Problem matrymonialny

[cardemon]

Mamy trzy rodziny. W kazdej z nich są dwie córki i dwóch synów
(pełnoletnich :)). Ile jest mozliwości na skojarzenie par małżeńskich wśród
tych trzech rodzin?

Powodzenia,

CdM

PS. Oczywiscie zakładamy, ze kazirodztwo nie wchodzi w rachubę, wszyscy są
heteroseksualni i nikt nie przeprowadził operacji płci.
(Uwaga! Zagadka wcale nie jest taka prosta na jaką wyglada)

Problem matrymonialny - proba wyniku

[marchewa4]

Tak na szybko wyszlo mi 80, ale jeszcze sprawdzam ;-)

Pozdrawiam

M.

[andy._]

Co to właściwie znaczy "Ile jest mozliwości na skojarzenie par"?
Mi się nasuneło proste rozwiązanie 6 córek x 4 synów do wyboru = 24.
Ponieważ Cardemon pisze: Uwaga! Zagadka wcale nie jest taka prosta na jaką
wygląda, to pewnie chodzi o jakąś kombinatorykę, ale wtedy na intuicję wyjdzie
więcej niż 80 (chociaż intuicja jest często zawodna w takich zadaniach).
Niestety muszę teraz trochę popracować, chociaż uważam, że doprecyzowanie
zadania by się przydało

Pozdr. A.

[marchewa4]

andy._ napisał:

> Co to właściwie znaczy "Ile jest mozliwości na skojarzenie par"?

To moze ja napisze, jak zrozumialem:
Mamy 6 synow i 6 corek. Jedno (pelne) skojarzenie, to okreslenie 6
heteroseksulanych niekazirodczych par dla tych 12 osob. Ile jest takich roznych
(pelnych) skojarzen?

I przy takim rozumieniu tresci dostalem w wyniku 80 skojarzen.

Pozdrawiam

M.

[cardemon]

marchewa4 napisał:

> To moze ja napisze, jak zrozumialem:
> Mamy 6 synow i 6 corek. Jedno (pelne) skojarzenie, to okreslenie 6
> heteroseksulanych niekazirodczych par dla tych 12 osob. Ile jest takich >
> roznych (pelnych) skojarzen?
>
> I przy takim rozumieniu tresci dostalem w wyniku 80 skojarzen.


Dokładnie własnie to miałem na myśli, a 80 jest również moją liczbą. Moje
gratulacje!

pzdr. CdM

PS. Swoją drogą nie udało mi się wyprowadzić ogólnego wzoru dla k rodzin
posiadających l synów (i tyle samo córek). Czy ktoś potrafiłby to zrobić?

[grzk]

cardemon napisał:

> PS. Swoją drogą nie udało mi się wyprowadzić ogólnego wzoru dla k rodzin
> posiadających l synów (i tyle samo córek). Czy ktoś potrafiłby to zrobić?

Kiedys rozwiazalem zadanie, ktore sprowadzalo sie do problemu dla l=1.
Nie bede cytowal tresci zadania, bo nie wniosloby to niczego nowego.
Wzor X(k,1) = k!* sum((-1)^i)/i!.
W zadaniu, o którym pisze chodzilo o prawdopodobienstwo, wynik o tyle ciekawy,
ze limP(k) = 1/e
W dalszym ciagu otwarty jest problem wzoru ogolnego dla problemu
matrymonialnego - moge tylko potwierdzic, ze X(k=3,l=2) = 80

zycze wszystkim pogodnych Swiat
Grzegorz

[vortex]

mi wychodzi inaczej, rozpatrzmy to tak.
Mamy pierwszą rodzinę
1 brat ma 4 możliwości
2 brat już ma tylko 3 bo jedna odpadła wyżej
1 siostra ma analogicznia 4
2 siostra jak wyżej 3
Zostały 2 dziewczyny i 2 chłopaków nie w parach, i tu są 2 możliwości albo tej
samej płci są w 1 rodzinie albo obie płci są w. Jak na przemiennie to to siłą
rzeczy jest dalej tylko jedno rozwiazanie. Jak jedna płeć w danej rodzinie to
możliwości jest 4
(4*3*4*3)*pozostała możliwość=144*pozostała możliwość
z tego co mi się wydaje pozostała możliwość to będzie (4+1) czyli 5
144*5 to 720.
Wydaje mi się że robię błąd jeżeli chodzi o interpretacje "kompletów" ale
jeszcze nie sprawdziłem. To co napisałem wydaje mi się logiczne jednakże innym
wychodzi inaczej. Proszę o ekentualną korektę mojego rozumowania. Pozdrawiam.

Zastanawia mnie fakt że już licząc możliwości dla 1 rodziny wychodzi liczba
powyżej 80. Wyjaśnijcie mi to albo przyznajcie mi rację :P

[vortex]

przepraszam popełniłem bład, powinny być 2 możliwości zamiast 4, więc w
nawiasie będzie 2+1 czyli 3
Po przeliczeniu wyjdzie 432 możliwości a nuie 720
Jeżeli ktoś by się zastanawiał dlaczego wziąłem pod uwagę tylko przypadek
kiedy zostają po dwie osoby w pozostałych rodzinach to odpowiadam że tylko w
takim przypadku nie zostaje para kazirodcza.
Pozdrawiam.

[grzk]

vortex napisał:

> mi wychodzi inaczej, rozpatrzmy to tak.
> Mamy pierwszą rodzinę
> 1 brat ma 4 możliwości
> 2 brat już ma tylko 3 bo jedna odpadła wyżej
> 1 siostra ma analogicznia 4
> 2 siostra jak wyżej 3
> Zostały 2 dziewczyny i 2 chłopaków nie w parach, i tu są 2 możliwości albo
tej
> samej płci są w 1 rodzinie albo obie płci są w. Jak na przemiennie to to siłą
> rzeczy jest dalej tylko jedno rozwiazanie. Jak jedna płeć w danej rodzinie to
> możliwości jest 4

Nie wszystkie ze 144 mozliwosci prowadza do poprawnego rozwiazania.
Rozwaz przypadek, gdy pozostale dziewczyny i chlopaki naleza do jednej rodziny
(wszystkie osoby, ktore pozostaly). Nie mozna wtedy znalezc dla nich par i
dlatego wzor:
> (4*3*4*3)*pozostała możliwość=144*pozostała możliwość
(a konkretnie 144) nie jest dobry.

pozdrawiam,
grzk

[vortex]

racja, czyli trzeba tak to policzyć żeby wykluczyć 4 osoby z jednej rodziny, 3
i 1. ponieważ tylko po 2 osoby z rodzin dają dalej rozwiązanie. Na oko szanasa
zeby byly 4 = 1/4, po 2 = 1/4 a 1 i 3 oraz 3 i 1 razem można policzyć jako 1/2
tak więc po 2 to 1/4 więc w cały wzór trzeba to dać
wychodzy 4*3*4*3*3*1/4=27*4=108
czy znowu gdzies się mylę?
Pozdrawiam

[grzk]

vortex napisał:

> racja, czyli trzeba tak to policzyć żeby wykluczyć 4 osoby z jednej rodziny,
3
> i 1. ponieważ tylko po 2 osoby z rodzin dają dalej rozwiązanie. Na oko
szanasa
> zeby byly 4 = 1/4, po 2 = 1/4 a 1 i 3 oraz 3 i 1 razem można policzyć jako 1/2
> tak więc po 2 to 1/4 więc w cały wzór trzeba to dać
> wychodzy 4*3*4*3*3*1/4=27*4=108
> czy znowu gdzies się mylę?
> Pozdrawiam
>
Sorry, ale nic nie rozumiem.

Ja liczyłem tak:
Najpierw policzyłem dla 2 rodzin. Są 4 układy spełniające warunki zadania (I) i
16 takich (II), że dwie pary są kazirodcze (nie ma takich, że jest dokładnie 1
para kazirodcza)
Teraz dokładam trzecią rodzinę.
z każdego układu (I) otrzymuję "2 z 4"*2 dobrych układów,
z każdego układu (II) otrzymuję 2 dobre układy, zamieniając wybranych synów z
synami z trzeciej rodziny.
W sumie: 16*6*2+16*2 = 80

Pozdrawiam,
grzk

[vortex]

hehe ja Ciebie też nie rozumiem :P
Ja to robię tak:
biorę 1 rodzinę i po koleji patrzę ile układów może mieć
1 siostra ma 4 możliwości (pozostałe 2 rodziny, razem 4 kandydatów)
2 siostra ma już tylko 3 możliwości (4 kandydatów - 1 zajęty przez siostrę)
analogicznie z synami 4 i 3
(4*3*4*3)=szanse dla 1 rodziny na znalezienie par wśród 2 pozostałych rodzin
jak to już wykonamy to musimy się pozbyć wszystkuch "nieładnych" układów czyli
takich które nie pozwalają dalej tworzyć układy. Żeby dalej rozwiązać zadanie
muszą zostać po 2 osoby z każdej rodziny.
żeby to policzyć musiałbym teraz wypisać wszystkie możliwość bo próbowałem
policzyć w pamięci lub jakimś wzorem i się gubię cały czas. Jestem pewien że
będzie to wyglądało następująco:
144*(szansa na trafienie po 2 z pozostałych rodzin)*3(jako dalsze możliwości
kiedy już będzie po 2 z pozostałych rodzin)
Czyli 432 * (szansa na trafienie po 2 z pozostałych rodzin)
Z tego co widze mamy 3 równouprawnione możliwości (ile osób zostanie z jednej
rodziny):
4 z jednej
3 z jednej
2 z jednej

czyli wydaje mi się że ta szansa to będzie 1/3
432*1/3 = 144

jedyne miejsce gdzie (według mnie) mogę robić błąd to liczenie tej szansy na
trafienie "po 2 z każdej rodziny"
przedtem dałem na oko 1/4, teraz wydaje mi się że będzie to 1/3, pewność będę
miał po rozpisaniu możliwości. Ale pewnien jestem że to będzie ta szansa * 432.
Pozdrawiam
PS. wiem że namieszałem ale pisałem ten list na raty (ciągle ktoś chciał coś
zrobić na kompie i chowałem to do paska) :P

[grzk]

Przyznaje, że mój wywód był skomplikowany - chciałem z rekurencji przejść do
wzoru ogólnego ale się pogubiłem.
Spróbuję dostosować się do Twojego rozumowania:
Pierwszy syn ma 4 możliwości wyboru, drugi syn wybierze córkę z tej
samej rodziny co brat (1 możliwość - przypadek A), lub z innej (2 możliwości -
przypadek B)
W przypadku A (załóżmy, że synowie z R1 wybrali córki z R2) córki z pierwszej
rodziny muszą wybrać braci (tzn. synów z jednej rodziny R3), inaczej nie ma
rozwiązania, czyli mają 2*1 możliwości wyboru, z pozostałych potomków (2 córki,
2 synów) można utworzyć pary na 2 sposoby.
W przypadku A jest (4*1)*(2*1)*2 =16 możliwości
W przypadku B córki z pierwszej rodziny (R1) muszą wybrać synów z różnych rodzin
(inaczej nie ma rozwiązania) pierwsza wybiera z 4, druga z 2. Pozostali mogą
stworzyć parę tylko na jeden sposób.
W przypadku B jest (4*2)*(4*2) = 64 możliwości
W sumie (A+B): 16 + 64 = 80

pozdrawiam i życzę pogodnych Świąt
Grzegorz

[vortex]

Bardzo logiczne i wygląda na poprawne. Twoje rozumowanie mnie przekonało.
Postaram się jednak w wolnej chwili sprawdzić czy moje jest całkowicie błedne.

Wesołych Świąt

PS moje rozumowanie byłoby zgodne z Twoim gdyby możliwość "po 2" (jak ją
nazwałem) wynośiła 5/27
432*5/27=80
Możliwe więc jest to że po prostu z powodu braku chęci do rozpisania
możliwości zbyt bardzo to zaokrągliłem. :)