guru_ji
15.09.06, 04:58
W roku 1954, Julek B. podarował mi, z
dedykacją, słynny "Kalejdoskop Matematyczny"
Hugo Steinhausa. Steinhaus opisał w nim między
innymi swój pomysłowy sposób mierzenia długości
rzeki na mapie. Następnie dodał, że po latach
doszedł do przekonania, że nie ma czegoś takiego
jak długość rzeki.
Faktycznie. Z tym, że w zastosowaniach
nigdy nie wolno się poddać. Raczej należy
stworzyć nowe pojęcia matematyczne. W danym
wypadku uzyskałem w roku 1977 pewną operację
na krzywej, która w zależności od parametru
(krzywizny lub promienia krzywizny) dawała
wygładzenie, po którym krzywa miała długość.
Cel mój był inny, ale przy okazji można
było definiować długość krzywej, przy danym
parametrze. Wtedy krzywa (rzeka) A może być
dłuższa od B przy większym wygładzeniu, ale
krótsza przy mniejszym, bo rzeka B może się
bardziej wić. Och, przy jeszcze mniejszym
wygładzeniu, rzeka A znowu mogłaby okazać się
dłuższa, choć takie przeplatanki są mało
prawdopodobne.
Tym razem, skupiając się wyłącznie na długości,
podam prostą definicję, a przy tym bardzo
ogólną. Nawet nie będzie potrzeby idealizowania
rzeki jako krzywej, nie mającej szerokości.
Przecież wielkie rzeki potrafią być szerokie
kilka kilometrów, a u ujścia na ponad czterdzieści.
Rzekę, powiedzmy powierzchnię wody rzeki, można
uważać za przestrzeń metryczną wraz z funkcją
wysokości (nad poziomem morza, lub nowocześniej
mówimy o poziomie mierzonym grawitacją).
Tak więc rozpatrujemy funckję rzeczywistą
h : X --> R
Odległość dwóch punktów x y oznaczamy d(x y).
Wprowadzam całą nieskończoną serię
długości przestrzeni X, a raczej pary (X h):
len_1(X h), len_2(X h), ...
Nazywam je długością 1-odcinkową, długością
2-odcinkową, ...
DEFINICJA 1 Odległość n-odcinkowa len(X h)
=========== jest to kres górny wszystkich sum
d(x_0 x_1) + d(x_1 x_2) + ... + d(x_(n-1) x_n)
po wszystkich ciągach x_0 ... x_n \in X
takich, że
h(x_0) > h(x_1) > ... > h(x_n)
Tak więc len_1 jest w zasadzie średnicą zbioru
(poza specjalnymi wypadkami, o czym popniżej).
Następne funkcje: len_2, len_3, ... biorą już
pod uwagę zakola. Kiedy funkcje te są dla (X h)
zdefiniowane (zbiór X musi mieć punkty na
dostatecznie wielu różnych poziomach h), to
zachodzą nierówności:
len_1 \< len_2 \< len_3 \< ...
W matematyce, długością krzywej nazywamy to,
co tutaj ogólnie nazwę długością niekonczenie-
odcinkową:
len_oo(X h) = lim (lin_n(X h) : n --> oo)
Dla ograniczonych przestrzeni metrycznych
n-długości, dla n skończonego, zawsze istnieją,
podczas, gdy oo-długość może być nieskończona.
Zachodzą nierówności, które rzucają światło
na ten problem:
len_(k+n)) \< len_k + len_n
więc
len_n \< n * len_1 ( <== len_jedynka)
W przypadku rzek moja defincja len_n
ma wadę, gdy rzeka rozwidla się i łączy
z powrotem. Dlatego wprowadzę także pokrewną
definicję Len_n (duże "L").
Punkty x y \in X nazywam połączonymi,
gdy h(x) =/= h(y) oraz dla dowolnego
eps > 0 istnieje ciąg punktów p_0 ... p_r
takich, że:
min(h(x) h(y) = h(p_0),
max(h(x) h(y) = h(p_r),
h(p_0) > h(p_1) > ... > h(p_r), oraz
h(p_(j-1)) - h(p_j) < eps dla j=1...r.
DEFINICJA 2 Odległość n-odcinkowa Len_n(X h)
=========== jest to kres górny wszystkich sum
d(x_0 x_1) + d(x_1 x_2) + ... + d(x_(n-1) x_n)
po wszystkich ciągach x_0 ... x_n \in X
takich, że
h(x_0) > h(x_1) > ... > h(x_n)
oraz
pary kolejnych punktów x_(j-1) x_j są
połączone dla każdego j=1...n.
*****
W następnej notce może podam dla ilustracji
przykłady, a teraz lecę, pędzę,
guru_ji