Długość rzek

15.09.06, 04:58
W roku 1954, Julek B. podarował mi, z
dedykacją, słynny "Kalejdoskop Matematyczny"
Hugo Steinhausa. Steinhaus opisał w nim między
innymi swój pomysłowy sposób mierzenia długości
rzeki na mapie. Następnie dodał, że po latach
doszedł do przekonania, że nie ma czegoś takiego
jak długość rzeki.

Faktycznie. Z tym, że w zastosowaniach
nigdy nie wolno się poddać. Raczej należy
stworzyć nowe pojęcia matematyczne. W danym
wypadku uzyskałem w roku 1977 pewną operację
na krzywej, która w zależności od parametru
(krzywizny lub promienia krzywizny) dawała
wygładzenie, po którym krzywa miała długość.
Cel mój był inny, ale przy okazji można
było definiować długość krzywej, przy danym
parametrze. Wtedy krzywa (rzeka) A może być
dłuższa od B przy większym wygładzeniu, ale
krótsza przy mniejszym, bo rzeka B może się
bardziej wić. Och, przy jeszcze mniejszym
wygładzeniu, rzeka A znowu mogłaby okazać się
dłuższa, choć takie przeplatanki są mało
prawdopodobne.

Tym razem, skupiając się wyłącznie na długości,
podam prostą definicję, a przy tym bardzo
ogólną. Nawet nie będzie potrzeby idealizowania
rzeki jako krzywej, nie mającej szerokości.
Przecież wielkie rzeki potrafią być szerokie
kilka kilometrów, a u ujścia na ponad czterdzieści.
Rzekę, powiedzmy powierzchnię wody rzeki, można
uważać za przestrzeń metryczną wraz z funkcją
wysokości (nad poziomem morza, lub nowocześniej
mówimy o poziomie mierzonym grawitacją).

Tak więc rozpatrujemy funckję rzeczywistą

h : X --> R

Odległość dwóch punktów x y oznaczamy d(x y).

Wprowadzam całą nieskończoną serię
długości przestrzeni X, a raczej pary (X h):

len_1(X h), len_2(X h), ...

Nazywam je długością 1-odcinkową, długością
2-odcinkową, ...

DEFINICJA 1 Odległość n-odcinkowa len(X h)
=========== jest to kres górny wszystkich sum

d(x_0 x_1) + d(x_1 x_2) + ... + d(x_(n-1) x_n)

po wszystkich ciągach x_0 ... x_n \in X
takich, że

h(x_0) > h(x_1) > ... > h(x_n)

Tak więc len_1 jest w zasadzie średnicą zbioru
(poza specjalnymi wypadkami, o czym popniżej).
Następne funkcje: len_2, len_3, ... biorą już
pod uwagę zakola. Kiedy funkcje te są dla (X h)
zdefiniowane (zbiór X musi mieć punkty na
dostatecznie wielu różnych poziomach h), to
zachodzą nierówności:

len_1 \< len_2 \< len_3 \< ...

W matematyce, długością krzywej nazywamy to,
co tutaj ogólnie nazwę długością niekonczenie-
odcinkową:

len_oo(X h) = lim (lin_n(X h) : n --> oo)

Dla ograniczonych przestrzeni metrycznych
n-długości, dla n skończonego, zawsze istnieją,
podczas, gdy oo-długość może być nieskończona.
Zachodzą nierówności, które rzucają światło
na ten problem:

len_(k+n)) \< len_k + len_n

więc

len_n \< n * len_1 ( <== len_jedynka)

W przypadku rzek moja defincja len_n
ma wadę, gdy rzeka rozwidla się i łączy
z powrotem. Dlatego wprowadzę także pokrewną
definicję Len_n (duże "L").

Punkty x y \in X nazywam połączonymi,
gdy h(x) =/= h(y) oraz dla dowolnego
eps > 0 istnieje ciąg punktów p_0 ... p_r
takich, że:

min(h(x) h(y) = h(p_0),

max(h(x) h(y) = h(p_r),

h(p_0) > h(p_1) > ... > h(p_r), oraz

h(p_(j-1)) - h(p_j) < eps dla j=1...r.


DEFINICJA 2 Odległość n-odcinkowa Len_n(X h)
=========== jest to kres górny wszystkich sum

d(x_0 x_1) + d(x_1 x_2) + ... + d(x_(n-1) x_n)

po wszystkich ciągach x_0 ... x_n \in X
takich, że

h(x_0) > h(x_1) > ... > h(x_n)

oraz

pary kolejnych punktów x_(j-1) x_j są
połączone dla każdego j=1...n.

*****

W następnej notce może podam dla ilustracji
przykłady, a teraz lecę, pędzę,

guru_ji
    • Gość: toczacy.sie.kamien Re: Długość rzek IP: *.neoplus.adsl.tpnet.pl 18.09.06, 01:22
      Oj, strasznie skomplikowana ta metoda... Długość rzeki można wyznaczyć znacznie
      prościej, np. tak:

      Spływamy łódeczką od źródła rzeki do jej ujścia. Długość rzeki to całka z
      prędkości po czasie. Prędkość możemy mierzyć wykorzystując np. urządzenia GPS ;)

      Pozdrawiam.
      • guru_ji Re: Długość rzek 18.09.06, 04:42
        Gość portalu: toczacy.sie.kamien napisał(a):

        > Oj, strasznie skomplikowana ta metoda...

        Nie znasz się.

        > Długość rzeki można wyznaczyć znacznie
        >
        > prościej, np. tak:

        Twoja metoda ani nie jest prosta, ani sensowna.

        > Spływamy łódeczką od źródła rzeki do jej ujścia.
        > Długość rzeki to całka z prędkości po czasie.
        > Prędkość możemy mierzyć wykorzystując np. urządzenia GPS ;

        Po pierwsze, ta metoda nie jest praktyczna.
        Są mapy, ale nikt nie będzie spływał łódeczkami.
        Za długo by trwało, byłoby za kosztowne, a
        przede wszystkim bez sensu:

        wynik zależałby od łódeczki (mała? duża?),
        od fali, od decyzji, czy skracać zakola, czy nie,
        i jak omijać wyspy... Przy dużej fali rzeka
        byłaby dłuższa niż przy niskiej :-) Gdy rzeka
        ma szerokość 1 km, i skręca (nie ważne czy
        łagodnie) na pewnym odcinku o pi/3 (60 stopni),
        to różnica pomiędzy lewym i prawym brzegiem
        wynosi ponad 1km długości. A takich zakrętów
        może być wiele.

        Jest jasnym, że nie przemyślałeś problemu, ani
        mojego rozwiązania. Jedną liczbą długości
        rzeki (ani brzegu morskiego) nie załatwi się.

        Uwielbiam trywia, i zawsze robiły na mnie wrażenie
        dLugie rzeki. Ale różne źródła poddawały różne
        długości i różne "rankingi sportowe". Czasem
        Missipi z Missouri było najdłuższe, to znowu Nil
        lub Amazonka lub Jang-cy, itd.

        guru_ji
        • Gość: toczacy.sie.kamien Re: Długość rzek IP: *.neoplus.adsl.tpnet.pl 18.09.06, 06:38
          > > Oj, strasznie skomplikowana ta metoda...
          >
          > Nie znasz się.

          Wybitny znawca się odezwał ;)

          > Twoja metoda ani nie jest prosta, ani sensowna.

          Pojęciowo jest o wiele prostsza od Twojej (nie trzeba przebijać się przez żadne
          nowe definicje) i co najmniej równie sensowna.

          > Po pierwsze, ta metoda nie jest praktyczna.
          > Są mapy, ale nikt nie będzie spływał łódeczkami.
          > Za długo by trwało, byłoby za kosztowne, a
          > przede wszystkim bez sensu:

          Nigdy nie słyszałeś o spływach kajakowych? ;)

          > wynik zależałby od łódeczki (mała? duża?),
          > od fali, od decyzji, czy skracać zakola, czy nie,
          > i jak omijać wyspy... Przy dużej fali rzeka
          > byłaby dłuższa niż przy niskiej

          A niby dlaczego? Fala może zmieniać kierunek toru łódki i prędkość. Kierunek
          można zawsze skorygować, natomiast prędkość jest w mojej metodzie mierzona. Nie
          ma znaczenia, czy płynie się szybciej (z falą), czy wolniej (przeciw fali). I
          co tu ma do rzeczy wielkość łódki (zakładając oczywiście, że jest ona
          wystarczająco mała w porównaniu z szerokością rzeki)? Jak widać, to Ty nie
          przemyślałeś problemu.

          > Gdy rzeka ma szerokość 1 km, i skręca (nie ważne czy
          > łagodnie) na pewnym odcinku o pi/3 (60 stopni),
          > to różnica pomiędzy lewym i prawym brzegiem
          > wynosi ponad 1km długości. A takich zakrętów
          > może być wiele.

          No to umawiamy się, że płyniemy samym środkiem, i sprawa z głowy. (Tobie, jako
          wybitnemu znawcy, pozostawiam znalezienie definicji środka).

          > Jest jasnym, że nie przemyślałeś problemu, ani
          > mojego rozwiązania. Jedną liczbą długości
          > rzeki (ani brzegu morskiego) nie załatwi się.

          Przed chwilą pokazałem, kto tu nie przemyślał problemu ;)

          > Uwielbiam trywia, i zawsze robiły na mnie wrażenie
          > dLugie rzeki. Ale różne źródła poddawały różne
          > długości i różne "rankingi sportowe". Czasem
          > Missipi z Missouri było najdłuższe, to znowu Nil
          > lub Amazonka lub Jang-cy, itd.

          To prawda, ale w większości wypadków sprawa nie jest związana z techniką
          pomiaru, lecz z tym, że nie ma zgody wśród geografów, gdzie leży źródło danej
          rzeki.
          • guru_ji Re: Długość rzek 18.09.06, 09:46
            Gość portalu: toczacy.sie.kamien napisał(a):

            > > > Oj, strasznie skomplikowana ta metoda...
            > >
            > > Nie znasz się.
            >
            > Wybitny znawca się odezwał ;)

            Łączysz płytkość myślenia z impertynencją
            i arogancją. Pozwoliłeś sobie dwa razy.
            Za trzecim wylądujesz w kill file.

            > > Po pierwsze, ta metoda nie jest praktyczna.
            > > Są mapy, ale nikt nie będzie spływał łódeczkami.
            > > Za długo by trwało, byłoby za kosztowne, a
            > > przede wszystkim bez sensu:
            >
            > Nigdy nie słyszałeś o spływach kajakowych? ;)

            Głupie uśmniechy, głupi upór. Mamy tysiące rzek.
            W wielu nie wolno "spływać kajakiem". Trzeba by
            spływać w różnych warunkach geograficznych,
            klimatycznych, biologicznych... w niektórych
            ponad 5000km. To wszystko jest nierealne,
            nie mówiąc o czasie i koszcie.

            Od dawna mamy wspaniałe zdjęcia samolotowe.
            Od całkiem dawna mamy precyzyjne obrazy
            salitelitarne. Wszystko skomputeryzowane,
            digitized. A Ty kajaczkiem??? Nie ośmieszaj się.

            > Fala może zmieniać kierunek toru łódki
            > i prędkość. Kierunek można zawsze skorygować,
            > natomiast prędkość jest w mojej metodzie mierzona

            Fala powoduje, że łódka unosi się i opada, co wydłuża
            tor. Mogą być fale niewielkie, ale o sporej częstotliwości,
            więc wydatnie wyfdłużą tor. Mogą być też wielkie fale,
            już na 100-150 km przed wpadnięciem do morza lub
            oceanu, w wypadku ogromnych rzek.

            > Jak widać, to Ty nie
            > przemyślałeś problemu.

            Uprzedziłem Cię. Jedna więcej taka smarkaczowska
            odzywka i będziesz sobie dyskutował z Robakksem.

            > No to umawiamy się, że płyniemy samym środkiem,
            > i sprawa z głowy.

            I to ma być koncepcyjnie prosta definicja?!

            Definicja środka rzeki nie jest jednoznaczna.
            Co prawda sensowne definicje nie powinny
            wprowadzić zbyt dużej różnicy, zwykle, poza
            ekstremalnymi przypadkami. Wada pozostaje.

            W każdym razie wysiłek włożony w wyznaczanie
            środka rzeki jest większy niż w policznie n-odcinkowej
            długości dla szeregu niskich wartości n razem.
            Gdybym miał wyznaczać środek rzeki, to przy
            okazji mógłbym wyliczyć długość takiego toru
            lepiej niż jakikolwiek kajak lub łódź mogłaby przepłynąć
            go i zmierzyć. Nonsens w tym kontekście myśleć o łodzi
            • Gość: toczacy.sie.kamien Re: Długość rzek IP: *.neoplus.adsl.tpnet.pl 19.09.06, 06:33
              Drogi Guru,

              bardzo Cię przepraszam. Nie pomyślałem, że na tym Forum Tobie wolno innym
              zarzucac arogancję, brak zrozumienia tematu, płytkość myślenia, oskarżać ich o
              szczeniakostwo itp., a innym Tobie - nie. Mea culpa!

              A tak na poważnie: ja swój post o mierzeniu długości rzek napisałem z
              przymróżeniem oka, żeby nie wszystko na tym Forum było tak strasznie serio, a
              Ciebie poniosło. Świadczy to o kompletnym braku poczucia humoru u Ciebie. (O
              tym samym świadczy zresztą Twój niezwykle pretensjonalny nick). Przyznaję, że
              po Twojej aroganckiej odpowiedzi mnie również niepotrzebnie poniosło, gdyż
              powinienem ją po prostu zignorować.

              Możesz sobie darować umieszczanie mnie na kill file, gdyż ja nie zamierzam już
              więcej z Tobą dyskutować. Jeśli myślisz, że nie mam nic lepszego do roboty, niż
              rozmowy z nadętymi bufonami, którzy sądzą, że zjedli wszystkie rozumy, to się
              grubo mylisz. Guruj sobie w pokoju nad światem. (Słowo "guruj" specjalnie
              napisałem przez u otwarte; wyjaśniam to, bo wątpię, czy byłbyś w stanie
              zrozumieć ten kalambur bez wyłożenia kawy na ławę).

              Over and out.
              • guru_ji Humor i komunikowanie się -- 2 przykłady 19.09.06, 11:05
                W jednej z wczesnych monografii of LISPie,
                autor wykombinował nazwę typu S-expressions,
                i nawet wprowadził SEXpressions lub po prostu
                SEX, nie pamiętam. Bardzo się przez całą długość
                książki autor cieszył tym SEXem, wciąż do tego
                nawiązując (według niego dowcipnie).

                ---

                W monografii o języku komputerowym C, autor
                Robert Lafore wyjaśnił relację pomiędzy dwoma
                pojęciami w C, zwanymi "structure" oraz "union".
                Przyrównał je do dwóch kuzynów, którzy wyglądają
                podobnie, niemal tak samo, ale jeden jest
                solidnym biznesmanem, a drugi zajmuje się
                kontrabandą. Następnie wyjaśnił jak działa union,
                a jak structure. Odtąd czytelnik już na zawsze
                pamiętał, ze te dwie konstrukcje mają niemal
                identyczny syntax, ale są jednak kompletnie
                różne semantycznie.

                W przypadku monografii o LISPie, "dowcipy"
                o SEXie rozpraszały, hałasowały jakby,
                przeszkadzały w opanowaniu materiału. Straciłem
                tę monografię z wieloma innymi, ale tych innych
                żałuję, brakuje mi ich (też tej o C), a tej o
                LISPie z SEXem ani trochę, bo to była makulatura.

                guru_ji

                PS. Jak wspomniałem gdzie indziej, pewien
                mój przyjaciel hinduski nazywał mnie "guru_ji".
                Kiedy potrzebowałem nowego konta i nowego
                nicka, to żartobliwie, i dla mojego przyjaciela,
                wybrałem to które mi nadał. A jak ktoś nie ma
                poczucia humoru, to ma okazję, żeby się nadymać
                i krzywić na mój nick. Dla mnie osobiście i tak
                "guru_ji" ma wartość przede wszystkim sentymentalną.
    • t09 Re: Długość wybrzeża morskiego 18.09.06, 01:37
      Ponoc tez jest bardzo zalezna od tego, jak ja mierzyć. Dowiedziałem sie tego na
      wykładzie o fraktalach, który mój kolega wygłaszał (jeśli, Guru, jesteś
      rzeczywiście tym W. H., którego znałem, to Ty go też możesz znać).
      • guru_ji Re: Długość wybrzeża morskiego 18.09.06, 04:28
        t09 napisał:

        > Ponoc tez jest bardzo zalezna od tego, jak ja mierzyć.
        > Dowiedziałem sie tego na wykładzie o fraktalach,

        W przypadku rzek i brzegu morza uważa się, że
        mamy do czynienia z fraktalami, a więc długość
        może być nieskończona. Jest sprzeczność pomiędzy
        pojęciem długości krzywej, a ewentualnym
        pojęciem długości rzek i brzegów morskich.
        Jednak przypadek rzek jest, mimo fraktalowego
        podobieństwa, inny niż brzegu morskiego, gdyż
        w przypadku rzek istotnym jest, że płyną w dół,
        podczas gdy brzeg morza lub oceanu w zasadzie
        jest poziomy (kiedyś był jakby z definicji, ale to
        się trochę dziś zmieniło, choć w kontekście długości
        nie jest to istotne--nie będę oceanu traktował
        jak płynąącej w dół rzeki).

        Dla brzegów morskich stosowałbym swoją dawną
        definicję. W praktyce można wtedy użyć dobrych,
        map, zcyfrowanych czy z zdygityzowanych? (digitized),
        i zastosować do nich pewien algorytm, ktory wtedy
        rozwinąłem, typy procesowania równoległego
        (parallel processing).

        W obu przypadkach mówię o "dlugości względem
        danego parametru". W przypadku rzek o
        długości n-odcinkowej, a w przypadku brzegu
        morskiego o długości brzegu r-wygładzonego,
        gdzie r > 0 jest promieniem krzywizny (lub
        k-wygładzonego, gdzie k > 0 jest krzywizną).

        Algorytm dla brzegu morskiego można stosować
        do także do rzek, ale albo do lewego brzegu,
        albo do prawego, lub nawet można za pomocą
        dodatkowego algorytmu wyznaczać linię środkową
        rzeki i stosować pojęcie wygładzonej długości do
        tej linii.

        Algorytm n-odcinkowej długości jest prostszy
        i lepiej oddaje długość rzeki.

        > który mój kolega wygłaszał (jeśli, Guru, jesteś
        > rzeczywiście tym W. H., którego znałem, to
        > Ty go też możesz znać).

        Po Twoim odezwaniu się w wątku
        obok, nie mam wątpliwości, że jestem
        "tym W.H." :-)

        A to ci spotkanie po latach!

        Pozdrawiam,

        guru_ji
    • sojuz1 Re: Długość rzek 18.09.06, 16:16
      guru_ji napisał:
      >Następnie dodał, że po latach
      > doszedł do przekonania, że nie ma czegoś takiego
      > jak długość rzeki.
      A następnie słynny matematyk doszedł do przekonania, że jest cesarzem
      Napoleonem i na tym się skończyło.
      • guru_ji Re: Długość rzek 18.09.06, 22:22
        sojuz1 napisał:

        > guru_ji napisał:
        > >Następnie dodał, że po latach
        > > doszedł do przekonania, że nie ma czegoś takiego
        > > jak długość rzeki.
        > A następnie słynny matematyk doszedł do przekonania, że jest cesarzem
        > Napoleonem i na tym się skończyło.

        A następnie sojuz1 wylądował.

        W kill file.

        guru_ji
    • katriel Re: Długość rzek 20.09.06, 13:13
      guru_ji napisał:
      > DEFINICJA 1 Odległość n-odcinkowa len(X h)
      > =========== jest to kres górny wszystkich sum
      > d(x_0 x_1) + d(x_1 x_2) + ... + d(x_(n-1) x_n)
      > po wszystkich ciągach x_0 ... x_n \in X
      > takich, że h(x_0) > h(x_1) > ... > h(x_n)

      OK. Wyobraźmy sobie rzekę o stałej szerokości 1. Wybierajmy punkty o numerach
      nieparzystych przy lewym, a punkty o numerach parzystych przy prawym jej brzegu.
      Wówczas n-odcinkowa odległość tej rzeki wynosi co najmniej n.
      (Swoją drogą, określenie "odległość" w tym kontekście jest cokolwiek niezręczne
      - odległość to może być od czegoś, a tu mamy wewnętrzną charakterystykę
      przestrzeni z funkcją wysokości).

      Oczywiście, realne rzeki nie mają stałej szerokości - ale mają szerokość
      szacowaną z dołu przez stałą c zależną od konkretnej rzeki (być może zaniedbując
      bezpośrednie otoczenie źródła). To wystarczy, aby oszacować z dołu n-odległość
      realnej rzeki przez cn. Gdy n rośnie w nieskończoność, przestaje to mieć
      cokolwiek wspólnego z (intuicyjnie pojmowaną) długością rzeki.

      Próbując ocalić odrobinę sensu w Twojej definicji, można by pewnie zdefiniować
      n-odległość między dwoma punktami, biorąc kres _dolny_ odpowiednich sum długości
      odcinków - z tym, że trzeba by nałożyć jakieś warunki wymuszające, że odcinki są
      w miarę równe, bo w przeciwnym wypadku dostawalibyśmy po prostu zawsze zwykłą
      odległość. Można do tego podejść od przeciwnej niejako strony, ustalając nie
      liczbę odcinków, ale ich długość epsilon(być może poza ostatnim krokiem) -
      dostaje się wtedy epsilon-długość krzywej albo epsilon-odległość punktów w
      (niegeodezyjnej, jeśli ma wyjść coś nietrywialnego) przestrzeni metrycznej. No
      ale to (z zastosowaniem właśnie do brzegów morskich i rzek) jest opisane chyba w
      każdej książeczce o fraktalach (jak też i w podręcznikach dla studentów
      kartografii).
      • sennajawa Re: Długość rzek 20.09.06, 15:23
        katriel napisała:

        > Wyobraźmy sobie rzekę o stałej szerokości 1.
        > Wybierajmy punkty o numerach nieparzystych
        > przy lewym, a punkty o numerach parzystych
        > przy prawym jej brzegu. Wówczas n-odcinkowa
        > odległość tej rzeki wynosi co najmniej n.

        Tak. To jest w porządku. Wytłumaczę niżej.

        > (Swoją drogą, określenie "odległość"
        > w tym kontekście jest cokolwiek niezręczne
        > - odległość to może być od czegoś,

        Musiałem być zmęczony. Miałem na myśli
        długość, nie "odległość". W nazwie dałem
        po angielsku w len(X h)
        • katriel Re: Długość rzek 21.09.06, 23:05
          No dobra, rozumiem. Ty wcale nie chcesz zdefiniować bezwzględnej długości rzeki,
          Ty chcesz mieć możliwie ściśle określony, a przy tym praktyczny sposób
          stwierdzania, która z dwu danych rzek jest dłuższa. Do tego może się i ta Twoja
          n-długość nadaje - chociaż oczywiście ciągle nas straszy widmo zależności od n.
          Może się zdarzyć (przynajmniej teoretycznie), że - w miarę jak zwiększamy n -
          raz jedna rzeka okazuje się dłuższa, a raz druga. Nie do końca widzę, jak sobie
          wyobrażasz wybrnięcie z tego.
          Tak sobie myślę, że jakby dać losowemu człowiekowi mapę i linijkę i kazać mu
          zmierzyć długość rzeki, to zmierzyłby coś, co z rozsądnym przybliżeniem można
          uznać za n-długość dla pewnego n; zapewne też mierzący dobieraliby większe n dla
          bardziej krętych rzek. Gdyby teraz jakoś uśrednić to n po wszystkich mierzących,
          dostalibyśmy liczbę jakoś tam związaną z krętością rzeki. Fajnie byłoby znaleźć
          jakąś obiektywną miarę krętości, przeskalować ją tak, żeby zgadzała się z
          intuicyjnym wyborem n przez mierzących i rozpatrywać n-długość z takim właśnie
          n-em.

          Za kategoryczność "odrobiny sensu" przepraszam - ale na swoje usprawiedliwienie
          nadmienię, że usiłowałam się po prostu dopasować do Twojej maniery
          stylistycznej. Z toczacym.sie.kamieniem i jego łódeczką płynącą środkiem rzeki
          dyskutowałeś (a raczej pouczałeś go) jeszcze kategoryczniej, zupełnie jakby w
          jego podejściu nie było ani odrobiny sensu do ocalenia. A przecież wystarczyłoby
          uważnie i bez uprzedzeń przeczytać oraz przemyśleć jego żartobliwe pomysły, aby
          dotrzeć do kolejnego interesującego wariantu definicji.
          Otóż, jeśli zgodzimy się modelować rzekę nie po prostu byle jaką przestrzenią
          metryczną, ale riemannowską rozmaitością, a przy tym założymy różniczkowalność
          funkcji wysokości, to tor owej nieszczęsnej łódeczki można uznać za krzywą
          całkową potoku gradientu. Maksymalna długość takiej krzywej byłaby niezłą
          definicją długości rzeki, gdyby dawała się łatwo wyliczać; tak jednak nie jest.
          Potrzebujemy sensownej dyskretyzacji pojęcia krzywej całkowej gradientu. Mnie
          się najbardziej naturalne wydaje coś takiego: bierzemy ciąg punktów x_0,...,x_n
          o tej własności, że x_{i+1} jest najbliższym x_i punktem pewnej poziomicy
          funkcji wysokości (niższej niż poziomica, na której leży x_i). W ten sposób
          wyklucza się takie patologiczne zygzaki od brzegu do brzegu. A może nawet ma
          sens granica "n-długości gradientowych" (tzn. maksimów długości n-odcinkowych
          łamanych, których ciągi wierzchołków spełniają powyższy warunek) przy n dążącym
          do nieskończoności?
          I co, nie fajne? A wszystko w takim niepozornym poście o łódeczce!
          • guru_ji n-odcinkowy spadek rzek 22.09.06, 00:41
            katriel napisała:

            > Ty wcale nie chcesz zdefiniować bezwzględnej
            > długości rzeki

            Właśnie. Zgadza się.

            > Ty chcesz mieć możliwie ściśle określony,
            > a przy tym praktyczny sposób...

            Tak (ale co dalej?)

            > ... która z dwu danych rzek jest dłuższa.

            Niezupełnie, jako że długości "po prostu długości"
            nie ma.

            > [...] straszy widmo zależności od n.
            > Może się zdarzyć (przynajmniej teoretycznie),
            > że - w miarę jak zwiększamy n -
            > raz jedna rzeka okazuje się dłuższa, a raz druga.

            O takiej przeplatance napisałem w tym wątku
            explicite (dodając, że nie zdarzają się często).

            Do rzeczywistości trzeba się przyzwyczaić,
            i wkrótce nie straszy. Rzeczywistość należy uznać.
            Jest to sytuacja powszechna w zastosowaniach.
            Na podstwie niewielkiego doświadczenia
            uzyskuje się uogólniające pojęcia, często zwane
            intuicją ("intuicja" zasługuje na osobnty esej,
            ale nie w tym tutaj wątku). Gdy napotykamy pełne
            bogactwo problemu, to pojęcia, ktore bazowały
            na ograniczonym materiale, mogą być nieadekwatne,
            jak długość w przypadku fraktali.

            Co więcej, analiza może prowadzić do pojęć, które
            wydają się nieintuicyjne (na które wielu może
            z powodu inercji reagować negatywnie, nawet
            wyśmiewaniem). Wydają się nieintuicyjne być
            może dlatego, że nie istniały w używanym dotąd
            języku.

            Jeżeli nowe pojęcie jest proste koncepcyjnie
            i w zastosowaniu, a przy tym chwyta istotne
            **obiektywne** cechy sytuacji, to obowiązkiem
            staje się zrozumienie nowego pojęcia, i przy
            okazji wzbogacenie swojej intuicji i języka.

            W danym przypadku każdy parametr n opisuje
            pewną cechę rzeki lub basenu wodnego.

            O, bym zapomniał! Mam dobrą nazwę. Nie "długość",
            tylko "spadek".

            1-odcinkowy spadek opisuje spadkową średnicę rzeki
            (kojarzy sie z dziedziczeniem, ale powstrzymajmy
            jajcarską tendencję pyskutowania; oj, literówka,
            "dyskutowania").

            2-odcinkowy spadek nie bardzo ma odpowiednik
            w istniejącym języku, ale stworzyłbym "współczynnik
            zawrotu" (znowu te skojarzenia).

            3-odcinkowy spadek to "współczynnik zygzaku" od
            litery "Z".

            Dla n > 3 raczej nie ma konieczności wprowadzania
            indywidualnych, opisowych terminów.

            UWAGA Przy wprowadzaniu pojęć, ważniejszym od
            ===== sformalizowania wstępnej intuicji jest
            prostota. Często należy zreformować wyjściową
            intuicję na korzyśc prostszego pojęcia. Proste
            pojęcia wskazują na głębsze cechy niż "intuicja"
            narzucająca złożoność w przypadku ogólniejszym
            niż ograniczone doświadczenie. Niech żyje
            brzytwa Ockhama!!!

            Zastanawiasz się następnie nad ratowaniem
            "zwykłej intuicji". Jednak nowe parametry, jak
            pewne uśredniania, warto wprowadzać tylko wtedy,
            gdy istnieje potrzeba, a nie dla mnożenia bytów.
            Więc poczekałbym. Lub podaj lepszy powód, niż
            przyzwyczajenia obecnych oglądaczy map.

            > Z toczacym.sie.kamieniem i jego łódeczką
            > płynącą środkiem rzeki dyskutowałeś (a raczej
            > pouczałeś go) jeszcze kategoryczniej,

            Szkoda, że uznałaś za potrzebne, żeby o czymś
            takim pisać. Skoro się zdecydowałaś, to przed
            oskarżaniem mnie, wczytaj się w wątek. Trochę
            choćby odpowiedzialny, dorosły uczestnik,
            powinien się zastanowić, gdy napisałem o
            opinii Steinhausa, a nie powtarzać dawne,
            nazwijmy to standardowe, pre-Steinhausowskie
            opinie i robić sobie jaja.

            > A przecież wystarczyłoby uważnie i bez
            > uprzedzeń przeczytać oraz przemyśleć jego
            > żartobliwe pomysły, aby dotrzeć do kolejnego
            > interesującego wariantu definicji.

            Niby mnie przeprosiłaś, ale w złej wierze
            i dalej mnie oskarżasz bez wczytania się
            w wątek i wbrew prawdzie. Co do dotarcia,
            to zacytuję swoje rozróżnienie prozy i poezji:

            proza: autor--90%, czytelnik--10%
            poezja: autor--50%, czytelnik--50%

            Kiedy mamy proporcję:

            autor--3%, czytelnik--97%

            to oznacza, że autor nie miał nic do powiedzenia.

            Ale Twoje czytelnicze 97% przeczytałem uważnie,
            więc krytykuj mnie, okazując jednak trochę szacunku,
            wystarczy minimum (i bez explicite bzdur, nie o to
            chodzi--szacunek to po prostu rzeczowa dyskusja,
            w której adekwatnie reaguje się na wypowiedź drugiego).

            Co do "żartobliwości" toczącego.się.kamienia
            (ładny nick), to odsyłam Cię do postu, w tym
            naszym wątku, o humorze. Istnieje konstruktywny
            i destruktywny, co opisałem na przykładach.
            Podobnie w poezji mamy haiku i senryu. Przez
            dziesiątki lat, a nawet przez parę stuleci
            dosyć mętnie dyskutowano nad ich rozróżnieniem
            i wiele głupstw napisano. W końcu podałem
            rozróżnienie w 2 linijkach (wymaga znajomości
            praktyki haiku i senryu):

            ***

            Humor w haiku, gdy występuje, jest dobrotliwy;
            w senryu zawsze występuje i zawsze negatywnie.

            ***

            Dlatego haiku jest wyższą formą poetycką
            i filozoficzną.

            Wspomnę jeszcze, że istnieje podobieństwo
            pomiędzy sztuką definowania pojęć w poezji
            (np. w poezji) i w zastosowaniach. (Nawet
            w matematyce mamy podobne sytuacje, gdy się
            przechodzi do uogólnień).

            Twoje podejście gradientowe ma poważną wadę.
            W przypadku wysp i rozwidleń rzeki mamy
            singularności. Linie wzdłuż potoku gradientu,
            mogą wtedy utkwić, jak łódeczka. Pisałem o tym
            w tym wątku, w kontekście łódeczki, ale wolisz
            atakować mnie osobiście, niż przeczytać, co
            merytorycznie napisałem. I tak na tle forum
            wydajesz się być tytanem intelektualnym, i
            wszystko jedno raz jeszcze zapraszam Cię na
            forum "rozmowy matematyczne", byłoby miło.

            > A wszystko w takim niepozornym poście o łódeczce!

            "Beauty is in the eye of beholder" ("piękno
            jest w oku patrzącego"), zwłaszcza, gdy oko
            jest zamknięte :-)

            Włodzimierz Holsztyński (guru_ji, Senna Jawa)
            • katriel Re: n-odcinkowy spadek rzek 22.09.06, 02:24
              guru_ji napisał:
              > O takiej przeplatance napisałem w tym wątku
              > explicite (dodając, że nie zdarzają się często).
              Ale to dotyczyło "pewnej operacji na krzywej, która w zależności od parametru
              (krzywizny lub promienia krzywizny) dawała wygładzenie, po którym krzywa miała
              długość", uzyskanej przez Ciebie w 1977 roku. Miło wiedzieć, że to samo odnosi
              się do pojęcia opisanego w wątku.

              > W danym przypadku każdy parametr n opisuje
              > pewną cechę rzeki lub basenu wodnego.
              A tak, to rozumiem. Zresztą, w tym widzę pewną przewagę Twojej n-max definicji
              nad standardową eps-min: każda z nich w różnych skalach wyłapuje różne cechy
              obiektu, ale przy n-max parametr wskazuje, o jaką cechę chodzi, explicite i w
              sposób niezależny od skalowania.
              Tylko co z tytułem wątku, tj. z długością? Ty z ratowaniem "zwykłej intuicji"
              chcesz czekać (nie wiem na co) - a mnie jakoś ta opinia Steinhausa prowokuje,
              aby jednak próbować definiować długość. Pewnie przekorna jestem.
              > nowe parametry, jak
              > pewne uśredniania, warto wprowadzać tylko wtedy,
              > gdy istnieje potrzeba, a nie dla mnożenia bytów.
              Potrzeba? A jakaż to potrzeba kazała Ci w ogóle definiować n-spadek?
              Myślałam, że się bawisz. Ja się bawię.

              > Twoje podejście gradientowe ma poważną wadę.
              > W przypadku wysp i rozwidleń rzeki mamy
              > singularności. Linie wzdłuż potoku gradientu,
              > mogą wtedy utkwić, jak łódeczka.
              Oczywiście, niektóre krzywe całkowe trafiają w osobliwości (ew. w brzeg). Ale co
              z tego? Co najwyżej tyle, że najprawdopodobniej to nie one będą realizowały
              maksimum długości. Nie mówiąc już o definicji zdyskretyzowanej, w której tego
              problemu w ogóle nie ma.

              > I tak na tle forum
              > wydajesz się być tytanem intelektualnym,
              Hm. I dlaczego właściwie powyższy komplement w ogóle mnie nie cieszy?




              • sennajawa Re: n-odcinkowy spadek rzek 22.09.06, 04:46
                katriel napisała:

                > Ale to dotyczyło "pewnej operacji na krzywej,
                > która w zależności od parametru
                > (krzywizny lub promienia krzywizny) [...]".

                Masz rację. UWagi o "przeplatance" nie
                powtórzylem w przypadku n-odcinkowej
                definicji.

                > Miło wiedzieć, że to samo odnosi
                > się do pojęcia opisanego w wątku.

                Odnosi się potencjalnie do każdej
                pary funkcji zdefiniowanych w tym
                samym zbiorze uporządkowanym, o
                wartościach w zbiorze uporządkowany.

                Różne funkcje długości i podobne,
                gdy są funkcjami parametru będącego
                liczbą rzeczywistą lub całkowitą,
                podpadają pod tę ogólną sytuację.

                > > W danym przypadku każdy parametr n opisuje
                > > pewną cechę rzeki lub basenu wodnego.

                > A tak, to rozumiem. Zresztą, w tym widzę pewną
                > przewagę Twojej n-max definicji nad standardową
                > eps-min: każda z nich w różnych skalach wyłapuje
                > różne cechy obiektu, ale przy n-max parametr
                > wskazuje, o jaką cechę chodzi, explicite i w
                > sposób niezależny od skalowania.

                Hej! :-)

                Gdy nowa definicja nie bardzo pasuje do starego
                wyobrażenia, to mamy dwie niewykluczające się,
                potencjalnie pożyteczne drogi dalszego postępowania:

                1. poszukiwać wciąż innej definicji, która
                dokładniej oddaje wstępne wyobrażenie;

                2. zrozumieć czyli przydasć (to to samo) sens
                nowej definicji, niezależnie od wyobrażenia,
                które wprowadzenie definicji pobudziło.

                Pójdę teraz po drodze 2. Pisałaś o tym, że
                n-odcinkowa długość spadku (wreszcie w pełni
                precyzyjna nazwa :-) wprowadza n-krotnie
                szerokość rzeki, co wydawało Ci się zasadniczym
                minusem.

                Odpowiem najpierw praktycznie. Szerokość rzek
                jest znacznie mniejsza od ich długości. Wielka
                rzeka może długo mieć szerokość 20km, ale wtedy
                jest długa na 5000km. Dla parametru nawet tak wysokiego
                jak n=10, wkład szeropkości wynosi wtedy maksimum
                10*20km = 200km, co jest sporo, ale nie drastycznie.
                Przede wszystkim w praktyce, przy podanych
                parametrach 20km versus 5000km, ten wkład będzie
                o wiele mniejszy. Ponadto, wkład ten rzadko kiedy
                wpłynie istotnie na ranking rzek względem długości.

                Nawet gdy dłu7ga rzeka na krótkim odcinku rozlewa
                się na szrokośc 200km, to przy 5000km długości
                (powiedzmy, średnicy) wciąż znaczenie tej szerokości
                nie jest dramatyczne. Punkty realizujące maksimum
                mogą wręcz ten odcinek pominąć! (W zależności od rzeki).


                Teoretycznie:

                Rozpatrzmy baseny wody, które są nietypowe dla rzek.
                Wtedy n-odcinkowa długość spadku mówi nam "coś'",
                co warto obejrzeć na przykładach.

                Gdy szerokość przeważa nad długością, to długość
                spadku może odzwierciedlać szerokość bardziej niż
                długość, i obiektywnie, co uzasadnię, jet to
                ppoprawny wybór.

                Wyobraźmy sobie "rzekę" o "długości" 1km w kierunku
                w dół an północ, i o szerokości 200km wszerz. Wtedy
                n-krotna długość spadku wynosi około n*200km.

                Czy to jest "niesłuszne"? Wyobraźmy sobie w ramach tego
                samego prostokąta, zajmowanego przez wspomnianą "rzekę"
                inną rzekę, która wije się od lewej krawędzi 200km x 1km
                prostokąta do prawej, oddalonej o 200km, i z powrotem
                3 razy. A jeszcze inna 4 razy. Obie te rzeki są na tyle
                cienkie, że każdy kolejny kontakt z krawędzia boczną
                prostokąta jest całkowicie na północ, czyli w dół, od
                poprzedniego. Druga rzeka w zwyczajowym sensie ma około
                3*200km = 600km, a trzecia ma około 4*200km = 800km.

                Czy naprawdę druga i trzecia rzeka powinny być
                uważane za dłuższe niż pierwsza? Tak uważałby
                przypadkowy człowiek z ulicy. Ale nie ma absolutnego
                "dłuższa". Pierwsza rzeka, o której mógłby ktoś
                powiedzieć, że ma długośc 1km (jeden), zawiera
                w sobie rzekę drugą i trzecią. Więc gdyby wybudowac
                wijący się plot, wystający ponad wodę, który by
                z pierwszej rzeki uczynił jakby kręty korytarz w
                labiryncie, to naraz ta pierwsza rzeka stałaby się
                dłuższa? Według definicji n-spadku taki płot nie
                wpłynąłby na n-spadek, dla n-spadku liczy sie woda,
                a nie płot.

                Nie mówię, że inne definicje nie mają sensu,
                a jedynie, że n-spadek ma swoje przewagi.

                Kilka pierwszych n-spadków pozwala nam rozróżnić
                wspomniane 3 rzeki bez patrzenia z lotu ptaka
                lub na mapę. W przybliżeniu otrzymamy:

                1-spadek: ** 200km ** 200km ** 200km *
                2-spadek: ** 400km ** 400km ** 400km *
                3-spadek: ** 600km ** 600km ** 600km *
                4-spadek: ** 800km ** 600km ** 800km * <
    • robakks Re: Długość rzek 22.09.06, 09:29
      guru_ji napisała:

      | W roku 1954, Julek B. podarował mi, z dedykacją, słynny "Kalejdoskop
      | Matematyczny" Hugo Steinhausa. Steinhaus opisał w nim między innymi swój
      | pomysłowy sposób mierzenia długości rzeki na mapie. Następnie dodał, że
      | po latach doszedł do przekonania, że nie ma czegoś takiego
      | jak długość rzeki.
      |
      | Faktycznie.
      |
      | [...]
      | *****
      |
      | W następnej notce może podam dla ilustracji
      | przykłady, a teraz lecę, pędzę,
      |
      | guru_ji

      Dwa zdania przypisuje się Heraklit'owi z Efezu
      "Do tej samej rzeki wstępujemy i nie wstępujemy"
      oraz
      "nie można dwa razy wejść do tej samej rzeki"

      I tu rodzi się pytanie:
      "co autor miał na myśli pisząc powyższe"?
      Jak najbardzuej naturalny przykład:
      czy można dwa razy wstąpić do Gangesu?
      Czy można dwa razy być w Rzymie?
      Ludziom myślącym nie trzeba tego wyjaśniać bowiem to się WIE
      ale głupcom można a nawet trzeba aby nie rozsiewali głupoty.
      Tak.
      Można dwa razy wstąpić do Gangesu i można dwa razy być w Rzymie.
      ...
      Żałosna tragifarsa bełkotliwych teorii które z matematyką
      nie mają nic wspólnego wyrażona jest mantrą:
      "nie ma czegoś takiego jak długość rzeki."

      Rzeka to bryła przestrzenna zapisana atomami tworzącymi rzekę.
      Współrzędne każdego atomu tworzącego rzekę można zapisać w układzie
      współrzędnych Kartezjusza przy użyciu narzędzia jakim jest
      geometria analityczna i można wyliczyć chwilową wartość długości rzeki.
      To oczywiste.
      Panta rei odnoszące się do atomów tworzących rzekę wpływa na zmianę
      chwilowych wartości, które przecież oscylują wokół jednej wartości średniej
      w danym przedziale czasowym.

      PS. co do mierzenia czegokolwiek przez tak zwanych matematyków
      sprawa jest oczywista:
      matematycy nie potrafią niczego zmierzyć bowiem nie rozróżniają
      miary długości 1 od miary powierzchni 1^2 i od miary objętości 1^3.
      Dla tzw. matematyków to jest to samo a więc
      1 = 1^2 = 1^3
      Matematycy nie potrafią znając objętość bryły zwanej rzeka
      oraz średniego przekroju - wyliczyć średniej długości
      potrafią natomiast bełkotać, że "matematyka to caryca nauki"
      Krwawa caryca zarzynająca naukę.
      Zgoda.
      ~>°<~
      Edward Robak*
      Uwaga: kopia na free-pl-prawdy
    • Gość: Naukowiec Skoro zdaniem tego Steinhausa IP: *.neoplus.adsl.tpnet.pl 24.09.06, 08:57
      rzeki nie mają długości, to rozumiem, że przeszedł on od źródeł Nilu do jego
      ujścia w 0 (słownie: zero) sekund?
Pełna wersja