Kostka z drutu

[cardemon]

Masz dowolna ilosc, dowolnej dlugosci giętkiego drutu. Do tego lutownicę i
lut. Chcesz z tego drutu zrobic sześcian. Drut mozesz dowolnie przyginac i
ucinac. Jaka jest najmniejsza ilosc lutowań potrzebnych do konstrukcji tego
szescianu? A jaka jest najmniejsza liczba zawartych w nim oddzielnych
kawałków drutu?

Powodzenia,
CdM

[marchewa4]

cardemon napisał:

> A jaka jest najmniejsza liczba zawartych w nim oddzielnych
> kawałków drutu?

Da sie zrobic z dwoch kawalkow drutu (wyszlo mi wtedy 8 lutowan).
Nad minimalizacja lutowan jeszcze pomysle ;-)

M.

[Gość: johndoe]

zagadka nie jest chyba taka trudna /przynajmniej na pierwszy rzut oka/. jezeli jedna krawedz moze byc tylko z jednego kawalka drutu /a tak sadze myslal CdM/ to biorac pod uwage, ze do kazdego wierzcholka dochodza 3 krawedzie musi byc min. 8 lutowan. drut moze byc w 2 kawalkach np. z jednego kawalka robimy dwie asiednie sciany, z drugiego tez i po zlozeniu mamy rozwiazanie.
o wiele ciekawsze zadanie to byloby dla innych figur.
np. dla osmioscianu /mam na mysli 2 zlozone podstawami ostroslupy o podstawie czworboku/, dwunastoscianu czy dwudziestoscianu foremnych.
moze ktos zastanowi sie jak bedzie wtedy rozwiazanie?

[marchewa4]

Gość portalu: johndoe napisał(a):

> o wiele ciekawsze zadanie to byloby dla innych figur.
> np. dla osmioscianu /mam na mysli 2 zlozone podstawami ostroslupy o podstawie
> czworoboku/

Dla takiego osmioscianu wystarczy jeden kawalek drutu, ale lutowac i tak trzeba
we wszystkich wierzcholkach.

M.

PS. Jesli w danym wierzcholku spotykaja sie wiecej niz dwie krawedzie (a dla
wieloscianow jest tak zawsze), to trzeba w tym wierzcholku lutowac, zeby
polaczenie bylo trwale. Chyba, ze zle rozumiem potrzebe lutowania w tym zadaniu.

[Gość: Andy]

Rzeczywiście wygląda na to, że liczba lutowań równa się liczbie wierzchołków,
czyli problem sprowadza się do minimalizacji liczby drutów dla zadanej figury.

Mozna tez zagadnienie odwrócić:
Jaki najmniejszy (w sensie liczby ścian) wielościan da się zrobić z jednego
kawałka drutu? Mnie się udało sklecić sześciościan.
Pozdr. A.

[kuala_lumpur]

Przypomniało mi się zadanie z fizyki, którego nie mogłem nijak wtedy rozwiązać:
mamy kostkę z drutu, której krawędź ma dany opór. Jaki będzie opór całek kostki
jesli przyłożymy napięcie na przeciwległych wierzołkach kostki; albo na
sąsiednich wierzchołkach. Chętnie poznałbym rozwiązanie tej zagadki - ja
skapitulowałem.

pozdro

[kopperek]

Opor wyniesie 5*R/6.
Spojrzmy na trzy krawedzie wychodzace z wierzcholka
wyjsciowego (A): na ich przeciwnych koncach potencjal
bedzie identyczny ze wzgledu na symetrie ukladu - czyli
koncowki te zwieramy uzyskujac uklad trzech opornikow
jednostkowych (R) polaczonych rownolegle. Uzyskujemy w
ten sposob "wirtualny" punkt A' (w rzeczywistosci
odpowiadajacy trzem roznym - ale zwartym - wierzcholkom
szescianu), opornosc pomiedzy A i A' wynosi oczywiscie
R/3.
Analogicznie uzyskujemy uklad trzech rownoleglych
opornikow na krawedziach stykajacych sie w wierzcholku
koncowym (ozn. B i punkt wirtualny B', rezystancja miedzy
tymi punktami to znowu R/3). No i teraz pozostaje
zauwazyc, ze od punktu A' do B' mozemy sie dostac poprzez
jedna z szesciu pozostalych krawedzi szescianu. Czyli
mamy uklad szesciu rownoleglych rezystancji
jednostkowych.
Opornosc calkowita wwyniesie wiec R/3 + R/6 + R/3, w
sumie 5R/6.

Pozdrawiam Kopperek

[cardemon]

kopperek napisał:

> Opor wyniesie 5*R/6.

Brawo! Szkoda, ze Kuala_lumpur nie przedstawil tego jako oddzielnego zadania.

CdM

[Gość: Baton]

Nie bardzo moge sie zgodzic...
8 lutowan - to dosc oczywiste
Jesli chodzi o kawalki drutu,
to pojawiaja sie pytanie
czy zakladamy minimalizacje ilosci drutu
czyli kazda krawedz moze byc zrobiona
(lub wchodzic w sklad) TYLKO z 1 kawalka,
czy minimalizacja nie jest konieczna, a co
za tym idzie przed jedna krawedz drut moze
"przechodzic" kilka razy....
W tym pierwszym przypadku nie da sie
zrobic tego w mniej niz 4 kawalkach,
w drugim.... wystarczy 1... :-)))

[cardemon]

Gość portalu: Baton napisał(a):

> Nie bardzo moge sie zgodzic...
> 8 lutowan - to dosc oczywiste

Zgadza sie. Bez osmiu zlutowań w kazdym narozniku calość się niechybnie rozleci.

> Jesli chodzi o kawalki drutu,
> to pojawiaja sie pytanie
> czy zakladamy minimalizacje ilosci drutu
> czyli kazda krawedz moze byc zrobiona
> (lub wchodzic w sklad) TYLKO z 1 kawalka,
> czy minimalizacja nie jest konieczna, a co
> za tym idzie przed jedna krawedz drut moze
> "przechodzic" kilka razy....

Zdecydowanie kazda krawedz ma sie skladac z JEDNEGO, POJEDYNCZEGO drutu.
To ma bys ładna i zgrabna "kostka". W rozwiazaniu JohnaDoe dwie krawędzie sa
podwojne, a dwie "domyslne", obawiam sie, ze w rozwiazaniu Marchewy sa te
same "niedostatki".

> W tym pierwszym przypadku nie da sie
> zrobic tego w mniej niz 4 kawalkach,
> w drugim.... wystarczy 1... :-)))

Mnie tez wyszlo, ze potrzebne beda cztery kawalki. Ale jest sposob na zrobienie
tej "kostki" z jednego kawalka. I zastrzegam, ze zadna krawędz nie jest
podwojna i wszystkie krawedzie sa na swoim miejscu w tym sześcianie. Jak to
zrobic?

pzdr. CdM


Uwaga, proba rysunku (' to wolna przestrzen). Jak rysunek wyjdzie, to
moze nawet bedzie mozna narysowac rozwiazanie. Jesli nie wyjdzie, to
przepraszam za bazgroł. :)

''----------
'/|''''''''/|
-----------'|
|'|'''''''|'|
|'--------|-|
|/''''''''|/
----------

[marchewa4]

cardemon napisał:

> Zdecydowanie kazda krawedz ma sie skladac z JEDNEGO, POJEDYNCZEGO drutu.
> To ma bys ładna i zgrabna "kostka". W rozwiazaniu JohnaDoe dwie krawędzie sa
> podwojne, a dwie "domyslne", obawiam sie, ze w rozwiazaniu Marchewy sa te
> same "niedostatki".

Podwojne owszem sa. Jakos mi to umknelo. Ale "domyslnych" nie ma.
Wyglada, ze faktycznie bez 4 kawalkow sie nie da.

> Uwaga, proba rysunku (' to wolna przestrzen). Jak rysunek wyjdzie, to
> moze nawet bedzie mozna narysowac rozwiazanie. Jesli nie wyjdzie, to
> przepraszam za bazgroł. :)

Jak ktos chce zobaczyc ten rysunek, to albo trzeba sobie wkleic do jakiegos
edytora i wybrac czcionke nieproporcjonalna, albo wybrac opcje "odpowiedz
cytujac" dla postu Cardemona. Czcionka edytora postow jest tu odpowiednia.
(ale pewnie i tak wszyscy to wiecie ;-))

Pozdrawiam

M.

[marchewa4]

cardemon napisał:

> Mnie tez wyszlo, ze potrzebne beda cztery kawalki. Ale jest sposob na
> zrobienie tej "kostki" z jednego kawalka. I zastrzegam, ze zadna krawędz nie
> jest podwojna i wszystkie krawedzie sa na swoim miejscu w tym sześcianie. Jak
> to zrobic?

Popatrzmy na wierzcholki kostki. Z kazdego wychodzi nieparzysta liczba
krawedzi, a jest ich osiem. Kazda figura jednobiezna moze miec co najwyzej 2
wierzcholki, z ktorych wychodzi nieparzysta liczba krawedzi. Poniewaz skladamy
kostke z figur jednobieznych potrzebujemy ich co najmniej 4.
Zeby zlozyc kostke z jednego kawalka trzeba by wprowadzic dodatkowe krawedzie
(np. przekatne scian bocznych). Wlasciwie spelnia zalozenia: kazda krawedz jest
na swoim miejscu i zadna nie jest podwojna ;-)

M.

[Gość: johndoe]

cardemon napisał:

> To ma bys ładna i zgrabna "kostka". W rozwiazaniu JohnaDoe dwie krawędzie sa
> podwojne, a dwie "domyslne", obawiam sie, ze w rozwiazaniu Marchewy sa te
> same "niedostatki".

bije sie w piersi:). blad a nawet wielblad. sa u mnie dwie krawedzie podwojne /zadnych domyslnych/
obiecuje, ze bylo to przedostatni raz:)
pzdr

[Gość: Andy]

cardemon napisał:

> Ale jest sposob na zrobienie tej "kostki" z jednego kawalka.
Rysunek w kroju proporcjonalnym jest czytelny.
Co do rozwiązania, to przychodzi mi tylko na myśl podział jednego kawałka na
cztery co sprowadza zagadnienie do już rozwiązanego :)
Pozdr. A.

[Gość: michal]

a mozna isc "po przekatnych"?

[cardemon]

Tez bije sie w piersi. Mnie rowniez umknely pewne krawedzie i wyszly mi z
nich "domyslne". Cofam te "domyslne" (to dla Marchewy i JohnaDoe).

marchewa4 napisał:

> (...) Z kazdego wychodzi nieparzysta liczba
> krawedzi, a jest ich osiem. Kazda figura jednobiezna moze miec co najwyzej 2
> wierzcholki, z ktorych wychodzi nieparzysta liczba krawedzi. Poniewaz
> skladamy kostke z figur jednobieznych potrzebujemy ich co najmniej 4.
> Zeby zlozyc kostke z jednego kawalka trzeba by wprowadzic dodatkowe krawedzie
> (np. przekatne scian bocznych). (...)

Bardzo dobra analiza problemu! I to jest tez odpowiedz na pytanie Michala.
Jesli robic te kostke z jednego jedynego kawalka drutu, to bez przekatnych sie
nie obedzie.

CdM

[cardemon]

No to ile tych "przekatnych" potrzeba, by zrobic kostke z jednego kawalka
drutu? Lutowania sie juz nie licza. :)))

[marchewa4]

cardemon napisał:

> No to ile tych "przekatnych" potrzeba, by zrobic kostke z jednego kawalka
> drutu? Lutowania sie juz nie licza. :)))

No to 3. A lutowan ciagle tyle samo ;-)

M.

[cardemon]

marchewa4 napisał:

> No to 3. A lutowan ciagle tyle samo ;-)

Mnie tez tak wychodzi. Szescian mozna zrobic z jednego kawalka drutu, pod
warunkiem, ze wprowadzi sie trzy przekatne tu i ówdzie. Lutowac trzeba osiem
razy, na to nie ma sily. :)
Jesli ktos ma lepsze rozwiazanie to bardzo zachecam do przedstawienia go na tym
forum.

Euleren Grafen

[Gość: mrEuler]

Najprościej skorzystać z grafu Eulerowskiego.
1.Narysuj graf o ośmiu krawędziach stopnia trzeciego (każda krawędź łączy się z trzema innymi. To jest sześcian.
2. Spraw, aby ten graf stał się grafem eulerowskim, to znaczy takim w którym "każdy wierzchołek grafu z wyjątkiem najwyżej dwóch ma parzysty stopień" przez dorysowanie jak najmniejszej ilości linii.
2a. Jako, że jest 8 wierzchołków, a lina może łączyć najwyżej dwa wierzchołki ze sobą, trzeba ich dorysować
(8-2)/2=3 linie.

[Gość: Bartek]

Trzeba zlutować 2 razy.