Do wszystkich matematyków

[Gość: skydiver]

Czy jest ktoś w stanie udowodnić kilka twierdzeń związanych z NWD(a, b)?
Jeśli potrafisz udowodnić którekolwiek twierdzenie proszę o pomoc.

1. Dla dowolnych liczb naturalnych a, b, n zachodzi
(a, b)^n = (a n, b^n).

oznaczenie a^n - n-ta potęga liczby a

2. Niech a, b, c, będą różnymi od zera liczbami całkowitymi, wówczas
(1) (a, b) (b, c) (a, c) = (a, b ,c)(ab, bc, ca).
(2) [a, b] [b, c] [a, c] = [a, b ,c][ab, bc, ca].

3. Niech a, b liczbami całkowitymi różnymi od zera. Jeżeli (a, b) = 1,
to (a + b, ab) = 1.

4. Nich a, b należą do zbioru liczb całkowitych, wówczas
(a, b) = (a + b, [a, b]).

5. Jeśli a, b, c, są liczbami całkowitymi różnymi od zera, to
(ab, c)|(a, c)(b, c).

6. Jeśli a, b, c, są liczbami całkowitymi różnymi od zera, to
(a, c)(b, c)|(ab, c 2 ).
7. Niech n będzie liczbą naturalną, wówczas
[ 1, ... , 2n] = [ n + 1, ... , 2n].

8. Dla dowolnych liczb naturalnych [1, 2, ... , n] ≥ 2^n – 1.

[Gość: XBW&Rose]

Drogi skydiverze,

domyslam sie, ze (a,b)
oznacza NWD(a,b).
Co oznacza [a,b]?
Czy to moze NWW(a,b)?

Serdecznosci,
XBW & Rose

[Gość: Stefan]

Gość portalu: skydiver napisał(a):

> Czy jest ktoś w stanie udowodnić kilka twierdzeń związanych z NWD(a, b)?
> Jeśli potrafisz udowodnić którekolwiek twierdzenie proszę o pomoc.

Skydiver, to forum służy do dyskusji o ciekawych problemach naukowych a nie do
odrabiania nudnych zadań domowych. Co to ma być, kolokwium, czy co?

Mogę Ci zrobić pierwsze na wzór, nie żądaj żebym czytał wszystkie, to przecież Ty
masz dostać piątkę a nie ja.

Po pierwsze taki lemacik:
LEMACIK:
jeśli (a,b) = 1 ( a i b są względnie pierwsze) to (a^n,b^n) = 1 .
Dowód lemacika:
Rozłóżmy a i b na czynniki pierwsze: a = p1 * ... * pk oraz b = q1 * ... * ql .
Żadne p nie jest równe żadnemu q bo a i b są względnie pierwsze. W rozkładzie
a^n na czynniki pierwsze występują te same liczby, tyle że po wiele razy; a
więc żaden czynnik pierwszy a^n nie jest czynnikiem pierwszym b^n i na odwrót.
Więc a^n i b^n są względnie pierwsze.
Koniec lemacika.

Załóżmy, ze c = (a,b). Wtedy istnieją takie p i q, ze
a = c * p oraz b = c * q , przy czym p i q są względnie pierwsze. Podnosimy te
równości do potęgi n: a^n = c^n * p^n oraz b^n = c^n * q^n . Wobec tego c^n
jest dzielnikiem a^n oraz b^n, nie wiemy tylko czy największym.

Niech d = (a^n,b^n), czyli d jest tym największym dzielnikiem; trzeba pokazać,
że d = c^n. Ponieważ c^n tez jest dzielnikiem, wiec dzieli d , czyli
d = c^n * r dla pewnego r . Istnieją więc takie s i t , że
c^n * r * s = a^n = c^n * p^n oraz c^n * r * t = b^n = c^n * q^n . Wobec tego
r * s = p^n oraz r * t = q^n . Z lemacika wynika, że p^n i q^n są względnie
pierwsze, czyli r = 1 . Wobec tego d = c^n * 1 = c^n.

- Stefan

[skydiver]

Gość portalu: Stefan napisał(a):

> Skydiver, to forum służy do dyskusji o ciekawych problemach naukowych a nie do
> odrabiania nudnych zadań domowych. Co to ma być, kolokwium, czy co?

Stefan, jak sam napisałeś forum służy do dyskusji o ciekawych problemach
naukowych, a czy matematyka nie jest ciekawa?

Dziękuję za dowód jednego z zadań.

sky