Zagadnienie Newtona jeszcze raz

[republican]

Wiercimy tunel od bieguna Polnocnego do Bieguna Poludniowego.
Zakladajac ze mamy przedmiot o masie m, brak tarcia, brak oporu
powietrza i rownomierna gestosc Ziemi rowna sredniej gestosci Ziemi
Jaka bedzie szybkosc przedmiotu gdy dotrze do srodka Ziemi?
Czy dotrze do Bieguna Poludniowego?

Extra punkty za obliczenie czasu podrozy.

[republican]

republican napisał:

> Wiercimy tunel od bieguna Polnocnego do Bieguna Poludniowego.
> Zakladajac ze mamy przedmiot o masie m, brak tarcia, brak oporu
> powietrza i rownomierna gestosc Ziemi rowna sredniej gestosci Ziemi
> Jaka bedzie szybkosc przedmiotu gdy dotrze do srodka Ziemi?
> Czy dotrze do Bieguna Poludniowego?
PS
Ponoc Newton dal bledna odpowiedz na to pytanie ale sie do tego nie
przyznal.
>
> Extra punkty za obliczenie czasu podrozy.
>

[smiechowiec]

republican napisał:
> Wiercimy tunel od bieguna Polnocnego do Bieguna Poludniowego.
> Zakladajac ze mamy przedmiot o masie m, brak tarcia, brak oporu
> powietrza i rownomierna gestosc Ziemi rowna sredniej gestosci Ziemi
> Jaka bedzie szybkosc przedmiotu gdy dotrze do srodka Ziemi?
> Czy dotrze do Bieguna Poludniowego?
> Extra punkty za obliczenie czasu podrozy.
Jeśli przyjmiemy, że Ziemia jest układem inercjalnym to lot powinien odbywać się po linii prostej.
Jeśli odległość od środka Ziemi do bieguna N jest taka sama co do bieguna S to ciało dotrze do drugiego bieguna.
Wartości liczbowe na prędkość w środku Ziemi można podać na podstawie porównania energii kinetycznej i potencjalnej na powierzchni i w środku.
Na powierzchni mamy mgR w środku chyba około 1.5 * mgR więc
0.5 mgR = 0.5 mv^2
v = pierwiastek(gR)
Czas lotu do środka można wyliczyć całkując s(v)/v od R do 0.

[republican]

Wspaniale!
Po podstawieniu znanych wielkosci otrzymujemy
v=7900 m/sec czyli pierwsza szybkosc kosmiczna (dlaczego?)

[smiechowiec]

> Wspaniale!
Dziękuję za fanfary, ale byłem pierwszy tylko dlatego, że na
wakacjach kumacze nie zawsze mają dostęp do netu.

> Po podstawieniu znanych wielkosci otrzymujemy
> v=7900 m/sec czyli pierwsza szybkosc kosmiczna (dlaczego?)
Faktycznie, ciekawa sprawa, można sprawdzić
Siła dośrodkowa = mg,
odśrodkowa m * v^2 / R
Dla orbity kołowej wystaczy ich równość więc
v^2 / R = g => v = pierwiastek(gR)
co faktycznie przypomina prędkosć po swobodnym spadku do środka.

[republican]

smiechowiec napisał:

> > Wspaniale!
> Dziękuję za fanfary, ale byłem pierwszy tylko dlatego, że na
> wakacjach kumacze nie zawsze mają dostęp do netu.
>
> > Po podstawieniu znanych wielkosci otrzymujemy
> > v=7900 m/sec czyli pierwsza szybkosc kosmiczna (dlaczego?)
> Faktycznie, ciekawa sprawa, można sprawdzić
> Siła dośrodkowa = mg,
> odśrodkowa m * v^2 / R
> Dla orbity kołowej wystaczy ich równość więc
> v^2 / R = g => v = pierwiastek(gR)
> co faktycznie przypomina prędkosć po swobodnym spadku do środka.

Jestes bardzo skromny,Twoje zdolnosci analityczne sa legendarne.
Jak nie zlapiemy tego przedmiotu gdy pokaze sie nam na biegunie
poludniowym to bedziemy miec cos w rodzaju wahadla, prawda?
Jaka bedzie czestotliwosc tego wahadla a stad czas opadania?

[smiechowiec]

He, he, dzięki za legendarną zachętę :)
Legendą tego forum jesteś Ty wraz z Cardemonem i Ulerem.

> Jaka bedzie czestotliwosc tego wahadla a stad czas opadania?
Nie za bardzo wiem jak to ugryźć od tej strony.
Dla wahadła stosujemy rachunek przybliżony dla małych wychyleń, dla
przypadku gdy siła jest proporcjonalna do wychylenia.
Tu chyba zależność siły nie jest liniowa więc trzeba policzyć.
Przyjmując
G = 0.0000000000667
M = 5978000000000000000000000
R = 6378000
czas spadania z powierzchni Ziemi do środka wynosi około 1267 sek
czyli jakieś 21 minut,
okres jest 2 razy większy wynosi więc jakieś 42 minuty.

[republican]

smiechowiec napisał:

> He, he, dzięki za legendarną zachętę :)
> Legendą tego forum jesteś Ty wraz z Cardemonem i Ulerem.
>
> > Jaka bedzie czestotliwosc tego wahadla a stad czas opadania?
> Nie za bardzo wiem jak to ugryźć od tej strony.
> Dla wahadła stosujemy rachunek przybliżony dla małych wychyleń,
dla
> przypadku gdy siła jest proporcjonalna do wychylenia.
> Tu chyba zależność siły nie jest liniowa więc trzeba policzyć.
> Przyjmując
> G = 0.0000000000667
> M = 5978000000000000000000000
> R = 6378000
> czas spadania z powierzchni Ziemi do środka wynosi około 1267 sek
> czyli jakieś 21 minut,
> okres jest 2 razy większy wynosi więc jakieś 42 minuty.
Bravo!
Odpowiedz jest poprawna.
Podaj prosze wzor ktory uzyles do jej otrzymania.
Czytam teraz "Rocket Men" Nelsona o Apollo 11 i chce obliczyc ten
czas na Ksiezycu.

[smiechowiec]

> Podaj prosze wzor ktory uzyles do jej otrzymania.
Niestety to mnie chyba przerasta, jak znajdę więcej czasu to
postaram się to po ludzku zapisać.

> Czytam teraz "Rocket Men" Nelsona o Apollo 11 i chce obliczyc ten
> czas na Ksiezycu.
Dla Księżyca przyjmując
R = 1737200
M = 73500000000000000000000
można wyliczyć coś w granicach 1624 sek co stanowi jakieś 27 minut
więc okres będzie jakieś 54 minuty.
Wygląda to trochę paradoksalnie bo promień mniejszy a czas dłuższy
niż dla Ziemi,
no ale przyspieszenie chyba jest mniejsze, a prędkość w środku to
zaledwie 1680 m/s

[republican]

smiechowiec napisał:

> > Podaj prosze wzor ktory uzyles do jej otrzymania.
> Niestety to mnie chyba przerasta, jak znajdę więcej czasu to
> postaram się to po ludzku zapisać.
>
> > Czytam teraz "Rocket Men" Nelsona o Apollo 11 i chce obliczyc ten
> > czas na Ksiezycu.
> Dla Księżyca przyjmując
> R = 1737200
> M = 73500000000000000000000
> można wyliczyć coś w granicach 1624 sek co stanowi jakieś 27 minut
> więc okres będzie jakieś 54 minuty.
> Wygląda to trochę paradoksalnie bo promień mniejszy a czas dłuższy
> niż dla Ziemi,
> no ale przyspieszenie chyba jest mniejsze, a prędkość w środku to
> zaledwie 1680 m/s

Dostalem zawrotu glowy od tych zer, mamy tu latwiej:
nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/moonfact.html
Podaj wzor prosze, moze uda sie nam rozwiklac ten paradoks.

[smiechowiec]

republican napisał:
> Podaj wzor prosze, moze uda sie nam rozwiklac ten paradoks.
No może ...

Myślę, że wzór mógłby wyglądać mniej więcej tak :
czas lotu z powierzchni do środka Ziemi (kuli) =
Pi * R / (2 * pierwiastek(GM/R))

[republican]

smiechowiec napisał:

> republican napisał:
> > Podaj wzor prosze, moze uda sie nam rozwiklac ten paradoks.
> No może ...
>
> Myślę, że wzór mógłby wyglądać mniej więcej tak :
> czas lotu z powierzchni do środka Ziemi (kuli) =
> Pi * R / (2 * pierwiastek(GM/R))

Hmmm
1. Dlaczego mamy tu Pi?
2. Czy sila przyciagania GM jest stala podczas spadania ?
3. Po podstawieniu jednostek to tego wzoru powinnismy otrzymac czas
w sekundach, a mamy
SQRT(kG/sek^2)

[smiechowiec]

>1. Dlaczego mamy tu Pi?
A dlaczego nie ? :)
Wydaj mi się, że całka z 1 / sqrt(R^2 - r^2) to arcsin(r/R),
a w granicach R do 0 mamy
arcsin(0) to w przybliżeniu 0,
a arcsin(1) to chyba około Pi/2.


>2. Czy sila przyciagania GM jest stala podczas spadania ?
Moim zdaniem iloczyn stałej grawitacji i masy Ziemi jest stały,
ale nie wydaje mi się, że wyraża on siłę.


>3. Po podstawieniu jednostek to tego wzoru powinnismy otrzymac czas
w sekundach, a mamy SQRT(kG/sek^2)
Nie twierdzę, że ten wzór jest poprawny, prawdopodobnie mogłem pomylić się w czasie wyprowadzania.
Podstawiając z grubsza mamy
R - promień Ziemi w m
M - masa Ziemi w kg
G - stałą grawitacji N * (m^2 / kg^2)

Pi * R / (2 * pierwiastek(GM/R))
wyraża się zatem
m / sqrt([N * (m^2 / kg^2) * kg / m )
N = kg * (m / s^2)
więc
m / sqrt(kg * (m / s^2) * (m^2 / kg^2) * kg / m )
m / sqrt ( m^2/ s^2) = m / ( m/ s) = 1 / ( 1/ s) = s
więc teoretycznie mogło by się to zgadzać,

[republican]

Czolem
Po pierwsze nie wiem dlaczego ale czytajac Twoja odpowiedz
zalozylem ze G to g (9,81m/sec^2).
Oczywiscie Go to stala grawitacji
pl.wikipedia.org/wiki/Sta%C5%82a_grawitacji
Po drugie rownanie Newtona na sile F =G Mm/R^2 jest wazne gdy R
jest wielokrotnie wieksze od wymiarow cial M i m.
Wydaje mi sie ze musimy tez miec odleglosc miedzy tymi cialami.
W naszym przypadku mamy przedmiot o masie m WEWNATRZ M.
Intuicja mowi mi ze gdy zalozymy ze r to odleglosc miedzy srodkiem
Ziemi a m, wowczas bedziemy musieli wyrazic mase Ziemi jako M(r).
Nie jestem pewny jak to zrobic.
jaki jest twoj komentarz na to?
Pozdrowienia

[smiechowiec]

Widzę, że chyba chcesz wyprowadzenie wzorów, podczas gdy reszta forumowiczów serfuje ...

>czytajac Twoja odpowiedz zalozylem ze G to g (9,81m/sec^2).
Tak też myślałem, ale to już ustaliliśmy :)

>G to stala grawitacji
Zgadzam się.

>Po drugie rownanie Newtona na sile F =G Mm/R^2 jest wazne gdy R
>jest wielokrotnie wieksze od wymiarow cial M i m.
Pozwolę sobie nie zgodzić się z Tobą do końca.
To równanie obowiązuje dla kul zewnętrznych względem siebie,
czyli np człowiek jest przyciągany przez Ziemię z siłą równą jego ciężarowi mg = GmM/R^2.
Jak sam wspomniałeś, wewnątrz wydrążonej kuli, ciało nie jest przez tę kulę przyciągane.
Zatem w każdym punkcie wewnętrznym planety przyciąga nas kula o promieniu równym bieżącej odległości ciała od środka tej kuli.
Przyjmijmy więc oznaczenia zakładamy, że kula jest jest idealna i ma stałą gęstość, mówiąc kula mamy na myśli Ziemię (ewentualnie inną planetę), wszelkie opory ruchu pomijamy,
R - promień kuli
r - bieżąca odległość ciała od środka kuli
M - masa kuli
M(r) - masa kuli o promieniu r = M * r^3 / R^3
v(r) - prędkość jaką osiągnie ciało swobodnie spadające z powierzchni planety do odległości r od jej środka.

img17.imageshack.us/img17/7579/tunel02.gif
Miłego wieczoru :)

[republican]

Dobry wieczor
Dziekuje za wytlumaczenie Twojego rozumowania.
Mam inna, prostsza metode bez rachunku calkowego ktora podaje inna
zaleznosc ale zdumiewajaco odpowiedzi numeryczns sa te same.
PS
Pracuje nad piekielnie trudnym problemie w dziedzinie
microprocesorow i bede zajety przez pare dni.
Odpisze wkrotce.
Dzieki jeszcze raz
Good night

[Gość: Krzyś]

Jestem przemęczony po dłuuugim powrocie z wakacji, ale jeśli mamy przewierconą
planetę to siła przyciągania, nawet na powierzchni, nie będzie działała na ciało
"pionowo w dół". Dokładnie w tym kierunku nie będzie przecież żadnej
przyciągającej masy, otwór będzie wypełniony powietrzem.
Ale pewnie się mylę.

[Gość: Krzyś]

"Zatem w każdym punkcie wewnętrznym planety przyciąga nas kula o promieniu
równym bieżącej odległości ciała od środka tej kuli."

Ale chyba jednocześnie coraz bardziej będzie nas hamować zwiększająca się masa,
którą zostawiamy "za plecami"

[smiechowiec]

Gość portalu: Krzyś napisał(a):
>mamy przewierconą planetę to siła przyciągania,
>nawet na powierzchni, nie będzie działała na ciało "pionowo w dół".
>Dokładnie w tym kierunku nie będzie przecież żadnej
>przyciągającej masy, otwór będzie wypełniony powietrzem.
Zakładamy, że w otworze jest próżnia nie ma tarcia i oporów
powietrza.
Wpływ grawitacyjny takiej dziury pomijamy, ale oczywiście masz rację
ścisłe należałoby odjąć od przyciągania ziemskiego przyciąganie
wynikające ze słupa wyciętej materii.
Z drugiej strony kopiąc taką dziurę to skałę (również roztopioną)
należało by wysypać na powierzchnię
więc całkowita masa Ziemi nie uległa by zmianie.
Zakładając, że otwór ma średnicę 2m długość 12800 km, trzeba przyjąć
średnią gęstość Ziemi i policzyć masę takiego walca.
Mi wydaje sie, że wpływ grawitacyjny może być do pominięcia.

Gość portalu: Krzyś napisał(a):
> "Zatem w każdym punkcie wewnętrznym planety przyciąga nas kula o
promieniu
> równym bieżącej odległości ciała od środka tej kuli."
> Ale chyba jednocześnie coraz bardziej będzie nas hamować
zwiększająca się masa,
> którą zostawiamy "za plecami"
Właśnie nie trzeba tego uwzględniać, gdyż skoro we wnętrzu pustej
kuli siły pochodzące od skorupy się równoważą, to wystarczy
uwzględnić jedynie kulę, która wypełnia hipotetyczną pustą
przestrzeń wewnątrz.

[Gość: Krzyś]

Właśnie nie trzeba tego uwzględniać, gdyż skoro we wnętrzu pustej
kuli siły pochodzące od skorupy się równoważą, to wystarczy
uwzględnić jedynie kulę, która wypełnia hipotetyczną pustą
przestrzeń wewnątrz.

Tak, napisałem zanim pomyślałem, co u mnie jest bardzo częste. Od razu
poprosiłem o wykasowanie tego, ale jakoś zostało :-)

[republican]

Wiem ze obieclem Smiechowcowi mojaode ale czasu brak.
Ale powiedzmy ze mamy otwor pod katem Alfa do "pionu" N-S.
Pomijajac tarcie na sciany boczne co sie bedzie dziac z nasza masa
m?

[smiechowiec]

> Wiem ze obieclem Smiechowcowi...
Cieszę się że pamiętasz, ale pośpiechu nie ma.
Ciekawi mnie też ten trudny problem z mikroprocesorem.
Fajnie by było jakby w przypływie wolnego czasu udało Ci się
wspomnieć i o tym.

> Ale powiedzmy ze mamy otwor pod katem Alfa do "pionu" N-S.
> Pomijajac tarcie na sciany boczne co sie bedzie dziac
> z nasza masa m?
Mniej więcej to samo co poprzednio.
W pierwszej facie ciało będzie przyspieszało, aż osiągnie najniższy
punkt (tzn najbliżej środka),
a następnie będzie zwalniać, aby po drugiej stronie zatrzymać się na
chwilę.
Można to porównać do wjazdu autem do tunelu, po pewnym kątem.
Jedziemy na luzie, tarcia i oporów brak, koła są nieważkie.
Najpierw jedziemy "w dół" ale pod coraz mniejszym katem, potem
wyjeżdżamy z tunelu jadąc "pod górkę".

[republican]

smiechowiec napisał:

> > Wiem ze obieclem Smiechowcowi...
> Cieszę się że pamiętasz, ale pośpiechu nie ma.
> Ciekawi mnie też ten trudny problem z mikroprocesorem.
> Fajnie by było jakby w przypływie wolnego czasu udało Ci się
> wspomnieć i o tym.
>
Otoz ten mikroprocessor steruje operacja przekaznika zabezpieczenia
linii wysokiego napiecia powiedzmy 500 kV .
W razie zwarcia na tej linii powinien spowodowac jej wylaczenia.
W mojej sytuacji mikroprocessor dostaje czkawki raz na dwa tygodnie,
miesiace lub co pare dni.
Wyeliminowalem zaklocenie elektromagnetyczne, jest cos w programie.
Jestem teraz na wygnaniu na obczyznie i szukam problemu.
> > Ale powiedzmy ze mamy otwor pod katem Alfa do "pionu" N-S.
> > Pomijajac tarcie na sciany boczne co sie bedzie dziac
> > z nasza masa m?
> Mniej więcej to samo co poprzednio.
> W pierwszej facie ciało będzie przyspieszało, aż osiągnie
najniższy
> punkt (tzn najbliżej środka),
> a następnie będzie zwalniać, aby po drugiej stronie zatrzymać się
na
> chwilę.
> Można to porównać do wjazdu autem do tunelu, po pewnym kątem.
> Jedziemy na luzie, tarcia i oporów brak, koła są nieważkie.
> Najpierw jedziemy "w dół" ale pod coraz mniejszym katem, potem
> wyjeżdżamy z tunelu jadąc "pod górkę".
Czyli mamy wahadlo o okresie ktory jest funkcja gestosci Ziemi.
Tymczasem.....
R

[republican]

Otoz Smiechowcu z dawna obiecane:
Mamy x z punktem zerowym w srodku Ziemi
r dystans obiektu od srodka ziemi , wiec
x=+-rcosA,

gdzie A jest katem miedzy kierunkiem do srodka tunelu
a osia pionowa
Wiec sila dzialajaca na obiekt to
F=-GmM(r)r^(-2) G stala grawitacji m-masa obiektu

M(r) masa czesci Ziemi o promieniu r
Czyli
M(r)=(4Pi/3)dr^3 d gestosc Ziemi
Wiec
F=-(4/3) PidGmr
Skladowa sily wzdluz tunelu to
FcosA
Wiec mx”=FcosA=-(4/3)PidGmx
Nasz obiekt porusza sie jak oscylator liniowy
X”=-k^2x
Gdzie
K^2=(4/3)PidG
Polokres oscylacji czyli podroz w jednum kierunku to
Pi?k
Czyli czas podrozy jest funkcja tylko gestosci i
Stalej grawitacji i niezalezny od dlugosci tunelu!!!
Czyli dlugosc podrozy z Warszawy do Nowej Zelandii
jes taka sama jak z Warszawy do Zakopanego!!! Ha,ha
PS
Klopot znalazlem, kombinacja Software i zaklocenia EM-
-
Takie te ciarachy tworde, trza by stoc i walic w
morde.

[republican]

Przepreaszam
ma byc
Polokres oscylacji czyli podroz w jednum kierunku to
Pi/k

[smiechowiec]

Dzięki za wyjaśnienie, ale jeśli można się jeszcze w tym nieco
zagłębić to odpowiedz mi na 2 pytania.

republican napisał:
> Nasz obiekt porusza sie jak oscylator liniowy
Mógłbyś podać uzasadnienie, bo wydaje mi się, że takie założenie
jest słuszne jedynie dla małych wychyleń.

> Czyli czas podrozy jest funkcja tylko gestosci i
> Stalej grawitacji i niezalezny od dlugosci tunelu!!!
Czy w związku z tym, dobierając odpowiednio promień kuli, można
przekroczyć prędkość światła ?

Pozdrawiam i gratuluję uporania się z zakłóceniami.

[republican]

>
> republican napisał:
> > Nasz obiekt porusza sie jak oscylator liniowy
> Mógłbyś podać uzasadnienie, bo wydaje mi się, że
takie założenie
> jest słuszne jedynie dla małych wychyleń.
Zaczynam z v=0 na biegunie Polnocnym konczymy z v=0
na Poludniowym i nie dotykamy naszej masy, wiec mamy
oscylator.
> > Czyli czas podrozy jest funkcja tylko gestosci i
> > Stalej grawitacji i niezalezny od dlugosci
tunelu!!!
> Czy w związku z tym, dobierając odpowiednio promień
kuli, można
> przekroczyć prędkość światła ?
Musimy miec mase zblizajaca sie do nieskonczonosci.
Szybkosc w srodku Ziemi
v=SQRT(gR)
> Pozdrawiam i gratuluję uporania się z zakłóceniami.
Dziekuje
Pozdrawiam serdecznie

[smiechowiec]

>Nasz obiekt porusza sie jak oscylator liniowy
Czy mógłbyś powiedzieć dlaczego jest to oscylator liniowy ?
Wyobraźmy sobie stalową kulę o masie 1kg, zawieszoną na nieważkiej
linie która ma długość od nieruchomego haka 1m.
Kulę odchylamy od pionu do 90 stopni i puszczamy swobodnie.
Czy mógłbyś mi podać okres tak utworzonego wahadła ?

[republican]

Bardzo prosze
dev.physicslab.org/Document.aspx?doctype=3&filename=OscillatoryMotion_BasicPendulum.xml

[smiechowiec]

Niestety, w przedstawionej analizie brak założenie o niewielkim
wychyleniu wahadła.
Zwróć uwagę, że prędkość maksymalna powinna być zgodna z zasadą
zachowania energii,
więc dla większych wychyleń powinna być większa.
Dla większych wychyleń wzór na okres nie wyraża się skończoną
funkcją elementarną pl.wikipedia.org/wiki/Wahad%C5%82o ,
można go przedstawić jedynie przy pomocy całek eliptycznych, w
związku z tym wydaje mi się, że przedstawione podejście jest
znacznym uproszczeniem.
Czy spotkałeś sie wcześniej z założeniem o niewielkim wychyleniu ?

[republican]

Przyznam sie ze dla mnie maluczkiego calki eliptyczne
to cos za bardzo skomplikowanego.
Dziekuje za fajny artykul z animacja wektorow.
PS
Jest wahadlo Faucaulta w ABB Research w Datwil,
Szwajcaria, widzialem czesto.
www.abb.ch/cawp/CHABB123/5B035601624C3B19C1256BF7002DF6FC.aspx

[Gość: olo]

tego nie rozumiem: "Na powierzchni mamy mgR w środku chyba około 1.5
* mgR"
w środgku jest większa energia potencjalna niż na powierzchni?

[smiechowiec]

Gość portalu: olo napisał(a):
> w środgku jest większa energia potencjalna niż na powierzchni?
Jeśli chodzi o wartość bezwzględną tak rzeczywiście jest większa.
Natomiast ściśle rzecz ujmując masz rację, im ciało jest wyżej (dalej od środka Ziemi) tym jego energia potencjalna (czyli zdolność do wykonania pracy podczas spadania) jest większa.
Największą wartość przyjmuje ciało w odległości nieskończenie dalekiej od środka i wtedy energia ta wynosi 0.
W związku z tym, w niższych położeniach energia ta ma wartość ujemną.
Zwykle interesuje nas różnica energii więc jej znak zależy jedynie od faktu kto ma wykonać pracę, czy ciało spadając z punku wyższego do niższego czy my zużywając własną energię na podniesienia ciała.

[Gość: olo]

Ale skąd równanie:
0.5 mgR = 0.5 mv^2
wg mnie - zakładając że energia potencjalna w środku to 0 mamy
mgR = 0.5 mv^2

btw. jaki jest sens logiczny zdania "Największą wartość przyjmuje
ciało w odległości nieskończenie dalekiej od środk
> a i wtedy energia ta wynosi 0."

[smiechowiec]

>Ale skąd równanie:
>0.5 mgR = 0.5 mv^2
Jest to wynik obliczeń, w których znamy potencjał ciała na powierzchni Ziemi, oraz pracę jaką wykona ciało spadając do środka Ziemi.

>wg mnie - zakładając że energia potencjalna w środku to 0 mamy
>mgR = 0.5 mv^2
Jeśli założysz sobie tzw wartość z sufitu to każda wartość jest możliwa,
ale na fizyce opieramy się zazwyczaj na wyliczeniach, a z wyliczeń wychodzi akurat tyle.
Dla małych różnic wysokości, dla których siła przyciągania jest w przybliżeniu stała,
energia potencjalna wyraża się wzorem Ep = mgh czyli jak napisałeś mgR,
ale zauważ, że nie można założyć, że w czasie całego spadku ciała do środka Ziemi, siła przyciągania ma wartość stałą.

>btw. jaki jest sens logiczny zdania "Największą wartość przyjmuje
>ciało w odległości nieskończenie dalekiej od środk
> a i wtedy energia ta wynosi 0."
Rozpatrzmy dla przykładu podniesienie ciała do góry o 1 m.
Czy zgodzisz się, że jeśli podniesiesz książkę z podłogi i położysz ją na stole to wykonałeś pewną pracę nadając książce energię potencjalną ?
Załóżmy, że energia książki względem podłogi wzrosła o 100 jednostek.
Jeśli teraz w wyniku niezależnych obliczeń wyszłoby Ci, że energia potencjalna książki na stole wynosi 0,
to oznaczałoby to, że na podłodze miała wartość -100, prawda ?
Energię potencjalną ciała między dwoma punktami obliczmy jako różnicę potencjałów ciała w tych dwu punktach.
Wzór na potencjał nad powierzchnią Ziemi wyraża się przez V(r) = -GMm/r.
G, M, m to stałe, natomiast r to odległość od środka (powiedzmy Ziemi).
Zauważ, że im większe r tym potencjał ciała większy.
Największą wartość przyjmuje w nieskończoności.
Jeśli podstawisz do tego wzoru r równe nieskończoność to wartość potencjału będzie wynosić zero.
W związku z tym, w każdym punkcie bliższym Ziemi, będzie miał wartość mniejszą, a więc ujemną, co wprost wynika ze wzoru.

[Gość: olo]

ok thx.