obracające się elipsy

[stefan4]

W tym poście Pomruk zastanawiał się, dlaczego przyspieszenie grawitacyjne jest proporcjonalne do r^-2, a nie np. do r^-1.99. Zainteresowało mnie nie to, dlaczego tak jest, a raczej co by było, gdyby było inaczej.

Kilka eksperymentów numeryczno-graficznych wskazuje, że jeśli przyspieszenie grawitacyjne wyniesie GMmr^-p, to

• Dla 1.5<p<2 satelita obiega planetę po ,,odwrotnej rozecie''

[drowsyman]

stefan4 napisał:

> Te kilka prób z p bliskim 2 to oczywiście żaden dowód. Ale gdyby ktoś p
> otrafił wyjaśnić na palcach, intuicyjnie, dlaczego skutkiem zmiany prawa grawit
> acji jest taka precesja orbit planet, to byłbym wdzięczny.

To nie jest problem intuicji fizycznej tylko matematyczny.
Wyjasniles go przeciez.

Problem stary jak sir Isaac

[petrucchio]

Newton to w zasadzie rozwiązał! Zauważył, że odchyłki od "prawa odwrotnych kwadratów" powodowałyby precesję orbity eliptycznej w jedną lub drugą stronę (twierdzenie 45 w księdze I Principiów) i właśnie z braku obserwowanej precesji tego typu wywnioskował, że prawo musi być ścisłe. Udowodnił też, że dla p=3 orbity są niestabilne (ucieczka lub spadek po spirali). Później próbowano stosować alternatywne prawo ciążenia z potęgą w mianowniku niedokładnie równą 2 do wyjaśnienia precesji orbity Merkurego.

Zob. np. tu:

mnras.oxfordjournals.org/content/358/4/1273.full.pdf

[stefan4]

petrucchio:
> Zob. np. tu

Dzięki za linka. Poczytam sobie.

- Stefan

Blad merytoryczny

[drowsyman]

stefan4 napisał:

> Te kilka prób z p bliskim 2 to oczywiście żaden dowód. Ale gdyby ktoś
> potrafił wyjaśnić na palcach, intuicyjnie, dlaczego skutkiem zmiany prawa grawitacji
> jest taka precesja orbit planet, to byłbym wdzięczny.

Nikt ci tego nie wyjasni, bo ty nie wiesz o co pytasz.
Ta precesja orbit planet wynika z podstawiania roznych zaleznosci od r i nie jest zmiana
prawa grawitacji.
Prawo grawitacji jest jedno i skutkiem jego zmiany nie jest precesja orbit,
lecz nieistnienie Wszechswata.
Nie spotkalem sie jeszcze z tak podstawowym niezrozumieniem fizyki.

[petrucchio]

drowsyman napisał:

> Prawo grawitacji jest jedno i skutkiem jego zmiany nie jest precesja orbit,
> lecz nieistnienie Wszechswata.
> Nie spotkalem sie jeszcze z tak podstawowym niezrozumieniem fizyki.

Po co się czepiasz? Przecież jest jasne, że chodzi o matematyczne sformułowanie "prawa powszechnego ciążenia". Bez takiego sformułowania samo stwierdzenie, że każde dwie masy we Wszechświecie przyciągają się z bliżej nieokreśloną siłą byłoby mało użyteczne.

Każdy niby "wie", że Newton "wymyślił" wzór F(r) = G*m1*m2/(r^2), siedząc pod jabłonką. Mało kto wie, że Newton nie był do końca zadowolony ze swojego sformułowania, które przy ówczesnym stanie wiedzy nie tłumaczyło np. precesji apsydy Księżyca. Podejrzewał istnienie jakichś nieuwzględnionych oddziaływań i eksperymentował z rozwiązaniami alternatywnymi, zwłaszcza kombinacją liniową F(r) = m1*m2*(G/(r^2) + B/(r^3)). Pokazał też, że nieco zmodyfikowany (empirycznie dopasowany) wzór F(r) = G*m1*m2/(r^(2+4/243)) = G*m1*m2/(r^2,01646...) wyjaśniałby precesję orbity księżycowej (ale niestety nie innych). Eksperymenty takie kontynuowali następcy Newtona (np. Laplace, który wprowadzał do równania czynnik wykładniczy e^(-A*r)).

Dla zainteresowanych: Link


Szczerze mówiąc, byłem zaskoczony, kiedy po raz pierwszy natknąłem się na tę historię. Nie czytałem Principiów i sądziłem, że Newton raczej a priori "wydedukował" prawo powszechnego ciążenia w ogólnie znanej postaci z rozważań czysto geometrycznych (oddziaływanie w odległości rr rozkłada się na sferę o polu powierzchni proporcjonalnym do r^2) i na tym poprzestał. Nie doceniałem Newtona. Dziś oczywiście inaczej się interpretuje przyspieszenie grawitacyjne w ramach ogólnej teorii względności, ale to nie jego wina.

Autokorekta

[petrucchio]

rr -> r

[drowsyman]

petrucchio napisał:

> Po co się czepiasz? Przecież jest jasne, że chodzi o matematyczne sformułowanie
> "prawa powszechnego ciążenia". Bez takiego sformułowania samo stwierdzenie, że
> każde dwie masy we Wszechświecie przyciągają się z bliżej nieokreśloną siłą by
> łoby mało użyteczne.

Czy on ci placi za to, ze jestes jego adwokatem?
To, co napisalem nie wynika ze zlosliwosci, ale wlasnie z tego, ze powaznie potraktowalem
jego pytanie

"gdyby ktoś potrafił wyjaśnić na palcach, intuicyjnie, dlaczego skutkiem zmiany
prawa grawitacji jest taka precesja orbit planet?"

No to, jak mozna inaczej zabierac sie do myslenia na ten temat, niz napisalem?
Po prostu zaczynajac myslec wpadlem w jakas dziure w ktora on mnie wprowadzil.
Zapomnialem, ze pisanie bez sensu jest jego cecha, a poniewaz jest matematykiem
to sie latwo kamufluje.

[alsor]

> Dla zainteresowanych: Link

No, Newton dobrze próbował z tym:
F = k/r^2 + Br.

gdzie B wyznaczamy z sił pływowych Słońca... coś w stylu:
GM/R^2 r/R

ale to daje tylko 50% precesji.

> Dziś oczywiście inaczej się interpretuje przyspieszenie
> grawitacyjne w ramach ogólnej teorii względności, ale to nie jego wina.

W OTW powyliczali tylko jakieś te korekty, no ale nadal nic z tego nie wiadomo.

A tu wystarczy uwzględnić prędkość propagacji, i wtedy otrzymamy:
V(r,v) = GM/r(1-v/c)^2,
i z tego jest już poprawna precesja (ta liczona z otw).

nawet nie ma tu śladu masy relatywistycznej, co jest prawidłowe,
bo masa jest po obu strona na siły:
m v^2/r = m GM/r^2, czyli to m się kasuje,
w przeciwieństwie do przypadku z siłami elektrycznymi...

[drowsyman]

alsor napisał:

> W OTW powyliczali tylko jakieś te korekty, no ale nadal nic z tego nie wiadomo.

A kto to sa "oni", co tak powyliczali zeby nic z tego nie bylo wiadomo?

> A tu wystarczy uwzględnić prędkość propagacji, i wtedy otrzymamy:
> V(r,v) = GM/r(1-v/c)^2,
> i z tego jest już poprawna precesja (ta liczona z otw).
>
> nawet nie ma tu śladu masy relatywistycznej, co jest prawidłowe,

a co to jest M/(1-v/c)^2 ?

newtonowskie obracające się orbity

[stefan4]

petrucchio:
> Podejrzewał istnienie jakichś nieuwzględnionych oddziaływań i eksperymentował z
> rozwiązaniami alternatywnymi, zwłaszcza kombinacją liniową
> F(r) = m1*m2*(G/(r^2) + B/(r^3)).

Dlaczego akurat tyle? Wydaje mi się, że powód jest czysto rachunkowy. Otóż przy klasycznym wyprowadzaniu 1. prawa Keplera (że planeta obiega słońce po krzywej stożkowej) prowadzi się rozumowanie geometryczne do chwili otrzymania takiego równania różniczkowego na odwrotność h=1/r odległosci od słońca:

     d²h/dθ² + h = F/(L²*h²)

gdzie r i θ to współrzędne biegunowe planety, L to jej moment pędu (założyłem, że masa planety wynosi 1) a F to siła centralna, której podlega planeta. Najłatwiej byłoby rozwiązać to równanie, gdyby zechciało być liniowe, ale to zależy od łaskawości siły F. Otóż jeśli ta siła jest centralnie skierowana (wprost na słońce) i ma wartość bezwzględną

     F = GM/r² + BM/r³   czyli   F = GMh² + BMh³

to równanie faktycznie staje się liniowe:

     d²h/dθ² + (1-BM)h = GM

A to znaczy, że potrafimy jawnie wypisać analityczny wzór na kształt orbity. W innych przypadkach takiego wzoru nie mamy, pozostaje liczyć numerycznie.

W artykule Newton's theorem of revolving orbits, do którego odsyłasz (chciałem też do niego odesłać, ale byłeś pierwszy), zacytowane jest i udowodnione twierdzenie Newtona, że jeśli planeta obiega słońce po obracającej się orbicie (t.zn. r(t) jest takie jak na orbicie stacjonarnej, a θ(t) jest ilorazem tamtego θ(t) przez stałą), to siła przyciągająca musi być postaci takiej jak dla orbity stacjonarnej plus składnik, mający r³ w mianowniku. Nie zakłada się przy tym, że ta stacjonarna siła jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości. To może być dowolne centralne pole sił

korekta literówki dot. stałych

[stefan4]

stefan4:
> Otóż jeśli ta siła jest centralnie skierowana (wprost na słońce) i ma wartość bezwzględną
>
>      F = GM/r² + BM/r³   czyli   F = GMh² + BMh³
>
> to równanie faktycznie staje się liniowe:
>
>      d²h/dθ² + (1-BM)h = GM

Powinno być

     d²h/dθ² + (1-BM/L²)h = GM/L²

Ale to są tylko stałe, więc reszta wywodu jest nadal OK.

- Stefan

Bzdurne interpretacje

[drowsyman]

Podstawa sa tutaj prawa Keplera, ktore wynikaja z tego, ze tylko dla sily 1/r^2
ruch planety odbywa sie po nieruchomym przecieciu stozkowym (tzw.ponadcalkowalnosc).
Dlatego Newton mogl odkryc swoje prawo ciazenia F~ 1/^2.
Jest ono odbiciem wlasnosci przestrzeni Euklidesa dla ktorej zachodzi ponadcalkowalnosc
i dla ktorej element objetosci jest wlasnie ~r^2.
To jest konieczne, aby pole grawitacyjne bylo polem potencjalnym czyli zachowawczym
(wykonana praca po drodze zamknietej =0).
A zachowawczosc pola to zasada zachowania energii. Chyba tej nie kwestionujecie.
Czytajac was mozna by pomyslec, ze prawo powszechnego ciazenia to F~1/r^2+1/r^3.
Nie odrozniacie kinematyki od dynamiki.

[alsor]

> A zachowawczosc pola to zasada zachowania energii. Chyba tej nie kwestionujecie.

Oczywiście że kwestionujemy.

1/r^2 dotyczy dowolnych fal sferycznych, ale i z zerowym tłumieniem,
co jest raczej niespotykane w praktyce.

Należy uwzględnić te straty z tłumienia, no i wówczas wyjdzie już
nieco inna zależność na potencjały grawitacyjne...

[drowsyman]

alsor napisał:

> 1/r^2 dotyczy dowolnych fal sferycznych, ale i z zerowym tłumieniem,
> co jest raczej niespotykane w praktyce.

Jakich fal? Mowie o klasycznym polu grawitacyjnym Newtona, ktore juz jest.

[alsor]

> Jakich fal? Mowie o klasycznym polu grawitacyjnym Newtona, ktore juz jest.

Ludzie też kiedyś byli przekonani, że widzą gwiazdy takie jakie one są teraz - momentalnie.
No, ale niestety...

[drowsyman]

alsor napisał:

> Ludzie też kiedyś byli przekonani, że widzą gwiazdy takie jakie one są teraz -
> momentalnie.

Widze zes sie wyparl nieskonczonej predkosci swiatla. Czyzbys zaczal wierzyc w Einsteina?
Gwiazdy to male piwo, ale takiego pomeronu nikt nie widzial a jest.
To sa dopiero cuda.

[alsor]

> Widze zes sie wyparl nieskonczonej predkosci swiatla. Czyzbys zaczal wierzyc w
> Einsteina?

Prędkość światła nawet u Newtona była skończona, jedynie nie potrafili tego zmierzyć...
no, pod koniec życia Newtona dopiero - Romer to zmierzył,
i Newton nawet napisał że mamy 8 minut do Słońca.

Ten formalizm 'natychmiastowej akcji z dystansu', czyli Newtona,
ale jeszcze lepiej Webera w elektrodynamice, to jedynie taki
zapis sił finalnych, bez wnikania w problemy z ich propagacją.

en.wikipedia.org/wiki/Weber_electrodynamics

[allegropajew]

Wydedukował wprost, stosując trzy prawa Keplera do ruchu po okręgu.

Sprawdził, wyliczając długość miesiąca księżycowego

[stefan4]

Posprawdzałem trochę newtonowskie wariacje na temat grawitacji. Wnioski są dość proste, ale może je streszczę.

Otóż jeśli pole grawitacyjne jest

• centralne, czyli przyspieszenie grawitacyjne działa zawsze prosto do lub od wyróżnionego centrum (np. do lub od Słońca), oraz
  
• gładkie, czyli wyraża się funkcją, dającą się kilka razy zróżniczkować (przynajmniej dwa razy)
  

to jest konserwatywne (posiada potencjał)

uzupełnienie niekompletnej definicji

[stefan4]

stefan4:
> Otóż jeśli pole grawitacyjne jest
> [list]
> [*] centralne, czyli przyspieszenie grawitacyjne działa zawsze prosto
> do lub od wyróżnionego centrum (np. do lub od Słońca)

W definicji centralności trzeba zakładać jeszcze, że przyspieszenie grawitacyjne jest funkcją odległości od centrum, więc nie zależy np. od czasu, ani od kąta promienia wodzącego. Ale nie trzeba zakładać, że wyraża się jakimś konkretnym wzorem.

- Stefan

[allegropajew]

Każde pole centralnosymetryczne jest potencjalne (gładkość MUSIMY zakładać, inaczej możemy się bawić w jakąś abstrakcyjną topologię algebraiczną). Pole magnetyczne od prostego druta z prądem jest centralne, ale nie centralnosymetryczne i jest niepotencjalne.

Tomek

[drowsyman]

allegropajew napisał:

> Pole magnet
> yczne od prostego druta z prądem jest centralne, ale nie centralnosymetryczne i
> jest niepotencjalne.

A jaki ma ono zwiazek z polem grawitacyjnym?
Moze zwiazane jest z nim rownaniami Allegropajewa w abstrakcyjnej topologii
algebraicznej?

[stefan4]

allegropajew:
> Każde pole centralnosymetryczne jest potencjalne

Tak. Powiedziałem to chyba?

W dodatku wydaje mi się (czyli: nie jestem całkiem tego pewien), że dla zachowania momentu pędu próbnej masy umieszczonej w tym polu nie trzeba zakładać aż tyle. Wystarczy, że siły skierowane są do lub od centrum, ale ich wielkość może zależeć nie tylko od odległości, ale np. od położenia w przestrzeni, albo zmieniać się w czasie.

allegropajew:
> gładkość MUSIMY zakładać

Hmmm... Kiedy rozpatrujemy masywną sferę (samą sferę, nie kulę!) z jednorodnym rozkładem masy, to wychodzi nam bardzo konkretnie dodatnie pole na zewnątrz i zerowe wewnątrz. To jest pole nieciągłe, nie tylko niegładkie. Mimo to da się o nim sensownie rachować. Teraz myślę, że z tą gładkością przesadziłem. Może wystarczy zakładać całkowalność

[alsor]

> Pole magnetyczne od prostego druta z prądem jest centralne, ale nie centralnosymetryczne i
> jest niepotencjalne.

Istnieje potencjał wektorowy pola magnetycznego,
a i można wprowadzić skalarny w obszarach bez prądów.
Taki potencjał nazywany potencjałem magnetostatycznym i jest on znany w teorii obwodów.

Definiujemy go tak:
H = -grad Vm;

co można obliczać: Vm = int Hdr, całka od +oo, do r.

Potem można obliczać napięcie magnetyczne, itd.

[drowsyman]

stefan4 napisał:

> Tylko ja nadal nie rozumiem, dlaczego grawitacja pochodząca od zewnętrznych mas
> (np. od planet na wyższych orbitach) miałaby wprowadzać do wzoru na grawitację
> ten składnik −B/r³. Jeśli to zrobi, to potem rachunkowo wsz
> ystko już się zgadza.

A ja z tego nic nie rozumiem. Przeciez planety krazace wokol Slonca (czy Ksiezyc wokol
Ziemi) podlegaja grawitacji wielu cial (Ksiezyc obiega Ziemie glownie ze wzgledu na jej
pole, ale Slonce tez nie tak znowu slabo go przyciaga).
Jak beda tylko dwa ciala, to 1/r^3 musi znikac.

[drowsyman]

Ten skladnik ~1/r^3 to jest po prostu pierwsza znaczaca poprawka od
innych planet.

[alsor]

> Tylko ja nadal nie rozumiem, dlaczego grawitacja pochodząca od zewnętrznych mas
> (np. od planet na wyższych orbitach) miałaby wprowadzać do wzoru na grawitację
> ten składnik −B/r³. Jeśli to zrobi, to potem rachunkowo wsz
> ystko już się zgadza.

Nie chodzi o 1/r^3, lecz ogólnie to liczysz.

f(r) = -k/r^2 + ar^n; n - dowolne

ten drugi składnik to jakaś inna i nieduża siła,
i dla takiej modyfikacji wyliczasz precesję.

Potem z tych planet dostaniesz jakieś szeregi potęgowe zmiennej r,
więc sobie poskładasz te precesje po kolei - po różnych n...

A z takich ringów wychodzi niedobrze... więc tworzysz otw, żeby to poprawić. :)

www.mathpages.com/home/kmath280/kmath280.htm

[stefan4]

stefan4:
> Tylko ja nadal nie rozumiem, dlaczego grawitacja pochodząca od zewnętrznych mas
> miałaby wprowadzać do wzoru na grawitację ten składnik −B/r³.

alsor:
> Nie chodzi o 1/r^3, lecz ogólnie to liczysz.
>
> f(r) = -k/r^2 + ar^n; n - dowolne
>
> ten drugi składnik to jakaś inna i nieduża siła,
> i dla takiej modyfikacji wyliczasz precesję.
>
> Potem z tych planet dostaniesz jakieś szeregi potęgowe zmiennej r,
> więc sobie poskładasz te precesje po kolei - po różnych n.

Tak, racja. Dziękuję.

- Stefan

OTW, wymiary czasoprzestrzeni i epicykle

[majka_monacka]

> > Potem z tych planet dostaniesz jakieś szeregi potęgowe zmiennej r,
> > więc sobie poskładasz te precesje po kolei - po różnych n.
>
.... a potem sobie wyobrazisz różne procesy fizyczne, które odpowiadają różnym n i będziesz miał wrażenie, że już rozumiesz, jak to działa ...... dopóki nie zmierzysz jeszcze dokładniej i przekonasz się, ze to się zmienia w czasie i w przestrzeni w jeszcze bardziej złożony sposób, no to się dołoży jakieś epicykle, OTW, większą liczbę wymiarów czasoprzestrzeni, bardziej złożone symetrie i dojdziesz albo do ogólnych fundamentalnych praw (od których jesteśmy jeszcze bardzo daleko) albo do stwierdzenia, ze Twój umysł nie jest w stanie objąć złożoności świata. No ale to nic straconego, bo może Ci pomóc sztuczna inteligencja, która Ci to wszystko wytłumaczy w nieco uproszczonej formie :-)

[alsor]

> .... a potem sobie wyobrazisz różne procesy fizyczne, które odpowiadają różnym
> n i będziesz miał wrażenie, że już rozumiesz, jak to działa

nie, w tych obliczeniach r^n nie ma żadnego specjalnego znaczenia.
Po prostu masz funkcję, ale w postaci szeregu, coś jak np.:
exp(r) = 1 + r + r^2/2 + r^3/6 +...

z tym że w praktyce mamy tylko ten szereg, bo sama funkcja nie
istnieje w zestawie tych funkcji prostych - nazwanych: sin, ln, arctg, itd.

> Twój umysł nie jest w stanie objąć złożoności świata.

Z pewnością tak jest, ale jeszcze nie na tym poziomie,
co niektórzy sugerują, i tworzą te różne 'nieklasyczne' matematyki.