Drabina w korytarzu

[republican]

Korytarz o szerokosci A skreca pd katem prostym i rozszerza sie na B.
Obliczyc maksymalna dlugosc drabiny ktora mozemy przeniesc tym
korytarzem.

[Gość: mat]

( A plus B )x pierwiastek z dwóch.

[kornel-1]

Gość portalu: mat napisał(a):
> ( A plus B )x pierwiastek z dwóch.

A w korytarzu o wysokości H?

Dołóżmy trzeci wymiar!
k.

[horpyna4]

I dopiero wtedy zagadka będzie "życiowa". Przecież przy takim
przenoszeniu przez wąski zakręt drabinę się unosi jednym końcem do
góry wręcz odruchowo...

[Gość: mat]

Jeżeli mój wynik potraktujesz jako przyprostokątną i H jako drugą
przyprostokątną to drabina ma długość przeciwprostokątnej.

[republican]

Rozwiazmy najpierw oryginalne zadanie, odpowiedz powyzej jest
nieprawidlowa .
Pozniej zamienimy drabine na plyte o szerokosci S ktora jest
nieskonczenie sztywna i nieskonczenie cienka.
W dodatku wysokosc korytarza bedzie H>S.
Zabronimy uzywania calek, OK?

[Gość: mat]

Jeżeli na układzie współrzednych róg korytarza ma współrzedne (B,A)
to drabina jest prostą o współczynniku kierunkowym -1 i przechodzącą
przez punkt (A,B). Długość jej musi być (A+B)x2^1/2.

[republican]

Gość portalu: mat napisał(a):

> Jeżeli na układzie współrzednych róg korytarza ma współrzedne
(B,A)
> to drabina jest prostą o współczynniku kierunkowym -1 i
przechodzącą
> przez punkt (A,B). Długość jej musi być (A+B)x2^1/2.

Ze wzoru wynika ze drabina jest pod katem 45 stopni w obydwoch
segmentach korytarza.
To istnieje tylko dla A=B

[kornel-1]

Ja to widzę TAK.

Kornel

[Gość: mat]

Tak własnie. I jest to największa drabina w korytarzu.

[republican]

Gość portalu: mat napisał(a):

> Tak własnie. I jest to największa drabina w korytarzu.


A co Kornel widzi?

[kornel-1]

republican napisał:
> A co Kornel widzi?

No cóż, widzę, że drabina (A+B)*sqrt(2) nie zmieści się.

Kornel

[kornel-1]

republican napisał:
> Ze wzoru wynika ze drabina jest pod katem 45 stopni w obydwoch
> segmentach korytarza.
> To istnieje tylko dla A=B

Hm. Pod kątem 45 stopni drabina może być przy dowolnych A,B. Ale rozumiem, że
masz na myśli, iż maksymalna długość drabiny jest równa (A+B)*SQRT(2) TYLKO dla
A=B. Gdy A=/=B maksymalna długość drabiny jest ciut mniejsza od (A+B)*SQRT(2).
Gdy przez (A+x) i (B+y) oznaczę odcinki odcięte na ścianach "zewnętrznych"
korytarza przez drabinę na oparta na narożniku, to otrzymuję straszliwą funkcję:

D2 = x2 + 2Ax + (2AB2)/x + (AB)2/x2 + A2 +B2

:-(
Na razie ugryzłem ją tylko excelowsko.

Kornel

[Gość: mat]

Jeżeli przez punkt (A,B) poprowadzicie pęk prostych to zauważcie, że
tylko jedna drabina jest najmniejsza. Ta pod kątem 45 i ona tylko
pozwoli się przemieszczać po korytarzu.

[kornel-1]

Gość portalu: mat napisał(a):

> Jeżeli przez punkt (A,B) poprowadzicie pęk prostych to zauważcie,
> że tylko jedna drabina jest najmniejsza. Ta pod kątem 45 i ona
> tylko pozwoli się przemieszczać po korytarzu.

Hm. Mam odmienne zdanie. Aby wykazać, że jest inaczej można postąpić na 3 sposoby.

1) Zbudować model i podjąć próbę przeciśnięcia drabiny
2) Obliczyć minimum funkcji podanej przeze mnie
3) Podać przykład zaprzeczający

Wybieram 3)
Przyjmij =1, B=2
Wówczas, ze wzoru D=(A+B)*SQRT(2) mamy 3*SQRT(2) = 4.242641...

A teraz przyjmij x= 1.6 wówczas (patrz rysunek) A+x=2.6 zaś y wyliczymy z podobieństwa trójkątów:
A:1.6 = y:B stąd y=1.25
Długość drabiny Dmax=SQRT[(A+1.6)^2 +(B+1.25)^2]= 4.162030...

Więc Dmax<D

Kornel

[Gość: mat]

Rzeczywiście (....)

[kornel-1]

kornel-1 napisał:
> Gdy przez (A+x) i (B+y) oznaczę odcinki odcięte na ścianach
> "zewnętrznych" korytarza przez drabinę na oparta na narożniku,
> to otrzymuję straszliwą funkcję:
> D2 = x2 + 2Ax + (2AB2)/x + (AB)2/x2 + A2 +B2

No... nie powiem, by liczenie pochodnej D' przebiegło łatwo, w końcu 20 lat
minęło, odeszło w cień... ;-)
D' = 0 <=> x^3=AB^2 (lub x=-A)


Dla A=1, B=2 mamy x= 1.5874... ~ 1.6, czyli wartość, którą wskazałem w
przykładzie dla mata.

Pozostaje wyliczyć długość drabiny...
Może ktoś mnie wyręczy?
k.

[republican]

kornel-1 napisał:

> kornel-1 napisał:
> > Gdy przez (A+x) i (B+y) oznaczę odcinki odcięte na ścianach
> > "zewnętrznych" korytarza przez drabinę na oparta na narożniku,
> > to otrzymuję straszliwą funkcję:
> > D2 = x2 + 2Ax + (2AB2)/x + (AB)2/x2 + A2 +B2
>

Bravo
Zamiast sraszliwej funkcji mozna
D=A/sinG+B/cosG
gdzie G kat miedzy drabina a lewa sciana na rysunku Kornela.
Pochodna d/dG jest dosyc latwa a pozniej zaleznosci trygonometryczne
miedzy sin a cos "upraszczaja" to jako tako.
> No... nie powiem, by liczenie pochodnej D' przebiegło łatwo, w
końcu 20 lat
> minęło, odeszło w cień... ;-)
> D' = 0 <=> x^3=AB^2 (lub x=-A)
>
>
> Dla A=1, B=2 mamy x= 1.5874... ~ 1.6, czyli wartość, którą
wskazałem w
> przykładzie dla mata.
>
> Pozostaje wyliczyć długość drabiny...
> Może ktoś mnie wyręczy?
> k.