przekładanie kart

[Gość: Krzyś]

Witajcie
Jak zwykle prosze osoby znające zadanie, o zaciągnięcie kilkudniowego hamulca :-)

Na sali stoją dwa stoliki karciane, przy każdeym z nich stoi operator. Na
pierwszym znajduje się 46 dowolnych kart, na drugim 45. Na obu stolikach
układamy ze wszystkich kart dowolną ilość kupek, w każdej kupce może znajdować
się dowolna liczba kart. Liczba kupek i liczba kart w kupkach na obu stolikach
może być różna.
Jeden ruch polega teraz na wzięciu prez operatora po jednej karcie z każdej z
kupek (jeśli w kupce była jedna karta, to ją bierzemy likwidując tym samym
kupkę) i stworzeniu ze wszystkich wziętych kart nowej kupki. To samo wykonuje
drugi operator przy swoimk stoliku.
No i teraz problem: czy powtarzanie tych ruchów na obu stolikach doprowadzi
nas do jednego konkretnego końcowego układu kart w kupkach, stanowiącego
niejako limes ciągu ruchów, czy też układ kart po każdym z ruchów będzie inny,
a ewentualne powtórzenia układów będą przypadkowe i nieregularne? Czy różnica
jednej karty spowoduje, że wyniki na obu stolikach będą różne???

[Gość: grzesiek]

Dla liczby 45 znalazłem stabilny układ dziewięciu kupek z następującym
rozkładem: 1,2,3,4,5,6,7,8,9 kart. Po osiągnięciu tego stanu kolejne
przekładania juz go nie zmieniają.
Dla liczby 46 istnieje powtarzalny cykl dziesięciu układów.

Na oko wydaje się że każda sytuacja początkowa zbiegnie się w końcu do
stanu końcowego, ale nie wiem jak to wykazać.

[Gość: Uważny]

Ponieważ na stoliku liczba kart jest stała, a dana liczbę można przedstawić w
postaci sumy składników na skończoną liczbe sposobow, wiec musi nastąpić
powtórzenie ktoregoś zestawu skladnikow, choc nie konecznie musi wystapić
zestaw początkowy. Startujac z pozycji 15+2 otrzymujemy kolejno
14+1+2 ->13+1+3->12+2+3 i td i dochodzimy do 5+1+2+4+5 i po następnych 6
krokach te skladniki sie powtorzą ( w innej kolejności).
Jezeli "wyjsciowa" liczba kart jest 1/2 n(n+1) to dojdziemy do sumy 1+2+3+...+n
i już w następnym kroku dostaniemy tę samą sumę.
Dla 46 otrzymamy sumę 2+2+3+4+5+6+7+8+9,która powtorzy sie po 10 krokach
Przypomina to trochę ułamki okresowe, w ktorych okres nie zawsze rozpoczyna sie
zaraz po przecinku.

[Gość: Krzyś]

Ale na stoliku z 45 kartami dojdziemy, jak pokazał Grzesiek) do stabilnego
układu który się będzie powtarzał po każdym ruchu. Czy tak samo będzie na drugim
stoliku?

[Gość: Uwazny]

Krzysiu! rzecież własnie o tym pisałewm.Dla 46 dojdziesz do 2+2+3+4+5+6+7+8+9 i
to samo otrzymasz po dalszych 10 operacjach i ten cykl będzie sie juz
powtarzał, bo wykonujesz te same operacje(sprawdź). Do stabilnego stanu
dojdziesz(jak Grzesiek) jedynie przy liczbie kart na stoliku równej sumie
kolejnych liczb naturalnych 1,3,6,10,15,21,28,36, 45, 55 itd Dla innych liczb
takiego stanu nie otrzymasz. Pobaw sie startując od jednej kupki kart i
dostrzezesz pewne prawidlowosci.Nastepnie te sama liczbę rozloż na dwie części
i znowu dojdziesz do cyklu, jak poprzednio.

[Gość: Krzyś]

Tak jest dokładnie, może nie doczytałem
tylko się sprawdza przy liczbach trójkątnych

[Gość: Uważny]

Można wykazać,że dla kazdej liczby kart dojdziemy do sumy tworzącej liczbę
trójkatną z dodatkowym składnikiem - będącym różnicą danej liczby i mieszczącej
sie w niej największej liczbie trójkatnej. Tak Twoje 46 można przedstawić jako
1+(1+2+3+4+5+6+7+8+9), zas 47 podobnie z dodatkowym 2, 48 z dotakowym 3 itd.
Potem wystąpi cykl o długości zależnej od liczby trójkatnej( zawarte w danej).
Ciekawe, skąd Ci przyszło do glowy to zagadnienie?

[Gość: Krzyś]

przeczytane oczywiście
rozwiązanie tam podane jest identyczne z Twoim :-)