liczby Grassmanna

[Gość: nie rozumiem:(]

Czy ktoś z Państwa mogłby wytłumaczyć mi w przystępny* sposób, o co
z nimi chodzi? Bardzo lubię książki pana M. Hellera, ale akurat w
tej (Kosmologia kwantowa) podszedł chyba zbyt ludycznie do
czytelników i - jeśli nawet napomyka o jakiś zjawiskach, regułach,
teoriach.. - robi to trochę zbyt pobieżnie, a szkoda.

"..Podstawowym budulcem nowej symetrii, nazwanej potem
supersymetrią, są zupełnie nowe liczby, zwane liczbami Grassmanna
lub superliczbami. Każdą superliczbę można przedstawić w postaci
szeregu liczb zespolonych i rzeczywistych, ale istotną rzeczą jest
to, że niektóre liczby przy zmianie kolejności ich mnożenia przez
siebie zmieniają znak (w naukowym żargonie mówi się wówczas, że
takie dwie superliczby antykomutują). Własność ta jest niezwykle
ważna z punktu widzenia interpretacji fizycznej.."
za: M. Heller "Kosmologia kwantowa", s.64

*podstawowy, na prostych/prostackich przykładach, bez linków z dużą
iliścią spiętrzonych wzorów, bez liczb urojonych! (tych zupełnie nie
pojmuję:(

[petrucchio]

Gość portalu: nie rozumiem:( napisał(a):

> Czy ktoś z Państwa mogłby wytłumaczyć mi w przystępny* sposób, o co
> z nimi chodzi? ...
> *podstawowy, na prostych/prostackich przykładach, bez linków z dużą
> iliścią spiętrzonych wzorów, bez liczb urojonych! (tych zupełnie nie
> pojmuję:(

Hm... nie wszystko się da tak w trzech słowach bez wzorów. A o macierzach coś
wiesz? Bo liczby Grassmanna to w zasadzie "po prostu" rodzaj macierzy.

A liczby urojone to naprawdę nic trudnego, za to bardzo pożyteczne.

[kagan-owski]

O co wiec chodzi? Tak ukochane przez fizykow tensory to tez
wlasciwie uogolnienie macierzy. A macierze to zas uogolnienie
wektorow, a te to z kolei uogolnienie skalarow ("zwyklych" liczb).
Liczby urojone istnieja zas realnie, ale nie za bardzo rozumiem,
jakim cudem liczby zmieniaja nagle znaki. No ale Heller wierzy w
Boga, wiec to moze Pan Bog zamienia mu te znaki w liczbach
Grassmanna?
The term tensor has slightly different meanings in mathematics and
physics. In the mathematical fields of multilinear algebra and
differential geometry, a tensor is a multilinear function. In
physics and engineering, the same term usually means what a
mathematician would call a tensor field: an association of a
different (mathematical) tensor with each point of a geometric
space, varying continuously with position.
(...)
The rank of a particular tensor is the number of array indices
required to describe such a quantity. For example in classical
mechanics, mass, temperature, and other scalar quantities are
tensors of rank 0; but force, momentum and other vector-like
quantities are tensors of rank 1. The novel aspects of tensor theory
are seen from rank 2 onwards. A linear transformation such as an
anisotropic relationship (relativistic mass) between force and
acceleration vectors is a tensor of rank 2. There exists a similar
relationship between temperature in different reference frames in
relativistic thermodynamics.[3]
en.wikipedia.org/wiki/Tensor#Physical_-_tensor_fields

[petrucchio]

kagan-owski napisała:

> ... ale nie za bardzo rozumiem,
> jakim cudem liczby zmieniaja nagle znaki. No ale Heller wierzy w
> Boga, wiec to moze Pan Bog zamienia mu te znaki w liczbach
> Grassmanna?

Nie liczby zmieniają znaki, tylko znak iloczynu dwóch liczb Grassmanna zależy od
kolejności czynników.

Mnożenie macierzy (zob. tutaj:
pl.wikipedia.org/wiki/Macierz#Mno.C5.BCenie ) jest w ogólnym przypadku
nieprzemienne). Macierze reprezentujące liczby Grassmanna są kwadratowe (mają
tyle samo wierszy, co kolumn), a ich mnożenie jest _antyprzemienne_, co oznacza,
że jeśli A i B są liczbami Grassmanna, to AB = -BA. Nie ma w tym nic
niezwykłego. Jeśli mnożymy liczbę Grassmanna przez jakikolwiek czynnik
rzeczywisty lub zespolony k (czyli "zwykłą" liczbę), mamy normalne mnożenie
przemienne kA = Ak.

Hermann Grassmann, na którego cześć nazwano liczby i algebry tego typu, jest
szczególnie bliski mojemu sercu. Był nie tylko wielkim matematykiem, ale też
wielkim językoznawcą historycznym. Odkrył np. jedno z ważnych zjawisk
fonetycznych w grece i językach indyjskich, znane jako prawo Grassmanna (inne
prawo tego samego Grassmanna istnieje w optyce, dotyczy widzenia barw i stanowi
podstawę kodowania kolorów w systemie RGB). Większość życia spędził jako
nauczyciel gimnazjalny w Szczecinie; tam się urodził i umarł. Jego geniusz
matematyczny doceniło dopiero następne pokolenie matematyków, a biurokracja
pruska odmówiła mu stanowiska profesorskiego na uniwersytecie. Miało to wpływ na
jego decyzję zajęcia się w późniejszym życiu głównie filologią i lingwistyką,
gdzie przynajmniej doceniono i honorowano jego osiągnięcia już za życia.

Świetny umysł i prawdziwy humanista w renesansowym znaczeniu tego słowa.

[Gość: Kagan]

Jesli znak iloczynu sie zmienia, to liczby zmieniaja znaki:
Gi*Gj=-Gi*Gj
en.wikipedia.org/wiki/Grassmann_number
Bo jakim to innym cudem (+)*(+)=(-) albo (-)*(+)=(+)?
Albo inaczej (-)=(+) --> dzielimy obie strony rownania przez Gi*Gj
(zakladajac, ze Gi*Gj>0) albo zastepujemy Gi*Gj przez Hij i wtedy
mamy Hij=-Hij.
A do samego Herr Grassmann'a nic nie mam, bo niby tez czemu mialbym
cos miec przeciwko niemu poza tym, ze sie zajmowal rozdwajaniem
wlosa na czworo? Moglby sie zajmowac np. gazami bojowymi, za co
Niemcy na poczatku XXw dostawali Noble...

[petrucchio]

Gość portalu: Kagan napisał(a):

> Bo jakim to innym cudem (+)*(+)=(-) albo (-)*(+)=(+)?

Przecież nie działamy na liczbach rzeczywistych, tylko na macierzach. Te
kombinacje ze znakami nic wówczas nie znaczą, bo macierze nie są dodatnie ani
ujemne. To samo dotyczy nawet liczb zespolonych: i*i = -1. Czy to znaczy, że
(+)*(+)=(-)? Bynajmniej, bo i nie jest liczbą dodatnią ani ujemną. Znak jest
właściwością liczb rzeczywistych, których oś po usunięciu punktu zerowego
rozpada się na dwa podzbiory. Ani płaszczyzna, ani przestrzenie macierzowe nie
dają się rozbić na rozłączne części przez usunięcie jednego punktu.

> Albo inaczej (-)=(+) --> dzielimy obie strony rownania przez Gi*Gj
> (zakladajac, ze Gi*Gj>0) albo zastepujemy Gi*Gj przez Hij i wtedy
> mamy Hij=-Hij.

Zdefiniuj najpierw dzielenie w algebrze Grassmanna i upewnij się, że twoje
dzielenie stronami ma w ogóle jakiś matematyczny sens (a jeśli tak - to jaki) ;))

> A do samego Herr Grassmann'a nic nie mam, bo niby tez czemu mialbym
> cos miec przeciwko niemu poza tym, ze sie zajmowal rozdwajaniem
> wlosa na czworo? Moglby sie zajmowac np. gazami bojowymi, za co
> Niemcy na poczatku XXw dostawali Noble...

Tu mogę tylko zacytować znane wezwanie zilustrowane przez Andrzeja Mleczkę:
"Obywatelu, nie pieprz bez sensu".

[Gość: Kagan]

1. Jak nie sa ani dodatnie, ani ujemne, to skad sie biora te znaki +
i - ?
2. Poczynilem pewne zalozenia. Jesli cos jest z nimi nie tak, to
powiedz konkretnie co i czemu.
3. Poczytaj kto i za co dostal w Niemczech Noble z chemii..

[petrucchio]

Gość portalu: Kagan napisał(a):

> 1. Jak nie sa ani dodatnie, ani ujemne, to skad sie biora te znaki +
> i - ?

Jeśli -A jest elementem odwrotnym do A, to nie znaczy, że którykolwiek z tych
elementów jest "ujemny". Na przykład w trówymiarowej przestrzeni liniowej wektor
A = [2,0,-2] jest odwrotnością wektora B = [-2,0,2] i prawdziwe są równania A+B
= [0,0,0], A = (-1)*B = -B, ale ani A, ani B nie można nazwać "ujemnym" ani
"dodatnim".

> 2. Poczynilem pewne zalozenia. Jesli cos jest z nimi nie tak, to
> powiedz konkretnie co i czemu.

Właśnie o to chodzi, że niczego nie poczyniłeś. Dzielisz sobie coś stronami, nie
zastanowiwszy się nawet, czy w danej dziedzinie dzielenie w ogóle daje się
zdefiniować (tzn. czy istnieje działanie odwrotne względem mnożenia).

> 3. Poczytaj kto i za co dostal w Niemczech Noble z chemii..

Co ma do tego Grassmann, który na dokładkę umarł 19 lat przed Alfredem Noblem i
nigdy nie zajmował się chemią? Po prostu Niemcy źle ci się kojarzą, czy co?
Zresztą sprawdźmy, skoro nalegasz. Z Niemców na początku XX w. Nobla dostali:

1902, H.E. Fischer

[Gość: Kagan]

1. Czyli ze notacja uzywana w matematyce NIE jest jednoznaczna, i
znak "-" moze oznaczac zupelnie inne rzeczy. Jednym, slowem
kompletny balagan i pomieszanie pojec... :( Jeszcze jeden dowod na
to, ze matematyka nie jest nauka scisla...
2. Poczynilem IMPLICITE zalozenie, ze to dzielenie ma sens
(napisalem wyraznie, iz zakladam, iz nie dziele przez zero)!
3. Sam przyznales, ze niejaki F. Haber dostal w roku 1918 Nobla,
ofcjalnie za syntezę amoniaku, ale zajmował się on przeciez glownie
truciznami i bronią chemiczną. I to wystarczy, aby z przyczyn
etycznych uznac nagrody Nobla, szczegolnie z chemii, za niebyle. Tej
nagrody Haberowi nie odebrano, wiec komitet nagrody Nobla dowiodl,
ze dla nich etyka sie nie liczy, i ze morderca moze byc Noblista... :
(

[petrucchio]

Gość portalu: Kagan napisał(a):

> 1. Czyli ze notacja uzywana w matematyce NIE jest jednoznaczna, i
> znak "-" moze oznaczac zupelnie inne rzeczy. Jednym, slowem
> kompletny balagan i pomieszanie pojec... :( Jeszcze jeden dowod na
> to, ze matematyka nie jest nauka scisla...

Bałagan i pomieszanie pojęć to w tym przypadku twoja, że tak powiem, wewnętrzna
sprawa. Argumentujesz chaotycznie, bez ładu i składu, a winę za to zwalasz na
matematykę. -x to skrótowy sposób zapisu (-1)*x. Nikt nie twierdzi, że -x musi
być liczbą ujemną. Oczywiście jeśli x jest liczbą rzeczywistą dodatnią, to -x
będzie ujemne, ale sam minus przed jakimś wyrażeniem nie oznacza ujemności.

> 2. Poczynilem IMPLICITE zalozenie, ze to dzielenie ma sens
> (napisalem wyraznie, iz zakladam, iz nie dziele przez zero)!

Nie chodzi tutaj o dzielenie przez zero, tylko dzielenie przez "liczbę
Grassmanna", czyli przez macierz. Nie pokazałeś, że taka operacja ma
jakikolwiek sens. Nie w każdej dziedzinie, w której daje się określić mnożenie,
istnieje dzielenie jako jednoznaczne działanie odwrotne do mnożenia,
umożliwiające np. podzielenie równania stronami. Pokażę co prosty przykład w
prostszej dziedzinie: liczby całkowite modulo 6. W tej dziedzinie 3*0=0 oraz
3*2=0. dzieląc stronami przez 3 dostajemy 0=2, co oczywiście nie jest prawdą.
Gdzie tkwi błąd? W przyjętym implicite założeniu, że dzielenie stronami przez 2
jest w tej dziedzinie działaniem legalnym.

> 3. Sam przyznales, ze niejaki F. Haber dostal w roku 1918 Nobla,
> ofcjalnie za syntezę amoniaku, ale zajmował się on przeciez glownie
> truciznami i bronią chemiczną. I to wystarczy, aby z przyczyn
> etycznych uznac nagrody Nobla, szczegolnie z chemii, za niebyle.
> Tej nagrody Haberowi nie odebrano, wiec komitet nagrody Nobla
> dowiodl, ze dla nich etyka sie nie liczy, i ze morderca moze byc
> Noblista... :(

Cytuję twój post: "Moglby sie zajmowac np. gazami bojowymi, za co
Niemcy na poczatku XXw dostawali Noble...". Zdanie to jest nieprawdziwe i ze
względu na użytą liczbę mnogą (tylko jeden niemiecki noblista zajmował się w
czasie wojny gazami bojowymi), i na fakt, że Haber dostał Nobla za coś innego.
Jeżeli nadal się upierasz, że napisałeś prawdę, pozostaje mi uznać, że masz
poważne problemy z logiką, a zatem dyskusja z tobą jest bezcelowa.

Errata

[petrucchio]

petrucchio napisał:

> W tej dziedzinie 3*0=0 oraz 3*2=0. dzieląc stronami przez 3
> dostajemy 0=2, co oczywiście nie jest prawdą.

Przepraszam, wykasował mi się kawałek tekstu. Miało być:

> W tej dziedzinie 3*0=0 oraz 3*2=0, stąd 3*0=2*0. Dzieląc stronami
> przez 3 dostajemy 0=2, co oczywiście nie jest prawdą.

[Gość: Kagan]

petrucchio napisał: Przepraszam, wykasował mi się kawałek tekstu.
Miało być: W tej dziedzinie 3*0=0 oraz 3*2=0, stąd 3*0=2*0. Dzieląc
stronami przez 3 dostajemy 0=2, co oczywiście nie jest prawdą.
Kagan: jesli w matematyce formalnymi sztuczkami mozna uznac za
prawidlowy taki zapis jak 3*2=0, to chyba nie mozna matematyki i jej
adeptow brac na serio... :(

Lepiej napiszę jeszcze raz

[petrucchio]

Pokażę ci prosty przykład w prostszej dziedzinie: liczby całkowite modulo 6. W
tej dziedzinie 3*0=0 oraz 3*2=0, stąd 3*0=3*2. Dzieląc stronami przez 3
dostajemy 0=2, co oczywiście nie jest prawdą. Gdzie tkwi błąd? W przyjętym
implicite założeniu, że dzielenie stronami przez 3 jest w tej dziedzinie legalne.

[Gość: Kagan]

Jesli sa to liczby modulo 6, to obowiazuja w nich zupelnie inne
reguly, i trzeba je zapisywac inaczej i inaczej zapisywac dzialania
na nich!
Na poczatek polecam mniej zorientowanym o co chodzi
pl.wikipedia.org/wiki/Arytmetyka_modularna

[Gość: Kagan]

1. Petrucchio napisał: "-x to skrótowy sposób zapisu (-1)*x. Nikt
nie twierdzi, że -x musi być liczbą ujemną."
Kagan: A wiec czemu ten znak minus ("-"), jesli sam piszesz, ze "-x"
nie musi byc liczba ujemna? Bowiem jesli -x=+x, to +=-
2. Napisales tez 3*2=0. Czyli 6=0. Wiec?
3. Na razie znalazlem jednego niemieckiego Nobliste co sie tymi
gazami zajmowal. To wystarczy do tego, aby potepic komitet od tych
nagrod, jako iz Haberowi owego Nobla nie odebrano, zas nieco pozniej
nadano Nobla (co prawda nie z chemii, ale zawsze Nobla) "Chemicznemu
Winstonowi"... :(

Liczby Grassmanna i bezdroza matematyki

[Gość: Kagan]

A wiec liczby Grassmanna to kolejny przyklad na jakie manowce zeszla
matematyka, ktora zamiast zajac sie weryfikacja dogmatow, na ktorych
zostala arbitralnie oparta setki lat temu, brnie dalej w swe bledy,
spowodowane wlasnie tym, ze na poczatku przyjeto pewne dogmaty aby
ulatwic rachunki, nie zastanawiajac sie nad dlugofalowymi
konsekwencjami przyjecia tychze dogmatow... :( Przykladowo: analiza
matematyczna sprawowala sie dobrze, dopoki fizyka nie zaczela sie na
dobre zajmowac wielkosciami tak bardzo zblizonymi do zera, ze
praktycznie zerowymi, a wtedy pochodne, opierajace sie przeciez na
sprytnym dzieleniu przez zera, ktore schowano za tzw. limesami
(granicami) starcily sens, zaczely sie zas pojawiac nieskonczonosci,
ktore z kolei zaczeto chowac przy pomocy watpliwych procedur typu
renormalizacji, znaki zaczely w magiczny sposob sie zmieniac, jak za
dotknieciem rozdzki czarodziejskiej i wreszcie wymyslono
wielowymiarowe superstruny - tak male, ze nie ma szans na
doswiadczalne stwierdzenie ich istnienia, i fizyka znow stala sie
metafizyka, tyle ze ze znacznie bardziej zlozonym aparatem naukowym -
zamiast dawnej metody literackiej, zastosowano dzis w owej
metafizyce metode matematyczna, ale co z tego, jak dalej wszystko
jest oparte na slepej, nieudowadnialnej wierze, tyle ze nie w Boga,
a w superstruny... :(

[Gość: chyba już rozumiem]

petrucchio napisał:

> Nie liczby zmieniają znaki, tylko znak iloczynu dwóch liczb
Grassmanna zależy o
> d
> kolejności czynników.
> Mnożenie macierzy (zob. tutaj:
> pl.wikipedia.org/wiki/Macierz#Mno.C5.BCenie ) jest w
ogólnym przypadku
> nieprzemienne). Macierze reprezentujące liczby Grassmanna są
kwadratowe (mają
> tyle samo wierszy, co kolumn), a ich mnożenie jest
_antyprzemienne_, co oznacza
> ,
> że jeśli A i B są liczbami Grassmanna, to AB = -BA. Nie ma w tym
nic
> niezwykłego. Jeśli mnożymy liczbę Grassmanna przez jakikolwiek
czynnik
> rzeczywisty lub zespolony k (czyli "zwykłą" liczbę), mamy normalne
mnożenie
> przemienne kA = Ak.

Petrucchio, bardzo dziękuję. Co prawda jeszcze nie mogę powiedzieć,
że wszystko zrozumiałam (muszę poćwiczyć z wiki na jakiś
przykładach), ale już chyba czuję, o co chodzi.


petrucchio 23.11.07, 11:11
> A liczby urojone to naprawdę nic trudnego, za to bardzo pożyteczne.

Że pożyteczne, już wiem. Na nich niestety też się potknęłam podczas
czytania jakiejś książki:( Myślałam nawet o jakimś szkolnym
podręczniku, żeby się douczyć, ale na razie machnęłam reką.
Lecz jeśli tylko masz dość siły i cierpliwości (przypominam o *!)na
wyjaśnienia, byłabym bardzo wdzięczna.

kagan-owski 23.11.07, 11:18
> No ale Heller wierzy w
> Boga, wiec to moze Pan Bog zamienia mu te znaki w liczbach
> Grassmanna?

Bardzo lubię i szanuję Hellera jako pisarza i fizyka. Nie wiem,
jakim jest księdzem, ale gdyby tylko było to fizycznie i technicznie
możliwe, chciałabym bardzo posłuchać jego kazań.

A ja nic nie rozumiem...

[kagan-owski]

P: "jeśli A i B są liczbami Grassmanna, to AB = -BA. Nie ma w tym
nic niezwykłego. Jeśli mnożymy liczbę Grassmanna przez jakikolwiek
czynnik rzeczywisty lub zespolony k (czyli "zwykłą" liczbę), mamy
normalne mnożenie przemienne kA = Ak."
K: Czyli ze liczby Grassmanna nie sa "zwykle', a "niezwykle".
Konkretnie wiec na czym polega ta ich "niezwyklosc"?

[Gość: nie rozumiem]

...o co chodzi z liczbami Grassmanna, ale chyba (chyba = ok 97%
możliwość udzielenia błędnej odpowiedzi) rozumiem, po co one
Hellerowi.

Intuicja podpowiada mi, że może mieć to pewien związek z geometrią
nieprzemienną, którą chyba osobiście bardzo lubi, ponieważ w innej
ze swych ksiązek: "Poczatek jest wszędzie" poświęcił tej własności
działań sporo miejsca, przy okazji podając m.in. świetny przykład z
algebry nieprzemiennej, oparty na relacjach nieoznaczoności
Heisenberga:

"..Mamy wyznaczyć położenie i pęd cząstki elementarnej, powiedzmy,
elektronu. Mierzymy więc jego położenie, na przykład zaczernienie na
kliszy, ale sam akt pomiaru (zderzenie z kliszą) zaburza położenie
elektronu, a więc zmienia jego pęd. Gdy potem mierzymy pęd
elektronu, mierzymy wynik tego zaburzenia.
Wykonajmy teraz to samo doświadczenie, zmieniając kolejność
pomiarów. Mierząc pęd, zaburzamy położenie, wyznaczając potem
położenie, mierzymy wielkość tego zaburzenia. Nic więc dziwnego, że
zmierzyć najpierw położenie, a potem pęd to nie to samo, co zmierzyć
pęd, a następnie położenie - obie sekwencje pomiarów dają inne
wyniki.."

Bardzo przepraszam za swoje "intuicyjne" przypisywanie motywów
użycia pojęcia "liczb Grassmanna" przez Hellera. To tylko
najprostsze z możliwych skojarzeń!:(

[cs137]

kagan-owski napisała:

> O co wiec chodzi? Tak ukochane przez fizykow tensory to tez
> wlasciwie uogolnienie macierzy.

Wydawało mi sie, ze ogólniejszym pojęciem jest macierz.
Czy jakąkolwiek macierz rozmiaru MxN, z M róznym od N, mozna nazwac tensorem?

Pytam, bo mysle, ze nie, ale głowy sobie uciąc nie dam.

[cs137]

mathworld.wolfram.com/Tensor.html
Całe zycie człowiek się uczy.

[Gość: Kagan]

Wiec?
Tylko ten co nic nie robi, nie robi bledow...
pozdr. :)

[kagan-owski]

en.wikipedia.org/wiki/Grassmann_number
Zrozumialem, ze, jesli liczby Grassmanna to np "G", to:
Gi * Gj = - Gj * Gi
Gi^2=0
Calka i rozniczka G sa identyczne
Liczby Grassmanna moga byc przedstawione jako macierze o wymiarach 4
na 4
Szczegoly na: en.wikipedia.org/wiki/Grassmann_number
Niby to rozumiem, ale sie pytam, czemu nie moga byc wiec np. takie
liczby Kagana ("K"), o takiej wlasciwosci, ze n/0, gdzie "n" jest
dowolna liczba (niekoniecznie nawet rzeczywista) = K?
Czyli ze n/0=K.

[petrucchio]

kagan-owski napisała:

> Niby to rozumiem, ale sie pytam, czemu nie moga byc wiec np. takie
> liczby Kagana ("K"), o takiej wlasciwosci, ze n/0, gdzie "n" jest
> dowolna liczba (niekoniecznie nawet rzeczywista) = K?
> Czyli ze n/0=K.

Bo działanie, w którym jednym z argumentów jest zero, a wynik jest niezerowy,
nie jest mnożeniem. Z definicji działań w pierścieniach wynika, że mnożenie nie
musi być przemienne, ale musi być łączne i rozdzielne względem dodawania. A z
rozdzielności wynika natychmiast (sprawdź to sobie sam dla przypomnienia, na
czym polega algebra), że a*0 = 0*a = 0. A ponieważ dzielenie jest z defincji
działaniem odwrotnym do mnożenia, w żadnym pierścieniu nie możesz mieć n/0 = K
dla niezerowego n. Natomiast dzielenie 0/0 nie ma sensu o tyle, że jego wynik
jest nieokreślony, bo KAŻDA liczba pomnożona przez zero daje zero.

[Gość: Kagan]

A czemu to niby "działanie, w którym jednym z argumentów jest zero,
a wynik jest niezerowy, nie jest mnożeniem"? Bo ktos tak, a nie
inaczej zdefiniowal mnozenie. Pamietaj, matematyka nie jest nauka
scisla (zreszta w ogole nie jest nauka), a konkretnym systemem
dedukcyjnym, jednym z mozliwych, ale przeciez nie jedynym.A w
systemach dedukcyjnych , w zaleznosci od tego, jakie przyjmujemy
aksjomaty, takie otrzymujemy wyniki. To jest wrecz elementarne!
Rozumiem, ze ktos tak, a nie inaczej zdefinowal mnozenie, aby obejsc
problem z zerem - wygodnym wynalazkiem, zanim sie nie zacznie przez
nie dzielic... Ktos zdefiniowal zero tak, ze, jak sam piszesz, a*0 =
0*a = 0. I zgoda, ale mozna bylo zero inaczej zdefiniowac, i co
wtedy? Pomyslales kiedys o tym?

[petrucchio]

Gość portalu: Kagan napisał(a):

> A czemu to niby "działanie, w którym jednym z argumentów jest zero,
> a wynik jest niezerowy, nie jest mnożeniem"? Bo ktos tak, a nie
> inaczej zdefiniowal mnozenie.

Tak. Dzięki temu mnożenie ma pewną definicję (ogólniejszą niż definicja mnożenia
liczb rzeczywistych czy zespolonych). To, co nie spełnia tej definicji nie jest
mnożeniem, bo tak się umówiliśmy. Ta definicja wbrew pozorom ma duże znaczenie,
bo z łączności i rozdzielności mnożenia wynikają różne ciekawe rzeczy, a zatem
właśnie łączność i rozdzielność są _istotnymi_ cechami tego działania, po
których rozpoznajemy je jako mnożenie a nie np. psią kupę. Jeśli zmienisz
definicję w ten sposób, że mnożenie nie będzie łączne lub rozdzielne względem
dodawania, to mnożenie przestaje być interesujące. Natomiast definicję mnożenia
spełniają rozmaite działania różne od mnożenia zwykłych liczb. Mnożenie nie musi
np. być przemienne, nie musi mieć elementu neutralnego (jedynki), może też mieć
dzielniki zera, czyli takie liczby niezerowa a i b, że a*b=0 (tyle że na
pierścieniu z dzielnikami zera nie da się skonstruować ciała ułamków).

> Pamietaj, matematyka nie jest nauka
> scisla (zreszta w ogole nie jest nauka), a konkretnym systemem
> dedukcyjnym, jednym z mozliwych, ale przeciez nie jedynym.A w
> systemach dedukcyjnych , w zaleznosci od tego, jakie przyjmujemy
> aksjomaty, takie otrzymujemy wyniki. To jest wrecz elementarne!
> Rozumiem, ze ktos tak, a nie inaczej zdefinowal mnozenie, aby
> obejsc problem z zerem - wygodnym wynalazkiem, zanim sie nie
> zacznie przez nie dzielic... Ktos zdefiniowal zero tak, ze, jak sam
> piszesz, a*0 = 0*a = 0. I zgoda, ale mozna bylo zero inaczej
> zdefiniowac, i co wtedy? Pomyslales kiedys o tym?

Ja uczyłem się algebry na dość zaawansowanym poziomie i dużo o niej myślałem, bo
mnie interesowała. Z tego, co piszesz wyżej, wynika tylko tyle, że masz na
punkcie zera jakąś dziwaczną obsesję, nie widzę natomiast, żebyś sam zrobił to,
do czego mnie zachęcasz, czyli przemyślał rozwiązania alternatywne. Zero jest
zdefiniowane jako element neutralny dodawania: a+0 = 0+a = a, koniec, kropka.
Jest to jedyna istotna, aksjomatyczna cecha zera. To, że mnożenie przez zero
daje zero, nie jest aksjomatem, który możemy sobie usunąć z systemu i zastąpić
innym, ale logiczną konsekwencją powyższego równania i właściwości mnożenia. To,
że a*0 = 0*a = 0 nie jest ZAŁOŻENIEM, tylko TWIERDZENIEM, które można UDOWODNIĆ.
Dowód pozostawiam tobie, ale jeśli nie będziesz sobie mógł z nim poradzić,
chętnie dopomogę. Nie wiem, jak ciebie, ale mnie tego uczono w liceum, w klasie
mat.-fiz.

[kagan-owski]

Znow schodzisz na poziom "dokopania" temu, co ma inne zdanie niz ty.
Niewazne, ze a*0 = 0*a = 0 nie jest ZAŁOŻENIEM, tylko TWIERDZENIEM,
które można UDOWODNIĆ, ale ze to twierdzenie jest oparte na
nieudowadnialnym aksjomacie, mianowicie takim iz zero jest
zdefiniowane jako element neutralny dodawania: a+0 = 0+a = a.
I oto wlasnie mi chodzi - z zalozenia, ktore nie jest udowadnialne
wyprowadza sie wielki gmach, ktory sie jednak zawala, gdy sie
przyjmie inne, rownie dobre, zalozenie, np. iz zero NIE jest
neutralnym elementem dodawania, ze jest tylko rodzajem sztuczki
technicznej ulatwiajacej liczenie i niczym wiecej...

[kagan-owski]

A wiec jakie sa wedlug ciebie konsekwencje przyjecia aksjomatu o
tym, iz zero NIE jest elementem neutralnym dodawania:
a+0 NOT= 0+a NOT= a (przynajmniej dla niektorych "a")?

[petrucchio]

kagan-owski napisała:

> A wiec jakie sa wedlug ciebie konsekwencje przyjecia aksjomatu o
> tym, iz zero NIE jest elementem neutralnym dodawania:
> a+0 NOT= 0+a NOT= a (przynajmniej dla niektorych "a")?

Takie coś jest czymś innym, nie zerem, i nie odpowiada czyjejkolwiek intuicji
zera. Możesz zadziwiać ludzi stwierdzeniami typu "pies to krowa", a potem
wyjaśniać, że w twoim prywatnym języku słowo "pies" oznacza krowę (w końcu nazwa
to rzecz umowna), ale to oznaczałoby odejście od porozumiewania się po polsku.
Podobnie jeśli powiesz "zero" na coś, co dla nikogo innego nie jest zerem,
odchodzisz od ogólnie przyjętego języka matematyki. Możesz sobie zbudować na
własny użytek inną arytmetykę opartą na innych (byle niesprzecznych)
aksjomatach, ale nie myl jej z arytmetyką ogólnie używaną. Działanie, # w którym
a#0 NIE= a, może być czym chcesz, ale nie jest dodawaniem. Od dodawania wymaga
się z definicji, żeby było łączne, przemienne i miało element neutralny
(oznaczany właśnie jako 0, jeśli mówimy o liczbach, ale może to być np. wektor
zerowy lub macierz zerowa dla dodawania działającego w innej dziedzinie). Z
takim dodawaniem można robić różne ciekawe rzeczy, np. konstruować grupy abelowe.

[Gość: Kagan]

Przepraszam bardzo, ale czy mowimy tu o intuicji, czy o nauce? I
jesli cos odpowiada tylko mojej intucji, to znaczy, ze jestem nikim
(zerem?)? I czy teraz wreszcie widzisz, na jakich kruchych
fundamentach jest zbudowany gmach matematyki, jessli wszystko, do
czego mozesz sie odwolac w jej obronie, to INTUICJA?
petrucchio napisał: Takie coś jest czymś innym, nie zerem, i nie
odpowiada czyjejkolwiek intuicji zera.

[petrucchio]

Gość portalu: Kagan napisał(a):

> I czy teraz wreszcie widzisz, na jakich kruchych
> fundamentach jest zbudowany gmach matematyki, jessli wszystko, do
> czego mozesz sie odwolac w jej obronie, to INTUICJA?
> petrucchio napisał: Takie coś jest czymś innym, nie zerem, i nie
> odpowiada czyjejkolwiek intuicji zera.

A jakże krucho musi być z tobą, skoro czepiasz się słówek i uparcie uprawiasz
demagogię? Nie powiedziałem, że intuicja jest jedyną podstawą do definiowania
zera. Zwracam ci tylko uwagę, że aby komunikować się z matematykami, musisz
wykazać choć odrobinę dobrej woli w sprawie ogólnie przyjętej terminologii.
Istnieje pewien konsensus w sprawie tego, jakiego typu obiekt matematyczny
możemy nazwać zerem. Nie każdy obiekt spełnia te wymagania. Możesz przyjść i
powiedzieć: "A dla mnie zerem jest liczba 297481,927. A co, nie wolno mi?
Definicje są umowne, a ja tak się umawiam sam ze sobą. I co z tego, że ta liczba
nie jest elementem neutralnym dodawania? W mojej kaganowskiej arytmetyce zero
jest tym, czym ja chcę, żeby było." Możesz to wszystko zrobić, tylko nie udawaj,
że chcesz się z kimkolwiek dogadać. Przede wszystkim nie zdefiniowałeś żadnej
spójnej arytmetyki według aksjomatów własnego pomysłu, więc nie masz do
zaoferowania żadnej alternatywnej koncepcji, a jedynie mielenie językiem po
próżnicy. Sformalizuj swoje pomsły, to będzie można o nich sensownie dyskutować.
W przeciwnym razie szkoda czasu.

[Gość: Kagan]

Nie czepiam sie slowek. Jesli zero jest oparte glownie na intuicji,
to wybacz, ale z nauka niewiele ma wspolnego... Nie jestem
matematykiem, ale to nie znaczy, ze nie moge krytkowac jej podstaw.
Nie musze sformulowac alternatywnej matematyki, aby krytykowac, a
nawet obalic istniejaca. Wystarczy, ze wykaze, iz w jednym chocby
miejscu jej podstawy sa falszywe. I mysle, ze to wlasnie wykazalem,
(zreszta nie ja pierwszy) wskazujac na to, iz zero nie posiada, bo i
nie moze, w ramch istniejacej matematyki, posiadac porzadnej,
naukowej definicji, to jest definicji opartej na czyms wiecej niz
tylko intuicji...

[Gość: nie rozumiem]

Przepraszam za wtrącenie się do Waszej dyskusji, ale też mam pewne
wątpliwości związane z "naginaniem" matematyki do potrzeb chwili:

Pewnych dwóch panów podczas poszukiwań kwantowej teorii grawitacji
postanowiło oprzeć się na metodzie rachunkowej całkowania po drogach
Feynmana.
W ich modelu semikwantowym (Hartle-Hawking), we wszystkich wzorach,
odnoszących się do ery przedplanckowskiej obaj panowie, mnożąc
współrzędną t przez pierwiastek z -1 zamienili (niewygodną w
liczeniu?) czasoprzestrzeń w zwykłą przestrzeń Euklidesa, tyle
tylko, że z dodatkowym, 4 wymiarem przestrzeni. Za pomocą tego
niezwykle prostego zabiegu usunęli sobie coś takiego, co nazywamy
osobliwością początkową (w chwili t=0 czas się urywa).
Co im to dało? W ich modelu nie ma czasu i zwyczajnie nie ma się co
urywać.

W jakim stopniu dozwolone jest "mieszanie" prawami matematycznymi w
celu uzyskania zgodności oczekiwanych rezultatów (uzasadnionych
przekonujacym dowodem matematycznym) z założeniami teoretycznymi?

[Gość: Kagan]

To mi przypomina tego profesora ekonomii, co podczas wielkiego
krzyzsu lat 1930tych zaczynal wyklady od "zalozmy, ze nie ma
bezrobocia". On sobie usuunal z rozwazan te niewygodne dla niego
bezrobocie, a fizycy usuneli sobie ze swych rownan czas, ktorego
istoty wciaz nie rozumieja, a ukrywaja te swa ignorancje za bariera
skomplikowanych rownan, rownam, ktore zreszta niczego nie
rozwiazuja...

[Gość: nie rozumiem]

Chyba niedokładnie napisałam, przepraszam:
nie rozumiem po prostu, na ile dopuszczalnymi w matematyce są tego
rodzaju "manipulacje" np. wzorami - opieramy się na którymś z nich w
poczatkowym etapie, modyfikując (!)jeden z elementów, by całość
podpasować do własnej teorii, następnie prowadzimy obliczenia po to,
by w etapie końcowym wrócić do pierwotnej, oryginalnej wersji wzoru.
Pewnie wszystko jest ok, ale nie rozumiem:(

[Gość: Kagan]

Jak pisalem - matematyka to jeden z wielu miozliwych systemow
dedukcyjnych, opartych na arbitralnie przyjetych, calowicie
nierealistycznych zalozeniach, np. ze punkt nie ma wymiarow a linia
nie ma szerokosci. W zwiazku z tym punktu, a nawet linii zobaczyc
nie mozna, o czym w szkole sie uczniom nie mowi. A operowanie na
MODELACH punktow czy linii to nie to samo co operowanie na punktach
i prostych - np. przez kropke, bedaca MODELEM punktu mozna
przeprowadzic tylko OGRANICZONA ilosc REALNYCH linii (bedacych
MODELAMI abstrakcyjnych linii). A nawet bardzo duza ilosc tych
linnii jest nieskonczenie mniejsza od ilosci abstrakcyjnych linii o
zerowej szerokosci, ktore mozna przeprowadzic przz abstrakcyjny,
bezwymiarowy punkt. Jak widac, matematyka oparta jest na oszustwach
i niedopowiedzeniach, stad nie dziwi mnie, ze ksiadz uprawiajacy
fizyke bawi sie liczbami zmniniajacymi swe zanki jak za dotknieciem
rozdzki czarodziejskiej czy tez z woli Ducha Swietego (co zreszta na
jedno i to samo wychodzi)...

nieletni do roboty !

[kala.fior]

..hmm.. spróbuj zamiast 'linia' lub 'punkt' używać określenia 'obiekt typu 1' i
'obiekt typu 2'. I używaj nadal tych samych definicji matematycznych co przedtem.

Może to ci jako odblokuje myślenie abstrakcyjne.

A poza tym, dlaczego nie można przeprowadzić nieskończonej ilości
'rzeczywistych' linii, poprzez istniejący punkt? Na przykład krechy ołówkiem
poprzez plamę zupy na obrusie? Parę lat temu, moi mali nie mieli by z tym kłopotu.

[Gość: Kagan]

Zmiana nazwy nic nie zmieni. W rzeczywstosci nie ma ani punktow ani
linii. Plama to zas nie punkt, bo ma realne rozmiary. Abstrakcja dla
samej absttrakcji nie ma zas sensu. Ty sobie zas odblokuj kulture
dyskusji... :(

[Gość: nie rozumiem:(]

kagan-owski napisała:
> en.wikipedia.org/wiki/Grassmann_number

Byłam.
Ten niedokończony klucz wiolinowy to chyba w matematyce nazywa się
całka(?) A ta niewykończona posadzka w szachownice to zapewne
to "proste" pojęcie macierzy(?).
Przepraszam za wątek, lekcje matematyki powinnam zacząć od tabliczki
mnożenia, a nie od liczb Grassmanna.

[petrucchio]

Gość portalu: nie rozumiem:( napisał(a):

> Przepraszam za wątek, lekcje matematyki powinnam zacząć od
> tabliczki mnożenia, a nie od liczb Grassmanna.

Tabliczka mnożenia też może być trudna i dziwna. Na przykład przy mnożeniu
modulo 6 (na chłopski rozum, kiedy zamiast zwykłej liczby naturalnej bierzesz
resztę z jej podzielenia przez 6), 3*3=3 (reszta z dzielenia 9 przez 6 wynosi
3), a 3*2=2*3=0 (czyli istnieją dzielniki zera, jak w każdej dziedzinie modulo
n, jeśli n nie jest liczbą pierwszą). A w ogóle to nie przejmuj się. Nie ma
głupich pytań. Odpowiedzi bywają głupie.

[Gość: nie rozumiem:(]

Petrucchio napisał:
> Tabliczka mnożenia też może być trudna i dziwna.
(..)
> A w ogóle to nie przejmuj się. Nie ma
> głupich pytań. Odpowiedzi bywają głupie.

"nie przejmuj się.."! truizm, którym możemy ew. podpierać własne
niedostatki intelektualne.
Z czasów szkolnych zostało mi:
- matematyka jest najbardziej logiczną z nauk
- jeśli znasz podstawy, nie ma żadnego problemu, by pogłębiać swą
wiedzę
- jeśli tylko jest chęć zrozumienia, nie istnieją bariery w poznaniu
któregokolwiek ze zjawisk/praw fizycznych

Wniosek: matematyka jest nauką prostą -> mam potrzebę poznania
pewnych zjawisk -> nie jestem w stanie ich zrozumieć -> jestem
głupia/mam duże braki -> muszę zacząć od podreczników

[Gość: gość]

Liczby to potocznie składają się z cyfr.Przydałoby się wyjaśnić,jaka jest
interpretacja czasoprzestrzenna lub fizyczna tych "liczb" bo macierze to mogą
istnieć albo nie,bez znaczenia.

[harovoj]

istotną rzeczą jest
> to, że niektóre liczby przy zmianie kolejności ich mnożenia przez
> siebie zmieniają znak (w naukowym żargonie mówi się wówczas, że
> takie dwie superliczby antykomutują). Własność ta jest niezwykle
> ważna z punktu widzenia interpretacji fizycznej.."
> za: M. Heller "Kosmologia kwantowa", s.64

zmiana kolejności czego nie strony w działaniu , zmiana strony w równaniu też
zmienia znak liczyby, do opisu łamania symetrii, kwantowych fluktuacji próżni
wystarczy rachunek prawdopodobieństwa, po co tu te "pseudorównania" Grassmana,
odbicie w lustrze też zmienia strony, lustrzana materia, lustrzana matematyka;)
i inne cuda na patyku, wszechswiat nie jest matematyczny tylko fizyczny,
matematyka to tylko przybliżenie.

wszechswiat nie jest matematyczny tylko fizyczny

[Gość: Kagan]

I tu sie zgadzam z "harovojem". Ludzie nie mysla (na poziomie
swiadomym) cyfrowo (digital) tylko analogowo. Stad matematyka jest
dla 99% ludzi czym obcym. Kierowca samochodu, widzac przeszkode, nie
rozwiazuje w mysli w sposob swiadomy rownan rozniczkowych (to jest
nie zdaje sobie sprawy ze je rozwiazuje), bowiem dochodzi do
rozwiazania (na ogol poprawnego - tu mowa o tym jak mocno i jak
dlugo naciskac na pedal hamulca) metoda analogowa, a nie cyfrowa,
czyli ta ukochana przez matematykow. Stad nigdy nie da sie
spopularyzowac matematyki w spoleczenstwie, dopoki matematycy beda
sie upierac przy cyfrach i swej hermetycznej, choc czesto
wewnetrznie sprzecznej notacji i metodach numerycznych. Przyszlosc
nauczania matematyki to metody analogowe, w tym graficzne, i
odejscie od dotychczasowej arogancji klanu maatematykow na rzecz
poszukiwania kontaktu z niematematyczna wiekszoscia...

Pan ksiadz M. Heller

[Gość: leonard3]

Pan ksiadz M. Heller. Nie moge uwierzyc. Wy zapiekli ateisci i
czytacie ksiazki jakiegos klechy? Ha,ha,ha,ha,ha,ha

[Gość: Kagan]

Ja nie czytam. Ksiadz moze sie dzis znac na mszy, ale nie na fizyce.
Jesli sie wierzy w Boga, to musi wystarczyc metafizyka i wiara w
cuda...

[Gość: Kagan]

Jak juz pisalem - matematyka to tylko jeden z wielu mozliwych
systemow dedukcyjnych, opartych na arbitralnie przyjetych, calowicie
nierealistycznych zalozeniach, np. ze punkt nie ma wymiarow a linia
nie ma szerokosci. W zwiazku z tym punktu, a nawet linii zobaczyc
nie mozna, o czym w szkole sie uczniom nie mowi. A operowanie na
MODELACH punktow czy linii to nie to samo co operowanie na punktach
i prostych - np. przez kropke, bedaca MODELEM punktu mozna przeciez
przeprowadzic tylko OGRANICZONA ilosc REALNYCH linii (bedacych
MODELAMI abstrakcyjnych linii). A nawet bardzo duza ilosc tych
MODELOW linii jest nieskonczenie mniejsza od ilosci abstrakcyjnych
linii o zerowej szerokosci, ktore mozna przeprowadzic przez
abstrakcyjny, bezwymiarowy punkt. Jak widac, matematyka oparta jest
na oszustwach i niedopowiedzeniach, stad nie dziwi mnie, ze ksiadz
uprawiajacy fizyke bawi sie liczbami zmnieniajacymi swe znaki jak za
dotknieciem rozdzki czarodziejskiej czy tez z woli Ducha Swietego
(co zreszta na jedno i to samo wychodzi)... :(

Hej, ile razy można...

[petrucchio]

... wklejać ten sam długawy tekst?

Link nie wystarczy?

[Gość: Kagan]

A kto otwiera linki na tym forum, ktore "chodzi" coraz wolniej,
bowiem Michnik, bankrutujac, wyzbywa sie cichcem serwerow?... ;)

[petrucchio]

Gość portalu: Kagan napisał(a):

> A kto otwiera linki na tym forum, ktore "chodzi" coraz wolniej,
> bowiem Michnik, bankrutujac, wyzbywa sie cichcem serwerow?... ;)

No to oszczędzaj dostępne zasoby pamięci ;)

[Gość: Kagan]

Ja nic nie poradze na to, ze Michnik plajtuje.