
okrąg).

Wychodząc jednak z rozważań Sapieżanki, są dwa rodzaje prostych na sferze,
chodzi mi tu o niekonsekwentne popełnienie przez nią błędu.

Sapieżanka przyjęła błędnie, że tylko płaszczyzna przecinająca sferę w dowolnym
miejscy, w punkcie przecięcia daje zawsze okrąg. Według mnie nie pomyślała o
innym przypadku, gdy taką prostą jest jedyna prosta nieskończona opisana na
sferze SPIRALA.

Jak ją utworzyć?
Przykładamy dowolny kawałek wełny (z nieskończonego kłębka) gdzieś na równiku,
a następnie rozwijamy pod dowolnym kątem (różnym o wielokrotność 0 i 180
stopni) w stosunku do równika. Następnie odwijając tą wełnę ciągniemy cały czas
w kierunku do jednego z biegunów. Praktycznie to po osiągnięciu bieguna, możemy
sobie obciąć włóczkę na biegunie i przykleić ją do niego, powtarzamy tę
czynność od równika w kierunku przeciwnego bieguna i tam też przyklejamy drugi
obcięty koniec włuczki w punkcie bieguna.

To co napisałam wyżej to tylko praktyka, bo teoretycznie zamiast włóczki musimy
sobie wyobrazić prostą bezwymiarową, a każdy kąt spowoduje, że ta prosta nigdy
nie osiągnie bieguna, który jest punktem na sferze (najdalej odległym od okręgu
nazywanym równikiem, tak z jednej, jak i z drugiej strony sfery) i prosa nie
będzie odcinkiem tylko prostą nieskończoną dążącą do punktu bieguna, ale nigdy
ją nie osiągającą. Ponieważ tak się dzieje z obu stron "równika", to prosta
spiralna jest nieskończona.

lisa2

[Gość: Stefan]

lisa2:
> Skoro Sapieżanka robi na drutach to i ja mogę, ale ja nie robię a drutach,
> tylko na wełnie.

O tym sporcie nie slyszalem. Jak sie robi na welnie nie uzywajac drutow albo
szydelka?

lisa2:
> Otóż odwzorowaniem prostej na sferze jest prosta (?) utworzona przez
> przecięcie sfery i każdej płaszczyzny przecinającej sferę i przechodzącą przez
> jej środek.

To sa dokladnie okregi wielkie sfery.

lisa2:
> Według mnie nie pomyślała o innym przypadku, gdy taką prostą jest jedyna
> prosta nieskończona opisana na sferze SPIRALA.
>
> Jak ją utworzyć?
> Przykładamy dowolny kawałek wełny (z nieskończonego kłębka) gdzieś na równiku,
> a następnie rozwijamy pod dowolnym kątem (różnym o wielokrotność 0 i 180
> stopni) w stosunku do równika.

Nie bardzo zgadzam sie z TRZEMA roznymi rzeczami w tej wypowiedzi.

(1)
Linie przecinajaca wszystkie poludniki pod tym samym katem dawni zeglarze
nazywali loksodroma. Statek utrzymujacy staly kurs kompasowy (z poprawka na
deklinacje magnetyczna) porusza sie po loksodromie, wiec sie po niej latwo
zegluje. ALE ONA NIE JEST ,,PROSTA'' w sensie najkrotszej drogi. Inaczej
zeglarze nie mieliby powodu wymyslic o wiele bardziej skomplikowanej zeglugi po
ortodromie.

(2)
W dodatku loksodroma ma skonczona dlugosc. W tym punkcie sama sobie przeczysz,
bo raz mowisz:

lisa2:
> taką prostą jest jedyna prosta nieskończona opisana na sferze SPIRALA.

a drugi raz:

lisa2:
> po osiągnięciu bieguna, możemy sobie obciąć włóczkę na biegunie i przykleić ją
> do niego

Jesli z klebka mozna jeszcze cos obciac po osiagnieciu bieguna, to znaczy, ze
ilosc zuzytej wloczki jest skonczona, prawda? Tak jest w istocie. Wprawdzie
loksodroma wykonuje nieskonczona ilosc obiegow dookola bieguna, ale drogi tych
obiegow sa coraz krotsze i ich suma jest skonczona.

(3)
To nie jest JEDYNA nieskonczona linia na sferze. Loksodroma w ogole nie jest
nieskonczona, ale oczywiscie istnieje mnostwo linii nieskonczonych. Na przyklad
wystartuj z Krakowa i objedz caly rownoleznik a jak juz prawie wrocisz do
Krakowa, to skrec na Lodz, od niej objedz znowu caly rownoleznik a nastepnie
skrec na Ciechanow, objedz caly rownoleznik, skrec na Ilawe, itp. zawsze
wybierajac kolejne miasto na polowie miedzy poprzednim a Gdanskiem. Otrzymasz
linie, ktora nieskonczenie wiele razy obiega cala Ziemie a nigdy nie dociera na
szerokosc geograficzna Gdanska, chociaz jest do niego w kolejnych obiegach coraz
blizej. Sredni kat nachylenia takiej linii w stosunku do rownoleznikow bedzie
malal do zera z kazdym obiegiem.

- Stefan

[Gość: +++ignor]

Witam!


Gość portalu: Stefan napisał(a):

> lisa2:
> > Skoro Sapieżanka robi na drutach to i ja mogę, ale ja nie robię a drutach,
> > tylko na wełnie.
>
> O tym sporcie nie slyszalem. Jak sie robi na welnie nie uzywajac drutow albo
> szydelka?
>
> lisa2:
> > Otóż odwzorowaniem prostej na sferze jest prosta (?) utworzona przez
> > przecięcie sfery i każdej płaszczyzny przecinającej sferę i przechodzącą p
> rzez
> > jej środek.
>
> To sa dokladnie okregi wielkie sfery.
>
> lisa2:
> > Według mnie nie pomyślała o innym przypadku, gdy taką prostą jest jedyna
> > prosta nieskończona opisana na sferze SPIRALA.
> >
> > Jak ją utworzyć?
> > Przykładamy dowolny kawałek wełny (z nieskończonego kłębka) gdzieś na równ
> iku,
> > a następnie rozwijamy pod dowolnym kątem (różnym o wielokrotność 0 i 180
> > stopni) w stosunku do równika.
>
> Nie bardzo zgadzam sie z TRZEMA roznymi rzeczami w tej wypowiedzi.
>
> (1)
> Linie przecinajaca wszystkie poludniki pod tym samym katem dawni zeglarze
> nazywali loksodroma. Statek utrzymujacy staly kurs kompasowy (z poprawka na
> deklinacje magnetyczna) porusza sie po loksodromie, wiec sie po niej latwo
> zegluje. ALE ONA NIE JEST ,,PROSTA'' w sensie najkrotszej drogi. Inaczej
> zeglarze nie mieliby powodu wymyslic o wiele bardziej skomplikowanej zeglugi po
> ortodromie.
>
+++ IGNORANT: Spowodowane jest to łatwością prowadzenia nawigacji na mapach
morskich rysowanych w rzucie Merkatora, na których loksodroma jest linia prostą...
Bo łatwiej kreślić kurs ekierką ( trójkątem nawigacyjnym) niż jakimś krzywikiem...
A, że troche dalej...
Trzeba by było kreślić kursy na globusie...

> (2)
> W dodatku loksodroma ma skonczona dlugosc. W tym punkcie sama sobie przeczysz,
> bo raz mowisz:
>
> lisa2:
> > taką prostą jest jedyna prosta nieskończona opisana na sferze SPIRALA.
>
> a drugi raz:
>
> lisa2:
> > po osiągnięciu bieguna, możemy sobie obciąć włóczkę na biegunie i przyklei
> ć ją
> > do niego
>
> Jesli z klebka mozna jeszcze cos obciac po osiagnieciu bieguna, to znaczy, ze
> ilosc zuzytej wloczki jest skonczona, prawda? Tak jest w istocie. Wprawdzie
> loksodroma wykonuje nieskonczona ilosc obiegow dookola bieguna, ale drogi tych
> obiegow sa coraz krotsze i ich suma jest skonczona.
>
> (3)
> To nie jest JEDYNA nieskonczona linia na sferze. Loksodroma w ogole nie jest
> nieskonczona, ale oczywiscie istnieje mnostwo linii nieskonczonych. Na przykla
> d
> wystartuj z Krakowa i objedz caly rownoleznik a jak juz prawie wrocisz do
> Krakowa, to skrec na Lodz, od niej objedz znowu caly rownoleznik a nastepnie
> skrec na Ciechanow, objedz caly rownoleznik, skrec na Ilawe, itp. zawsze
> wybierajac kolejne miasto na polowie miedzy poprzednim a Gdanskiem. Otrzymasz
> linie, ktora nieskonczenie wiele razy obiega cala Ziemie a nigdy nie dociera na
> szerokosc geograficzna Gdanska, chociaz jest do niego w kolejnych obiegach cora
> z
> blizej. Sredni kat nachylenia takiej linii w stosunku do rownoleznikow bedzie
> malal do zera z kazdym obiegiem.
>
> - Stefan

+++ IGNORANT: można podróżować i w taki sposób, ale praktyczne znacenie w
nawigacji mają loksodroma, ze względu na łatwość nawigacji...
I ortodroma ze względu na ekonomię...

Ale czym innym są szlaki hadlowe i linie dominujących wiatrów, prądów, pływów...

Więc w rzeczywistości droga nad dnem bedzie bardziej skomplikowana niż orto- czy
lokso- droma...

Pozdrawiam!

Ignorant
+++

[lisa2]

Tematem wątku jest " Prosta na sferze ", a nie " Prosta na Globie Ziemskim czy
globusie ", stąd moje teoretyzowanie.

Nie znam na tyle matematyki, by rozpoznać co to jest loksodroma i ortodroma, ale
domyślam się, że ta spirala z mojego przykładu to loksodroma.

Gość portalu: Stefan napisał(a):

> Jak sie robi na welnie nie uzywajac drutow albo szydelka?

Zabawę w przeplatanie nitek na palcach znasz? A przeplatanie koronek kordonkiem
na kołeczkach znasz? Ani drutów, ani szydełka.

> lisa2:
> > Otóż odwzorowaniem prostej na sferze jest prosta (?) utworzona przez
> > przecięcie sfery i każdej płaszczyzny przecinającej sferę i przechodzącą p
> rzez
> > jej środek.
>
> To sa dokladnie okregi wielkie sfery.

Nie wiedziałam wcześniej co to są te okręgi wielkiej sfery. W związku z tym czy
istnieją okręgi małej sfery? Czym one się różnią?

> (1)
> Linie przecinajaca wszystkie poludniki pod tym samym katem dawni zeglarze
> nazywali loksodroma. Statek utrzymujacy staly kurs kompasowy (z poprawka na
> deklinacje magnetyczna) porusza sie po loksodromie, wiec sie po niej latwo
> zegluje. ALE ONA NIE JEST ,,PROSTA'' w sensie najkrotszej drogi. Inaczej
> zeglarze nie mieliby powodu wymyslic o wiele bardziej skomplikowanej zeglugi po
> ortodromie.

Czy linia prosta rysowana tym samym kątem w stosunku do równika, jest tą samą
linią prostą co linia rysowana pod kątem uzupełniającym do 180 stopni ale
względem kolejnych południków? Jeśli nie to nie mówimy o tej samej linii prostej.

> (2)
> W dodatku loksodroma ma skonczona dlugosc. W tym punkcie sama sobie przeczysz,
> bo raz mowisz:

> lisa2:
> > taką prostą jest jedyna prosta nieskończona opisana na sferze SPIRALA.
>
> a drugi raz:
>
> lisa2:
> > po osiągnięciu bieguna, możemy sobie obciąć włóczkę na biegunie i przykleić ją
> > do niego

> Jesli z klebka mozna jeszcze cos obciac po osiagnieciu bieguna, to znaczy, ze
> ilosc zuzytej wloczki jest skonczona, prawda? Tak jest w istocie. Wprawdzie
> loksodroma wykonuje nieskonczona ilosc obiegow dookola bieguna, ale drogi tych
> obiegow sa coraz krotsze i ich suma jest skonczona.

Podałam przykład rzeczywisty i teoretyczny. Rzeczywisty rzeczywiście daje gdzieś
tak jakiś koniec prostej tworząc z niej odcinek (z obu stron równika - od bieguna
do bieguna), a gdy piszę o teoretycznej prostej to jeśli prosta dąrzy do punktu
lecz go nigdy nie osiąga, to jest nieskończona? Chyba dobrze myślę, nawet gdy oś
sfery jest skończona. To jest chyba jakiś paradoks. A jak to jest wyjaśnione w
geometrii i jakiej?

> (3)
> To nie jest JEDYNA nieskonczona linia na sferze. Loksodroma w ogole nie jest
> nieskonczona, ale oczywiscie istnieje mnostwo linii nieskonczonych. Na przyklad
> wystartuj z Krakowa i objedz caly rownoleznik a jak juz prawie wrocisz do
> Krakowa, to skrec na Lodz, od niej objedz znowu caly rownoleznik a nastepnie
> skrec na Ciechanow, objedz caly rownoleznik, skrec na Ilawe, itp. zawsze
> wybierajac kolejne miasto na polowie miedzy poprzednim a Gdanskiem. Otrzymasz
> linie, ktora nieskonczenie wiele razy obiega cala Ziemie a nigdy nie dociera na
> szerokosc geograficzna Gdanska, chociaz jest do niego w kolejnych obiegach coraz
> blizej. Sredni kat nachylenia takiej linii w stosunku do rownoleznikow bedzie
> malal do zera z kazdym obiegiem.

A to już nie jest prosta, lecz zbiór odcinków mających swój początek i koniec w
punktach zmiany kąta w stosunku do równika.

Poza tym:
1) Jak brzmi definicja prostej na płaszczyźnie?
2) Jak brzmi definicja na sferze (kuli)?
3) Jak brzmi definicja równeległości? -
4) Jak brzmi definicja prostych równoległych?

Odpowiem to co sama pamiętam:
1) Prosta jest to zbiór punktów ustawionych w ten sposób, że patrząc na prostą
wzdłuż jej osi widzi się jeden punkt. I prosta jest nieskończona.
2) ?
3) Równoległe są proste i krzywe, których każde odpowiedne dwa punkty są w tej
samej odległości względem siebie.
4) Proste równoległe są to takie dwie proste, których każde dwa odpowiednie
punkty leżą dokładnie w tej samej odległości.

Z powyższego wynika, że żadne z linii, ani prostych, ani krzywych równoległych,
nigdy nie przetną się w żadnym wymiarze, ponieważ ich definicja to wyklucza.

Przecięcie się równoległych może nastąpić dopiero po dodaniu założenia, w jakim
wymiarze są one równoległe, a w jakim się przecinają.

Czy tak?

lisa2

[Gość: Stefan]

lisa2:
> Tematem wątku jest " Prosta na sferze ", a nie " Prosta na Globie Ziemskim czy
> globusie ", stąd moje teoretyzowanie.

Pisalem o sferze. Ale najprostszym sposobem opisu linii na sferze jest
odwolanie sie do stosunkowo powszechnie znanej siatki geograficznej Ziemi.
Starannie unikalem wszelkich rzeczy specyficznych dla Ziemi. Takich jak faktu,
ze Ziemia nie jest kula tylko troche splaszczona elipsoida (a i to
niedokladnie); i ze sa miejsca, przez ktore nie da sie przejechac z powodow
klimatycznych lub geopolitycznych. Jesli nie pozwolisz mi pisac o poludnikach i
rownoleznikach, bede musial podawac wzory. Beda o wiele mniej czytelne i za
kazdym razem jak juz rozszyfrujesz taki wzor, bedziesz sie irytowac: ,,to
przeciez zwykly rownik, to po cholere on tak nakomplikowal?''. W dodatku w GW
wzory fatalnie wychodza, wiec beda przeklamania. Chcesz?

lisa2:
> Nie znam na tyle matematyki, by rozpoznać co to jest loksodroma i ortodroma,
> ale domyślam się, że ta spirala z mojego przykładu to loksodroma.

Tak.

> Zabawę w przeplatanie nitek na palcach znasz? A przeplatanie koronek
> kordonkiem na kołeczkach znasz? Ani drutów, ani szydełka.

Pierwsze

[Gość: lisa2]

Gość portalu: Stefan napisał(a):

> ...,,to przeciez zwykly rownik, to po cholere on tak nakomplikowal?''.
> W dodatku w GW wzory fatalnie wychodza, wiec beda przeklamania. Chcesz?

W innych gazetach może to rzeczywiście będzie lepiej wyglądało, ale skoro piszemy
w GW, to przyjmuję to założenie.

> Drugie

[Gość: Stefan]

lisa2:
> Pisałam o równiku, gdyż tylko ten okrąg w przypadku odniesienia do globu
> ziemskiego jest przystający do mojej definicji prostej narysowanej na sferze.
> Chodzi o to, że płaszczyzna przecinająca pozostałe równoleżniki nie przechodzą
> przez środek sfery.

No to przetnij sfere plaszczyzna skosna przechodzaca przez jej srodek.
Otrzymasz linie przecinajaca jakies rownolezniki (nie wszystkie) i jakies
okregi poludnikowe (wszystkie). Ta linia to ortodroma

[Gość: lisa2]

Gość portalu: Stefan napisał(a):

) lisa2:
) ) Pisałam o równiku, gdyż tylko ten okrąg w przypadku odniesienia do globu
) ) ziemskiego jest przystający do mojej definicji prostej narysowanej na sferze.
) ) Chodzi o to, że płaszczyzna przecinająca pozostałe równoleżniki nie przech
) odzą
) ) przez środek sfery.
)
) No to przetnij sfere plaszczyzna skosna przechodzaca przez jej srodek.
) Otrzymasz linie przecinajaca jakies rownolezniki (nie wszystkie) i jakies
) okregi poludnikowe (wszystkie). Ta linia to ortodroma

[Gość: Stefan]

lisa2:
> Ponieważ po rozwinięciu sfery na płaszczyźnie [...]

Co rozumiesz przez rozwiniecie sfery na plaszczyznie? Sfera nie daje sie tak
rozwinac jak powierzchnia wieloscianu lub walca. Mozna ja wg jakiejs zasady
zrzutowac na cos rozwijalnego a nastepnie rozciac (tak powstaja mapy), ale wtedy
od konkretnego rzutu zalezy, jakie linie przejda na proste a jakie nie.

Ja:
) W takim razie zapomnij o loksodromie.
lisa2:
> A dlaczego? Nigdzie nie pisałam, że moja spirala ma więcej obiegów sfery niż
> jeden.
[...]
> Stąd dla mnie jest ona nieskończona, a więc spełnia definicję prostej.

Nieskonczonosc nie ma tu nic do rzeczy. W Twojej definicji prostej byla mowa o
patrzeniu wzdluz i widzeniu punktu. Nic o nieskonczonosci. W mojej definicji
bylo o lokalnie najmiejszych odleglosciach. Tez nic o nieskonczonosci.

Loksodroma nie jest prosta, bo nie jest lokalnie najkrotsza droga po
sferze. Rownik ma dlugosc skonczona, a jest lokalnie najkrotsza droga. Moja
droga z Krakowa do Gdanska ma dlugosc nieskonczona, a nie jest lokalnie
najkrotsza.

lisa2:
> Gdybyś wziął podręcznik do geometrii, to przeczytałbyś tam definicje
> wszystkich pojęć, takich jak punkt, prosta, odcinek, płaszczyzna,

To wez taki podrecznik i przeczytaj mi na glos definicje punktu. Sadze, ze Ci
sie nie uda. Ze gdzies w okolicach punktu i prostej znajdziesz w nim nie
definicje, tylko niezbyt scisla opowiesc, albo moralizowanie o pojeciach
pierwotnych, albo wyklad z historii (np. Euklides mowil: punkt to cos, co nie ma
czesci; wg dzisiejszych standardow to nie jest zadna definicja). Nie znajdziesz
definicji rzeczy z samych podstaw geometrii, dopiero definicje bardziej
zlozonych pojec sa porzadne.

Ja:
> czesc wspolna prostych rownoleglych jest pusta.
lisa2:
> Nie rozumiem, jak linie mogą być "puste", przecież to nie są bryły.

Znowu przeczytalas niestarannie. Nie chodzi o pusta linie, tylko o pusta czesc
wspolna dwoch linii.

Twoja proba zdefiniowania rownoleglosci dowolnych linii jest nieudana, bo bardzo
wieloznaczna. Ja sie nie czepiam, ja NAPRAWDE nie rozumiem, co chcialas
powiedziec. Gdzies tam wspomnialas, ze wedlug Ciebie rownolegle linie nie
powinny sie przecinac i dlatego probuje sobie tak wyinterpretowac Twoja
definicje, zeby istotnie sie nie przecinaly. I to mi nie wychodzi.

Wez linie na plaszczyznie i przesun ja nic nie zmieniajac i nie obracajac,
chodzi tylko o przesuniecie rownolegle. Otrzymasz nowa linie (obraz starej po
przesunieciu. Jesli to byla prosta, to nowa prosta jest rownolegla do starej.
Jesli to nie byla prosta, to nowa linia moze sie przecinac ze stara. Na
przyklad sinusoida przesunieta wzdluz osi o 90 stopni daje cosinusoide
przecinajaca ta sinusoide w nieskonczenie wielu punktach (czesc wspolna jest
nieskonczona).

lisa2:
> Nie interesuje mnie teoria zbiorów i ich definicje, definicje z geometrii sa
> prostsze i latwiejsze do zrozumienia.

No to wszedzie, gdzie ja powiedzialem ,,zbior'', wstaw sobie ,,miejsce
geometryczne''. Tak dawniej mowiono w szkolach, np. ,,parabola to miejsce
geometryczne punktow, ktorych odleglosci od danego punktu zwanego ogniskiem i
danej prostej zwanej kierownica sa rowne''. Myslalem, ze juz sie tego w szkole
nie robi, ale moge sie w tym mylic.

- Stefan