Definicja w logice .....

[Gość: Ktos]

Co sadzicie o nastepujace definicji Polaka ??

"Polak to osoba, która ze względu na kulturę, pochodzenie lub przekonanie uważa
się za Polaka - jest nim"

Czy definicja jakiegokolwiek terminu moze zawierac definiowany termin ?? Tak to
wyglada w powyzszej def. Polaka, czyz nie tak ?? Jesli tak to powyzsza
definicja nie wyjasnia terminu 'Polak'.

Ciekawe co o tym sadzicie ????

pozdrowienia .......

[Gość: Stefan]

Ktos:
> Co sadzicie o nastepujace definicji Polaka ??
> "Polak to osoba, która ze względu na kulturę, pochodzenie lub przekonanie
> uważa się za Polaka - jest nim"

Z punktu widzenia logiki, to nie jest poprawna definicja, a przynajmniej nie
definiuje tego, o co autorowi ewidentnie chodzilo (patrz nizej). Ale jak
rozumiem intencje polityczna tej wypowiedzi, blad logiczny jest czysto formalny.
Autor chcial sformulowac teze, twierdzenie, a nazwal ja nieslusznie definicja.
Jesli to sie odbylo w ferworze jakiejs dyskusji politycznej, to
najprawdopodobniej definicja Polaka podana przez strone przeciwna byla rownie
niepoprawna.

Ktos:
> Czy definicja jakiegokolwiek terminu moze zawierac definiowany termin ??

To zalezy. Jesli chcemy definiowac pojedynczy obiekt, np. konkretnego Jana
Kowalskiego zamieszkalego w Kowalewicach na ulicy Kowalskiej to nie moze.
Powinna miec postac
(*) Jan Kowalski = ...
i zamiast kropek musi byc wyrazenie, ktorego wszystkie czesci skladowe sa juz
wczesniej dobrze znane. Wobec tego wsrod tych kropek nie moze byc Jana
Kowalskiego, bo on nie jest wczesniej znany. Ale tzw. ,,definicje rekursywne''
moga byc poprawne, o ile spelnione sa pewne warunki. Definicja rekursywna ma
postac (*), ale wsrod kropek moze wystepowac definiowany Jan Kowalski.
Nabieraja one sensu o ile potrafimy udowodnic, ze istnieje dokladnie jeden
obiekt spelniajacy ta rownosc. O ile rozumiem, to nie jest ten przypadek.

Nawet poprawna formalnie definicja moze nie definiowac tego, co bylo intencja
jej autora. Z logicznego punktu widzenia uzyta w definicji nazwa nie ma zadnego
znaczenia. Wobec tego cytowana przez Ciebie definicja jest rownowazna
nastepujacej parze definicji:
(1) ,,Zlodziej to osoba, która ze względu na kulturę, pochodzenie lub przekonanie
uważa się za zlodzieja - jest nim''
(2) ,,Polak to zlodziej''
Nie podoba Ci sie to? Mnie tez nie, ze wzgledu na emocjonalny charakter uzytych
nazw a nie z powodow logicznych. Nie warto przedefiniowywac terminow
wywolujacych wczesniejsze ostre skojarzenia, bo nagle przechodzi sie z logiki do
wyzwiskologii.

Jesli cokolwiek zostalo tu zdefiniowane, to dowolna grupa ludzi o jakiejs
samoswiadomosci grupowej; i ta grupa ludzi zostala bez sensu nazwana Polakami.
Ale i z takim rozumieniem tej definicji jeszcze mam klopoty logiczne

Do Stefana

[Gość: Ktos]

Czesc Stefan !!

Dzieki za Twoj odpis. Ma on dla mnie dosc duze znaczenie. Tylko mam maly
problem:
Nie wiem do jakiego stopnia moge polegac na poprawnosci Twoich uwag ?? Czy
moglbys skrobnac cos o sobie (np. Twoj zawod, wyksztalcenie - to moze wzmocnic
sile wiarygodnosci Twojej wypowiedzi) .

Dlaczego napisales:
"Autor chcial sformulowac teze, twierdzenie, a nazwal ja nieslusznie definicja"
Chodzilo wlasnie o zdefiniowanie terminu: "Polak" - nie o zadne stwierdzenie.

Czy Ty sam uwazasz, ze mozna sformulowac definicje tego terminu, czy tez nie ??
Jesli tak, to moze masz swoja ??

Pozdrowienia ........

[Gość: Stefan]

Ktos:
> Nie wiem do jakiego stopnia moge polegac na poprawnosci Twoich uwag ??

Dopoki dyskutujemy dla zabawy na anonimowym forum, to mozesz polegac w takim
stopniu, w jakim Cie przekonalem. To znaczy biorac byc moze pod uwage moj
poglad, sam jestes dla siebie autorytetem.

Ktos:
> Czy moglbys skrobnac cos o sobie (np. Twoj zawod, wyksztalcenie - to moze
> wzmocnic sile wiarygodnosci Twojej wypowiedzi) .

Nie zalezy mi na wystepowaniu w roli rzeczoznawcy w sporze, o ktorym nic nie
wiem. Pusc troche pary z geby na ten temat. Jesli wolisz, to prywatnie na
[e-mail] .

Ktos:
> Dlaczego napisales: "Autor chcial sformulowac teze, twierdzenie, a nazwal ja
> nieslusznie definicja" Chodzilo wlasnie o zdefiniowanie terminu: "Polak" - nie
> o zadne stwierdzenie.

Jesli tak twierdzisz, to nie mialem racji. Ekstrapolowalem z wielu dyskusji
politycznych, w ktorych probowano ustalic, kto jest Polakiem. Zawsze w nich
znajdowal sie ktos, kto twierdzil, ze Polakiem jest z definicji kazdy, kto uwaza
sie za Polaka. To nie byla poprawna definicja, z powodow, ktore juz opisalem.
Proponentowi oczywiscie chodzilo o teze, ze za jedyne kryterium przynaleznosci
czlowieka do dowolnej narodowosci nalezy przyjmowac subiektywne odczucie tego
czlowieka.

Powinienem zreszta troche oslabic moja poprzednia wypowiedz. Stwierdzenie
,,Polak to osoba, ktora uwaza sie za Polaka'' jest niekoniecznie niepoprawna
definicja, i niekoniecznie zawiera definiendum w definiens. Poprzednio
odpowiedzialem negatywnie, bo zakladalem, ze nie bylo wczesniej zadnego
nieznanego mi kontekstu. To zalezy od tego, co zostalo powiedziane wczesniej.
Mozna poprawnie postapic tak: najpierw zdefiniowac termin ,,uwazac sie za
Polaka'' a dopiero potem ,,byc Polakiem''. Np. tak:
DEFINICJA 1:
X uwaza sie za Polaka, o ile w fomularzu na pytanie o narodowosc wpisal
,,polska''.
DEFINICJA 2:
X jest Polakiem wtedy i tylko wtedy gdy X uwaza sie za Polaka.

W tym nie ma blednego kola, to jest logicznie w porzadku. Ale zaweza definicje
do osob, ktorym w ogole zadano pytanie o narodowosc i nagle moze sie okazac, ze
tak zdefiniowanych Polakow sa na swiecie setki a nie miliony. Wiec nalezaloby w
DEF.1 uzyc trybu warunkowego ,,wpisalby'', ale to otwiera pole do calej masy
jalowych dysput w stylu co by bylo gdyby bylo. W dodatku DEF.2, ta o ktorej
poprawnosc pytales, staje sie w tym kontekscie zbedna, mozna bylo od razu
powiedziec:
DEFINICJA SUMARYCZNA:
X jest Polakiem, o ile w fomularzu na pytanie o narodowosc wpisal ,,polska''.

Ktos:
> Czy Ty sam uwazasz, ze mozna sformulowac definicje tego terminu, czy tez nie ??

Oczywiscie, na wiele sposobow, tylko nie wiem, czy bedziesz z takich definicji
zadowolony. Mozna np. powiedziec ,,Za Polaka uwazam tego, i tego, i tego, ...''
i wymienic wszystkich Polakow, to jest w koncu skonczony zbior.

Mozna uzyc jakies kryterium formalne, np. posiadanie polskiego obywatelstwa (to
nie jest bledne kolo, chodzi o to, czy ma papier, czy nie). Albo miejsce
urodzenia. Albo mozna zastosowac jakis hitlerowski sposob rozrozniania
ksztaltow nosa, religii dziadkow, itp. Albo wziac pod uwage rodzaj uzyskanego
wyksztalcenia. Albo najlepiej znany jezyk.

Ale jesli definicja bedzie zbyt prosta, to z polskosci bedzie wykluczala osoby,
ktorych nie chcialoby sie wykluczyc, i bedzie dopuszczala osoby, ktore wlasnie
chcialoby sie wykluczyc. Na przyklad Mickiewicz nie mial polskiego obywatelstwa
i urodzil sie w Rosji (albo trzeba najpierw poklocic sie o znaczenie terminu
,,polskie miejsce urodzenia''), duza czesc Polonii zle sie urodzila i ma obce
wyksztalcenie, kilka milionow dzieci w wieku przedszkolnym oraz Nikifor Krynicki
tez nie maja polskiego wyksztalcenia, a Kopernik znal niemiecki tak samo jak
polski a pisal wylacznie po lacinie. Z drugiej strony Rokossowski mial chyba
polskie obywatelstwo (nie jestem pewien); a miejscem narodzin dzieci chinskiego
korpusu dyplomatycznego bywa Polska.

A jesli definicja bedzie bardziej skomplikowana, to trudniejsze bedzie jej
stosowanie.

Ktos:
> Jesli tak, to moze masz swoja ??

Ja? A po co?
A jak jest Twoja?

Wszystkiego dobrego
- Stefan

Poziomy Jezyka

[Gość: XBW&Rose]

Szanowni
Panie Stefanie
i wszyscy Czytelnicy watku,

co to sa poziomy jezyka
i jakie znaja Panstwo
przyklady "zjawisk"
lub rozumowan, ktore
naklaniaja obserwatora
do przechodzenia z jednego poziomu
na inny?

1. Tablica z napisem
gloszacym, ze stwierdzenie
na niej napisane jest falszywe.
2. Jaso dochodzacy na drodze indukcyjnego
rozumowania, ze w przyszlym tygodniu
nie bedzie sprawdzianu, pomimo
tego, ze nauczycielka zapowiedziala
przeprowadzenie sprawdzianu w dniu
(ktorego uczniowie sie nie spodziewaja)
nalezacym do pewnego (znanego uczniom)
skonczonego zbioru dni.

Jak maja sie poziomy jezyka do poprawnosci
definicji?

Serdecznosci,
XBW & Roze

[Gość: Stefan]

XBW&Rose:
> co to sa poziomy jezyka i jakie znaja Panstwo przyklady "zjawisk" lub
> rozumowan, ktore naklaniaja obserwatora do przechodzenia z jednego poziomu na
> inny?

No wlasnie takie, jak w podanych przez Ciebie przykladach. Czy chcesz
wykladu z teorii typow Russella?

Ogolnie rzecz biorac nalezy unikac tzw. samozastosowania
(self-application): np. zdan, ktore orzekaja o swojej wlasnej
prawdziwosci (Twoj pierwszy przyklad); funkcji, ktore biora siebie
same za argument; programow komputerowych, ktorych sposob liczenia
uzalezniony jest od ostatecznego wyniku obliczenia; itp. W porzadnie
prowadzonej logice takie zjawiska nie zdarzaja sie, bo sa od razu
wykluczone przez skladnie jezyka. Zdania z samozastosowaniem po
prostu nie daja sie napisac. Zdania moga sie wypowiadac o
prawdziwosci zdan, ale tylko tych ,,z nizszego poziomu''. W
szczegolnosci nie o sobie samych. Wiec mozemy na przyklad pokazac na
zdanie napisane na tablicy i powiedziec ,,to zdanie jest falszywe'',
ale zadne zdanie nie moze mowic ,,ja jestem falszywe'', porzadny jezyk
logiczny nie zawiera slownictwa, zeby cos takiego wyrazic.

Wydawaloby sie, ze problem zostal ostatecznie zamkniety przez
Russella, gdyby nie to, ze w pewnych podejsciach do semantyki
programow komputerowych wraca on jak bumerang. Na szczescie to tez
juz rozwiazano.

> Jak maja sie poziomy jezyka do poprawnosci definicji?

Np. definicja golibrody wojskowego: to taki zolnierz, ktory ma:

[Gość: Pulbek]

Gość portalu: Stefan napisał(a):

[...]
> Wydawaloby sie, ze problem zostal ostatecznie zamkniety przez
> Russella, gdyby nie to, ze w pewnych podejsciach do semantyki
> programow komputerowych wraca on jak bumerang. Na szczescie to tez
> juz rozwiazano.
>

To mnie zaciekawilo. Mozesz powiedziec dokladniej o co chodzi?

Skoro juz cos napisalem, to napisze wiecej.

Co do zdan mowiacych o samych sobie, to w wielu bardzo porzadnych formalizmach
mozna je wyrazic, chocby w arytmetyce. Na przyklad zdanie Goedla takie jest i
swiat sie przez nie nie zawalil. Tak wiec scisle rozdzielanie poziomow nie jest
chyba takie niezbedne do szczescia.

Wielu logikow w ogole uwaza ze scisle rozdzielenie poziomow jezyka to glupota:
mowienie ze "zdanie 'A lub B' jest prawdziwe gdy 'A' jest prawdziwe lub 'B' jest
prawdziwe" faktycznie jest troche nieintuicyjne. Ja nie smiem miec zdania na ten
temat - jestem za cienki Bolek zeby roztrzasac czy Girard jest madrzejszy od
Tarskiego.

Ale w kazdym razie nie jest tak, ze w kazdej "porzadnej" logice poziomy jezyka sa
scisle rozgraniczone. Chociaz oczywiscie ogolnie masz racje: jak zdanie zaczyna
mowic o samym sobie, to trzeba strasznie uwazac.

> > Jak maja sie poziomy jezyka do poprawnosci definicji?
>
> Np. definicja golibrody wojskowego: to taki zolnierz, ktory ma:
>

[Gość: Stefan]

Ja:
> Np. definicja golibrody wojskowego: to taki zolnierz, ktory ma:
>

[Gość: Pelbek]

Przepraszam Cie Stefanie za spozniona odpowiedz. Przez pewien czas nie mialem
dostepu do komputera (grypka).

Dzieki za przypomnienie podejrzanych zjawisk w semantyce jezykow programowania.
Szukanie modeli dla lambda rachunku nie przyszlo mi w tym kontekscie do glowy, a
wynika to chyba z pewnego pomięszania jakie mam w glowie. Moze Ty mi pomozesz? Bo
mysle sobie o dwoch sprawach:

1. Paradoks Russella i jego odmiany, czyli dlaczego nie mozna definiowac
predykatow/obiektow uzywajac ich w tej definicji. Rekursja jest pozornym
obejsciem tego zakazu (ale tylko pozornym: definicje rekurencyjne sa tylko
skrotami myslowymi, tak naprawde mowia o punktach stalych pewnych funkcji ktore
sa zdefiniowane calkiem porzadnie, bez odwolania do samych siebie). Tutaj wpada
tez podejrzana definicja Polaka (ktora, jak sam zauwazyles, wcale taka podejrzana
nie jest) oraz definicja cebuli, ktora (sam sprawdzilem) wywoluje piane na ustach
studentow filozofii: cebula to albo nic, albo jedna warstwa a w srodku cebula.

2. Paradoks klamcy, czyli mieszanie skladni jezykow z ich semantyka. Jako rzecze
Tarski, zdanie "jest tak a tak" jest prawdziwe jezeli jest tak a tak. O tym mysle
kiedy slysze o 'poziomach jezyka'. Jak pokazuja liczne przyklady, taki scisly
podzial mozna troche lamac (np. arytmetyka Peano, w ktorej zdania moga mowic o
samych sobie, a nawet o swoich dowodach).

No i teraz pytanie: czy te dwa problemy maja ze soba cos wspolnego? Zawsze mi sie
wydawalo ze nie i stad moj delikatny (moze niezbyt precyzyjnie wyrazony) protest
przeciwko mowieniu o 'poziomach jezyka' w kontekscie blednych definicji. Ale
gdyby mi ktos wytlumaczyl ze (i dlaczego) te dwa problemy to dwie strony tego
samego medalu, bylbym wniebowziety.

> Pulbek:
> > Na przyklad zdanie Goedla takie jest i swiat sie przez nie nie zawalil.
>
> No, tego bym nie powiedzial. Swiat ZAWALIL SIE od twierdzenia Goedla.

E, gruba przesada. Gdyby udalo sie skonstruowac paradoks klamcy, dopiero wtedy
bylby problem. Chodzilo mi o to ze w zdaniu Goedla nie ma zadnej sprzecznosci.


Pozdrawiam,

(slaby) Pulbek.

[Gość: thrundui]

> 1. Paradoks Russella i jego odmiany, czyli dlaczego nie mozna definiowac
> predykatow/obiektow uzywajac ich w tej definicji.

> 2. Paradoks klamcy, czyli mieszanie skladni jezykow z ich semantyka.

Prawde mowiac nie widze problemow z tymi paradoksami. Dlaczego nie wolno uzywac
definiowanego predykatora w definicji? Interesuje mnie jednak tylko strona
matematyczne zagadnienia. Tak np drugi paradoks wogule nie da sie sformulowac, bo
w logice nie ma prawdy i nie da sie go zapisac w skonczony sposob.

Nie widze problemu z definicjami rekursywnymi. Kazda definicja definiuje co
najwyzej jeden obiekt - klase abstrakcji obiektow, ktore spelniaja definicje.
Dlaczego uklad aksjomatow moze jednoczesnie wyznaczac i nie wyznaczac obiekt?
Albo jak moze wygenerowac inne niespodzianki?

Analiza paradoksu russela jest troche nie na miejscu bo odnosi sie do swiata
rzeczywistego. W swiecie matematycznym mozna go prosto rozwiazac, zakladajac, ze
kazdy czlowiek, to w gruncie rzeczy klasa abstrakcji dwuch osob. Kazda oboba jest
golona albo przez inna klasa abstrakcji, albo przez drugi obiekt danej klasy
abstrakcji. Wiec nigdy przez samego siebie, bo nigdy klasa abstrakcji nie goli
sama siebie. I problem rozwiazany. Nie mozna zarzucac, ze klasa abstrakcji ludzi
to nie czlowiek, bo czlowieka nie da sie zdefiniowac w matematyce. Kazda
definicje czlowieka beda spelnialy tez stwory bardzo dziwne.

Nie ma to nic wspolnego ze swiatem realnym, ale w skonczonym ukladzie aksjomatow
nigdy nie da sie ograniczyc tylko do swiata realnego. Zawsze taki kwiatek bedzie
mozliwy. Tak wiec wydaje mi sie, ze zawsze definicje zawierajace w sobie obiekt
definiowany definiuja jednoznacznie ten obiekt. Moze w strasznie dziwaczny
sposob, ale zawsze.
Nie widze powodow, dla ktorego takie rozwiazania bylyby niemozliwe.

Nigdy nie widzialem twierdzenia, ktore mowi, ze takie definicje prowadza do
problemow, tylko apriori zabrania sie uzywania takich definicji. Tylko dlaczego?

Probowalem zapisac problem golibroby w sposob formalny i mi sie to nie udalo. W
znanych mi ksiazkach do logiki tez nie byl zapisany. Czy ten problem mozna wogule
zapisac w sposob formalny? Bo bez tego to wogule nie wiadomo czy istnieje
jakikolwiek problem. Russel zajmowal sie chyba tylko logika potoczna. Moze wiec
logicy formalni zaczeli sie przejmowac problemem, ktorego wogule w tej teorii nie
ma?

[Gość: Pulbek]

Gość portalu: thrundui napisał(a):

> > 1. Paradoks Russella i jego odmiany, czyli dlaczego nie mozna definiowac
> > predykatow/obiektow uzywajac ich w tej definicji.
>
> Dlaczego nie wolno uzywac definiowanego predykatora w definicji?
>

Przede wszystkim: kazda definicja powinna okreslac dokladnie jedna rzecz.
Dokladnie jeden predykat lub zbior, na przyklad. Kiedy mowisz: "Liczba jest
pierwsza, jezeli jest wieksza od 1 i dzieli sie tylko przez siebie i 1" to
definiujesz dokladnie jeden zbior liczb: 2,3,5,7,11,...

Ale rozwaz definicje: "Liczba jest wspaniala jezeli jest wspaniala". Jaki zbior
liczb zdefiniowales? Dowolny zbior pasuje do tej 'definicji', co znaczy ze jest
ona niepoprawna.

Podobnie w przypadku golibrody. Masz tu pewien zbior z wyroznionym elementem G. I
probujesz zdefiniowac predykad binarny 'goli' nastepujaco:

goli(G,x) <-> nie goli(x,x)

Do tej definicji nie pasuje dla odmiany zaden predykat. Ona tez jest niepoprawna.

Natomiast _czasami_ takie definicje sa poprawne. I o tym wlasnie pisal Stefan.

Pozdrawiam,

Pulbek.

PS. A stwierdzenia, ze 'w logice nie ma prawdy', proponowalbym Ci glosic raczej z
szacunkiem. Fakt ze w arytmetyce nie da sie wyrazic paradoksu klamcy to kawal
twierdzenia, zreszta o ile pamietam udowodnil je Tarski.

[Gość: thrundui]

> > Dlaczego nie wolno uzywac definiowanego predykatora w definicji?

> Przede wszystkim: kazda definicja powinna okreslac dokladnie jedna rzecz.
> Dokladnie jeden predykat lub zbior, na przyklad. Kiedy mowisz: "Liczba jest
> pierwsza, jezeli jest wieksza od 1 i dzieli sie tylko przez siebie i 1" to
> definiujesz dokladnie jeden zbior liczb: 2,3,5,7,11,...

Czyli jezeli definicje spelnia dokladnie jeden zbior to dobrze.

> Ale rozwaz definicje: "Liczba jest wspaniala jezeli jest wspaniala". Jaki zbior
> liczb zdefiniowales? Dowolny zbior pasuje do tej 'definicji', co znaczy ze jest
> ona niepoprawna.

Czyli jezeli definicje spelnia dokladnie jeden zbior zbiorow to zle.
Widze daleko posunieta niekonsekwencje.

Dlaczego defincja jest niepoprawna?
Co z tego, ze kazdy zbior pasuje do tej definicji.
Definiuje ona jednoznacznie obiekt - wszystkie obiekty.
Musisz sie bardziej natrudzic, zeby pokazac, ze cos tu nie gra.

Nie mozesz obrazac sie, ze to nie jest zbior.
W logice nie ma pojecia zbioru.
Twoja defininicja nie definiuje zadnego zbioru, bo na poziomie logiki nie ma
pojecia zbioru. Uzyles pojecia z zaswiatow.
Co wiecej liczba 1 to klasa abstrakcji, ktora w zaden sposob nie jest zbiorem.

Czy cale to zamieszanie z golibroda to nie jest czasem problem teorii zbiorow a
nie logiki?

> Podobnie w przypadku golibrody. Masz tu pewien zbior z wyroznionym elementem G.
> goli(G,x) <-> nie goli(x,x)

Ok
teraz wiadomo w czym problem.
To nie jest zaden problem logiki ale teorii zbiorow.
W teorii zbiorow jest definicja zbioru. Tam musi byc predykat o dobrze
okreslonych wlasnosciach.
Tutaj definiujesz zbior rekurencyjnie raz przy pomocy dobrze okreslonego
predykatu a raz zle.

Ten problem nie jest problemem logiki.
To co zapisales to nie jest definicja w logice.
Nie jest, poniewaz chcesz, zeby ona definiowala zbior, czy cos co juz ma
okreslone wlasciowaci. Musza wiec istniec jeszcze warunki, ze tak stworzony
obiekt jest zbiorem, a tego pewnie nie da sie zrobic tworzac definicje skonczona.
Nie ma wiec paradoksu bo nie ma definicji.

Co jest zlego w definicji
fi <=> nie fi

Na piewszy rzut oka ona jest spelniona w prozni.
Ale tego nie jestem pewien. Logika semantyczna moze tu namieszac.
Np. jakies stwory bez wartosci logicznej, ktorych istnienia nikt nigdzie nie
zabronil.

[Gość: Pulbek]

Gość portalu: thrundui napisał(a):

[Pominalem wielki kawal listu. Mam nadzieje ze to co
napisalem na koncu wyjasnia nieporozumienie.]

>
> Czy cale to zamieszanie z golibroda to nie jest czasem
> problem teorii zbiorow a nie logiki?
>
[...]
> Ten problem nie jest problemem logiki.
> To co zapisales to nie jest definicja w logice.

_Oczywiscie_, ze jest to problem teorii zbiorow a nie
logiki, bo w zwyklej czystej logice formalnej w ogole nie
ma czegos takiego jak definicja. Co to w ogole Twoim
zdaniem znaczy 'definicja w logice'? Definicje pojawiaja
sie dopiero w teorii zbiorow, razem ze schematem
zastepowania. W logice sa tylko formuly i dowody.

Ani definicja liczb pierwszych, ani wspanialych, ani
golarza nie sa 'definicjami w logice'. Tylko pierwsza z
nich da sie zapisac jako wystapienie aksjomatu
zastepowania w teorii zbiorow.

> Co jest zlego w definicji
> fi <=> nie fi
>

Wszystko. To w ogole nie jest definicja. Nie da sie jej
zapisac formalnie, ten napis powyzej to tylko formula
logiczna, a nie definicja. Tak samo jest z golarzem.

Oczywiscie mozesz mowic ze 'logicy przejmuja sie
problemem ktorego nie ma bo tych wszystkich niepoprawnych
definicji nie da sie formalnie zapisac'. Tyle tylko ze to
niepowazne. Masz pojecie ile oni sie nameczyli zeby tych
niepoprawnych definicji nie dalo sie zapisac?


A wracajac na chwile z poziomu formalnego na poziom
pogladowego tlumaczenia: definicja "liczbe nazywamy
pierwsza jezeli ..." powinna definiowac predykat na
liczbach, czyli zbior liczb. Definicja "zbior liczb
nazywamy zbiorem liczb pierwszych jezeli ..." powinna
definiowac predykat na zbiorach liczb, czyli zbior
zbiorow liczb. I nie na odwrot. Gdzie Ty tu widzisz jakas
niekonsekwencje? Mozesz oczywiscie stosowac wlasne
pojecie nt tego co to znaczy ze "x spelnia definicje y",
jezeli uwazasz ze jestes madrzejszy np. od Cantora czy
Fraenkla. Ale wtedy jestes skazany na skonstruowanie
wlasnej teorii zbiorow, obawiam sie.

[Gość: thrundui]

> _Oczywiscie_, ze jest to problem teorii zbiorow a nie
> logiki, bo w zwyklej czystej logice formalnej w ogole nie
> ma czegos takiego jak definicja. Co to w ogole Twoim
> zdaniem znaczy 'definicja w logice'?

To skad sie wziela definicja zbioru?
Jak moze istniec definicja aksjomatyczna teorii mnogosci, jezeli pojecie
definicji pojawi sie dopiero jak bedziemy mieli teorie mnogosci?

> Definicje pojawia
> sie dopiero w teorii zbiorow, razem ze schematem
> zastepowania. W logice sa tylko formuly i dowody.

Dlaczego nie mozna zdefiniowac sumy logicznej bez teorii zbiorow?
A geometria euklidesowa?

Faktem chyba jest ze definicje definicji nie mozna zrobic na poziomie logiki,
trzeba wzniesc sie nieco wyzej, ale nie trzeba schodzic na dol!.

Tak wogule to ty zajmujesz sie definicja zbioru marchewek a nie definicja punktu.
Ale to jest nieistotne, bo najpierw trzeba wiedziec jak zdefiniowac zbior.

> > Co jest zlego w definicji
> > fi <=> nie fi

> Wszystko. To w ogole nie jest definicja. Nie da sie jej
> zapisac formalnie, ten napis powyzej to tylko formula
> logiczna, a nie definicja.

dlaczego fi z definicji nie fi
to nie jest definicja.

> Oczywiscie mozesz mowic ze 'logicy przejmuja sie
> problemem ktorego nie ma bo tych wszystkich niepoprawnych
> definicji nie da sie formalnie zapisac'. Tyle tylko ze to
> niepowazne. Masz pojecie ile oni sie nameczyli zeby tych
> niepoprawnych definicji nie dalo sie zapisac?

Oni meczyli sie raczej z definicja zbioru a nie definicja definicji.
W matematyce nie trzeba sie meczyc z niczym. Mogli zdefiniowac sobie zbior jak
chcieli. Oni meczyli sie tylko, aby ta definicja miala zwiazek z potocznym
wyobrazeniem. Ale to zupelnie inny problem niz unikanie paradoksow. Paradoksy w
matematyce nie istnieja. Istnieja dopiero jak zastosuje sie matematyke do
sytuacji rzeczywstych.

> Mozesz oczywiscie stosowac wlasne
> pojecie nt tego co to znaczy ze "x spelnia definicje y",
> jezeli uwazasz ze jestes madrzejszy np. od Cantora czy
> Fraenkla.

Jakie jest osiagniecie tych panow?
Zdefiniowani definicje?
Przeciez oni mieli definicje definicji potrzebna do zdefiniowania ich teorii!
A jak mieli definicje to po co ich definicja?
Zdefiniowali to co juz mieli?

Jak sie robi matematyke

[Gość: Pulbek]

Gość portalu: thrundui napisał(a):

W Twoim liscie jest duzo pytan, ale znowu mam wrazenie ze odpowiedz na wszystkie
jest jedna. Zamieszczam ja na koncu.

> > Definicje pojawia
> > sie dopiero w teorii zbiorow, razem ze schematem
> > zastepowania. W logice sa tylko formuly i dowody.
>
> Dlaczego nie mozna zdefiniowac sumy logicznej bez teorii zbiorow?
> A geometria euklidesowa?
>

Filozoficznie rzecz biorac, mozna. Matematycznie - ja nie wiem jak. Euklides
robil swoja geometrie w czyms, co dzisiaj bysmy nazwali 'naiwna teoria zbiorow',
ktora jest sprzeczna sama ze soba. Euklides nie doszedl do zadnej sprzecznosci,
bo nie szalal jak (nie przymierzajac) thrundui. Definiowal jak mu filozofowie
przykazali: nieznane ze znanego.


> dlaczego fi z definicji nie fi
> to nie jest definicja.
>

A dlaczego jest? Co jest definicja wedlug Ciebie? Bo wedlug teorii zbiorow to nie
jest definicja. Definicje w teorii zbiorow nie moga sie zapetlac. Definicje
rekurencyjne udaja ze lamia ten zakaz, ale tylko udaja.

>
> Oni meczyli sie raczej z definicja zbioru a nie definicja definicji.
> W matematyce nie trzeba sie meczyc z niczym. Mogli zdefiniowac sobie zbior jak
> chcieli. Oni meczyli sie tylko, aby ta definicja miala zwiazek z potocznym
> wyobrazeniem. Ale to zupelnie inny problem niz unikanie paradoksow.
> Paradoksy w matematyce nie istnieja. Istnieja dopiero jak zastosuje sie
> matematyke do sytuacji rzeczywistych.

Tzn. czym jest wobec Ciebie 'unikanie paradoksow', skoro ich nie ma?

One jak najbardziej istnieja. 'Paradoks' (chociaz zwykle nazywa sie
to 'sprzecznoscia') to sytuacja, w ktorej mozemy udowodnic wszystko. Oczywiscie
mozesz twierdzic ze paradoksalnosc takiej sytuacji wynika z tego ze probujemy
zastosowac matematyke do rzeczywistosci, bo gdybysmy zyli w rzeczywistosci w
ktorej _wszystko_ byloby prawda, to byloby OK. Tratatata. Tylko ze wtedy na co by
nam byla jakakolwiek matematyka?

A propos, Twoja tzw. definicja "fi <-> nie fi" to prosta droga do udowodnienia
wszystkiego. Oto kolejne kroki dowodu:

1. fi <-> nie fi (z definicji)
2. fi lub nie fi (aksjomat)
3. fi (z 1 i 2)
4. nie fi (z 1 i 2)
5. fi i nie fi (z 3 i 4)
6. falsz (5, regula modus ponens)
7. wszystko (aksjomat, z falszu wynika wszystko)

Tworcy teorii zbiorow wcale nie chcieli definiowac zbioru. Od poczatku uwazali
zbior za pojecie pierwotne, niedefiniowalne. Stworzyli sobie teorie i bardzo
szybko sie okazalo ze jest sprzeczna: wszystko sie w niej dawalo udowodnic i to
dokladnie z powodu paradoksu Russella. I rownie szybko doszli do wniosku ze stalo
sie to dlatego, ze troche sobie olali pojecie definicji: za duzo rzeczy mozna
bylo w ich teorii definiowac. No i tak ja przykroili, zeby teoria nie byla
sprzeczna. Nie: zeby zgadzala sie ze zdrowym rozsadkiem, tylko: zeby nie byla
wewnetrznie sprzeczna! To chyba roznica?

[...]
> Jakie jest osiagniecie tych panow?
> Zdefiniowani definicje?
> Przeciez oni mieli definicje definicji potrzebna do zdefiniowania ich teorii!
> A jak mieli definicje to po co ich definicja?
> Zdefiniowali to co juz mieli?

Nie mieli.

Juz tlumacze. Matematyke robi sie (i ci panowie zrobili) tak:

1. Na poczatku jest logika. Logika to pewne napisy (formuly) i reguly dowodzenia.
Na poczatku nie maja one zadnej semantyki, w ogole nie wiadomo co znacza. Nie ma
jeszcze zadnego pojecia matematycznej definicji, nie ma zbiorow. Sa tylko napisy
i dowody. Uwaga: w pewnym sensie zeby w ogole wystartowac oczywiscie
nalezy 'zdefiniowac' o jakie napisy chodzi i jakie reguly dowodzenia sa OK. Ale
taka 'definicja' jest tylko pojeciem filozoficznym. Matematyczna jeszcze nie
jest, bo nie ma jeszcze matematyki. Przypominam, ze filozofia zabrania petlacych
sie definicji. To dopiero matematyka pozwoli nam robic sztuczki z cebulami.

2. Teraz wprowadzamy do logiki nowe znaczki: znaczek zbioru pustego, klamerki i
znaczek 'nalezy do'. Z tych znaczkow mozemy utworzyc duzo napisow. Piszemy troche
formul logicznych (aksjomaty teorii zbiorow) i rozwazamy tylko takie napisy,
ktore wynikaja z tych aksjomatow. Takie napisy nazywamy zbiorami. Caly czas nie
wiadomo co te zbiory znacza, bo nie wiadomo co znaczy logika. Ale mamy pewna
teorie - teorie zbiorow. Teoria to po prostu zbior napisow, ktore sa "OK".

3. Jednym z aksjomatow teorii zbiorow jest schemat zastepowania. Mowi on (bardzo
z grubsza), ze jezeli masz juz jakis zbior A i formule fi(x), to mozesz ze zbioru
A wybrac te elementy ktore spelniaja fi i w ten sposob stworzyc nowy zbior. Kazde
zastosowanie tego schematu nazywamy definicja. Od tej pory wiemy jak formalnie
definiowac rozne rzeczy.

4. Teraz opierajac sie na teorii zbiorow mozemy juz zbudowac cala matematyke.
Uwaga: w szczegolnosci mozemy na nowo zbudowac logike, od ktorej zaczelismy. Ale
teraz mozna porzadnie (tzn. matematycznie) zdefiniowac co to
znaczy "formula", "dowod", nadac formulom jakies znaczenie, przydzielic im
wartosci logiczne, zinterpretowac je w zbiorach i w ogole jest fajnie.

Tak to dziala. To zrobili (chyba nie pomyle kolejnosci): Russell, Whitehead,
Cantor, Zermelo i Fraenkel.


Pozdrawiam,

Pulbek.

[Gość: thrundui]

> Filozoficznie rzecz biorac, mozna. Matematycznie - ja nie wiem jak. Euklides
> robil swoja geometrie w czyms, co dzisiaj bysmy nazwali 'naiwna teoria zbiorow'

Geometria euklidesowa nie jest zrobiona na teorii zbiorow.
Chcesz powiedziec, ze autorzy wspolczesnych ksiazek o geometrii elementarnej nie
wiedza co pisza?
Chyba pomyla ci sie teoria z jej modelem.
Nie da sie nawet udowodnic, ze zbior punktow prostej jest nieprzeliczalny!
To sie robi dopiero w modelu.

> > dlaczego fi z definicji nie fi
> > to nie jest definicja.

> A dlaczego jest? Co jest definicja wedlug Ciebie? Bo wedlug teorii zbiorow to
> nie jest definicja.

Ale ja nie definiuje zbioru takich fi, ze nie fi.
Ja definiuje fi, ze nie fi!. Teoria zbiorow ma nic do tego.

> Tzn. czym jest wobec Ciebie 'unikanie paradoksow', skoro ich nie ma?
>
> One jak najbardziej istnieja. 'Paradoks' (chociaz zwykle nazywa sie
> to 'sprzecznoscia') to sytuacja, w ktorej mozemy udowodnic wszystko.

Tak jest w logice syntaktycznej. W semantycznej to juz sie nie da. Zreszta kazda
logika aksjomatyczna jest niesprzeczna. Nawet jezeli taka sytuacja sie pojawi, to
jest niegrozna.

> A propos, Twoja tzw. definicja "fi <-> nie fi" to prosta droga do udowodn
> ienia
> wszystkiego. Oto kolejne kroki dowodu:

> 1. fi <-> nie fi (z definicji)
> 2. fi lub nie fi (aksjomat)
> 3. fi (z 1 i 2)
> 4. nie fi (z 1 i 2)
> 5. fi i nie fi (z 3 i 4)
> 6. falsz (5, regula modus ponens)
> 7. wszystko (aksjomat, z falszu wynika wszystko)

bzdura.
Ostatnie dwa kroki sa niedopuszczalne w logice semantycznej.
5. Co to jest falsz? Nie ma ani falszu ani prawdy. Tego nie zapiszesz w skonczony
sposob.
6. Ktory z czterech aksjomatow na to pozwala? Jak pozkazac, ze z fi i nie fi
wynika wszystko? Od razu robi sie galimatias z formulami dopuszczalnymi. Bo
przeciez nie pokazesz, ze z tego wynika "t^->".
Jaki to aksjomat "z falszu wynika wszysko?". Czyzbys skorzystal z tabelki?:)

> 3. Jednym z aksjomatow teorii zbiorow jest schemat zastepowania. Mowi on
> (bardzo z grubsza), ze jezeli masz juz jakis zbior A i formule fi(x), to mozesz
> ze zbioru A wybrac te elementy ktore spelniaja fi i w ten sposob stworzyc nowy
> zbior. Kazde zastosowanie tego schematu nazywamy definicja. Od tej pory wiemy
> jak formalnie definiowac rozne rzeczy.

Wiemy jak definiowac zbiory, nie rzeczy!!
Ja moge sobie definiowac rzeczy nie przejmujac sie czy sa zbiorami czy nie.

> 4. Teraz opierajac sie na teorii zbiorow mozemy juz zbudowac cala matematyke.
> Uwaga: w szczegolnosci mozemy na nowo zbudowac logike, od ktorej zaczelismy.
> Ale teraz mozna porzadnie (tzn. matematycznie) zdefiniowac co to
> znaczy "formula", "dowod", nadac formulom jakies znaczenie, przydzielic im
> wartosci logiczne, zinterpretowac je w zbiorach i w ogole jest fajnie.

Nie prawda.
To jest budowanie modelu teorii!!
Teoria nie musi miec modelu. Moze spokojnie obyc sie bez teorii zbiorow. Moze
dzialac spokojnie jako uklad aksjomatow dolaczany do ukladu aksjomatow logiki z
twierdzeniami jako konsekwencje. Model nie jest nigdzie potrzebny.
Mozna zdefiniowac arytmetyka, geometrie euklidesowa i cokolwiek bez teorii
zbiorow!

Chcesz jeszcze przy okazji zrobic model logiki! Jakby to bylo mozliwe!
Zrobisz w ten sposob tylko model zredukowany. Pewnie po to robi sie te wszytskie
formuly dopuszczalne, aby ten model jakos dzialal.
Po co nam logika syntaktyczna jak mamy sematyczna! Pozniej jeszcze ktos pomysli,
ze to prawdziwa logika i nie zauwazy ze to tylko ograniczony model zredukowanej
prawdziwej logiki semantycznej!

To jest porzadne wprowadzenie logiki?
Logika wprowadza sie porzadniw przez swoje aksjomaty. Nie potrzebuje pomocy od
teorii mnogosci.

Wogule pomysl, ze najpierw byla teoria mnogosci a potem logika jest troche
postrzelony. Kolejnosc jest odwotna - najpierw metasystem z pojeciem logiki,
definicji, teorii i co tam jeszcze trzeba.
A dopiero potem teorie i jakies ich modele.

----------
wracajac do golibrody
nie ma problemu golibrody.
Jezeli nie mamy definicji zbioru to nie ma tez definicji golibrody

Jezeli jest definicja zbioru i w tej definicji da sie zdefiniowac problem
golibrody, to mamy dwie mozliwosci:
- definicja zbioru jest poprawna, teoria jest wewnetrznie spojna i problem
golibrody ma jedno rozwiazanie
- definicja zbioru nie jest poprawna, teoria jest wewnetrznie sprzeczna i kazde
zdanie zapisane w teorii jest poprawne - rozwiazaniem problemu golibrody jest
jeden zbior WSZYSTKO. WSZYSTKO jest zbiorem, bo kazde zdanie jest prawdziwe, w
szczegolnosci to. (wlasciwie nie wszystko ale bardzo wiele - problemy z logika)

[Gość: Stefan]

Thrunduil:
> Dlaczego nie wolno uzywac definiowanego predykatora w definicji?
Pulbek:
> Ale rozwaz definicje: "Liczba jest wspaniala jezeli jest wspaniala". Jaki
> zbior liczb zdefiniowales?
Thrunduil:
> Czyli jezeli definicje spelnia dokladnie jeden zbior zbiorow to zle.
> Widze daleko posunieta niekonsekwencje.

Jednak w takim sformulowaniu mial to byc zbior liczb, ew. predykat na liczbach a
nie zbior zbiorow liczb.

Thrunduil:
> Dlaczego defincja jest niepoprawna?
> Co z tego, ze kazdy zbior pasuje do tej definicji.
> Definiuje ona jednoznacznie obiekt - wszystkie obiekty.

A co powiesz na definicje wspanialosci nie ograniczona do liczb? ,,X jest
wspanialy o ile X jest wspanialy''. Czy wg Ciebie definiuje ona wszystkie
zbiory wszystkiego?

Tak nie mozna, bo zbior wszystkich zbiorow nie istnieje. To sie latwo
udowadnia.

Mozemy mowic o ,,wszystkich zbiorach'' tylko z kolejnego poziomu: nie ma zbioru
wszystkich zbiorow, za to jest klasa wszystkich zbiorow. Ale nie ma klasy
wszystkich klas. Nic nie stoi na przeszkodzie, zebys sobie wprowadzil pojecie
superklasy, tak zeby superklasa wszystkich klas istniala; ale wtedy superklasa
wszystkich superklas nie istnieje. Itd. Znowu wychodzi hierarchia, po ktorej
jak sie skacze, to nie wolno mylic poziomow.

Jesli do definiowania stosuje sie legalne srodki (zastepowanie mnogosciowe --
Pulbek wyjasnial), to nie wpada sie w zadne zbiory wszystkich zbiorow.

- Stefan

[Gość: thrundui]

> A co powiesz na definicje wspanialosci nie ograniczona do liczb? ,,X jest
> wspanialy o ile X jest wspanialy''. Czy wg Ciebie definiuje ona wszystkie
> zbiory wszystkiego?
> Tak nie mozna, bo zbior wszystkich zbiorow nie istnieje. To sie latwo
> udowadnia.
> Mozemy mowic o ,,wszystkich zbiorach'' tylko z kolejnego poziomu: nie ma zbioru
> wszystkich zbiorow, za to jest klasa wszystkich zbiorow.

Dlatego tez moja uwaga, zeby sie na to nie powolywac, bo jeszcze nie ma teorii
mnogosci.
Dalej jakie to ma znaczenie?
Ja nie twierdze,ze definicje "x jest piekne, jezeli jest piekne" spelnia jakas
tam klasa. Chodzi mi o to, ze spelnia ja jeden stwor czegos co to spelnia.
Nie mowie czym jest ten stwor.
Nie musze tego robic.
W zdaniu Ax: fi(x) stwor x to przeciez nie klasa, klasa klas czy jej elementy
itp, ale WSZYSTKO. I nie ma z tym problemow.

Definicje liczby zero z aksjomatyce peano spelnia tez jeden stwor - klasa klas
klas klas ... (nieskonczonie wiele razy) stworow, ktore spelniaja definicje zero.
Zero moze byc przeciez jakims zbiorem. Moze byc twierdzeniem o zerze, sniegowym
balwankiem, moze byc jakas klasa, jakas klasa klas i co tylko sobie ktos wymysli.
Nikt sie nie przejmuje, ze nie ma zbioru, czy klasy potencjalnych zer.
A tu taka panika nad x jest piekny.

[Gość: Stefan]

Pulbek:
> cebula to albo nic, albo jedna warstwa a w srodku cebula.

Fajne! Nie znalem tego.
DYGRESJA:
Nigdy nie udalo mi sie znalezc tej najglebszej warstwy cebuli, pod ktora jest
nic. Zawsze wiec myslalem, ze cebule maja nieskonczona ilosc warstw, nalezy
zatem poszukiwac nie takich push-outow, jak piszesz, tylko dualnych pull-backow.
Z cebuli da sie wydobyc zewnetrzna warstwe, oraz cebule

[Gość: Pulbek]

Gość portalu: Stefan napisał(a):

>
> Nigdy nie udalo mi sie znalezc tej najglebszej warstwy
> cebuli, pod ktora jest nic. Zawsze wiec myslalem, ze
> cebule maja nieskonczona ilosc warstw, nalezy
> zatem poszukiwac nie takich push-outow, jak piszesz,
> tylko dualnych pull-backow.
> Z cebuli da sie wydobyc zewnetrzna warstwe, oraz cebule
>

Do thrundui na boku

[Gość: Pulbek]

Zanim pociagne dyskusje w naszym glownym watku, musisz
mi zrobic wyklad bo przyznam ze niezle mnie zagiales.
Co to jest 'logika semantyczna' w odroznieniu od
'syntaktycznej'? I jakie sa jej cztery (bo pisales cos
o czterech) aksjomaty?

Pozdrawiam,

Pulbek.

[Gość: thrundui]

> Co to jest 'logika semantyczna' w odroznieniu od
> 'syntaktycznej'? I jakie sa jej cztery (bo pisales cos
> o czterech) aksjomaty?

wlasciwie to troche przesadzilem. Jest jedna logika klasyczna, ktora mozna
wprowadzic na dwa sposoby. Mozna zaczac od zewnetrznego zbioru wartosci
logicznych, funkcji przyporzadkujach zdaniom atomowym te wartosci logiczne a
potem rozszerzac te funkcje na formuly dopuszczalne.

Mozna tez inaczej - nie ma zdan atomowych, formul dopuszczalnych, zbioru wartosci
logicznych i funkcji przyporzadkujachi i operatorow logicznych. JEst zupelna
proznia. Sa tylko trzy aksjomaty:
1 a->(b->a)
2 (a->(b->c))->((a->b)->(a->c))
3 (-b->-a)->((-b->a)->b)
oraz
4 z a i a->b, wynika b

nie jest potrzebna regula podstawiania.

Te aksjomaty definiuja operatory logiczne. Jako zdania prawdziwe przyjmuje sie
syntaktyczne konsekwencje tych aksjomatow.
Drugie podejscie nazywa sie aksjomatami logiki semantycznej, wiec przez
zaprzeczenie nazwalem to pierwsze logika syntaktyczna.
Podejscie pierwsze wymaga straszliwych rzeczy z formulami dopuszczalnymi,
potrzebne jest pojecie funkcji wiec i teoria mnogosci. Mozna to zrobic tylko
nieformalnie. Drugie natomiast nie wymaga niczego moze poza konwencja zapisu,
ktora tlumaczylaby te aksjomaty.

Jest druga sprawa, duzo wazniejsza.
Kazda logika ma swoja semantyke i syntaktyke. Aksjomaty wyznaczaja jednoznacznie
pojecie prawdy. Mozna przez to posrednio odtworzyc funckje przypisujaca wartosci
logiczne. Wyroznia sie konsekwencje semantyczna i syntaktyczna.
Semantyczna poprawnosc zdania sprawdza sie w logice klasycznej tabelka.
Syntaktyczna natomiast poprzez formalna manipulacja aksjomatami.
First Incompletness Principle mowi, ze te dwa rodzaje konsekwencji sa rownowazne
dla logiki, ale juz nie dla wiekszych systemow. Konsekwencji semnatycznych jest
wiecej.
Moga istniec zdania semantycznie prawdziwe o obiekcie, ktorych nie da sie
dowiesc. Z tego wynika, ze nigdy nie da sie zdefiniowac tego co sie chce.

Second Incompletness Principle mowi, ze spojnosc teorii jest mozliwa do
udowodnienia tylko, jezeli zalozymy spojnosc logiki. Tym samym spojnosci logiki
nie mozna pokazac.

Te dwa wnioski maja bardzo duze znaczenie. Po pierwsze, nigdy nie mozna pokazac
sprzecznosci logiki nie odwolujac sie do kryteriow zewnetrznych - metapoziomu.
Jezeli w metapoziomie pojecie prawdy jest takie samo jak wyznaczone przez logike,
to nie ma sprzecznosci.
I tak, jezeli do logiki klasycznej dorzucimy aksjomat p i -p to mamy teorie
sprzeczna, ale tylko, jezeli nie zmienimy prawdy w metapoziomie, tzn dalej
bedziemy zakladac, ze prawda i falsz to falsz. Jezeli jednak zmienimy prawde w
metapoziomie na wyznaczona przez powiekszony uklad aksjomatow to logika bedzie
niesprzeczna ze wzgledu na brak kryterium jeszcze bardziej zewnetrznego.

To oznacza, ze pytanie, czy logika a wiec teoria jest niesprzeczna nie ma sensu.
Teoria nie jest niesprzeczna sama w sobie, ale jej niesprzecznosc zalezy od
arbitralnego kryterium zewnetrznego.

Po drugie z First incomplete principle wynika, ze wewnetrzna sprzecznosc teorii
to nic groznego. Zbior konsekwencji formalnych jest mniejszy od semantycznych,
wiec tak powstala teoria dalej bedzie nietrywialna. Zreszta mozna ja zrobic
niesprzeczna, przerzucajac ja w calosci do metasystemu.

To taki maly wstep.
wnioskiem koncowym moze byc stwierdzenie, ze te dwie zasady godla pokazaly, ze
semantyczna czesc teorii jest w duzym stopniu arbitralna, natomiast syntaktyczna
dopuszcza wlasciwie wszystko.

[Gość: Pulbek]

Caly czas na boku, na powrot do glownego watku jeszcze przyjdzie czas.

Gość portalu: thrundui napisał(a):

> > Co to jest 'logika semantyczna' w odroznieniu od
> > 'syntaktycznej'? I jakie sa jej cztery (bo pisales cos
> > o czterech) aksjomaty?
>
> wlasciwie to troche przesadzilem. Jest jedna logika klasyczna, ktora mozna
> wprowadzic na dwa sposoby. Mozna zaczac od zewnetrznego zbioru wartosci
> logicznych, funkcji przyporzadkujach zdaniom atomowym te wartosci logiczne a
> potem rozszerzac te funkcje na formuly dopuszczalne.
>
> Mozna tez inaczej - nie ma zdan atomowych, formul dopuszczalnych, zbioru wartos
> ci
> logicznych i funkcji przyporzadkujachi i operatorow logicznych. JEst zupelna
> proznia. Sa tylko trzy aksjomaty:
> 1 a->(b->a)
> 2 (a->(b->c))->((a->b)->(a->c))
> 3 (-b->-a)->((-b->a)->b)
> oraz
> 4 z a i a->b, wynika b
>
> nie jest potrzebna regula podstawiania.
>
> Te aksjomaty definiuja operatory logiczne. Jako zdania prawdziwe przyjmuje sie
> syntaktyczne konsekwencje tych aksjomatow.

Po zerowe: nagle przeszlismy tu z logiki 1-go rzedu do logiki zdaniowej. Nic
dziwnego ze tak malo tych aksjomatow, bo nie mamy kwantyfikatorow. Teorii zbiorow
to w tym nie napiszemy. Ale niewazne. Akurat w tym watku dyskusji nie ma to
znaczenia.

Po pierwsze: w tej logice, w ktorej napisales, mozna z latwoscia z formuly
'fi i nie fi' udowodnic wszystko, czyli nieoczekiwanie okazuje sie ze bzdura, jak
byles laskaw sie wyrazic, jest prawda. A oto dowod. Wez dowolna formule psi.
Korzystajac z 'fi i nie fi', pokazemy ze psi.

Najpierw lemat 1:
((a->b) i (-a->b)) -> b
dowod: to jest po prostu aksjomat 3, z wykorzystaniem faktu ze a->b <-> -b->-a. A
ten fakt (odwracanie implikacji) mozna z kolei pokazac z aksjomatu 2.

Teraz pokazujemy po kolei:
1. fi i nie fi (zalozenie)
2. fi (z 1)
3. nie fi (z 1)
4. nie psi -> fi (z 2, aksjomat 1)
5. nie psi -> nie fi (z 3, aksjomat 1)
6. nie fi -> psi (z 4, odwracanie implikacji)
7. fi -> psi (z 5, odwracanie implikacji)
8. (nie fi -> psi) i (fi -> psi) (z 6 i 7)
9. psi (zastosowanie lematu 1 do 8)

Oczywiscie formalne wyrazenie tego dowodu w systemie ktory podales (tylko jedna
regula dowodzenia, jak przykazal Hilbert) jest bardzo dlugasne i skomplikowane.
Ale mam nadzieje ze widzisz ze to sie da zrobic. Tak wiec bummm! mamy paradoks.
Chyba nie bzdura, mam nadzieje?

Po drugie: pojecie "formula dopuszczalna" w ogole nie jest mi znane. Czy chodzi
Ci o formuly poprawnie zbudowane? Ale w takim razie od poczatku dzialamy tylko na
nich. W aksjomatach, ktore podales, za zmienne zdaniowe mozna podstawiac tylko
formuly poprawnie zdefiniowane.

Po trzecie: mam wrazenie ze nie doczytales mojej opowiastki o tym jak sie robi
matematyke, bo tak podkreslasz ze 'logika semantyczna' jest cacy,
a 'syntaktyczna' be. Toz to wlasnie tak jest: matematyke zaczyna sie od logiki,
ktora nazywasz 'semantyczna', potem leci teoria zbiorow, a potem
ta 'syntaktyczna'... Czyzbym poprzednio napisal to niedokladnie?

[...]
Dalsze Twoje rozwazania o wynikach Goedla wydaja mi sie bez zwiazku z tematem.
Byc moze myslisz ze zwiazek jest wlasnie z powodu tej nieprzyjemnej pomylki:

> Tym samym spojnosci logiki nie mozna pokazac.
>
> [Ma to] bardzo duze znaczenie. Po pierwsze, nigdy nie mozna pokazac
> sprzecznosci logiki nie odwolujac sie do kryteriow zewnetrznych - metapoziomu.

To jest w ogole, ale to w ogole nieprawda! Goedel w grobie sie przewrocil. Nie
mozna pokazac _spojnosci_ teorii, ale jej niespojnosc, czyli sprzecznosc - jak
najbardziej. Zreszta przyklad jest powyzej.

> Jezeli w metapoziomie pojecie prawdy jest takie samo jak wyznaczone przez logik
> e,
> to nie ma sprzecznosci.
> I tak, jezeli do logiki klasycznej dorzucimy aksjomat p i -p to mamy teorie
> sprzeczna, ale tylko, jezeli nie zmienimy prawdy w metapoziomie, tzn dalej
> bedziemy zakladac, ze prawda i falsz to falsz. Jezeli jednak zmienimy prawde w
> metapoziomie na wyznaczona przez powiekszony uklad aksjomatow to logika bedzie
> niesprzeczna ze wzgledu na brak kryterium jeszcze bardziej zewnetrznego.
>

Logika klasyczna z aksjomatem 'p i nie p' zawsze bedzie sprzeczna, chocbys nie
wiem co wykombinowal. Po prostu wszystko sie w niej da pokazac i koniec.
Sprzecznosc w logice to czysto syntaktyczna wlasnosc, nie ma zwiazku z zadnymi
modelami, wartosciami logicznymi itd.

> To oznacza, ze pytanie, czy logika a wiec teoria jest niesprzeczna nie ma sensu
> Teoria nie jest niesprzeczna sama w sobie, ale jej niesprzecznosc zalezy od
> arbitralnego kryterium zewnetrznego.

Jest to, przykro mi stwierdzic, niezrozumienie wynikow Goedla. Twierdzenie Goedla
dotyczy wylacznie teorii niesprzecznych (zreszta, na mily Bog, wystarczy je
przeczytac!). W teorii sprzecznej mozesz udowodnic wszystko, nawet jej
niesprzecznosc.

>
> Po drugie z First incomplete principle wynika, ze wewnetrzna sprzecznosc teorii
> to nic groznego. Zbior konsekwencji formalnych jest mniejszy od semantycznych,
> wiec tak powstala teoria dalej bedzie nietrywialna. Zreszta mozna ja zrobic
> niesprzeczna, przerzucajac ja w calosci do metasystemu.
>
???
To znaczy ze jak konsekwencje formalne sa wszystkimi formulami to semantyczne to
jeszcze cos wiecej?



To tyle odpowiedzi. A teraz, jeszcze dodatkowe pytanie do Ciebie, ktore zadalem
juz dwa razy, ale ani razu nie doczytalem sie odpowiedzi:

Co to jest, wedlug Ciebie, definicja? Opowiedz mi jak najdokladniej, tak zebym
zrozumial. Zacznij od jej typu ontologicznego: czy to jest formula? Dwie formuly?
Symbol i formula?

A potem jeszcze powiedz co to znaczy ze cos _spelnia_ definicje. Nie musi byc
formalnie, ale tak zebym zrozumial. No i pamietaj zeby nie uzywac teorii zbiorow.


Pozdrawiam,

Pulbek.

(poprawka)

[Gość: Pulbek]

Przepraszam, chwile po wyslaniu poprzedniego listu znalazlem prostszy dowod ze
z 'fi i nie fi' wynika kazde psi. Lemat 1 ani odwracanie implikacji nie sa
potrzebne, dowod:

1. fi i nie fi (zalozenie)
2. fi (z 1)
3. nie fi (z 1)
4. nie psi -> fi (z 2, aksjomat 1)
5. nie psi -> nie fi (z 3, aksjomat 1)
6. (nie psi -> fi) i (nie psi -> nie fi) (z 4 i 5)
7. psi (z 6, aksjomat 3)

[Gość: thrundui]

> Po pierwsze: w tej logice, w ktorej napisales, mozna z latwoscia z formuly
> 'fi i nie fi' udowodnic wszystko, czyli nieoczekiwanie okazuje sie ze bzdura,
> jak byles laskaw sie wyrazic, jest prawda.

fakt, ta logika pozwala na wykazanie, ze z fi i nie fi wynika wszystko.
Wlasciwie to nawet dowod nie byl potrzebny bo sam napisalem o rownowaznosci
konsekwencji semantycznej i syntaktycznej.

> Tak wiec bummm! mamy paradoks.
> Chyba nie bzdura, mam nadzieje?

jeszcze nie paradoks a teorie trywialna.

> Czy chodzi Ci o formuly poprawnie zbudowane? Ale w takim razie od poczatku
> dzialamy tylko na nich. W aksjomatach, ktore podales, za zmienne zdaniowe mozna
> podstawiac tylko formuly poprawnie zdefiniowane.

Dlaczego?
Takiego ograniczenia nie ma.

> Po trzecie: mam wrazenie ze nie doczytales mojej opowiastki o tym jak sie robi
> matematyke, bo tak podkreslasz ze 'logika semantyczna' jest cacy,
> a 'syntaktyczna' be. Toz to wlasnie tak jest: matematyke zaczyna sie od logiki,
> ktora nazywasz 'semantyczna', potem leci teoria zbiorow, a potem
> ta 'syntaktyczna'... Czyzbym poprzednio napisal to niedokladnie?

Tak,
myslalem, ze najpierw wprowadzasz zdania atomowe, formuly dopuszczalne, tabelki
na naiwnej teorii mnogosci a potem to samo, tylko ze juz nie ma poprawnej.
Mi chodzilo o to, ze nie potrzeba zadnej teorii mnogosci.

> To jest w ogole, ale to w ogole nieprawda! Goedel w grobie sie przewrocil. Nie
> mozna pokazac _spojnosci_ teorii, ale jej niespojnosc, czyli sprzecznosc - jak
> najbardziej. Zreszta przyklad jest powyzej.

Tw Gogla (dla arytmetyki):
Zakladajac, ze PA jest spojna, wtedy PA nie dovodzi CON(PA)

Dokladna tresc twierdzenia (na wszelki wypadek)
PA - akcjomatyka arytmetyki peano
CON(PA) - spojnosc PA.

Godel nie przewrocilby sie w grobie bo to on wlasnie pokazal.
Jest uogolnienie tego twierdzenia, ktore przytoczylem, ale jego sformulowanie
zajeloby duzo miejsca.

> Logika klasyczna z aksjomatem 'p i nie p' zawsze bedzie sprzeczna, chocbys nie
> wiem co wykombinowal. Po prostu wszystko sie w niej da pokazac i koniec.
> Sprzecznosc w logice to czysto syntaktyczna wlasnosc, nie ma zwiazku z zadnymi
> modelami, wartosciami logicznymi itd.

Z twierdzenia godla wynika, ze bedzie niesprzeczna.
Niesprzecznosci nie da sie pokazac.
Teoria jest niesprzeczna, jezeli odpowiedzi, ktore daje nie wykluczaja sie
wzajemnie.
W logice klasycznej prawda i falsz to falsz, oraz zaprzeczenie prawdy to falsz.
Wiec zdania p i nie p wzajemnie sie wykluczaja.
Jezeli jednak wrzucisz do metasystemu logike ze zdaniem p i nie p
to to zdanie bedzie prawdziwe! Z definicji!
teraz nawet jezeli zaprzeczenie prawdy to falsz, to dalej parwda i falsz to
prawda! Nie ma wiec dwoch wzajemnie wykluczajacych sie zdan.

Nieporozumienie moze wynikac z tego, ze ty przyjmujesz, ze w metasystemie mamy
logike klasyczna. Ja kiedy zmieniam logike to w metasystemie, bo inaczej to
rozwazam teorie, a to nie jest zbyt ciekawe.

> > To oznacza, ze pytanie, czy logika a wiec teoria jest niesprzeczna nie ma
> sensu
> > Teoria nie jest niesprzeczna sama w sobie, ale jej niesprzecznosc zalezy od
> > arbitralnego kryterium zewnetrznego.

> Jest to, przykro mi stwierdzic, niezrozumienie wynikow Goedla. Twierdzenie
> Goedla dotyczy wylacznie teorii niesprzecznych (zreszta, na mily Bog, wystarczy
> je przeczytac!). W teorii sprzecznej mozesz udowodnic wszystko, nawet jej
> niesprzecznosc.

Tak sie sklada, ze przeczytalem i to w roznych postaciach.
Godel mial dwa twierdzenia. Jedno mowi o teoriach spojnycch - maja one modele
dowolnie dziwne. Drugie mowi o problemie niesprzecznosci.

> To znaczy ze jak konsekwencje formalne sa wszystkimi formulami to semantyczne
> to jeszcze cos wiecej?

Tu sie pomylilem
To to samo.

> To tyle odpowiedzi. A teraz, jeszcze dodatkowe pytanie do Ciebie, ktore zadalem
> juz dwa razy, ale ani razu nie doczytalem sie odpowiedzi:
> Co to jest, wedlug Ciebie, definicja? Opowiedz mi jak najdokladniej, tak zebym
> zrozumial.

Nie odpowiem dokladnie bo to strasznie wiele pisanimy.
W ksiazce, ktora mam przed soba, sa nastepujace definicje definicji (w
metasystemie)
- definicje relacji
- definicje stalych indywidualnych
- definicje stalych funkcyjnych
- definicje warunkowe
- definicje teorio-mnogosciowe
- definicje indukcyjne

wiecej szczegulow nie podam, bo prawde mowiac te definicje strasznie mi sie nie
podobaja. Szukam czegos lepszego.

I od siebie
chcialbym, aby pojecie definicji zostalo wyrzucone a nowe obiekty byly wprowadzane
poprzez teorie aksjomatyczne. Wtedy definicje obiektu fi typu fi i nie fi
bylyby dopuszczalne jak rowniez i wszelkie najdziwniejsze rekursje. Znaczenie
definiowanego obiektu byloby takie samo jak w teoriach - nie trzebaby go
interpretowac. Nie widze w tym wiekszych problemow - teorie typu teoria mnogosci
moze nadac sobie w swoich aksjomatach prawo do indywidualnego definiowania.
Wyrzucamy natomiast z metasystemu obrzydliwe definicje, ktore sa pojeciami z
zewnatrz - potrzebny jest silny jezyk potoczny aby mialy one sens.
Nie wierze za bardzo w istnienie dobrej, aksjomatycznej definicji definicji.

Na koniec
rozwazam tylko logike klasyczna a nie logiki pierwszego, drugiego czy trzeciego
poziomu, bo to ona jest w metasystemie, ona definiuje prawde. Pozostale to tylko
teorie rownie wazne jak arytmetyka.

[Gość: Pulbek]

Drogi thrundui,

Dlaczego mi nie napisales ze ktos Ci juz mowil te same glupstwa co ja?
Oszczedzilbys mi sporo czasu. Stefan troszke mi rozjasnil sprawe, wiec nie bede
Cie juz wiecej nudzil tylko wytkne Ci jeszcze pare rzeczy, a na koniec dam Ci, by
tak powiedziec, slowo na droge ode mnie, skromnego wyznawcy tej nudnej i
ograniczonej klasycznej matematyki.

Gość portalu: thrundui napisał(a):

> fakt, ta logika pozwala na wykazanie, ze z fi i nie fi wynika wszystko.
>
> > Tak wiec bummm! mamy paradoks.
>
> jeszcze nie paradoks a teorie trywialna.

Ludzie wlasnie to nazywaja paradoksem: sytuacje, w ktorej nagle cala matematyka
okazuje sie teoria trywialna.

>
> > Czy chodzi Ci o formuly poprawnie zbudowane? Ale w takim razie od poczatku
> > dzialamy tylko na nich. W aksjomatach, ktore podales, za zmienne zdaniowe
> > mozna podstawiac tylko formuly poprawnie zdefiniowane.
>
> Dlaczego?
> Takiego ograniczenia nie ma.
>

No coz. Trudno mi z tym argumentem polemizowac. W ksiazkach z ktorych uczylem sie
podstaw matematyki - bylo.

[...]
> > To jest w ogole, ale to w ogole nieprawda! Goedel w grobie sie przewrocil.
> > Nie mozna pokazac _spojnosci_ teorii, ale jej niespojnosc, czyli
> > sprzecznosc - jak najbardziej. Zreszta przyklad jest powyzej.
>
> Tw Gogla (dla arytmetyki):
> Zakladajac, ze PA jest spojna, wtedy PA nie dovodzi CON(PA)
>

O rany Boskie! Nawet umiesz to twierdzenie napisac, ale przeczytac - nie! Ja
mowie: jest 23.45, a Ty: "nie! jest za kwadrans polnoc!"

No prosze Cie, przeczytaj to twierdzenie. Czy ono mowi cokolwiek o udowadnianiu
sprzecznosci? Mowi tylko ze nie mozna udowodnic _niesprzecznosci_! I tylko w
niesprzecznych teoriach! Do naszej dyskucji o sprzecznosci tw. Goedla pasuje jak
piesc do nosa, nie widzisz tego? Ono jest o czyms zupelnie innym!

>
> > Logika klasyczna z aksjomatem 'p i nie p' zawsze bedzie sprzeczna, chocbys
> > nie wiem co wykombinowal. Po prostu wszystko sie w niej da pokazac i koniec.
>
> Z twierdzenia godla wynika, ze bedzie niesprzeczna.
> Niesprzecznosci nie da sie pokazac.

Sluchaj koles, ta teoria jest sprzeczna i koniec, twierdzenie Goedla w ogole sie
do niej nie stosuje, bo mowi tylko o teoriach spojnych! Mozna w niej wszystko
pokazac. Nawet to, ze jest niesprzeczna (chociaz to nieprawda). Wszystko,
rozumiesz? Co ci tu wynika z twierdzenia Goedla, jak?


> Teoria jest niesprzeczna, jezeli odpowiedzi, ktore daje nie wykluczaja sie
> wzajemnie.

A co to znaczy 'wykluczaja'? Zeby to okreslic musisz miec jakas semantyke,
metasystem, cokolwiek. Ale w logice tego miec nie musisz, sam przeciez na to
nalegales!

W matematyce mowi sie o wiele prosciej: teoria jest niesprzeczna, jezeli jest
jakies zdanie ktorego nie da sie w niej udowodnic. A motywacja dlaczego jest tak
a nie inaczej jest bardzo prosta: jezeli w jakiejs teorii daje sie wszystko
udowodnic, to jest ona diabla warta. Nic nie mowi o niczym. Cale zadanie logiki
to odroznianie zdan prawdziwych od falszywych. Jak jakas logika mowi ze wszystko
jest prawdziwe, to niczego nie robi.

[...]
> Nieporozumienie moze wynikac z tego, ze ty przyjmujesz, ze w metasystemie mamy
> logike klasyczna. Ja kiedy zmieniam logike to w metasystemie, bo inaczej to
> rozwazam teorie, a to nie jest zbyt ciekawe.
>

Ja w ogole nie rozwazam zadnego metasystemu, w ogole nie wiem o co Ci chodzi.
Skad tu nagle wyskakuje jakis metasystem? Logika to zdania i dowody, nic wiecej!
O zadnym metasystemie mowy tu nie ma!


> Na koniec: rozwazam tylko logike klasyczna a nie logiki pierwszego, drugiego
> czy trzeciego poziomu, bo to ona jest w metasystemie, ona definiuje prawde.
> Pozostale to tylko teorie rownie wazne jak arytmetyka.

Niestety ten akapit kaze mi podejrzewac ze nie wiesz co to jest logika 1-go
rzedu. Wobec tego polecam dowolna ksiazke do logiki matematycznej. Ja tylko
powiem ze nie ma ona nic wspolnego z zadnymi poziomami ani tym bardziej z jakimis
tajemniczymi metasystemami, jak rowniez nie da sie jej zdefiniowac jako teorii w
logice zdaniowej (to ta, ktora Ty nazywasz 'klasyczna').


To tyle. Przepraszam za zbyt duzo wykrzyknikow. Zawsze sie wkurzam jak ktos
zaczyna grzebac przy Goedlu mlotem i obcegami.


Obiecalem jeszcze slowo na droge. Napisales ze nie wiesz do konca czym powinna
byc definicja, ale ze klasyczne jej postaci wydaja Ci sie zbyt ubogie. A wiec do
dziela! Nikt nie powiedzial ze matematyka jest juz doskonala, rewolucje sa dla
ludzi. Wykombinuj wlasna logike, pojecie definicji, teorie zbiorow...

I tylko jedno ostrzezenie. Uwazaj na to, zeby byly jakies rzeczy ktorych w swojej
logice nie mozesz udowodnic. Bo inaczej, jak pokazesz komus taka logike 'w ktorej
co prawda wszystko jest prawdziwe, ale jak sie zmieni metasystem,...', to ten
ktos Ci powie: "A na co mnie to?"


Powodzenia,

Pulbek.

[Gość: thrundui]

> > Dlaczego?
> > Takiego ograniczenia nie ma.

> No coz. Trudno mi z tym argumentem polemizowac. W ksiazkach z ktorych uczylem
> sie podstaw matematyki - bylo.

Bo to bylo to pierwsze sformulowanie.
Nie mozna definiowac jak mozna uzywac implikacji poki nie ma implikacji.

> > Tw Gogla (dla arytmetyki):
> > Zakladajac, ze PA jest spojna, wtedy PA nie dovodzi CON(PA)

> No prosze Cie, przeczytaj to twierdzenie. Czy ono mowi cokolwiek o udowadnianiu
> sprzecznosci?

A kto powiedzial, ze mowi.
Ona mowi posrednio!
Ta wersja moze nie jest najszczesliwsza, nalezaloby przedstawic twoerdzenie o
dowodzeniu spojnosci dla teorii poszerzonej, ale jest brak miejsca na
sformulowanie teorii. To mial byc sygnal o ktorym twierdzeniu mowie, bo mialem
wrazenie ze mowimy o innych twierdzeniach. Uzasadnienie pelne mialo byc
dointerpretowane.

Zadna postac twierdzenia godla nie mowi dokladnie to co ja. To jest wniosek.
Aby uniknac zarzutu niezrozumienia cytat:
"to prove that the axioms of a formal system are consistent (i.e. do not
contradict each other), we must assume that the metasystem is reliable. This
aumption is easy to make in some cases, where the metasystem is very simple. But
godel's second incompletness principle showed, that the consistency of certain
important axiomatic systems can only be proved by assuming the consistency of
certain other logical systems, that are at least as complicated as subject to
doubt; thus an absolute proof of consistency is not possible."

Czyli mam pelne prawo zakladac, ze logika klasyczna z p i nie p wrzucona do
metasystemu jest niespreczna. Temat z godlem jest potrzebny, poniewaz ja uwazam
za logike tylko to co jest w metasystemie. Wtedy na spojnosc z p i nie p
strasznie sie obrazisz, chociaz za bardzo nie masz powodow.

> Sluchaj koles, ta teoria jest sprzeczna i koniec, twierdzenie Goedla w ogole
> sie
> do niej nie stosuje, bo mowi tylko o teoriach spojnych!

Nie
tylko w teoriach, ktorych spojnosc zalozymy posrednio przez spojnosc logiki.
Spojnosc logiki natomiast nie jest dana przez jej aksjomaty a jest postulowana.
Czyli spojnosc kazdej teorii moze byc co najwyzej postulowana a nigdy udowodniona
absolutnie.

> Ja w ogole nie rozwazam zadnego metasystemu, w ogole nie wiem o co Ci chodzi.
> Skad tu nagle wyskakuje jakis metasystem? Logika to zdania i dowody, nic wiecej
> !
> O zadnym metasystemie mowy tu nie ma!

Chyba nie dokladnie przeczytales podreczniki
Cala matematyka opiera sie na metasystem z logika klasyczna, definicjami
definicji, pojeciem teorii, konsekwencji, dowodu, itp.

Pozniej na poziom teorii wchodzi teoria mnogosci i logiki wyzszych poziomow,
ktore to teorie sa nastepnie rozszerzane przy konstrukcji nastepnych teorii.
W ksiazce "zarys logiki matematycznej" grzegorczyka, BM, pol dosc sporej ksiazki
jest w duzej mierze o metasystemie.

> Nikt nie powiedzial ze matematyka jest juz doskonala, rewolucje sa dla
> ludzi. Wykombinuj wlasna logike, pojecie definicji, teorie zbiorow...

Nie za to mi placa.

[Gość: Pulbek]

No dobrze. Mialem juz sie nie odzywac, bo co do definicji
juz sie nie dogadamy, ale jednak jaskrawego falszu nie
moge zdzierzyc. Jezeli Ci nie odpowiem to mozesz pomyslec
ze masz racje z tym Goedlem, a bylaby to szkoda.

Gość portalu: thrundui napisał(a):

> > > Tw Gogla (dla arytmetyki):
> > > Zakladajac, ze PA jest spojna, wtedy PA nie dovodzi
> > > CON(PA)
>
> > No prosze Cie, przeczytaj to twierdzenie. Czy ono
> > mowi cokolwiek o udowadnianiu sprzecznosci?
>
[...]
>
> Zadna postac twierdzenia godla nie mowi dokladnie to co
> ja. To jest wniosek. Aby uniknac zarzutu niezrozumienia
> cytat:
> "to prove that the axioms of a formal system are
> consistent (i.e. do not contradict each other), we must
> assume that the metasystem is reliable. This asumption
> is easy to make in some cases, where the metasystem is
> very simple. But godel's second incompletness principle
> showed, that the consistency of certain important
> axiomatic systems can only be proved by assuming the
> consistency of certain other logical systems, that are
> at least as complicated as subject to doubt; thus an
> absolute proof of consistency is not possible."
>
> Czyli mam pelne prawo zakladac, ze logika klasyczna z p
> i nie p wrzucona do metasystemu jest niespreczna.

No dobrze, spokojnie. Mam prosbe - nie spiesz sie
czytajac ten list, zeby to zrozumiec potrzeba chwili.
Postaram sie nie rozwlekac za bardzo.

Co mowi ten cytat powyzej? Podsumowuje go ostatnie
zdanie: "bezwzgledny dowod niesprzecznosci jest
niemozliwy". To jest wlasnie z grubsza wyrazone
twierdzenie Goedla.

Ty wyciagasz z tego wniosek: "bezwzgledny dowod
sprzecznosci jest niemozliwy". Jest to wniosek
nieuprawniony az do chwili w ktorej dokladnie opowiesz
jak go wyciagnales.

Co dowodzenie niesprzecznosci ma wspolnego z dowodzeniem
sprzecznosci? W systemach niezupelnych - nic. A kazdy
bogaty system jest niezupelny, wlasnie na mocy
twierdzenia Goedla.

Twierdzenie Goedla mowi:

1. "Jesli teoria jest niesprzeczna, to nie mozna w niej
udowodnic ze jest niesprzeczna".

Oprocz tego zachodza inne dwa twierdzenia, nie noszace
nazwisk bo sa bardzo proste, zachodza wlasciwie z
definicji:

2. "Jesli teoria jest sprzeczna, to mozna w niej
udowodnic ze jest sprzeczna".

3. "Jesli teoria jest sprzeczna, to mozna w niej
udowodnic ze jest niesprzeczna".

Jezeli wydaje Ci sie ze te trzy zdania sie ze soba nie
zgadzaja, to walnij glowa w sciane i zastanow sie jeszcze
raz. W koncu zrozumienie przyjdzie.

A Ty twierdzisz:
4. "Nie mozna udowodnic ze teoria jest sprzeczna, nawet
jezeli jest sprzeczna".

To sie oczywiscie nie zgadza ze zdaniem 2. No dobrze,
powiedzmy ze nie wierzysz w zdanie 2. Ale wytlumacz mi
_powoli_ i _dokladnie_ dlaczego zdanie 4 jest wnioskiem
ze zdania 1. Czekam z niecierpliwoscia.


Jeszcze uwaga terminologiczna:

W matematyce przyjelo sie, slowami "sprzeczna",
"niespojna", "inconsistent", "contradictory" nazywamy
teorie, w ktorych da sie wszystko udowodnic. A
"niesprzeczna", "spojna", "consistent" to takie teorie, w
ktorych pewne zdania nie daja sie udowodnic.

Cos mi sie wydaje ze nie zgadzasz sie z ta terminologia.
Ale w takim razie powolujac sie na tw. Goedla dokonujesz
oszustwa, bo Goedel wlasnie tej terminologii uzywal. W
twierdzeniu Goedla, ktore podales, slowo "spojna" znaczy
wlasnie to co napisalem w poprzednim akapicie. Jezeli
zmieniasz terminologie, to musisz udowodnic twierdzenie
Goedla od nowa, co obawiam sie moze nie byc latwe.

Zauwaz ze zdania 2. i 3. powyzej wynikaja wprost z takiej
definicji niesprzecznosci jak podalem.

Pozdrawiam i czekam na wyprowadzenie zdania 4 z
twierdzenia Goedla.

Pulbek.

[Gość: thrundui]

> Ty wyciagasz z tego wniosek: "bezwzgledny dowod
> sprzecznosci jest niemozliwy". Jest to wniosek
> nieuprawniony az do chwili w ktorej dokladnie opowiesz
> jak go wyciagnales.

Fakt
z godla nie wynika, ze dowod sprzecznosci logiki jest niemozliwy.
Zreszta po dokladniejszej analizie, wogule uzasadnianie niesprecznosci logiki z
p i -p w ten sposob nie mialo sensu.

> W matematyce przyjelo sie, slowami "sprzeczna",
> "niespojna", "inconsistent", "contradictory" nazywamy
> teorie, w ktorych da sie wszystko udowodnic.

Nie do konca.
jedna z definicji:
Zbior aksjomatow jest sprzeczny, jezeli jego konsekwencja jest zdanie -(p->p)
dla pewnego p. Wedlug mnie twoja definicja jest lepsza i ze one nie sa rownowazne.

Definicja formalna sprzecznosci nie nadaje sie do rowazan nad logika.
W ogolnej logice nie musi byc pojecia negacji ani nawet implikacji.
Jezeli wezmiemy logike z aksjomatem:
-(p->p)
to ona bedzie sprzeczna z definicji.
Tyle tylko, ze tutaj nie da sie udowodnic prawie niczego. Nie ma nawet reguly
odrywania. Uogolnienie sprzecznosci jakie znalazlem odwoluje sie do funkcji
przyporzadkujacej wartosci logiczne a to podejscie nie wydaje mi sie najlepsze.

Wracajac do logiki z p i nie p.
To, ze moja argumentacja nie wyszla jeszcze nie dowodzi, ze logika ta jest
sprzeczna.
Na razie tylko wynika z niej fi.
A to prowadzi tylko do zbioru wszystkich formul dopuszczalnych a nie do zbioru
wszystkich formul.

dalej zdanie p-> jest chyba falszywe, gdzie -> to implikacja a nie symbol
implikacji.

Nie widze powodu, dla ktorego p-> mozna tutaj podstawic za fi.
Nie ma przeciez reguly podstawiania. Z drugiej strony takie zdanie chyba wogule
nie istnieje, chociaz to tez bez sensu bo nie mamy jeszcze istnienia.

[Gość: Stefan]

Pulbek, opusciles jedna dyskusje o logice, ktora sie odbyla w jakims innym watku
miedzy Thrunduilem a mna. Przeszlismy przez wiele nieporozumien, ktore Ci
streszcze moimi slowami, bo po co masz potykac sie o te same roznice
terminologii, o ktore ja juz sie potknalem. Oczywiscie moglem cos zle
zrozumiec, ale w takim razie Thrunduil moze mnie sam poprawic.

1. Thrunduil rozumie slowo ,,logika'' w sposob zupelnie inny niz matematycy.
Utozsamia ja z rachunkiem zdan i uwaza, ze te trzy aksjomaty oraz regula
odrywania okreslaja pojecie prawdy (czy moze ,,prawdy syntaktycznej'', nie
jestem pewien). Nie zaakceptowal mojego stwierdzenia, ze te aksjomaty
okreslaja jedynie dzialanie spojnikow. Chociaz w jego ostatnim wykladzie
pobrzmiewaja jakby echa obu pogladow.

2. Nie zgadza sie na uznanie tych aksjomatow za schematy aksjomatow, ani na
przyjecie dodatkowej reguly podstawiania. Jednak pozwala na magiczne
podstawianie czegokolwiek za zmienne zdaniowe. Aby tylko tego pozwolenia nie
nazwac jawnie regula podstawiania.

3. Absolutnie nie zgadza sie na rozroznianie zdan poprawnie i niepoprawnie
zbudowanych. Pod literki w aksjomatach mozesz wstawiac co chcesz i jest OK.

4. Uwaza, ze nie ma czegos takiego, jak sprzeczna teoria formalna. Kazda jest
niesprzeczna, bo mozna pisac, co sie chce i zawsze jest dobrze. Nie
zareagowal na moja propozycje, zeby uznac teorie za sprzeczna o ile kazde
poprawnie zbudowane zdanie jest jej twierdzeniem. Sadze, ze czegos takiego
nie moze zaakceptowac, skoro u niego kazdy kleks na kartce jest zdaniem
poprawnie zbudowanym.

5. Poniewaz w logice wszystko wolno, nie nadaje sie ona do niczego i nic z niej
nie wynika. Poniewaz matematyka jest zbudowana w logice, nie jest nauka.
Byc moze stad wywodza sie opinie Thrunduila, ze ,,paradoksy w matematyce nie
istnieja'' albo ,,w matematyce nie trzeba sie meczyc z niczym''. Jak Cie cos
meczy, to dorzuc co chcesz do aksjomatow i koniec meki. Nie ma zadnego
kryterium odrozniajacego absurd, ktory w ten sposob otrzymasz, od porzadnej
szacownej teorii matematycznej.

- Stefan

P.S. Wlasnie przed chwila do aksjomatu ,,a -> (b -> a)'' podstawilem sobie:
,,(p'' za ,,a''
,,q -> p))'' za ,,b''
i otrzymalem ,,(p -> (q -> p)) -> (p)''. Poniewaz poprzednik tej implikacji
jest aksjomatem, wiec cokolwiek w nawiasie jest twierdzeniem logiki. Byc moze
daloby sie wyeliminowac ten nawias, ale musze na jutro napisac dowod zupelnie
innego twierdzenia podstawiajac za zmienne zdaniowe wylacznie poprawnie
zbudowane zdania.

[Gość: thrundui]

> P.S. Wlasnie przed chwila do aksjomatu ,,a -> (b -> a)'' podstawilem sobi
> e:
> ,,(p'' za ,,a''
> ,,q -> p))'' za ,,b''
> i otrzymalem ,,(p -> (q -> p)) -> (p)''.

to nie takie proste.
Czym innym jest nawias a czym innym symbol nawiasu. Musialbys pokazac, ze ten
twoj symbol nawiasu to nawias w rozumieniu definicji.

[Gość: Stefan]

Troche sie balem streszczac Twoje poglady, bo to jest zawsze niebezpieczne, ale
ciesze sie, ze kwestionujesz tylko jedno wyprowadzenie.

Ja:
> P.S. Wlasnie przed chwila do aksjomatu ,,a -> (b -> a)'' podstawilem
> sobie:
> ,,(p'' za ,,a''
> ,,q -> p))'' za ,,b''
> i otrzymalem ,,(p -> (q -> p)) -> (p)''.
thrundui:
> to nie takie proste.
> Czym innym jest nawias a czym innym symbol nawiasu. Musialbys pokazac, ze ten
> twoj symbol nawiasu to nawias w rozumieniu definicji.

Nawias w rozumieniu KTOREJ definicji? Podales tylko trzy schematy aksjomatow i
jedna regule. Nie zgodziles sie nie tylko na zadne dodatkowe reguly i definicje
ale nawet na pojecie wyrazenia poprawnego. Nagle oznajmiasz, ze jest jeszcze
jakas utajona definicja rozrozniajaca nawiasy od symboli nawiasow i ze istnieja
metody pokazywania, ze niektore symbole nawiasow to nawiasy. I ze jak sie
zastapi nawias symbolem nawiasu, to sie otrzyma cos niepoprawnego.

Cos bardzo istotnego dla procesu dowodzenia dzieje sie u Ciebie za kulisami.
Zwyczajem matematykow jest pozostawianie za kulisami tak malej ilosci rzeczy,
jak tylko sie da. Wszystko istotne ma sie rozgrywac na scenie. Jesli na scenie
nie ma reguly podstawiania, to nie wolno niczego podstawiac. Jesli jest, to
musi dokladnie precyzowac co wolno podstawiac, i za co wolno podstawiac, i jak
sie podstawia. Jesli jakas prezentacja matematyczna tego nie czyni, to oznacza
ze autor zaklada, ze czuly sluchacz w swym sercu dospiewa. I na ogol sluchacz
dospiewuje bez trudu.

OGOLNA UWAGA:
Pomalu zaczynam rozumiec, dlaczego uwazasz, ze logika i matematyka sa psu na
bude. To jest nieunikniona konsekwencja Twojego stanowiska, ze przy dowodzeniu
wszystko wolno. Odrzuciles dyscypline stosowana przez matematykow, wiec
otrzymales balagan, z ktorego albo nic nie wynika, albo wszystko wynika, a w
kazdym razie nie jest tak, ze wynikaja sensowne wnioski.

- Stefan

[Gość: thrundui]

> Nawias w rozumieniu KTOREJ definicji? Podales tylko trzy schematy aksjomatow i
> jedna regule. Nie zgodziles sie nie tylko na zadne dodatkowe reguly i definicje
> ale nawet na pojecie wyrazenia poprawnego.

W tych trzech aksjomatach jest:
p,q,r,'->','-','(',')'
w takiej sytuacji nie wolno podstawiac sobie za nawias co sie chce
Nie ma zadnych utajnionych nawiasow

Co do braku reguly podstawiania to nie moj pomysl.
Kiedys przyjmowalem, ze jest bo tak bylo we wszystkich definicjach.
Ale niedawno natrafilem na dwie ksiazki, gdzie tego nie ma. W jednej nawet
wyraznie zaznaczyli, ze to nie pomylka.

Wlasciwie, to uznalem, ze taka logika jest rowniez niepoprawna.
Problemy z podstawianiem implikacji rozwiazano w ten sposob, ze zaczeto
rozrozniac symbol od jego znaczenia jakimis innymi symbolami.
Podstawianie dalej bylo, chociaz to juz wlasciwie nie wiem w jaki sposob. Zreszta
problem nie lezy w tym, ze za p podstwic p->
ale nie widac powodu dlaczego za implikacje nie mozna czegos podstawic.

Formuly dopuszczalne sa bez sensu bo operuja na czyms czego jeszcze nie ma.
Jezeli chce sie tak zrobic, to trzebaby je potraktowac jako definicje symboli, a
tego sie nie robi. Reguly podstawiania tez sa bez sensu, bo
one wygladaja jakos tak P[r:=Q]. Jezeli ten symbol jest aksjomatem, to brakuje
aksjomatu, ze znowu za Q mozna cos innego podstawic, a jezeli w jezyku to nic nie
znaczy, bo jeszcze nie ma formul z powodu poprzedniego.

Mialem nadzieje, ze mozna zdefiniowac logike bez odwolywania do jezyka
zewnetrznego ale to jest chyba niemozliwe.
Ale tutaj jest regres. Z tego wynika, ze jezyka zewnetrzengo tez nie mozna
zdefiniowac, wiec cala matematyka nie zawiera zadnej definicji, a tylko pobozne
zyczenia rozumiane w sposub intuicyjny. To nawet zabawne ze prace z logiki maja
wiecej tekstu niz w wielu innych dzialach matematyki.

> OGOLNA UWAGA:
> Pomalu zaczynam rozumiec, dlaczego uwazasz, ze logika i matematyka sa psu na
> bude. To jest nieunikniona konsekwencja Twojego stanowiska, ze przy dowodzeniu
> wszystko wolno.

Ale nie wolno wszystkiego.
Zaczynajac od definicji logiki bez aksjomatu nie zadnego dowodu.
jak jest aksjomat p->p, to to jest chyba jedyne twierdzenie,
Tak wiec nie wolno bardzo wiele.

Wlasciwie to teraz sa trzy mozliwosci.
Albo przyjac, klasyczna definicja bez zadnych dodatkowych zalozen, ale wtedy
musimy zgodzic sie na podstawianie na '->' np )(. Wtedy mamy teorie spojna ale
zupelnie inna niz chcielismy. Nie jest to teoria trywialna, bo np nie mozna
skreslic rownania.

Albo przyjac, ze matematyka to jeszcze wieksza bzdura niz na wczesniej sadzilem.
Teraz juz nie tylko logika jest arbitralna, ale nawet opiera sie na zupelnie
idiotycznym jezyku naturalnym, ktory tak naprawde nawet nie istnieje.
Poniewaz jest zbudowana na nim, wiec jest jego szczegolnym przypadkiem, posiada
wiec wszystkie jego wady a pewnie i wiecej.

Nie znaczy to, ze matematyka, jest bezuzyteczna.
Jest uzyteczna w ten sposob, ze stanowi zrodlo pomyslow w innych naukach. Tyle
tylko, ze mozna z niej brac co sie chce i to w sposob calkowicie wyrywkowy. Mozna
np zupelnie zignorowac sobie zalozenia a ewentualne przeksztalcenia dokonywac na
zasadzie "natchnelo mnie".

W takiej sytuacji "paradoksy" w matematyce sa zupelnie bezuzyteczne.
Ich jedyna konsekwencja to to, ze moga prowadzic co najwyzej do teorii sprzecznej.
Jedyny ich skutek to sprzecznosc. Ale sprzecznosc nic nie znaczy. Jak zapisze sie
to w prawdziwej postaci, ze paradoksy prowadza do qwerty, gdzie qwerty <->, gdy
konsekwencja teorii jest -(p->p). Ich waznosc gwaltownie spada. Pokazuja tylko,
ze pare dziwnych znaczkow bez interpretacji prowadzi do qwerty. I jeszcze robic z
tego sensacje. Maja one jeszcze mniejsza wage, bo nie sa nawet wyrazone we
wlasnym jezyku tylko naturalnym. W jezyku naturalnym qwerty nie wydaje sie
odgrywac jakas role.

Pytania

[innppp]

Dyskusja jest pasjonujaca.

Czy dobrze rozumiem, ze thrundui oprocz udowodnienia,
ze nie ma
strzalki czasu, ze jego swiadomosc jest rownowazna ze
swiadomoscia
kamienia (oraz paroma pomniejszymi dokonaniami), obalil
wlasnie
cala matematyke?

Jesli tak, to zapytam thrundui : CZY C0S JEST? C0 JEST?

Stefan, Pulbek - przyznajcie sie wreszcie, ze nie
potraficie udowodnic, ze
cokolwiek jest :). Thrundui chyba nie wierzy, ze
cokolwiek jest i ma tu swoja
racje - nie dacie rady mu nic udowodnic.

P*
E*

[Gość: Stefan]

thrundui:
> W tych trzech aksjomatach jest:
> p,q,r,'->','-','(',')'
> w takiej sytuacji nie wolno podstawiac sobie za nawias co sie chce

Ja nie podstawialem za nawias. Podstawialem za zmienne. Tylo ze podstawiane
wyrazenie bylo niepoprawnie zbudowane ze wzgledu na niewlasciwa ilosc nawiasow.
Skorzystalem zlosliwie z Twojego stwierdzenia, ze nie ma zadnych poprawnie i
niepoprawnie zbudowanych wyrazen i mozna podstawiac wszystko. Jak wszystko, to
i zdanie ze zlymi nawiasami. Moim celem bylo pokazanie, ze jak nie zdefiniujesz
jezyka Twojego rachunku zdan, to moga Ci sie w nim porobic absurdy.

thrundui:
> Co do braku reguly podstawiania to nie moj pomysl.
> Kiedys przyjmowalem, ze jest bo tak bylo we wszystkich definicjach.
> Ale niedawno natrafilem na dwie ksiazki, gdzie tego nie ma. W jednej nawet
> wyraznie zaznaczyli, ze to nie pomylka.

Dwie ksiazki o rachunku zdan?! Czy Ty jestes pewien, ze nie tracisz czasu? Ile
mozna napisac o rachunku zdan?

Jesli nie bylo reguly podstawiania, to widze nastepujace mozliwosci:

[Gość: thrudnui]

>Moim celem bylo pokazanie, ze jak nie zdefiniujes z
> jezyka Twojego rachunku zdan, to moga Ci sie w nim porobic absurdy.

Nie takie znowu absurdy.
Jezeli uznam, ze tego nie da sie naprawic, to uznam to za normalne.

> thrundui:
> > nie widac powodu dlaczego za implikacje nie mozna czegos podstawic.

> Powod jest taki, ze implikacja nie jest zmienna. Wolno podstawiac tylko za
> zmienne. I wolno podstawiac tylko wyrazenia poprawnie zbudowane (nalezy wiec je
> przedtem wprowadzic). CZASEM przyjmuje sie dodatkowe ograniczenia na
> podstawianie, ale TE ograniczenia ZAWSZE. A wiec nie wolno podstawic zadnego
> ,,p ->'' ani ,,p))'' bo to nie sa poprawnie zbudowane wyrazenia. Chyba ze
> wprowadzisz wczesniej jawnie taki jezyk, w ktorym sa one poprawne. W ksiazce,
> z
> ktorej wyjales Twoje 3 aksjomaty, te wyrazenia NA PEWNO byly niepoprawne.

Mi nie chodzi o zdefiniowanie zwyklej logiki. To wiem jak sie robi. Te definicje
opieraja sie na jezyku naturalnym. Nie zaakceptuje zadnej definicji, ktorej nie
zrozumie przecietnie inteligenta czarna skrzynka z galaktyki andromeda. Dla
uproszczenia moge przyjac, ze wiemy, ze zrozumie skladnie, ale nie zrozumie
symboli i wyrazow.

A klasycznych nie zrozumie, bo sa w niej najdziwniejsze znaczki ->, ktore
przyjmuje sie za zrozumiale, a pozniej co najwyzej sie je doprecyzowuje. NIe
mozna uzywac symboli, ktorych znaczenie nie jest dane. Daltego tez jezyk mozna
zdefiniowac tylko jednoczesnie z aksjomatami albo pozniej a nigdy wczesniej.

Na poczatku jednak nie ma zadnej roznicy miedzy p i ->. Dlatego tez nie widze
powodow dlaczego nie mozna podstawiac za implikacje. Metoda od jezyka po formuly
a potem definicje znakow w logice jest nie do przyjecia.

> Zaczyna sie od definicji jezyka.

Jaka sliczna strata czasu. Najpierw zaczynamy od jezyka np polskiego, gdzie juz
jest wiele pojec. Gdzie zakladamy, ze wiadomo co to jest nie i wynika, a potem to
definiujemy. Po co?


> Wtedy formuly dopuszczalne juz sa.
>
> > Reguly podstawiania tez sa bez sensu, bo one wygladaja jakos tak P[r:=Q].
>
> Cokolwiek rozumiesz przez ten zawijas na koncu zdania, to NA PEWNO nie jest
> regula wnioskowania. Prawdopodobnie masz na mysli FORMULE: wynik podstawienia
> Q za r w P. Zanim sie poda regule podstawiania, trzeba zdefiniowac operacje
> podstawiania (Twoje [r:=Q]). To sie robi przez indukcje strukturalna po
> definicji jezyka, ktora juz w tym momencie musi byc znana (patrz poprzedni
> akapit).

Wiem, ze tak sie robi. Tylko dlaczego tak wolno. Nie rozumiem jak moze istniec
pojecie implikacji przez zdefiniowaniem implikacji.
A wtedy jak zdefniowac formuly, ktore zawieraja cos, czego jeszcze nie ma. Wtedy
tez nie za bardzo mozna pod stawiac bo niby w czym.

Definicje indukcyjne w etapie budowania jezyka to tez wielkie dziwactwo i z
innego powodu. Tam sie przeciez uzywa implikacji. Cos co bedzie daleko pozniej.

[Gość: thrundui]

ostatnio wpadlem na pewien pomysl jak rozwiazac problem reguly podstawiania bez
definiowania formul dopuszczalnych. Oto nowa definicja logiki:
1 a->(b->a)
2 (a->(b->c))->((a->b)->(a->c))
3 (-b->-a)->((-b->a)->b)
4 a
5 b
6 c
7 z a i a->b, wynika b
8. (Zasada celowosci implicite)

Najwazniejsze sa aksjomaty 4,5,6. Z nich mozna chyba sobie dospiewac, ze
a i np. a->(b->a) to cos bardzo podobnego i wlasciwie za a mozna to podstawic.
Mamy tez juz wyrazna asymetria miedzy a i -> czego nie ma w klasycznej
definicji logiki.
Nie jest to oczywiscie oczysiste, ale chyba wynika z aksjomatu 8. Jezeli z tego
nie wynika mozliwosc podstawiania to po co to zostalo napisane?

Jezeli interpretacja celu aksjomatow a,b,c jest wlasciwa to mamy juz definicje
formuly. Formula jest to wszystko co jest generowane przez aksjomaty 1-8.

Zastanawialem sie nad problemem "sprzecznosci" - czy ten uklad aksjomatow nie
generuje wszytskich formul klasycznie uwazanych za dopuszczalne i nie znalazlem
powodu dla ktorego tak musialoby byc.

Teorie tworzymy dodajac kolejne aksjomaty np.
9. ^p
Prawda to jest wszytsko to co jest generowane przez aksjomaty.

Pojecia sprzecznosci nie ma. Sprzecznosc mozna rozumiec tylko w ten sposob, ze
zdanie jednczesnie jest prawdziwe i falszywe. A takie cos jest nie mozliwe z
definicji prawdy. Tym samym tez kazda logika jest niesprzeczna.

Nie mozna chyba tez w zaden sposob uzyskac wszystkich formul jezeli nawet
dodamy aksjomat 9. -p. W normalnej logice to prowadzi do zbioru wszystkich
formul dopuszczalnych ale juz nie do wszystkich formul. W mojej poprzedniej
interpretacji reguly podstawiania prowadzi to do wszystkich formul.

Ale teraz to prowadzi tylko do zbioru wszystkich formul klasycznie
dopuszczalnych. Tyle tylko, ze o ile w klasycznej logice to jest problem, bo
formuly dopuszczalne sa uprzywilejowane od poczatku przez jezyk, to teraz nie
ma zadnego uprzywilejowania. Teraz jest to zdanie trywialne, bo kazda logika
prowadzi do zbioru wszystkich formul dopuszczalnych w tej logice. W wersji bez -
p formuly dopuszczalne to tylko tautologie. Teraz klasyczne formuly
dopuszczalne nie maja znaczenia bo ich definicja w tym systemie jest absolutnie
arbitralna. Rownie dobrze moglbym dodac do nich ->p a taka formula nie jest juz
generowana przez ten uklad. Wiec definicja teorii w oparciu o formuly
dopuszczalne jest absolutnie arbitralna i bez znaczenia.

Dla spojnosci tej teorii wyrzucilbym jeszcze pojecie prawdy semantycznej. Tym
samym nie ma juz problemow z twierdzeniami godla, obliczalnoscia, problemem
stopu maszyny turinga i innymi dziwactwami.

[Gość: Stefan]

Thrunduil:
> ostatnio wpadlem na pewien pomysl jak rozwiazac problem reguly podstawiania
> bez definiowania formul dopuszczalnych. Oto nowa definicja logiki:
> 1 a->(b->a)
> 2 (a->(b->c))->((a->b)->(a->c))
> 3 (-b->-a)->((-b->a)->b)
> 4 a
> 5 b
> 6 c
> 7 z a i a->b, wynika b
> 8. (Zasada celowosci implicite)

Jesli chcesz zrobic cos tak neistandardowego, jak niewprowadzanie pojecia
formuly dobrze zbudowanej, to musisz na nowo powiedziec, co rozumiesz przez
wywod w tym systemie. Normalnie wywod to jest drzewo skonczone majace w
lisciach aksjomaty a w wezlach wenetrznych reguly wnioskowania odpowiednio
zastosowane do wychodzacych z nich galezi. Te reguly wnioskowania daja sie
zastosowac tylko do formul dobrze zbudowanych. To sie oczywiscie formuluje
scislej; a mozna tez podac inne rozwnowazne definicje, jesli ktos np. nie lubi
drzew. Twierdzenie to jest dowolna formula stojaca w korzeniu jakiegos wywodu.

Poniewaz upierasz sie, zeby nie rozrozniac miedzy regulami wnioskowania a
aksjomatami, takie rozumienie wywodu jest u Ciebie nie do zastosowania. Podaj
wiec Twoje wlasne. Musisz jakos nadac sens tym slowom:

Thrunduil:
> Formula jest to wszystko co jest generowane przez aksjomaty 1-8.

Bo inaczej nie wiem, co to znaczy ,,generuje''. Ja sie nie czepiam szczegolow w
Twoich sformulowaniach, ja NAPRAWDE nie wiem, w jakki sposob chcesz uzywac tego
systemu.

Thrunduil:
> Jezeli interpretacja celu aksjomatow a,b,c jest wlasciwa

A co to jest cel? Nie mam najbledszego pojecia, co moglby oznaczac aksjomat 8.

Thrunduil:
> Zastanawialem sie nad problemem "sprzecznosci" - czy ten uklad aksjomatow nie
> generuje wszytskich formul klasycznie uwazanych za dopuszczalne i nie
> znalazlem powodu dla ktorego tak musialoby byc.

Ale zdajesz sobie sprawe, ze to nieznalezienie nie jest dowodem niesprzecznosci?

Poniewaz nie rozumiem Twojego formalizmu, moge starac sie zrozumiec Twoja
intencje zadajac pytania.

(A) Litery a, b i c pelnia w Twoim systemie bardzo specjalna role i roznia sie
od innych liter nie bedacych aksjomatami. Nie jestem wiec pewien, jak rozumiec
regule 7. Czy wolno z niej WYLACZNIE wyprowadzic b ? Jesli tak, to jest
zbedna, bo b jest i tak aksjomatem. W dalszym ciagu zakladam, ze tak nie jest i
ze to jest zwykla regula odrywania.

(B) Czy potrafisz w Twoim systemie wyprowadzic takie twierdzenie:
(a->b)->((b->a)->(a->b)) ? To sie otrzymuje z aksj.1 przez podstawienie (a->b)
za a oraz (b->a) za b

[Gość: thrundui]

> > 1 a->(b->a)
> > 2 (a->(b->c))->((a->b)->(a->c))
> > 3 (-b->-a)->((-b->a)->b)
> > 4 a
> > 5 b
> > 6 c
> > 7 z a i a->b, wynika b
> > 8. (Zasada celowosci implicite)

> Jesli chcesz zrobic cos tak neistandardowego, jak niewprowadzanie pojecia
> formuly dobrze zbudowanej, to musisz na nowo powiedziec, co rozumiesz przez
> wywod w tym systemie. Normalnie wywod to jest drzewo skonczone majace w
> lisciach aksjomaty a w wezlach wenetrznych reguly wnioskowania odpowiednio
> zastosowane do wychodzacych z nich galezi. Te reguly wnioskowania daja sie
> zastosowac tylko do formul dobrze zbudowanych.

Nie do konca rozumiem.
Czym sie roznia aksjomaty od regul wnioskowania? Czy reguly wnioskowania to
aksjomaty logiki a aksjomaty to dodatkowe aksjomaty teorii?

Dla logiki:
Tutaj dziala to tak, ze aksjomaty "realne" 1,2,3,7 stanowia reguly wnioskowania
(bazowe)
Te reguly wnioskowania dzialaja na wezly. Na poczatku mamy tylko 6(7?) wezlow 1-6.
Powstaja z nich nowe wezly, w oparciu o reguly 1-7. Dalej wezly bede nazywal
formulami dopuszczalnymi.
Nowe wezly (formuly dopuszczalne) staja sie takze nowymi regulami wnioskowania.

Interpretacja taka jest generowana przez aksjomaty 4,5,6,8 i nie jest arbitralna.
Inaczej dziala to tak, ze na poczatku mamy kartke z 7 linijkami. Regula 7 mowi
jak ja powiekszac. Reguly 4,5,6 mowia, ze wszysko co jest w tych linijkacj mozna
podstawic za a,b,c.
Np. linijka 8 jest:
8 a->(a->a).

Teraz patrzymy na liste z 8 linijkami i widzimy, ze musimy przyjac, ze 8 to nowy
aksjomat. To jest konieczne aby nadac jakis sens regule odrywania. Chyba nie
mozna przyjac, ze dopisywanie nowych formul ma miejsce z dala od tych 7
aksjomatow.

Dla teorii:
Dla uproszczenia nie dopuszczamy, aby regula odrywania (MP)7 dzialala na listy
zewnetrzne wobec listy aksjomatow logiki. O ile moze da sie jakos sensownie
zapisac (MP) przy tym ograniczeniu to wydaje sie to niemozliwe przy mniej
restrykcyjnym.

Tym samym lista akjomatow bazowych dla teorii musi zawierac te pierwotne 7 (albo
inne jak ktos chce inna logike) oraz dodatkowe aksjomaty teorii. Staja sie one
wiec takze regulami wnioskowania.

Jezeli ktos sie boi takiej udziwnionej teori, ktora jest od razu logika i calym
metasystemem, to moze dopuscic, ze MP moze dzialac na listach zewnetrznych. Wtedy
tylko reguly wnioskowania to 1-7.

Mi sie wydaje, ze taka teoria-logika-metasystem jest lepsza bo jest zawsze
zupelna (trzeba zmienic znaczenie zupelnosci), co nie jest prawda dla wezszej
interpretacji.

> A co to jest cel? Nie mam najbledszego pojecia, co moglby oznaczac aksjomat 8.

Aksjomatu 8 nie ma. On jest dodany implicite. Chodzi o nastepukacy problem: masz
kartke papieru z napisem "otworz drzwi". Jezeli nie dorzucisz reguly celowosci,
to ja przeczytasz i koniec. Jezeli dorzucisz, to je otworzysz.

Cala zabawa polega na tym aby czytelnik chcial ten system uruchomic i wiedzial ze
jest to mozliwe. Z zalozenia ze to ma sens bedzie staral sie go znalesc. A
poniewaz prawdopodobnie jest tylko jedna interpretacja wiec go znajdzie.

Zreszta regula celowosci jest powszechna. Ksiazki matematyczne czy nawet
zwyczajne nie czyta sie po to aby sledzic zmieniajace sie znaki. A tak by bylo,
gdyby nie zalozyc, ze ona ma jakis cel.

> (A) Litery a, b i c pelnia w Twoim systemie bardzo specjalna role i roznia sie
> od innych liter nie bedacych aksjomatami. Nie jestem wiec pewien, jak rozumiec
> regule 7. Czy wolno z niej WYLACZNIE wyprowadzic b ?

regula 7 to regula skladniowa jezyka i ma dziwny charakter. Nalezaloby ja
zmienic, ale najpierw zajme sie podstawianiem. Po prostu odrywa sie a->. Zapis
tej reguly nie jest najszesliwszy.

> (B) Czy potrafisz w Twoim systemie wyprowadzic takie twierdzenie:
> (a->b)->((b->a)->(a->b))?

8. (b->a) z 4 i 7.
9 (a->b) z 8,4,5
10 (a->b)->((b->a)->(a->b))? z 8,9 i 4,5

> (C) Rozumiem, ze (b->a) jest u Ciebie twierdzeniem, jako wynik zastosowania
> 7 do
> 4 i 1, czy tak?

twierdzeniem i nowa regula wnioskowania.

> (D) Czy w wyprowadzonej (b->a) mozna za a podstawic np. d i otrzymac (b->
> d)?

Nie. d nie jest na liscie.

> Przeciez w Twoim systemie nie ma pojecia ,,falszywe'', wiec TAK nie mozna
> rozumiec sprzecznosci.

Zobacz jak fajnie sie jej pozbylem:)
Ale "falszywe" jest. Wszystko co nie jest prawda to falsz.

> > Dla spojnosci tej teorii wyrzucilbym jeszcze pojecie prawdy semantycznej.
>
> Nie ma czego wyrzucac. Przeciez nie ma tu (na razie?) zadnej semantyki. Masz
> tylko pewien system przeksztalcania ciagow znaczkow na papierze o niezbyt
> jasnych regulach gry.

No nie takza skladnia definiuje semantyke i chyba tez dla kazdej semantyki
istnieje skladnia.

> Czy jest jakis powod, dla ktorego uzywasz w zwiazku z ta zabawka takich terminow
> jak ,,zdanie'', ,,formula'', ,,aksjomaty'', ,,prawda'', ,,sprzecznosc'',
> ,,logika'', itp.? Nie to, zeby mi przeszkadzalo uzywanie slow w nietypowym
> znaczeniu, ale moze masz jakies intuicje, ktore moglbys wyjasnic?

Chodzi wlasnie o to aby zbudowac system, gdzie nie ma zadnej intuicji.
To ma byc skrajny formalizm.
Musi on spelniac jescze dodatkowe wlasnosci w porownaniu z formalizmem hilberta.
Nie mozne w nim sie dac sensownie w niearbitralny sposob zdefiniowac sprzecznosci
jak i zdan nierozstrzygalnych aby uniknac problemow z twierdzeniami godla. Musi
jednak generowac wszystkie twierdzenia matematyczne.

To ma tez bardziej inne zastosowania. Penrose twierdzi, ze moga istniec fizyczne
systemy nieobliczalne powolujac sie na matematyke i jako przyklad podaje sama
analize problemu stopu maszynu turinga. Zbudowanie matematyki, ktora generuje
dokladnie takie same twierdzenia jak klasyczna a nie da sie w niej zdefiniowac
sensownie obliczalnosci niszczy argument.

[Gość: Stefan]

Dziekuje za wyjasnienia. Jesli dobrze to wszystko zrozumialem, to wlasnie
zdefiniowales pewien skonczony jezyk napisow. Ze skonczony, to pokazuje nizej.
Nie jest to dokladnie to, co zapowiadales. Zapowiadales, ze nie chcesz
definiowac zadnego jezyka, natomiast chcesz sie zajmowac prawda. W rezultacie
jedyne, co zrobiles, to zdefiniowanie jezyka.

W dodatku ten jezyk jest dramatycznie skonczony. Zaraz Ci wypisze WSZYSTKO, co
sie daje wyprowadzic z Twoich aksjomatow.

Thrunduil:
> 1 a->(b->a)
> 2 (a->(b->c))->((a->b)->(a->c))
> 3 (-b->-a)->((-b->a)->b)
> 4 a
> 5 b
> 6 c

To uwazam za aksjomaty, czyli twierdzenia a priori nalezace do jezyka,

Thrunduil:
> 7 z a i a->b, wynika b

to uwazam za JEDYNA regule wnioskowania, czyli jedyny sposob wyprowadzania
nowych slow jezyka z juz w nim bedacych,

Thrunduil:
> 8. (Zasada celowosci implicite)
[...]
> Aksjomatu 8 nie ma.

to olewam. Ja jestem prosty matematyk, nie znam sie na dialektyce i jak mi
autor systemu aksjomatycznego mowi, ze pewnego aksjomatu nie ma, to ja ten
aksjomat ignoruje. No to do roboty, w nawiasach pisze z czego wynika przez
regule odrywania, przed nawiasem co wynika:

9. b->a (z 4 i 1)

10. a (z 5 i 9)

[Gość: thrundui]

> Dziekuje za wyjasnienia. Jesli dobrze to wszystko zrozumialem, to wlasnie
> zdefiniowales pewien skonczony jezyk napisow. Ze skonczony, to pokazuje nizej.
> Nie jest to dokladnie to, co zapowiadales. Zapowiadales, ze nie chcesz
> definiowac zadnego jezyka, natomiast chcesz sie zajmowac prawda. W rezultacie
> jedyne, co zrobiles, to zdefiniowanie jezyka.

Tak.
Nie mowilem ze chce zajmowac sie prawda.
Tylko, ze chce pokazac, ze prawdy nie ma. Jedyne co jest to reguly skladniowe
czyli jezyk.
Prawde mozna sobie zdefiniowac z zewnatrz ale to jest bezcelowe.

> Koniec zabawy, trwala
> dosyc krotko. Twoimi twierdzeniami sa 1, 2, 3, 4, 5, 6 i 9.

> potrzebujesz czegos na wydluzanie. Polecam regule podstawiania.
> bardzo chetnie, ale jej nie da sie zrobic bez jezyka z zewnatrz.

Dlaczego a->(a->a) nie jest twierdzeniem?
W moim systemie, aby zbudowac pelna matematyke (niesprzeczna i zupelna z
konstrukcji oraz bez prawdy) musze zalozyc ze czytelnik wpadnie tylko na jeden
pomysl ze z
1 a
2 b
3 a->b
mozna wywnioskowac, ze a i a->b to cos bardzo podobnego w jakims sensie,i ze
wlasciwie to z tego wynika ze
4. a->a.

Co wiecej nie jest to takie strasznie naciagane, bo w koncu aksjomaty
1. a
2. b
sa w jakims celu napisane. Jezeli nie dopuszczasz wniosku a->a to trzeba
wytlumaczyc po co aksjomaty 1 i 2 sa albo dlaczego moga byc bez znaczenia.

A teraz konkurencyjne podejscie od jezyka.
Ilosc rzeczy, ktore trzeba tutaj sobie dopowiedziec jest zatrwazajaca. Najpierw
formuly dopuszczalne gdzie pojawiaja sie nieznane symbole. To na dodatek nie jest
definicja tych syboli ale czegos dziwnego. Co wiecej te dziwne formuly
dopuszczalne definiuje sie indukcyjne, z implikacja ktorej jeszcze nik na oczy
nie widzial. Czytelnik musi sie tutaj domyslec co to jest imlikacja. Potem
schematy aksjomatow. Niby trzy ale tak naprawde to nieskonczenie wiele.

Nie jest tak, ze akjomatow nie napisanych nie ma.
Takie zalozenie dopuszcza mozliwosc, ze kazdy moze sobie bezkarnie powiedziec, ze
jakis dowod twierdzenia to bzdura bo sie go nie rozumie. Nawet jezeli przyjmuje
sie cala logike. Ze to tylko ciag symboli bez sensu, wziete na zasadzie
losowania. I nie ma zadnej metody aby z tym walczyc, bo przeciez nie ma
aksjomatu, ze to wszysko jest sensowne a nie przypadkowe.

Czytanie dowodow od razu implikuje, ze przyjelo sie, ze to ma sens. W przypadku
tego systemu tez nalezy wymagac, ze takie zalozenie istnieje. Tyle tylko, ze on
jest systemem pierwotnym. W przypadku twierdzen sensownosc dowodu generuje
logika. Tutaj ten system generuje takze pojecie sensownosci. Nie mozna wiec nie
zaprzeczajac sobie ten system zignorowac. Jezeli zakladamy ze on ma sens to
trzeba go znalesc. W tym celu nalezy wykorzystac wszytskie informacje, ktore on
dostarcza. Jedna z nich jest informacja ze aksjomaty
a
b
sa istotne.

[Gość: Pulbek]

Wydaje mi sie ze zrozumialem o co chodzi Thrundui i
sprobuje to przetlumaczyc na ludzki jezyk. O ile sie nie
myle, chodzi mu o system nastepujacy:

1. Na poczatku mamy napisy:

> 1 a->(b->a)
> 2 (a->(b->c))->((a->b)->(a->c))
> 3 (-b->-a)->((-b->a)->b)
> 4 a
> 5 b
> 6 c

2. Jezeli mamy jakis napis X a takze napis X->Y, to mamy
tez napis Y.

(uwaga dla Thrundui: regula wnioskowania tym sie rozni od
aksjomatu, ze nie mozna jej zapisac w jezyku ktory
tworzysz. Musisz sie odwolywac do pojec 'jezeli', 'to' i
tak dalej, zeby ja zapisac. Na przyklad regula odrywania
to _zupelnie_ cos innego niz aksjomat a->((a->b)->b).)

3. Jezeli w jakims napisie X, ktory juz mamy, wystepuje
jakis podnapis Y, ktory tez juz mamy, to mamy tez napis
ktory powstaje przez zastapienie Y w X przez Z, gdzie Z
tez juz wczesniej mamy. Thrundui robi z tego magie i
nazywa 'zasada celowosci', tak naprawde to odmiana zasady
podstawiania.

4. Z nieznanych mi przyczyn uzywamy tylko trzech
zmiennych zdaniowych. To sprawia, ze w tym systemie w
ogole nie da sie zapisac niczego analogicznego do
twierdzenia

(a->b)->((b->c)->((c->d)->(a->d)))

5. Ale niewazne. Wazne jest to, ze (wbrew temu co mowil
Thrundui) w jego systemie da sie wyprowadzic wszystkie
formuly poprawnie zbudowane (w jezyku Thrundui: wszystkie
formuly klasycznie uznawane za poprawne) z trzech
zmiennych zdaniowych.

A oto dowod: formuly poprawnie zbudowane to albo
pojedyncze symbole, albo napisy postaci X->Y, gdzie X i Y
sa formulami poprawnie zbudowanymi. Wszystkie pojedyncze
symbole da sie wyprowadzic (bo sa na liscie od poczatku).
Mozna tez wyprowadzic napis b->a (z napisow 1,4 i reguly
odrywania). Jezeli wiec mozna wyprowadzic napisy X i Y,
to mozna tez i napis X->Y (wlasnie z tej tajemniczej
'reguly celowosci'). CBDO.

Dobrze zrozumialem?

Pulbek.

PS. Sluchaj no, Thrundui. Jezeli uda Ci sie kiedys zrobic
matematyke w ktorej nie ma problemu ze stopem maszyny
Turinga, to nie ludz sie ze dostaniesz za to nagrode
Nobla. Wprost przeciwnie - prawdopodobnie Twoje rezultaty
od razu powedruja do smietnika.

Bo to tak jak gdybys powiedzial "Zrobilem fizyke w ktorej
nie ma problemu z tym ze kamien rzucony do gory spada na
ziemie. U mnie nie spada tylko lewituje!"

Bo widzisz, co bys nie wykombinowal to problem stopu
Turinga jest rzeczywistym problemem, ktory istnieje
'naprawde', a nie tylko w mozgach zmanierowanych
matematykow.

[Gość: thrundui]

> Thrundui robi z tego magie i
> nazywa 'zasada celowosci', tak naprawde to odmiana zasady
> podstawiania.

tak
ale to jest magia.
nie da sie zdefiniowac reguly postawiania wiec potrzebne sa magiczne sztuczki.
Taka sztuczka jest jednak rownowazna zasadzie na postawie ktorej wogule czyta sie
dowody a wiec znowu nie taka magia.

> 4. Z nieznanych mi przyczyn uzywamy tylko trzech
> zmiennych zdaniowych. To sprawia, ze w tym systemie w
> ogole nie da sie zapisac niczego analogicznego do
> twierdzenia
>
> (a->b)->((b->c)->((c->d)->(a->d)))

zgadza sie
ale ja nie widze w tym problemu.

> 5. Ale niewazne. Wazne jest to, ze (wbrew temu co mowil
> Thrundui) w jego systemie da sie wyprowadzic wszystkie
> formuly poprawnie zbudowane

nie pamietam czy mowilem, ze da sie uzyskac wszytskie formuly poprawnie zbudowane.
Da sie uzyskac wszystkie tautologie (zbudowane z trzech zmiennych zdaniowych).
Jezeli ktos chce wiecej zmiennych zdaniowych to niech sobie doda aksjomaty
d
e
f
...

> PS. Sluchaj no, Thrundui. Jezeli uda Ci sie kiedys zrobic
> matematyke w ktorej nie ma problemu ze stopem maszyny
> Turinga, to nie ludz sie ze dostaniesz za to nagrode
> Nobla. Wprost przeciwnie - prawdopodobnie Twoje rezultaty
> od razu powedruja do smietnika.

> Bo to tak jak gdybys powiedzial "Zrobilem fizyke w ktorej
> nie ma problemu z tym ze kamien rzucony do gory spada na
> ziemie. U mnie nie spada tylko lewituje!"

> Bo widzisz, co bys nie wykombinowal to problem stopu
> Turinga jest rzeczywistym problemem, ktory istnieje
> 'naprawde', a nie tylko w mozgach zmanierowanych
> matematykow.

Dla mnie on nie istnieje.
Wedlug mnie nie ma problemu stopu maszyny turinga.
I co teraz zrobisz?
Mozesz to tylko przyjac do wiadomosci i zgrzytac zebami.

mozemy miec te sama matematyke ty ze swoim problemem stopu ja bez problemu.
W logice klasycznej obaj mnielibysmy racje. Nie udowodnilbyc ze sie myle.
Dlatego tez logika klasyczna zalezy od punku widzenia. Kazdy moze miec zupelnie
inne poglady a mimo to wszystkie beda poprawne i co wiecej nie da sie nawet
stwierdzic ze sa roznice. Dla mnie to juz wystarczy aby uznac to za problem
dyskwalifikujacy.

U mnie tego nie ma. Nie ma problemu stopu (chyba). Wnioski sa jednakowe dla
kazdego uzytkownika. Nie moze sie okazac po pewnym czasie ze obaj mielismy na
mysli cos zupelnie innego. Dlatego uwazam ten system za lepszy. Co najlepsze on
i klasyczny generuja te same twierdzenia.

[Gość: Pulbek]

Gość portalu: thrundui napisał(a):

> > 5. Ale niewazne. Wazne jest to, ze (wbrew temu co mowil
> > Thrundui) w jego systemie da sie wyprowadzic wszystkie
> > formuly poprawnie zbudowane
>
> nie pamietam czy mowilem, ze da sie uzyskac wszytskie formuly poprawnie zbudowa
> ne.

Mowiles ze sie _nie_ da. A tymczasem sie da.

> Da sie uzyskac wszystkie tautologie (zbudowane z trzech zmiennych zdaniowych).

Tak, oraz wszystkie inne formuly.

[...]
> > Bo widzisz, co bys nie wykombinowal to problem stopu
> > Turinga jest rzeczywistym problemem, ktory istnieje
> > 'naprawde', a nie tylko w mozgach zmanierowanych
> > matematykow.
>
> Dla mnie on nie istnieje.
> Wedlug mnie nie ma problemu stopu maszyny turinga.
> I co teraz zrobisz?

Juz Ci mowie co zrobie. Zrobie cos bardzo prostego.

Poprosze mianowicie zebys napisal program ktory:
- wczyta z wejscia tekst dowolnego programu
- stwierdzi czy ten wczytany program sie kiedykolwiek zatrzyma.

Bo problem stopu Turinga oznacza wlasnie dokladnie tyle ze takiego programu nie
ma.

Do dziela! Jezeli napiszesz, to przy okazji rozwalisz lewa reka hipoteze
Goldbacha, problem P vs. NP, podasz prosty dowod Wielkiego Twierdzenia Fermata, i
wiele innych. Za dwa pierwsze z tych problemow sa nagrody po milionie dolarow.
Forsa czeka na ulicy, schyl sie po nia Thrundui!

Problem stopu maszyny Turinga nie istnieje! Uachachachacha!!!

A dla mnie nie istnieje zyrafa!

Pulbek.

[Gość: thrundui]

> Mowiles ze sie _nie_ da. A tymczasem sie da.

Niedokladnie przeczytalem.
Pokazales, ze da sie uzyskac wszytskie reguly zawierajace implikacje.
Ale to ja tez wiem bo przeciez a b i c sa prawdziwe. Wiec i wszytskie implikacje
sa prawdziwe. To nie jest problem bo nowe dodawane aksjomaty tez sa zawsze
prawdziwe. Nic wiec nie trace zakladajac, ze a,b,c sa prawdziwe.

Problem polega na pokazaniu, ze formula -p jest prawdziwa.

> Juz Ci mowie co zrobie. Zrobie cos bardzo prostego.

> Poprosze mianowicie zebys napisal program ktory:
> - wczyta z wejscia tekst dowolnego programu
> - stwierdzi czy ten wczytany program sie kiedykolwiek zatrzyma.
>
> Bo problem stopu Turinga oznacza wlasnie dokladnie tyle ze takiego programu nie
> ma.

To inne sformulowanie:
Czy zdanie to jest prawdziwe
"Istnieje program, ktory wczyta dowolny program i stwierdzi czy ten wczytany
program sie kiedykolwiek zatrzyma".

To zdanie jest nierostrzygalne. Kazdy system regul wnioskowania bedzie za maly
aby pokazac, ze jest to zdanie jest falszywe lub prawdziwe.

Ty twierdzisz, ze jest prawdziwe a ja ze falszywe.
Jak chcesz pokazac ze jest jest falszywe?
Ale mozesz korzystac tylko z dowodu formalnego.

skorzystasz tutaj pewnie z prawa wylaczonego srodka w wersji ogolnej - z
dopuszczalnym podstawianiem kazdej formuly. Ale ja twierdze, ze taka semantyka
nie ma nic wspolnego ze swiatem rzeczywistym i ze mozna podstawiac tylko w
oparciu o moj system. I ze to on ma zwiazek z rzeczywistoscia.

W moim systemie to zdanie wogule nie jest dobrze postawione bo nie jest
konsekwencja zadnego ukladu aksjomatow. Moge sobie jednak zbudowac nowa teoria z
tym zdaniem jako prawdziwym. Jezeli moj system jest niesprzeczy to mozesz tylko
sie silowac, ktory ma wiekszy kontakt z rzeczywistoscia. Ale ja mam ta przewage,
ze w moim systemie niesprzecznosc nie gra zadnej roli.

Nie masz dowodu kontaktu logiki klasycznej z rzeczywistoscia wiec twoj dowod jest
calkowicie formalny. I mnie jest tez calkowicie formalny dowod w teorii
powiekszonej, ze taka maszyna istnieje.

Teraz jeszcze wrocmy do rzeczywistosci. Robisz wielkie oszustwo zadajac ode mnie
dowodu konstrukcyjnego. Ja tez moge od ciebie zazadac dowodu konstrukcyjnego -
pokaz FIZYCZNIE, ze taki algorytm nie istnieje.

> Do dziela! Jezeli napiszesz, to przy okazji rozwalisz lewa reka hipoteze
> Goldbacha, problem P vs. NP, podasz prosty dowod Wielkiego Twierdzenia Fermata,
> i wiele innych.

Zauwaz, ze ja nie uprawiam matematyki.
Ja zaczynam od prozni a nie od logiki. U mnie nie ma zadnego twierdzenia
matematycznego. Ja mowie tylko jak ty masz robic matematyke. Argumenty
korzystajace z matematyki sa tytaj nie ma miejscu.

> A dla mnie nie istnieje zyrafa!

To idz do zoo.

[Gość: Pulbek]

> To inne sformulowanie:
> Czy zdanie to jest prawdziwe
> "Istnieje program, ktory wczyta dowolny program i stwierdzi czy ten wczytany
> program sie kiedykolwiek zatrzyma".
>
> To zdanie jest nierostrzygalne. Kazdy system regul wnioskowania bedzie za maly
> aby pokazac, ze jest to zdanie jest falszywe lub prawdziwe.

To zdanie jest jak najbardziej rozstrzygalne i jest falszywe. To wlasnie pokazal
Turing.

Polecam
a) przeczytanie dowolnej ksiazki o teorii obliczen,
b) madrzenie sie o problemie stopu.

W tej kolejnosci.

Pulbek.

PS. Faktycznie, zupelnie zapomnialem ze w Twoim jezyku jest jeszcze negacja.
Chyba rzeczywiscie nie da sie w nim pokazac -a. Ale za to nie da sie tez pokazac
tego:

(a->b)->(-b->-a)

Myle sie?

[Gość: Stefan]

Pulbek:
> Jezeli uda Ci sie kiedys zrobic matematyke w ktorej nie ma problemu ze stopem
> maszyny Turinga, to nie ludz sie ze dostaniesz za to nagrode Nobla. Wprost
> przeciwnie - prawdopodobnie Twoje rezultaty od razu powedruja do smietnika.

No, niekoniecznie. Bardzo slabe systemy wnioskowania, w ktorych nie da sie
wyrazic pelnego bogactwa maszyn Turinga, moga nie miec takich problemow. Na
przyklad jesliby w nich nie dalo sie wyrazic nieskonczonych petli. Niektore
takie systemy nawet moga byc przydatne do jakichs ograniczonych celow
(oczywiscie nie na Nobla, ani nawet na Fieldsa). Rozumiem, ze Thrunduil takimi
wlasnie sie interesuje. Czy to pojdzie do smietnika, to zalezy od tego, czy
zdola w tym wyrazic cokolwiek nietrywialnego. Na razie idzie mu to slabo, bo
zaleznie od drobnych wachniec w sposobie rozumienia formalizmu otrzymuje albo ze
prawie wszystko jest twierdzeniem, albo ze prawie nic nie jest twierdzeniem.

Thrunduil:
> Mozesz to tylko przyjac do wiadomosci i zgrzytac zebami.

U mnie w domu cos juz zgrzyta, byc moze moje zeby. A jak z toba, Pulbek?

Thrunduil:
> Dlatego uwazam ten system za lepszy. Co najlepsze on i klasyczny generuja te
> same twierdzenia.

Jak to te same? Na przyklad (jesli zgadzasz sie, ze Pulbek dobrze wyjasnil
Twoja regule pods... pardon, celowosci) zdanie (a->b) jest u Ciebie twierdzeniem
a w klasycznym rachunku zdan nie jest. Natomiast cala masa zdan zawierajacych
negacje jest twierdzeniami w klasycznym rachunku zdan a u Ciebie nie.

Thrunduil:
> nie da sie zdefiniowac reguly postawiania wiec potrzebne sa magiczne sztuczki.

Jak to sie nie da? Robisz to w 2 krokach. Najpierw trzeba zdefiniowac formuly
poprawnie zbudowane. Zeby za duzo nie pisac, kazdy napis WF[F] bede czytal ,,F
jest formula poprawnie zbudowana''. Ponizszy system wnioskowania definiuje te
formuly dla Twojego jezyka z 3 zmiennymi, minusem i strzalka. Aksjomaty:
(W1) WF[a] (zmienna a jest formula poprawnie zbudowana)
(W2) WF[b]
(W3) WF[c]
Reguly wnioskowania:
(W4) jesli WF[F] to WF[(-F)] (negacja formuly poprawnie zbudowanej jest
poprawnie zbudowana)
(W5) jesli WF[F] i WF[G] to WF[(F->G)] (implikacja formul poprawnie zbudowanych
jest poprawnie zbudowana).
Poprawnie zbudowana jest kazda formula F taka, ze zdanie WF[F] jest
wyprowadzalne.

Teraz mozemy juz przystapic do definicji podstawienia. Ponizszy system
wnioskowania to wlasnie robi. Zeby za duzo nie pisac, kazdy napis ,,F[G/x]=H''
bede czytal ,,wynikiem podstawienia G za x w F jest H''. Aksjomaty: nie ma ani
jednego. Reguly wnioskowania:
(S1

[Gość: thrundui]

> Natomiast cala masa zdan zawierajacych
> negacje jest twierdzeniami w klasycznym rachunku zdan a u Ciebie nie.

rzeczywiscie
u mnie nie da sie uzyskac a lub -a.
chyba trzeba bedzie dalej pogrzebac w aksjomatach.

> Jak to sie nie da? Robisz to w 2 krokach.

> Reguly wnioskowania:
> (W4) jesli WF[F] to WF[(-F)] (negacja formuly poprawnie zbudowanej jest
> poprawnie zbudowana)

Ale ja tutaj wykrzaczam z powodu jezeli...to
Moge przyjac do wiadomosci, ze to tylko napis.
Ale wtedy cala twoja teoria bedzie sie skladala tylko z tego napisu.
Tego sie nie uruchomi dopuki nie bede wiedzial co to znaczy.

[Gość: Stefan]

Thrunduil:
> Ale ja tutaj wykrzaczam z powodu jezeli...to

Ty tez masz ,,jezeli ... to ...'' w regule odrywania.
Moje ,,jezeli ... to ...'' sa na dokladnie tych samych
prawach.


- Stefan

niespodzianka

[Gość: thrundui]

> Ty tez masz ,,jezeli ... to ...'' w regule odrywania.
> Moje ,,jezeli ... to ...'' sa na dokladnie tych samych
> prawach.

ale u mnie jest tylko jedno u ciecie dochodzi do 10. Moj system ma 8 linijek twoj
z 50. Zreszta wymyslilem kolejma modyfikacje. Teraz juz nawet bez reguly
odrywania:
1. a
2. b
3. c
4. a->b
5. -a-> b
6. -a-> -b

Nie ma reguly odrywania, wiec nie ma aksjomatow krotszych. Nie ma wiec -a i uklad
jest niesprzeczny.
Jest on rownowazny logice klasycznej bo funkcja prawdy okreslona na formulach
dopuszczalnych zawierajace tylko a,b,c w logice klasycznej i tej sa jednakowe. To
latwo widac. Maja wiec te same semantyke.
Ma on te zalete, ze jego niesprezcznosc jest trywialna a logiki klasycznej nie do
udowodnienia.
Nie wymaga juz dziwacznych jezeli .... to
oraz rownie dziwacznej regule podstawienia.
NIe wymaga jezyka z zewnatrz.
Wad na razie nie dostrzegam.

Problem jest tylko w przypadku teorii. Jezeli dodamy aksjomat a->d, to d juz nie
bedzie prawda. Jezeli komus to sprawia problem to moze dodac regule odrywania
kosztem wielkiej niejasnosci tego co powstanie.


>> "Istnieje program, ktory wczyta dowolny program i stwierdzi czy ten wczytany
>> program sie kiedykolwiek zatrzyma".
>>
>> To zdanie jest nierostrzygalne. Kazdy system regul wnioskowania bedzie za maly
>> aby pokazac, ze jest to zdanie jest falszywe lub prawdziwe.

>To zdanie jest jak najbardziej rozstrzygalne i jest falszywe. To wlasnie pokazal
>Turing.
>
>Polecam
>a) przeczytanie dowolnej ksiazki o teorii obliczen,

Nie prawda
Turing pokazal tylko, ze jest to zdanie nierozstrzygalne.
Oto dlaczego:

1. Dowod polegal na dwukrotnym zastosowaniu argumentu przekatnej. W wyniku
uzyskamy, ze dla algorytmu, ktory rozwazamy istnieje program k, ktorego
zakonczenia ten algorytm nie bedzie w stanie wykazac. Jednak zalozenie, ze on sie
nie zatrzyma z zalozeniem, ze algorytm jest poprawny prowadzi do sprzecznosci.
Tak wiec ten program k sie zatrzyma a algorytm tego nie pokaze.

2. Z tego nic nie wynika o czym pozniej.

3. Teraz dowod nierozstrzygalnosci tego zdania. Twierdznie turinga to tak
naprawde twierdzenie godla, dlatego tez dalej bedziemy rozwazac wersje godla.

Program to jest jakies zdanie dobrze zbudowane. Ono jest prawdziwe, jezeli ten
program sie skonczy i falszywe gdy nie. Dalej zbior programow bedziemy traktowali
jako zbior zdan.

Algorytm bo bedzie dowodzenie w pewnym systemie formalnym. Kazde dowodzenie jest
zadaniem algorytmicznym skonczonym o ile zdanie jest rozstrzygalne w tym systemie.

Bedziemy rozwazac uniwersalna maszyna turinga. Teraz wiec system formalny to
zbior wszytskich regul matematycznych jakie istnieja teraz i jakie kiedykolwiek
beda istniec.

Z dowodu turinga wynika, ze istnieje zdanie w tym systemie formalnym, ktorego
prawdziwosc lub falszywosc ten system nie udowodni. zdanie k jest wiec
nierozstrzygalne.

Przejdzmy teraz wyzej na poziom calego problemu a nie tylko pojedynczych zdan.
Poniewaz rozwazalismy zbior wszytkich regul wnioskowania, wiec teraz nie mamy
zadnej dodatkowej reguly. Ten zbior regul nie byl w stanie pokazac
rozstrzygalnosci zdania k, wiec teraz tez nie bedzie na poziomie wyzszym bo to
jest ten sam zbior regul. Dla naszego systemu twierdzenie turing jest wiec
nierozstrzygalne.

4. Co pokazal turing.
Turing pokazal jednak, ze zdanie turinga jest rozstrzygalne. W jaki sposob?
Otoz jego dowod polegal na dodawaniu aksjomatow " uklad aksjomatow jest
niesprzeczny" i na dodatek dodal ich tyle ile jest liczb porzadkowych. Czyli
raczej sporo:).

Dlaczego to sie udalo? Sedno tkwi w tym, ze nie da sie pokazac w systemie
formalnym istnienia wszytskich liczb porzadkowych granicznych jak a_0,
a_0+a_0,...,a_1.
On natomiast implicite zalozyl, ze takie liczby istnieja.

Dlaczego u niego istnialy?
Do zalozyl standardowy model liczb naturalnych!
A ja sie nie zgadzam. Liczb naturalnych jest nieprzeliczalnie wiele!

I teraz dowod pada.
Pokazal on, ze istnieje liczba naturalna k, dla ktorej zdanie k jest brzydkie.
Ale nie pokazal, ze ta liczba nie jest nadnaturalna. Ze koduje jakikolwiek
algorytm. Liczb naturalnych jest wiecej niz algorytmow.

Turing zalozyl, ze liczby naturalne to sa takie liczby jak on myslal. I koduja
algorytmy tak jak on chcial. Ale tego nie da sie pokazac.
Caly wiec jego dowod to raczej prawda semantyczna w jego wyobrazeniu niz
formalna.

5. Konsekwencje dla matematyki.
Jezeli uznam, ze liczb naturalnych jest nieprzeliczalnie wiele, to wszyskie
dowody w analizie, topologii, geometrii i w czymkolwiek moge spokojnie wyrzucic
do kosza, bo ich autorzy zakladali, ze liczb naturalnych jest przeliczalnie wiele.
Moge odrzucic juz nie tylko dowody, ktore zawieraja pewnik wyboru czy jakies
wielkie zbiory ale wlasciwie wszystko.

I wlasciwie z punktu widzenia formalnego nic mi nie mozna zrobic.
Teraz zarzucanie nieznajomosci matematyki nalezaloby robic bardzo subtelnie. Na
pewno nie odsylajac do literatury bo moge spokolnie zignorowac wszystkie dowody.
Wlasciwie to rownie dobrze ja moge zarzucic nieznajomosc matematyki.

6. Konsekwencje filozoficzne zalozenia, ze dowod turinga jest poprawny.
Zalozenie poprawnosci dowodu turinga ma skrajnie powazne konsekwencje. Oznacza
on, ze moga istniec fizyczne procesy nieobliczalne. A to prosta droga prowadzi
juz do przyjecia tezy, ze wlasciwie to i tak nigdy nie zrozumiemy, jak dziala
rzeczywistosc bo nie dziala ona wedlug zadnego algorytmu. A w takim razie jak
dziala.

7. Na koniec pytanie.
Niech czlowiek bedzie tym algorytmem do analizy problemu stopu.
Co sie wtedy stanie.

[Gość: Pulbek]

Gość portalu: thrundui napisał(a):

> Zreszta wymyslilem kolejma modyfikacje. Teraz juz nawet bez reguly
> odrywania:
> 1. a
> 2. b
> 3. c
> 4. a->b
> 5. -a-> b
> 6. -a-> -b
>

Nie da sie tu pokazac (--a)->a. Jeszcze troche pogrzeb w aksjomatach.

*************************************

To tyle o systemie. Teraz o Turingu. Musze powiedziec ze nic a nic nie
zrozumialem z tego co napisales. Poniewaz chce zrozumiec, wiec napisz mi
konkretnie co jest zle w nastepujacym prostym dowodzie istnienia
nierozstrzygalnego problemu stopu.

Zalozmy ze problem stopu jest rozstrzygalny, czyli ze istnieje program X, ktory
wczytuje z wejscia program Y i wejscie Z i stwierdza czy Y zatrzyma sie na
wejsciu Z.

Na podstawie X, latwo skonstruowac program P, ktory wczyta z wejscia program Y i
stwierdza czy Y zatrzyma sie na wejsciu Y. Teraz z P konstruujemy program P',
ktory wczyta z wejscia program Y i zakonczy sie wtedy i tylko wtedy gdy Y sie
zapetli na wejsciu Y.

Pytanie: czy P' zatrzyma sie na wejsciu P'? Ani tak ani nie, wiec sprzecznosc.
Wniosek: zadany program X nie istnieje, czyli problem stopu jest nierozstrzygalny.

CBDO.

Gdzie ja tu do licha korzystam z tego ze liczb naturalnych jest malo? Gdzie ja tu
dodaje nieskonczona liste aksjomatow do czegokolwiek?


> Teraz zarzucanie nieznajomosci matematyki nalezaloby robic bardzo subtelnie.
> Na pewno nie odsylajac do literatury bo moge spokolnie zignorowac wszystkie
> dowody. Wlasciwie to rownie dobrze ja moge zarzucic nieznajomosc matematyki.
>

Alez zarzucaj, prosze uprzejmie. Ale najpierw wytlumacz mi co jest zle w tym
dowodzie powyzej.

> 6. Konsekwencje filozoficzne zalozenia, ze dowod turinga jest poprawny.
> Zalozenie poprawnosci dowodu turinga ma skrajnie powazne konsekwencje. Oznacza
> on, ze moga istniec fizyczne procesy nieobliczalne.

Nie procesy, tylko problemy.
Oczywiscie ze tak jest. Problem stopu jest nieobliczalny, to fakt fizyczny.

> A to prosta droga prowadzi
> juz do przyjecia tezy, ze wlasciwie to i tak nigdy nie zrozumiemy, jak dziala
> rzeczywistosc bo nie dziala ona wedlug zadnego algorytmu.

Wcale nie prowadzi, a na pewno nie prosta droga. Maszyna Turinga dziala wedlug
prostego algorytmu i doskonale rozumiemy jak dziala, a jednak problem jej stopu
jest nieobliczalny.

> 7. Na koniec pytanie.
> Niech czlowiek bedzie tym algorytmem do analizy problemu stopu.
> Co sie wtedy stanie.

Nic wielkiego. Nie przeanalizuje go po prostu. Zakladajac ze faktycznie czlowiek
nie jest niczym wiecej niz algorytm.

To znaczy moze przeanalizowac w kazdym szczegolnym przypadku z osobna, ale nigdy
nie wymysli metody ktora pozwoli analizowac wlasnosc stopu kazdego programu.

Pulbek.

[Gość: thrundui]

> Zalozmy ze problem stopu jest rozstrzygalny, czyli ze istnieje program X, ktory
>
> wczytuje z wejscia program Y i wejscie Z i stwierdza czy Y zatrzyma sie na
> wejsciu Z.
>
> Na podstawie X, latwo skonstruowac program P, ktory wczyta z wejscia program Y
> i stwierdza czy Y zatrzyma sie na wejsciu Y. Teraz z P konstruujemy program
> P', ktory wczyta z wejscia program Y i zakonczy sie wtedy i tylko wtedy gdy Y
> sie zapetli na wejsciu Y.

Musisz pokazac, ze taki program da sie skonstruowac.
Chyba tutaj korzystano z przekatnej w odpowiednio spreparowanym zbiorze liczb
naturalnych.

> Pytanie: czy P' zatrzyma sie na wejsciu P'? Ani tak ani nie, wiec sprzecznosc.
> Wniosek: zadany program X nie istnieje, czyli problem stopu jest nierozstrzygal
> ny.

Prawda, jezeli udowdnic, ze istnienie konstrukcji mozna udowodnic a nie tylko w
postulowac, chociaz z skrajnie zawaluowany sposob.

Zreszta chodzi o to, aby pokazac, ze mam pelne prawo zignorowac sobie dowod
twierdzenia turinga. Istnienie niestandardowego zbioru liczb naturalnych jest na
to egzystencjalnym dowodem.

> Gdzie ja tu do licha korzystam z tego ze liczb naturalnych jest malo? Gdzie ja
> tu dodaje nieskonczona liste aksjomatow do czegokolwiek?

Jeszce inaczej. Algorytm korzysta z wszystkich regul wnioskowania i nie moze
wykazac rozstrzygalnosci pewnego zdania. Tw turinga mowi jednak, ze jest ono
rozstrzygalne. Widac wiec, ze dowod musial krorzystac z wiekszej liczby regul
wnioskowania. Ale tutaj sprzecznosc. Wiec dowod nie korzystal nie tylko z regul
wnioskowania ale tez z magii.

> Nie procesy, tylko problemy.
> Oczywiscie ze tak jest. Problem stopu jest nieobliczalny, to fakt fizyczny.

To jest dla mnie sprzeczne z intuicja. Dowod korzystal z intuicji, wiec dla mnie
korzystal ze zlej intuicji.
Wole zaprzeczac wszytskiemu co tylko istnieje aby uniknac takiego wniosku.

>> A to prosta droga prowadzi
>> juz do przyjecia tezy, ze wlasciwie to i tak nigdy nie zrozumiemy, jak dziala
>> rzeczywistosc bo nie dziala ona wedlug zadnego algorytmu.

> Wcale nie prowadzi, a na pewno nie prosta droga

Zalozmy ze swiat jest sterowany procesem nieobliczalnym. Np. czasteczka poleci w
prawo, jezeli program sie zatrzyma a w lewo jezeli nie.
Mamy teraz calkowicie deterministyczny swiat o ktory kompletnie nic nie mozemy i
nigdy nie bedziemy mogli powiedziec.

Wlasciwie to tutaj bedziemy mogli czasami cos powiedziec.
Dlatego dodajmy wiec jeszcze, ze czastka calkuje w jakis sposob rozstrzygalnosc
po wszytskich mozliwych programach.
Teraz to juz za diabli nic nie bedziemy wiedziec.
Wartosc tej calki bedzie wieczna tajemnica zawsze.

[Gość: Pulbek]

Gość portalu: thrundui napisał(a):


> Musisz pokazac, ze taki program da sie skonstruowac.
> Chyba tutaj korzystano z przekatnej w odpowiednio spreparowanym zbiorze liczb
> naturalnych.

Z zadnej przekatnej sie tu nie korzysta. Prosze bardzo, juz konstruuje. Znasz
chyba jakis jezyk programowania? Zalozmy ze masz procedure X(y,z) ktora zwraca
TRUE jesli program y na wejsciu z sie zatrzymuje, a FALSE jezeli sie petli.
Zarowno y jak i z sa parametrami typu STRING (lancuchami tekstu).

Pisze procedure P:

P(y) = X(y,y)

Pisze procedure P':

P'(y) = not P(y)

Mam wiec pewien program P', napisany z uzyciem procedury X. Jest to pewien tekst,
wiec moge go zapisac w zmiennej p typu STRING.

I teraz: czy wywolanie P'(p) sie zatrzymuje? Ani tak ani nie. Wniosek: procedura
X nie istnieje.

CBDO.

> Prawda, jezeli udowdnic, ze istnienie konstrukcji mozna udowodnic a nie tylko
> postulowac, chociaz z skrajnie zawaluowany sposob.

Nic tu nie jest postulowane, wszystko udowodnione.

>
> Zreszta chodzi o to, aby pokazac, ze mam pelne prawo zignorowac sobie dowod
> twierdzenia turinga. Istnienie niestandardowego zbioru liczb naturalnych jest n
> a to egzystencjalnym dowodem.

Dlaczego? Co jest zle w dowodzie powyzej? Co ma on wspolnego z modelami liczb
naturalnych?

>
> Jeszce inaczej. Algorytm korzysta z wszystkich regul wnioskowania i nie moze
> wykazac rozstrzygalnosci pewnego zdania. Tw turinga mowi jednak, ze jest ono
> rozstrzygalne. Widac wiec, ze dowod musial krorzystac z wiekszej liczby regul
> wnioskowania. Ale tutaj sprzecznosc. Wiec dowod nie korzystal nie tylko z regul
> wnioskowania ale tez z magii.
>

Wskaz magie w powyzszym dowodzie.

> > Nie procesy, tylko problemy.
> > Oczywiscie ze tak jest. Problem stopu jest nieobliczalny, to fakt fizyczny
> .
>
> To jest dla mnie sprzeczne z intuicja. Dowod korzystal z intuicji, wiec dla
> mnie korzystal ze zlej intuicji.

Jezeli intuicja jest sprzeczna z rzeczywistoscia, nalezy odrzucic intuicje a nie
rzeczywistosc. Pokaz gdzie powyzszy dowod korzysta z intuicji.

>
> Zalozmy ze swiat jest sterowany procesem nieobliczalnym. Np. czasteczka poleci
> w prawo, jezeli program sie zatrzyma a w lewo jezeli nie.

Ale tak nie jest.

Pulbek.

poprawka

[Gość: Pulbek]

Gość portalu: Pulbek napisał(a):

>
> I teraz: czy wywolanie P'(p) sie zatrzymuje? Ani tak ani nie. Wniosek: procedur
> a X nie istnieje.
>

Przepraszam, pomylka. Oczywiscie P'(p) zawsze sie zatrzymuje. Ale czy zwraca TRUE
czy FALSE? Zadna z tych mozliwosci nie moze zajsc. Wniosek: procedura X nei
istnieje.

[Gość: Pulbek]

Gość portalu: Pulbek napisał(a):

Cholera, wszystko pochrzanilem z tego zdenerwowania na Thrundui :-)

Oczywiscie ma byc tak:

- mamy procedure X(y,z) ktora zwraca TRUE jesli y zatrzymuje sie na z i FALSE
jezeli y petli sie na z

- konstruuje procedure P:
P(y) = X(y,y)

- konstruuje procedure P':
P'(y) = if P(y) then loop else stop

Teraz zapisuje program P' na zmiennej p i nie wiadomo czy P'(p) sie zatrzymuje
czy nie. Wniosek: procedura X nie istnieje.

Przepraszam za zamieszanie.

Pulbek.

[Gość: LPiotrek]

Pulbek napisal(a):

> Gość portalu: Pulbek napisał(a):

> Cholera, wszystko pochrzanilem z tego zdenerwowania na Thrundui :-)

> Oczywiscie ma byc tak:

> - mamy procedure X(y,z) ktora zwraca TRUE jesli y zatrzymuje sie na z i
FALSE
> jezeli y petli sie na z

> - konstruuje procedure P:
> P(y) = X(y,y)

> - konstruuje procedure P':
> P'(y) = if P(y) then loop else stop

> Teraz zapisuje program P' na zmiennej p i nie wiadomo czy P'(p) sie
zatrzymuje
> czy nie. Wniosek: procedura X nie istnieje.

> Przepraszam za zamieszanie.

> Pulbek.


Witam
Przepraszam ze sie wtracam ,ale skoro napisales wczesniej
ze ten dowod jest prosty ,to chyba nie zaszkodziloby dodac
jeszcze pare slow komentarza do niego.
Bo dla mnie jest on tak "prosty" ,ze nie jestem pewien czy
dobrze go rozumiem, a nie chce mi sie szukac po
ksiazkach.

Ja to tak rozumiem ,ze skoro nie istnieje procedura X
to z tego wynika ze nie istnieje program P oraz program
P' ,bo one powinny zawierac procedure X.


W takim razie ten dowod nie dotyczy programow ktore
mozna napisac, tylko pewnego algorytmu ktorego nie
mozna zaimplementowac (zamienic w program ).

Podobnie nie mozna napisac takiej procedury Pr' ktora
w tej samej iteracji bedzie zwracala liczbe rozna
od zera o przeciwnym znaku niz powinna sama zwracac.
Tylko to nie jest jeszcze dowod ze nie mozna napisac
takiego programu( procedury) ,ktory bedzie obliczal
znak zwracanej wartosci przez procedure ,ktora jest
jego argumentem.
Poniewaz procedura(program ) Pr' fizycznie nie istnieje to
problem jest chyba tylko hipotetyczny ?
Podobnie jest chyba z z programem P' ?

Domyslam sie ze jestem w bledzie
( bo pisales ze ten problem istnieje fizycznie )
,ale chcialbym poznac gdzie sie myle i dlaczego.
Wydaje mi sie tez ,ze wielu innych
czytelnikow tego watku moze miec podobne watpliwosci
,wiec skoro to taki prosty dowod to przedstaw go jak
12-latkowi .

pozdrawiam
LPiotrek

[Gość: Stefan]

Thrunduil (o ilosci regul wnioskowania):
> ale u mnie jest tylko jedno u ciecie dochodzi do 10.

To byla odpowiedz na Twoje stwierdzenie, ze sie nie da. Jest pewna roznica
pomiedzy ,,nie da sie'' a ,,da sie za pomoca 10 regul''. U Ciebie bez ,,zasady
celu'' nie da sie w zasadzie nic.

Thrunduil:
> Zreszta wymyslilem kolejma modyfikacje. Teraz juz nawet bez reguly
> odrywania:
> 1. a
> 2. b
> 3. c
> 4. a->b
> 5. -a-> b
> 6. -a-> -b

To wszystko?

Thrunduil:
> Jest on rownowazny logice klasycznej

????
W logice klasycznej na przyklad a->(b->a) jest twierdzeniem. U Ciebie nie jest.
U Ciebie jest dokladnie 6 twierdzen. Tylko te, ktore wypisales. Z kolei zadne
z nich nie jest twierdzeniem logiki klasycznej. Wobec tego te dwie logiki nie
tylko nie sa rownowazne, ale jest tak:
cokolwiek jest twierdzeniem w log.klas. NA PEWNO nie jest twierdzeniem w log.T.
cokolwiek jest twierdzeniem w log.T. NA PEWNO nie jest twierdzeniem w log.klas.

Thrunduil:
> Wad na razie nie dostrzegam.

No to w takim razie opublikuj. Ja potem napisze przyczynek, w ktorym ta sama
linie badawcza rozwine tworczo. Moj system bedzie jeszcze mniejszy:

Nie zauwazyles go? W takim razie podaje jeszcze raz:

Pusty system ma wszystkie zalety Twojego, bo tak samo jest niesprzeczny i tak
samo nic z niego nie wynika. Ma kilka dodatkowych zalet. Jest jeszcze krotszy.
Jest najkrotszy z mozliwych. Do czasu az ktos wymysli system o ujemnej liczbie
aksjomatow.

Thrunduil (o rozstrzygalnosci):
> Turing pokazal tylko, ze jest to zdanie nierozstrzygalne.

Nierozstrzygalny jest problem:
(*) ,,Wczytac dowolny program i stwierdzic czy ten wczytany program sie
kiedykolwiek zatrzyma''
Falszywe jest zdanie:
(**) ,,Istnieje program, ktory wczyta dowolny program i stwierdzi czy ten
wczytany program sie kiedykolwiek zatrzyma''
Zdanie (**) orzeka, ze problem (*) jest rozstrzygalny i wlasnie dlatego jest
falszywe. Rozstrzygalne albo nie, moga byc problemy a nie pojedyncze zdania.
Prawdziwe albo falszywe moga byc zdania. Nie nalezy mylic jednego z drugim.

Thrunduil:
> Program to jest jakies zdanie dobrze zbudowane.

Slowo ,,zdanie'' uzyles tu w zupelnie innym sensie niz wszedzie dotad.

Thrunduil:
> A ja sie nie zgadzam. Liczb naturalnych jest nieprzeliczalnie wiele!

O kurcze. Ale tego nie opublikujesz, przynajmniej w niczym matematycznym. To,
ze kazda teoria pierwszego rzedu majaca model nieskonczony ma modele dowolnej
mocy nieskonczonej, to juz od dawna jest czescia dydaktyki a nie nauki. Nie
slyszalem dotad, zeby ktos na tej podstawie mowil, ze ,,liczb naturalnych jest
nieprzeliczalnie wiele'' i jeszcze dostawial wykrzyknik. Raczej sie mowi, ze
teorie pierwszego rzedu sa zbyt slabe, zeby wykluczyc modele patologiczne.
Jesli dopuscic aksjomat indukcji w naiwnej postaci z kwantyfikacja po WSZYSTKICH
zbiorach liczb (to juz jest drugi rzad), to z dowodem przeliczalnosci nie ma
problemow.

Thrunduil:
> Jezeli uznam, ze liczb naturalnych jest nieprzeliczalnie wiele, to wszyskie
> dowody w analizie, topologii, geometrii i w czymkolwiek moge spokojnie
> wyrzucic do kosza, bo ich autorzy zakladali, ze liczb naturalnych jest
> przeliczalnie wiele.

Wniosek przedwczesny. Takie doswiadczenia oczywiscie byly robione. Cos
zmieniasz w podstawach i badasz efekty wyzej. Czasem sie cos pojedynczego
zawali, ale zwykle duzo pozostaje na miejscu. Bylbys zdziwiony, jak malo sie
zawala na przyklad przy przejsciu do logiki intuicjonistycznej, czyli przez
wykluczenie rzeczy niekonstruowalnych i dowodow nie wprost. Wszystkie
twierdzenia pierwszego rzedu w analizie, topologii, geometrii i w czymkolwiek
pozostana prawdziwe w modelu niestandardowym, dlatego ze to jest model teorii.
Zmieni sie sposob ich intuicyjnego rozumienia i przybeda nowe twierdzenia.
Padna te twierdzenia, ktore istotnie wykorzystywaly drugi rzad kwantyfikacji.

Ale jak juz o tym pisalem w niezbyt udanym watku ,,Czym jest nauka?'',
matematycy niezbyt przejmuja sie podstawami logicznymi. Jesli pokazesz w nich
jakas dziure (na razie tego nie zrobiles), to Ci powiedza: ciekawe, ale skoro
znalazles dziure, to ja teraz jakos zatkaj. I zajma sie swoimi sprawami.
Matematyka nie opiera sie tak silnie na logice formalnej, jak Ty bys chcial.

Logicy nie robia doswiadczen z usuwaniem (lub modyfikowaniem) aksjomatow na
pale, zaprzeczajac przypadkowemu aksjomatowi. Nie zastanowilo Cie, dlaczego
tyle sie kiedys pisalo o alternatywach do aksjomatu Euklidesa o prostych
rowmnoleglych a nic o alternatywach do innych aksjomatow Euklidesa? Badano
zaprzeczenia aksjomatu wyboru, albo hipotezy continuum, albo prawa wylaczonego
srodka. Ale jest przeciez tyle innych aksjomatow; dlaczego ich nie wykrzywiano?
Logicy znecaja sie tylko nad tymi aksjomatami, ktore maja niezbyt jasne
konsekwencje matematyczne. Jesli tylko oderwiesz nos od wasko pojetej logiki
formalnej, to zobaczysz, ze aksjomat aksjomatowi nierowny.

Thrunduil:
> Niech czlowiek bedzie tym algorytmem do analizy problemu stopu.

Po pierwsze czlowiek nie spelnia podstawowego zalozenia: nie dla kazdej maszyny
Turinga jest w stanie cokolwiek orzec; bo np. przed maszyna Turinga o milionie
instrukcji potrafi tylko pasc na kolana. Poza tym nie jest jasne, czy
zachowanie czlowieka mozna w ogole symulowac algorytmicznie. Stoi za tym tylko
teza Churcha oraz ogolna wiara w pewnych sferach.

Zycze dalszego udanego rewolucjonizowania podstaw.

- Stefan

[Gość: thrundui]

> > Zreszta wymyslilem kolejma modyfikacje. Teraz juz nawet bez reguly
> > odrywania:
> > 1. a
> > 2. b
> > 3. c
> > 4. a->b
> > 5. -a-> b
> > 6. -a-> -b

> Pusty system ma wszystkie zalety Twojego, bo tak samo jest niesprzeczny i tak
> samo nic z niego nie wynika.

To byl moj pomysl.
I rzeczywiscie nie widze niczego zlego z biorze pustym.

> (**) ,,Istnieje program, ktory wczyta dowolny program i stwierdzi czy ten
> wczytany program sie kiedykolwiek zatrzyma''

> > A ja sie nie zgadzam. Liczb naturalnych jest nieprzeliczalnie wiele!
> Nie slyszalem dotad, zeby ktos na tej podstawie mowil, ze ,,liczb naturalnych
> jest
> nieprzeliczalnie wiele'' i jeszcze dostawial wykrzyknik. Raczej sie mowi, ze
> teorie pierwszego rzedu sa zbyt slabe, zeby wykluczyc modele patologiczne.

Na tym polega moj argument na rzecz nierozstrzygalnosci twierdzenia turinga.
Jego dowod falszywosci opieral sie na zalozeniu przeliczalnosci liczba
naturalnych. A to zdanie jest nierozstrzygalne.
Tym samym twierdzenie turinga, to twierdzenie, ze zdanie to jest falszywe ale
nierozstrzygalne.
Ale ja powiem, ze to zdanie jest prawdziwe ale nierostrzygalne i mam tyle samo
racji.

> Nie slyszalem dotad, zeby ktos na tej podstawie mowil, ze ,,liczb naturalnych
> jest nieprzeliczalnie wiele'' i jeszcze dostawial wykrzyknik.

To jestem pierwszy.
Problem tylko jak mi tego zabronic.
Cala zabawa z logika jest po to, ze ja tez chcialbym wiedziec, bo uwazam ten stan
za patologiczny.

> > dowody w analizie, topologii, geometrii i w czymkolwiek moge spokojnie
> > wyrzucic do kosza, bo ich autorzy zakladali, ze liczb naturalnych jest
> > przeliczalnie wiele.

> Wniosek przedwczesny. Takie doswiadczenia oczywiscie byly robione. Cos
> zmieniasz w podstawach i badasz efekty wyzej. Czasem sie cos pojedynczego
> zawali, ale zwykle duzo pozostaje na miejscu. Bylbys zdziwiony, jak malo sie
> zawala na przyklad przy przejsciu do logiki intuicjonistycznej, czyli przez
> wykluczenie rzeczy niekonstruowalnych i dowodow nie wprost.

Fajnie. ale ja mowie, ze liczb naturalnych jest nieprzeliczalnie wiele. Nie
zmieniam nic w podstawach. Taka jest moja intuicja. Dlaczego nie zawala sie wtedy
cala analiza. Tam sie przeciez jawnie zaklada, ze liczb naturalnych jest
przeliczalnie wiele. Dotyczy wiec modelu o ktorym ja twierdze ze jest falszywy.
Nie przecze, ze wiele zdan sie nie nie zmieni. Ale nie bede sie zgadzal z zadnym
dowodem.

> Matematyka nie opiera sie tak silnie na logice formalnej, jak Ty bys chcial.

Ok. ja nie widze nic w tym zlego.
Wogule strasznie bym zliberalizowal wymagania wobec dowodu.
Chodzi o to, ze moja intuicja nie dopuszcza istnienia czegos nieobliczalnego. I
jak w matematyce cos takiego wyjdzie to znaczy ze operuje na jakims falszywym
modelu.

> Ale jest przeciez tyle innych aksjomatow; dlaczego ich nie wykrzywiano ?

Pewnie dlatego, ze byl jakis problem z intuicja.
U mnie tez jest w przypadku stworow nieobiczalnych. One oczywiscie moga istniec.
Zalozenie o nieprzeliczalnosci jak i przeliczalnosci liczb naturalnych sa
rownowazne. Dla ciebie pewnie przyjecie przeliczalnosci liczb naturalnych i
uzyskanie stworow nieobliczalnych jest lepsze niz przyjecie nieprzeliczalnosci
liczb naturalnych a przez to pozbycie sie tw godla i stworow nieobliczalnych.
Ale dla mnie bardziej intuicyjne jest odrzucenie przeliczalnosci.

> Po pierwsze czlowiek nie spelnia podstawowego zalozenia: nie dla kazdej maszyny
> Turinga jest w stanie cokolwiek orzec; bo np. przed maszyna Turinga o milionie
> instrukcji potrafi tylko pasc na kolana.

NIe prawda.
Skoro zajmuje sie twierdzeniem turinga to jest w stanie dla kazdej maszyny orzec.
Inaczej nie wierzylby w poprawnosc maszyny a tym samym w prawdziwosc tw turinga.

[Gość: Stefan]

Ja:
> Ja potem napisze przyczynek, w ktorym ta sama linie badawcza rozwine tworczo.
[...]
> Pusty system ma wszystkie zalety Twojego, bo tak samo jest niesprzeczny i tak
> samo nic z niego nie wynika.
Thrunduil:
> To byl moj pomysl. I rzeczywiscie nie widze niczego zlego zbiorze pustym.

Dobra, zrzekam sie roszczen do autorstwa. Opublikuj pusty system aksjomatow pod
wlasnym nazwiskiem.

Thrunduil:
> Na tym polega moj argument na rzecz nierozstrzygalnosci twierdzenia turinga.

Powtarzam: twierdzenie jest zdaniem; zdania moga byc prawdziwe albo falszywe.
Rozstrzygalne albo nierozstrzygalne moga byc problemy. Kwestionujesz
prawdziwosc tw. Turinga a nie jego rozstrzygalnosc.

Thrunduil:
> Jego dowod falszywosci opieral sie na zalozeniu przeliczalnosci liczba
> naturalnych. A to zdanie jest nierozstrzygalne.

Powtarzam: zdania moga byc prawdziwe albo falszywe. Rozstrzygalne albo
nierozstrzygalne moga byc problemy. Zdanie ,,liczb naturalnych jest
przeliczalnie wiele'' moze byc prawdziwe albo falszywe. Nie moze byc
rozstrzygalne albo nierozstrzygalne.

Zauwaz, ze zarowno Ty, jak Pulbek i ja zgodzilismy sie milczaco na uzywanie
dwoch roznych pojec przeliczalnosci. U Ciebie doprowadzilo to do konfuzji, ja
poczatkowo nie zauwazylem Twojego problemu z rozroznianiem pojec, Pulbek zapewne
tez. Otoz stale dzialajac wewnatrz teorii formalnej nie mozesz twierdzic, ze
liczb naturalnych jest nieprzeliczalnie wiele, bo rownolicznosc ze zbiorem liczb
naturalnych jest definicja przeliczalnosci. Definicja: zbior jest przeliczalny
wtedy i tylko wtedy gdy jest rownoliczny ze zbiorem liczb naturalnych. Zebys
nawet mial w modelu niestandardowym tyle liczb naturalnych, ze Ci az miga w
oczach, to ciagle musisz ich zbior nazwac przeliczalnym.

Drugie pojecie przeliczalnosci jest na poziomie meta. W niestandardowym modelu
liczb naturalnych moze byc wiecej elementow niz w modelu standardowym; mowimy
wtedy z zewnatrz, ze jest ich nieprzeliczalnie wiele. To jest inne pojecie niz
wewnetrzna przeliczalnosc.

Ja:
> Nie slyszalem dotad, zeby ktos na tej podstawie mowil [...]
Thrunduil:
> To jestem pierwszy. Problem tylko jak mi tego zabronic.

Po co Ci czegos zabraniac? To jest wolny kraj, kazdy gada glupstwa na wlasny
rachunek.

Thrunduil:
> Dlaczego nie zawala sie wtedy cala analiza. Tam sie przeciez jawnie zaklada,
> ze liczb naturalnych jest przeliczalnie wiele.

Jesli masz na mysli klasyczna aksjomatyke liczb rzeczywistych, to tam jest jeden
aksjomat drugiego rzedu. Roznie sie go formuluje, ale w kazdym razie to juz nie
jest teoria pierwszego rzedu i w zwiazku z tym nie ma modeli dowolnej mocy
nieskonczonej. Mozna zastapic ten aksjomat czyms subtelniejszym pierwszego
rzedu, otrzymac wiele niestandardowych modeli liczb rzeczywistych i wtedy sie
okaze, ze bardzo powazna wiekszosc twierdzen pozostanie w mocy. Ciagi liczbowe
beda nadal przeliczalne wzgl. wewnetrznego pojecia przeliczalnosci (bo
rownoliczne z liczbami naturalnymi) ale ich wyrazow bedzie o wiele wiecej niz
sobie to naiwnie wyobrazamy na podstawie naszej standardowej intuicji. Ta
wyobraznia nie ma wplywu na formalna poprawnosc twierdzen.

Zreszta najprostsze modele liczb rzeczywistych nie zawieraja pojecia liczby
naturalnej w tym sensie, ze takiego pojecia w ogole nie daje sie w nich
wydefiniowac.

Thrunduil:
> Dotyczy wiec modelu o ktorym ja twierdze ze jest falszywy.

Powtarzam: zdania moga byc prawdziwe albo falszywe. Modele nie moga byc
falszywe ani prawdziwe.

Oczywiscie czepiam sie do sformulowan. Przepraszam Cie, ze to czynie, ale
uzywasz jezyka w sposob bardzo niestaranny, za tym idzie podobna niestarannosc
mysli i w ten sposob sam sie wyprowadzasz na manowce. Mowimy o rzeczach
precyzyjnych, przy ktorych nie da sie manipulowac w grubych rekawicach.

Thrunduil:
> Zalozenie o nieprzeliczalnosci jak i przeliczalnosci liczb naturalnych sa
> rownowazne.

Nie tylko nie sa rownowazne, ale przecza sobie wzajemnie. Znowu wypowiedziales
sie niestarannie. Miales na mysli, ze i jedno zalozenie i drugie prowadza do
niesprzecznej teorii. To jest akurat nieprawda, ale lepiej mowic nieprawde niz
wydawac dzwieki nieartykulowane.

Thrunduil:
> Chodzi o to, ze moja intuicja nie dopuszcza istnienia czegos nieobliczalnego.

To z braku przyzwyczajenia...

Thrunduil:
> Inaczej nie wierzylby w poprawnosc maszyny

Powtarzam: maszyny nie moga byc poprawne.

Thrunduil:
> a tym samym w prawdziwosc tw turinga.

Powtarzam: ...
Nic tym razem nie powtarzam. Twierdzenia moga byc prawdziwe. To akurat jest.

- Stefan

P.S. Korepetycji na tym poziomie nigdy nie udzielalem. Fajna zabawa.

[Gość: Pulbek]

Gość portalu: thrundui napisał(a):

> Na tym polega moj argument na rzecz nierozstrzygalnosci twierdzenia turinga.
> Jego dowod falszywosci opieral sie na zalozeniu przeliczalnosci liczba
> naturalnych. A to zdanie jest nierozstrzygalne.
> Tym samym twierdzenie turinga, to twierdzenie, ze zdanie to jest falszywe ale
> nierozstrzygalne.
> Ale ja powiem, ze to zdanie jest prawdziwe ale nierostrzygalne i mam tyle samo
> racji.

He, juz chyba rozumiem! Kiedy mowisz 'nierozstrzygalne' to masz na
mysli 'niezalezne od aksjomatow', tak? No to sie grubo, grubo a nawet: gróbo
mylisz. To jest zupelnie cos innego!

Pulbek.

[Gość: thrundui]

kolejne przyblizenie:
1 a
2 b
3 c
4 a->b
5 -a->b
6 -b->-a
7 --b

czy teraz dalej istnieja tautologie klasyczne, ktorych nie mozna udowodnic?

> He, juz chyba rozumiem! Kiedy mowisz 'nierozstrzygalne' to masz na
> mysli 'niezalezne od aksjomatow', tak? No to sie grubo, grubo a nawet: gróbo
> mylisz. To jest zupelnie cos innego!

tak. A mozna inaczej traktowac?
teraz to ja pojde troche dalej i powiem, ze tw. godla jest nierozstrzygalne w
kazdym niesprzecznym systemie formalnym w ktorym da sie zformulowac. Twierdzenie
turinga to tw godla.

Nie widzialem dowodu nierozstrzygalnosci,
ale dowodu poprawnosci tez nie widzialem.
jakos nikomu nie przychodzi do glowy, ze ktos moze wierzyc, ze liczb naturalnych
jest nieprzeliczalnie wiele.

> Mam wiec pewien program P', napisany z uzyciem procedury X. Jest to pewien
> tekst, wiec moge go zapisac w zmiennej p typu STRING.

robisz chyba tutaj to samo oszustwo, co turing. Zakladasz, ze zmienna typu string
to to co ty myslisz. Jak chcesz pokazac, ze kazda zmienna typu string cos koduje?
Jakkolwiek nie zdefiniujesz string, ja jej znaczenie wykrece jak tylko umiem
najbardziej.

Nie wiem dokladnie, czy w tym miejscu kryje sie blad.
Chodzi o to ze w orginalnym dowodzie byly liczby naturalne, wiec moge go
zignorowac.
Wazniejsze jest drugie postawienie sprawy. Skoro uniwersalna maszyna,
korzystajaca ze wszyskich regul wnioskowania nie wykazala, ze procedura sie
zatrzyma to skad turing wiedzial, ze sie zatrzyma.

Zdanie, ze sie zatrzyma nie moze wiec byc prawdziwe formalnie, a co najwyzej
semantycznie. Ale to oznacza, ze cale twierdzenie turinga jest zdaniem
nierozstrzygalnym w kazdym systemie formalnym, chociaz wierzy sie, ze prawdziwym.
Ale ja nie wierze.

>> Zalozmy ze swiat jest sterowany procesem nieobliczalnym. Np. czasteczka poleci
>> w prawo, jezeli program sie zatrzyma a w lewo jezeli nie.

> Ale tak nie jest.

Jak to nie jest.
Przeciez twierdzisz, ze udowodniles twierdzenie turinga. Skonstruowales w mysli
proces nieobliczalny. To ta konstrukcja myslowa jest procesem obliczalnym?

> Powtarzam: twierdzenie jest zdaniem; zdania moga byc prawdziwe albo falszywe.
> Rozstrzygalne albo nierozstrzygalne moga byc problemy. Kwestionujesz
> prawdziwosc tw. Turinga a nie jego rozstrzygalnosc.

Nie do konca.
twierdze, ze tw. turinga jest zdaniem nierozstrzygalnym w kazdym systemie.
jest natomiast twierdzeniem prawdziwym jezeli wierzymy w przeliczalnosc liczb
naturalnych.
Poniewaz, jest sprzeczne z moja intuicja a ilosc liczb naturalnych jest mi
obojetna, wiec uznaje to za dowod nieprzeliczalnosci liczb naturalnych.

Pytanie:
Czy twierdzenie godla jest rozstrzygalne w jakimkolwiek dostatecznie bogatym
niesprzecznym systemie. Cale moje wnioskowanie opiera sie na przekonaniu, ze nie.
Wiec to jest kluczowe pytanie.
Jezeli jest rozstrzygalne to co to jest procedura godelizacji - dodawania zdania
godla do systemu.

> Powtarzam: zdania moga byc prawdziwe albo falszywe. Rozstrzygalne albo
> nierozstrzygalne moga byc problemy.

chodzi mi o rozstrzygalnosc w systemie.
W danym systemie zdanie moze nie byc rozstrzygalne, chociaz prawdiwe lub falszywe.
Ty wychodzisz od prawdy z metapoziomu i wnioskujesz, ze system jest za slaby.
Ja wychodze od prawdy w systemie i wnioskuje ze prawda w metapoziomie jest
calkowicie dowolna i zalezy od mojego nastroju.

> Otoz stale dzialajac wewnatrz teorii formalnej nie mozesz twierdzic, ze
> liczb naturalnych jest nieprzeliczalnie wiele, bo rownolicznosc ze zbiorem liczb
> naturalnych jest definicja przeliczalnosci. Definicja: zbior jest przeliczalny
> wtedy i tylko wtedy gdy jest rownoliczny ze zbiorem liczb naturalnych. Zebys
> nawet mial w modelu niestandardowym tyle liczb naturalnych, ze Ci az miga w
> oczach, to ciagle musisz ich zbior nazwac przeliczalnym.

Ale ja nie twierdze bedac wewnatrz systemie, ze liczb naturalnych jest
nieskonczenie. Ja twierdze to patrzac z zewnatrz i zdajac sobie sprawe, ze to
jest nie do udowodnienia.

Rownolicznosc, ze zbiorem liczb naturalnych jest definicja przeliczalnosci?
To co to jest przeliczalny model liczb rzeczywistych w takim przypadku? Liczb
rzeczywistych jest tyle co naturalnych w moim modelu? Ilosc twierdzen w moim
systemie bedzie taka jak ilosc liczb naturalnych?
To moj system bedzie bogatszy?

Mozliwe.
Tyle tylko, ze to bez znaczenia, bo ja taka przeliczalnosc bedze traktowal
zupelnie inaczel niz turing. A to w zupelnosci wystarzy.

> Jesli masz na mysli klasyczna aksjomatyke liczb rzeczywistych, to tam jest jeden
> aksjomat drugiego rzedu. Roznie sie go formuluje, ale w kazdym razie to juz nie
> jest teoria pierwszego rzedu i w zwiazku z tym nie ma modeli dowolnej mocy
> nieskonczonej.

Prade mowiac to ja juz zupelnie sie pogubilem.
Zbior liczb naturalnych nie jest podzbiorem liczb rzeczywistych?
Jezeli takie zdania nie sa formalnie prawdziwe to jestem coraz bardziej
krytycznie nastawiony do tych twierdzen.

> Powtarzam: zdania moga byc prawdziwe albo falszywe

ja sie nie zgadzam. Mam inne pojecie prawdy w metapoziomie i dlatego takie
stwierdzenie sa dla mnie niedopuszczalne. Co wiecej ty wiesz, ze ja moge miec
inne pojecie prawdy w metapoziomie, wiec takie zdanie jest nieuczciwe.

Sensownie mozna mowic tylko o konsekwencjach formalnych.
Dlatego istnieja tylko zdania prawdziwe, falszywe lub nierozstrzygalne.
Wartosciowanie zdan nierozstrzygalnych jest absolutnie arbitralne.

> Twierdzenia moga byc prawdziwe. To akurat jest.
Zdanie turinga jest nierozstrzygalne.
Jego prawdziwosc jest wiec kwestia wiary.

[Gość: Stefan]

Thrunduil:
> kolejne przyblizenie:
> 1 a
> 2 b
> 3 c
> 4 a->b
> 5 -a->b
> 6 -b->-a
> 7 --b
>
> czy teraz dalej istnieja tautologie klasyczne, ktorych nie mozna udowodnic?

Thrunduil, zrozum w koncu, jesli nie masz ZADNEJ reguly wnioskowania, to nie
mozesz udowodnic NICZEGO. Jesli nawet rozbudujesz swoj system do miliona
aksjomatow, to te milion zdan bedzie twierdzeniami, a niczego nowego i tak nie
dolaczysz. Logika klasyczna ma przeliczalny zbior tautologii. Wobec tego ile
pozostanie Ci tautologii klasycznych, ktorych nie mozesz udowodnic?
Nieskonczonosc minus milion, to spuszczam zero, nieskonczonosc w rozumie (o ile
sie tam zmiesci)... wyszlo mi, ze pozostaje Ci nadal nieskonczenie wiele
tautologii, ktorych nie udowodnisz. W dodatku zaden z Twoich Siedmiu
Wspanialych Aksjomatow nie jest tautologia klasycznej logiki, wiec to
odejmowanie tez moglem sobie darowac.

Pulbek:
> He, juz chyba rozumiem! Kiedy mowisz 'nierozstrzygalne' to masz na mysli
> 'niezalezne od aksjomatow', tak?
Thrunduil:
> tak. A mozna inaczej traktowac?

Pulbeku, jestes genialny. Na to nieporozumienie nigdy bym nie wpadl.

Thrunduil:
> teraz to ja pojde troche dalej i powiem, ze tw. godla jest nierozstrzygalne w
> kazdym niesprzecznym systemie formalnym w ktorym da sie zformulowac.

Czytaj: niezalezne od aksjomatow? Przeciez to jest metatwierdzenie.

Thrunduil:
> ale dowodu poprawnosci tez nie widzialem.

Juz mnie calkiem zmyliles. Czego nie widziales? Dowodu twierdzenia, ze
wlasnosc stopu maszyny Turinga jest nierozstrzygalna? To gdzie patrzyles, gdy
wczoraj Pulbek pracowicie walil w klawisze?

Thrunduil:
> Rownolicznosc, ze zbiorem liczb naturalnych jest definicja przeliczalnosci?

A znasz inna definicje przeliczalnosci?

Thrunduil:
> To co to jest przeliczalny model liczb rzeczywistych w takim przypadku? Liczb
> rzeczywistych jest tyle co naturalnych w moim modelu?

W najprostszych teoriach liczb rzeczywistych nie ma w ogole liczb naturalnych.
Nie da sie ich wydefiniowac. To znaczy wiadomo, co to jest 0, i 1, i 2, itd.,
ale nie ma jak zebrac ich do kupy w jeden zbior. Wobec tego nie da sie badac
mocy tego zbioru. Jak Ci trudno w to uwierzyc, to sprobuj sobie zdefiniowac
liczby naturalne bez uzycia jakichs nieformalnych trzykropkow czy innych
itakdalejow, i bez rekursji. Jak to zrobisz, to ja Ci wyjasnie jakich srodkow
2-ego rzedu uzyles nieswiadomie w swojej definicji.

Jesli wezmiesz mocniejsza teorie liczb rzeczywistych, to moze byc roznie. Jesli
dolaczysz jakis aksjomat ciaglosci lub inny podobny 2-ego rzedu, to on Ci moze
wykluczyc modele przeliczalne. Zalezy, jak to zrobisz. Sa tez teorie (1-ego
rzedu), w ktorych sa i liczby naturalne i rzeczywiste i te dwa zbiory sa
rownoliczne.

Jesli nie chcesz wchodzic w te cienkosci formalne, to przyjmij, ze liczb
rzeczywistych jest wiecej niz naturalnych

[Gość: Pulbek.]

Gość portalu: thrundui napisał(a):

> kolejne przyblizenie:
> 1 a
> 2 b
> 3 c
> 4 a->b
> 5 -a->b
> 6 -b->-a
> 7 --b
>
> czy teraz dalej istnieja tautologie klasyczne, ktorych nie mozna udowodnic?
>

-((a->a)->(-(a->a)))

***************************************************************

> > He, juz chyba rozumiem! Kiedy mowisz 'nierozstrzygalne' to masz na
> > mysli 'niezalezne od aksjomatow', tak? No to sie grubo, grubo a nawet: gró
> bo
> > mylisz. To jest zupelnie cos innego!
>
> tak. A mozna inaczej traktowac?

Jak w Dekrecie o Stanie Wojennym: Mozna, nawet trzeba! Bo to sa rozne rzeczy.

Definicja: Problem X jest nierozstrzygalny jezeli nie istnieje program
komputerowy ktory go rozstrzyga.

Jak mamy ze soba rozmawiac skoro uzywamy roznych jezykow? Wlasnie dlatego
wspominalem o przeczytaniu dowolnej ksiazki o teorii obliczen. Nie po to zebys
uwierzyl w to co tam jest napisane. Po to, zebysmy mowili tym samym jezykiem.

> Twierdzenie turinga to tw godla.
>
Czy zaczerpnales to zdanie z jakiejs ksiazki popularnonaukowej? Twierdzenie
Turinga rzeczywiscie jest subtelnie zwiazane z twierdzeniem Goedla, ale na pewno
nie sa tym samym, chocby dlatego ze dowod twierdzenia Turinga miesci sie na
jednej stronie (podalem Ci go zreszta), a twierdzenia Goedla - na piecdziesieciu.

Jezeli potrafisz dokladnie objasnic sens zwiazku wynikow Turinga z wynikami
Goedla, to prosze bardzo. Bede Ci wdzieczny, bo sam nigdy nie zrozumialem do
konca tego zwiazku, mimo ze sie kiedys staralem. Ale najpierw ktorys z nas musi
sie nauczyc jezyka tego drugiego. Bedzie latwiej jesli to Ty sie nauczysz, bo ja
uzywam tego samego jezyka co Turing i Goedel.

> Nie widzialem dowodu nierozstrzygalnosci,
> ale dowodu poprawnosci tez nie widzialem.

Powtarzam sie...
Rozstrzygalnosc nie ma nic wspolnego z poprawnoscia. Poprawne sa zdania,
rozstrzygalne - problemy, czyli zbiory napisow.

> jakos nikomu nie przychodzi do glowy, ze ktos moze wierzyc, ze liczb
> naturalnych jest nieprzeliczalnie wiele.
>
Mi tylko nie przychodzi do glowy ze to ma jakis zwiazek z wynikami Turinga.

> > Mam wiec pewien program P', napisany z uzyciem procedury X. Jest to pewien
> > tekst, wiec moge go zapisac w zmiennej p typu STRING.
>
> robisz chyba tutaj to samo oszustwo, co turing. Zakladasz, ze zmienna typu stri
> ng to to co ty myslisz. Jak chcesz pokazac, ze kazda zmienna typu string cos
> koduje?

Wcale nie musze pokazac ze kazdy string cos koduje. Musze tylko pokazac ze kazdy
program da sie zakodowac w zmiennej typu string. A to robie na luzie, bez zadnych
kombinacji z nieskonczonosciami. Mowiac w uproszczeniu, program to przeciez
_jest_ string.

> Jakkolwiek nie zdefiniujesz string, ja jej znaczenie wykrece jak tylko umiem
> najbardziej.

Prosze bardzo. String to skonczony ciag znakow. Znak to takie cos co widnieje na
jednym z klawiszy przed Toba.

Wykrecaj jak tylko umiesz najbardziej.

>
> Nie wiem dokladnie, czy w tym miejscu kryje sie blad.
> Chodzi o to ze w orginalnym dowodzie byly liczby naturalne, wiec moge go
> zignorowac.

Dowod nigdzie nie korzysta z przeliczalnosci. Poza tym w moim dowodzie nie ma
mowy o liczbach naturalnych, wiec zamiast go ignorowac powiedz co w nim jest nie
tak.

> Wazniejsze jest drugie postawienie sprawy. Skoro uniwersalna maszyna,
> korzystajaca ze wszyskich regul wnioskowania nie wykazala, ze procedura sie
> zatrzyma to skad turing wiedzial, ze sie zatrzyma.
>

Drobne pytanie: czy wiesz co to jest uniwersalna maszyna Turinga? Skad Ci
przyszlo do glowy ze ona korzysta ze "wszystkich" regul wnioskowania? I co to w
ogole znaczy "wszystkich" Twoim zdaniem?


[...]
> Przeciez twierdzisz, ze udowodniles twierdzenie turinga. Skonstruowales w
> mysli proces nieobliczalny. To ta konstrukcja myslowa jest procesem obliczalnym?
>

Oczywiscie ze tak moze byc. Konstrukcja maszyny Turinga jest nie tylko
obliczalna, ale w ogole bardzo latwa (najmniejsza znana uniwersalna maszyna
Turinga ma tylko 11 stanow, o ile pamietam). Ale problem jej stopu jest
nieobliczalny.

Nie przejmuj sie, to kazdego na poczatku denerwuje. Przyzwyczaisz sie.

Chyba jedyna ksiazka po polsku na ten temat to
Hopcroft, Ullman "Jezyki, automaty, obliczenia", wydane przez WNT. Niestety dosc
dawno nie wznawiana, a na dodatek fatalnie przetlumaczona. Ale zapewniam, ze
bedzie to fascynujaca przygoda. Zyskasz o wiele wiecej niz z dyskusji ze mna i ze
Stefanem!

Pulbek.

[Gość: Stefan]

Pulbek:
> Twierdzenie Turinga rzeczywiscie jest subtelnie zwiazane z twierdzeniem
> Goedla, ale na pewno nie sa tym samym, chocby dlatego ze dowod twierdzenia
> Turinga miesci sie na jednej stronie (podalem Ci go zreszta), a twierdzenia
> Goedla - na piecdziesieciu.

Pulbeku, to jest zludzenie. Wiekszosc tych 50 stron to nauka kodowania w
liczbach naturalnych. Gdyby mozna bylo zakladac, ze czytelnik jest biegly w
takim kodowaniu, to dowod tw. Goedla bylby krotszy. Z drugiej strony Ty w
dowodzie tw. Turinga przyjales, ze czytelnik cos tam wie o programowaniu. Gdyby
nie wiedzial, to poswiecilbys 50 stron na wprowadzenie.

Pulbek:
> Jezeli potrafisz dokladnie objasnic sens zwiazku wynikow Turinga z wynikami
> Goedla, to prosze bardzo.

Wynikanie w jedna strone mozna naszkicowac tak:

TW. TURINGA => TW. GOEDLA:
Zalozmy, ze Tw. Goedla nie jest prawdziwe, a wiec istnieje system aksjomatyczny
dla arytmetyki taki, ze dla kazdej formuly zamknietej (bez zm. wolnych) F
istnieje wywod albo dla F albo dla ~F. Bierzemy dowolna maszyne Turinga M i
dowolne dane D dla niej i kostruujemy formule arytmetyczna F(M,D) rownowazna
stwierdzeniu ,,M zatrzymuje sie na D''. To jest kwestia kodowania obliczen w
arytmetyce. Teraz albo F(M,D) albo ~F(M,D) ma wywod. Zeby dowiedziec sie, czy
M staje na D, wywodzimy wszystko, co sie da w systemie aksjomatycznym. To
znaczy stosujemy wszytkie reguly wnioskowania jakie mamy kolejno do twierdzen
jakie juz mamy

Ups!

[Gość: Pulbek]

Gość portalu: Stefan napisał(a):

> TW. TURINGA => TW. GOEDLA:
[...]

Uj, ale wpadka! Wstyd ze nie znalem czegos tak prostego. Probujac zachowac twarz
czepne sie zupelnego drobiazgu: istnieja oczywiscie teorie pierwszego rzedu z
nierostrzygalnym dopasowywaniem aksjomatow. Na (zlosliwy) przyklad: zbior
wszystkich formul pierwszego rzedu prawdziwych w standardowym modelu liczb
naturalnych. Ale w zalozeniach tw. Goedla bierze sie tylko takie teorie, ktorych
aksjomaty moga byc wypisane przez jakas maszyne Turinga. Jak to sie wszystko
pieknie sklada...

Oczywiscie Stefan ma tu calkowita racje a ja jej calkowicie nie mam. To jest
faktycznie bardzo prosty zwiazek tw. Goedla z nierozstzygalnoscia.

No prosze, a ja zawsze myslalem ze tw. Goedla to taki oderwany od rzeczywistosci
wynik... A to tymczasem fakt fizyczny!

Dziekuje za korepetycje i pozdrawiam,

Pulbek.

[Gość: thrundui]

1 a
2 b
3 c
4 a->b
5 -a->b
6 -b->-a
7 --b
8 -(a->-b)

a teraz?
uznam, ze dodawanie jest zakonczone i system sie nie udal, jezeli bede musial
dorzucic odpowiednio dlugi aksjomat.

> Thrunduil, zrozum w koncu, jesli nie masz ZADNEJ reguly wnioskowania, to nie
> mozesz udowodnic NICZEGO.

a dlaczego to nie moga byc reguly wnioskowania?
Po za tym to nie takie proste. W logice klasycznej istnieje regula zewnetrzan
ktora kaze aby ten system wlaczec. Ja dolaczam cos podobnego.
W LK jest powiedziane aby wlaczyc regule podstawiania i odrywania do reszty a u
mnie aby tylko ja wlaczyc do ukladu aksjomatow.
To jest tylko zludzenie co nalezy zrobic z regulami w LK. Tego trzeba sie
domyslec w oparciu o cos dziwnego. Dlatego ja tez wymagam, aby czytelnik domyslil
sie jak nalezy to uruchomic.
Trywialnosc jest bardzo nie oczywista, bo ma on przeliczalnie wiele twierdzen.

>> teraz to ja pojde troche dalej i powiem, ze tw. godla jest nierozstrzygalne w
>> kazdym niesprzecznym systemie formalnym w ktorym da sie zformulowac.

>Czytaj: niezalezne od aksjomatow? Przeciez to jest metatwierdzenie.

I co z tego? Przeciez to nie moze byc zdanie w systemie bo nie a sie sformulowac.
Przeciez prawdziwosc tw turinga tez jest tylko w metasystemie. Jezeli wy sie do
niego odnosicie to ja tez.

Naszla mnie teraz pewna watpliwosc.
Czy nierostrzygalnosc zdania to fakt obiektywny czy kwestia wiary?
Przeciez ja moge do systemu aksjomatow dodac zaprzeczenie twierdzenia godla.
Co wtedy powstanie?

>> ale dowodu poprawnosci tez nie widzialem.

>Juz mnie calkiem zmyliles. Czego nie widziales? Dowodu twierdzenia, ze
>wlasnosc stopu maszyny Turinga jest nierozstrzygalna? To gdzie patrzyles, gdy
>wczoraj Pulbek pracowicie walil w klawisze?

To nie jest dowod.
dla unikniecie nieporozumien ustale notacje:
dany jest system formalny.
zdanie jest 1_prawdziwe jezeli jest konsekwencja formalna w tym systemie.
zdanie jest 0_prawdziwe jezeli jest konsekwencja semantyczna.
Kazde zdanie 1_prawdziwe jest 0_prawdziwe.
Zdanie 0_prawdziwe moze nie byc 1_prawdziwe.

Dowod pulbka jest dowodem na 0_prawdziwosc.
Ja uznaje tylko 1_prawdziwosc.

>> Rownolicznosc, ze zbiorem liczb naturalnych jest definicja przeliczalnosci?

>A znasz inna definicje przeliczalnosci?

Dla mnie przeliczalnosc to byla rownolicznosc z iloscia twierdzen
Pojecie z metasystemu.
Dlatego nieprzeliczalnosc liczb naturalnych to nie jest problem.
To przy okazji mam inne pytanie. Jak wyglada przeliczalny model teorii mnogosci?

>Jesli nie chcesz wchodzic w te cienkosci formalne, to przyjmij, ze liczb
>rzeczywistych jest wiecej niz naturalnych

[Gość: Stefan]

Thrunduil:
> 1 a
> 2 b
> 3 c
> 4 a->b
> 5 -a->b
> 6 -b->-a
> 7 --b
> 8 -(a->-b)
>
> a teraz?
> uznam, ze dodawanie jest zakonczone i system sie nie udal, jezeli bede musial
> dorzucic odpowiednio dlugi aksjomat.

Czy Ty te aksjomaty generujesz kompletnie na pale, czy jest w nich jakas mysl?
W kazdym razie ZNOWU zaden z tych aksjomatow nie jest tautologia w logice
klasycznej. Jesli nie masz zadnych regul wnioskowania, to te 8 zdan to juz
wszystko, nic nowego nie jestes w stanie wywiesc. Jesli jest regula odrywania
(bo zdaje sie, ze Twoje stanowisko w tej sprawie zmieklo) i zadnej wiecej, to
mozesz jeszcze wywnioskowac b (z 1 i 4), ale to Cie w ogole nie urzadza, bo b
juz masz (asj. 2). Nic wiecej. Twoja teoria ma 8 twierdzen. Jesli zgodzisz
sie na regule podstawiania w klasycznej postaci, to mozesz wyprowadzic dowolna
formule poprawnie zbudowana. Wystarczy ja podstawic do 1 za a . Czyli Twoj
system aksjomatow zaleznie od przyjetych regul jest albo kompletnie bezradny
albo od razu sprzeczny. Oczywiscie logikom nie zalezy na zadnej z tych
skrajnosci, wiec z jego publikacja przewiduje problemy.

Thrunduil:
> Czy nierostrzygalnosc zdania to fakt obiektywny czy kwestia wiary?

W to sie nawet wierzyc nie da. Zdania nie sa nierozstrzygalne, problemy sa
nierozstrzygalne, zdania sa falszywe albo prawdziwe.

Thrunduil:
> Przeciez ja moge do systemu aksjomatow dodac zaprzeczenie twierdzenia godla.

Jesli masz na mysli dodac jako ,,1_prawdziwe'', to bedziesz mial klopot z
wyrazeniem w jezyku. Jesli Ci sie to uda przez jakas przekatna, to uzyskasz
teorie sprzeczna. Czyli taka, w ktorej wszystko da sie udowodnic.

Thrunduil:
> zdanie jest 1_prawdziwe jezeli jest konsekwencja formalna w tym systemie.
> zdanie jest 0_prawdziwe jezeli jest konsekwencja semantyczna.
> Kazde zdanie 1_prawdziwe jest 0_prawdziwe.
> Zdanie 0_prawdziwe moze nie byc 1_prawdziwe.
>
> Dowod pulbka jest dowodem na 0_prawdziwosc.
> Ja uznaje tylko 1_prawdziwosc.

Czy chodzi Ci o to, ze prawdziwe sa tylko te Twoje aksjomaty a jest ich osiem?

Thrunduil, prezentowanemu przez Ciebie stanowisku najblizej jest do
intuicjonizmu. Nazwa jest paradoksalna, bo intuicjonizm, chociaz trudno mu cos
zarzucic formalnie, jest dla wiekszosci matematykow cholernie nieintuicyjny. To
jest poglad, ze istnieja tylko rzeczy, ktore da sie efektywnie pokazac.
Intuicjonisci odrzucaja wszelkie srodki dowodowe pozwalajace na rozumowanie typu
,,musi istniec, bo inaczej bylby bezsens''. Zeby istnial, to go trzeba
skonstruowac, inaczej nie wiemy. Twierdzen intuicjonistycznych jest wobec tego
mniej, bo srodki dowodowe sa ubozsze. Jest to poglad szacowny, chociaz jako
filozoficzna podstawa matematyki raczej odrzucany. Ale chyba wlasnie jego
powinienes sobie postudiowac, o ile razi Cie zwykla filozofia matematyki a
chcialbys, zeby zglaszane przez Ciebie zastrzezenia do niej przestaly byc tak
naiwne.

Thrunduil:
> To przy okazji mam inne pytanie. Jak wyglada przeliczalny model teorii
> mnogosci?

O modelu moge wypowiadac tylko zdania 0_prawdziwe, wiec Ty ich i tak nie uznasz.

Intuicjonista odrzucilby z modelu teorii mnogosci wszystkie zbiory, ktorych nie
da sie jawnie wydefiniowac. Na przyklad za podzbior X moglby przyjac
{x:X|F(x)} (zbior tych x z X, ktore spelniaja F) dla dowolnej formuly F z
jakiegos dobrze zdefiniowanego jezyka. I zadnego innego. Ale formul jest na
swiecie tylko przeliczalnie wiele, wiec zbior ma tylko przeliczalnie wiele
podzbiorow. Nieintuicjonista powiedzialby: ,,X ma o wiele wiecej podzbiorow,
ale pozostale nie sa definiowalne skonczona formula''. Intuicjonista odpowie:
,,W takim razie nie istnieja''. Glownym zrodlem ekspansji wielkosci modeli
teorii mnogosci jest aksjomat mowiacy, ze zbior podzbiorow danego zbioru tez
jest zbiorem. Stanowisko intuicjonistyczne powoduje, ze ten aksjomat traci
zeby, ekspansja dochodzi tylko do mocy przeliczalnej.

Taki model teorii mnogosci jest formalnie poprawny, chociaz kloci sie z intuicja
wiekszosci matematykow. Chcialbym Ci zwrocic uwage, ze intuicjonisci nie
kwestionuja przeliczalnosci liczb naturalnych, bo to jest bez sensu. Oni raczej
kwestionuja nieprzeliczalnosc liczb rzeczywistych. Zreszta rowniez
nieprzeliczalnosc czegokolwiek innego.

Thrunduil:
> Prawde mowiac nieistnienie modelu przeliczalnego liczb rzeczywistych jest
> pewna zagadka.

A kto Ci taka zagadke zadal? Ja mowilem, ze dowolna teoria pierwszego rzedu
posiadajaca model nieskonczony posiada modele w dowolnej mocy nieskonczonej.
Liczby rzeczywiste nie sa wyjatkiem. Teoria liczb rzeczywistych, zawierajaca
aksjomaty ciala uporzadkowanego i ew. jeszcze rozwiazywalnosc niektorych rownan
algebraicznych, bedzie miala model przeliczalny. A jak dorzucisz aksjomat
ciaglosci i uprzesz sie, zeby go interpretowac klasycznie, to juz nie.
Intuicjonista zadba o to, zeby tam, gdzie w tym aksjomacie mowi sie ,,dla
kazdego zbioru'', albo ,,dla kazdego filtra'', albo ,,kazdy ciag'' (jest wiele
rownowaznych sformulowan) rozumiec dla kazdego DEFINIOWALNEGO zbioru itd.

[Gość: thrundui]

> > 1 a
> > 2 b
> > 3 c
> > 4 a->b
> > 5 -a->b
> > 6 -b->-a
> > 7 --b
> > 8 -(a->-b)

> Czy Ty te aksjomaty generujesz kompletnie na pale, czy jest w nich jakas mysl?
> W kazdym razie ZNOWU zaden z tych aksjomatow nie jest tautologia w logice
> klasycznej. Jesli nie masz zadnych regul wnioskowania, to te 8 zdan to juz
> wszystko, nic nowego nie jestes w stanie wywiesc. Jesli jest regula odrywania
> (bo zdaje sie, ze Twoje stanowisko w tej sprawie zmieklo) i zadnej wiecej, to
> mozesz jeszcze wywnioskowac b (z 1 i 4), ale to Cie w ogole nie urzadza, bo b
> juz masz (asj. 2). Nic wiecej. Twoja teoria ma 8 twierdzen. Jesli zgodzisz
> sie na regule podstawiania w klasycznej postaci, to mozesz wyprowadzic dowolna
> formule poprawnie zbudowana. Wystarczy ja podstawic do 1 za a . Czyli Twoj
> system aksjomatow zaleznie od przyjetych regul jest albo kompletnie bezradny
> albo od razu sprzeczny.

nie ma reguly odrywania
jest regula podstawiania (domyslna), ale mozna podstawiac tylko to co jest do tej
pory na liscie.
Te zdania nie sa tautologiami, ale sa zdaniami klasycznie prawdziwymi bo a,b,c to
zdania prawdziwe.
Mysl polega na dodawaniu takich aksjomatow aby mozna bylo zrobic klasyczna regule
podstawiania do tautologii klasycznych ale juz nie do tautologii w tym systemie.

Zdan jest o wiele wiecej niz 8.
np a->a.
--(a->a) itd.

> > Czy nierostrzygalnosc zdania to fakt obiektywny czy kwestia wiary?

> W to sie nawet wierzyc nie da. Zdania nie sa nierozstrzygalne, problemy sa
> nierozstrzygalne, zdania sa falszywe albo prawdziwe.

Zdania to z definicji formuly poprawnie zbudowane. Dlaczego zdanie nie moze byc
nierozstrzygalne? Dlaczego nie moge dodac zdania godla do systemu? To chyba
przeciez zdanie.
Co to jest problem?

> > Przeciez ja moge do systemu aksjomatow dodac zaprzeczenie twierdzenia godla.
>
> Jesli masz na mysli dodac jako ,,1_prawdziwe'', to bedziesz mial klopot z
> wyrazeniem w jezyku.

Ale ono bedzie jeden 1_prawdziwe z definicji.
Zdania 1_prawdziwe to konsekwencje systemu. W powiekszonym systemie ono od razu
nalezy do konsekwencji.

> > Dowod pulbka jest dowodem na 0_prawdziwosc.
> > Ja uznaje tylko 1_prawdziwosc.

> Czy chodzi Ci o to, ze prawdziwe sa tylko te Twoje aksjomaty a jest ich osiem?

w tej czesci korzystam z calej logiki klasycznej.
dalej dowod pulbka jest dowodem na 0_prawdziwosc.

> Thrunduil, prezentowanemu przez Ciebie stanowisku najblizej jest do
> intuicjonizmu.

Nie prawda.
U mnie jest regula wylaczanego srodka.
Zgadzam sie na dowody egzystencjalne. Ale na formalne dowody egzystencjalne a nie
magiczne.

> Ale chyba wlasnie jego
> powinienes sobie postudiowac, o ile razi Cie zwykla filozofia matematyki a
> chcialbys, zeby zglaszane przez Ciebie zastrzezenia do niej przestaly byc tak
> naiwne.

Dlaczego naiwne?
Moj poglad do nie intuicjonizm.

> > To przy okazji mam inne pytanie. Jak wyglada przeliczalny model teorii
> > mnogosci?

> O modelu moge wypowiadac tylko zdania 0_prawdziwe, wiec Ty ich i tak nie uznasz.

Dlaczego mialbym nie uznac?
Chcialbym tylko aby bylo wyraznie zaznaczone, ze zdanie 0_prawdziwe nie bedzie
1_prawdziwe. Mozesz siegac nawet do metametapoziomu. To przeciez nie zmieni zdan
1_prawdziwych, a mogloby byc ciekawe.

> Intuicjonista odrzucilby z modelu teorii mnogosci wszystkie zbiory, ktorych nie
> da sie jawnie wydefiniowac.

nie jestem intuicjonista.
Zgadzam sie z istnieniem zbiorow dowolnej mocy.

> Chcialbym Ci zwrocic uwage, ze intuicjonisci nie
> kwestionuja przeliczalnosci liczb naturalnych, bo to jest bez sensu.

Wiec juz sam widzisz, ze nie jestem intuicjonista.
Ja kwestionuje przeliczalnosc liczb naturalnych czasami.
to nie jest bez sensu. Aby wykazac bezsens musisz odwolac sie do argumentow
filozoficznych a nie matematycznych.

Istnienie mnie jest filozoficznym dowodem na to, ze kwestionowanie
nieprzeliczalnosci liczb naturalnych jest bez sensu.

Istnienie jednego pogladu przeciw niszczy obiektywnosc tego sadu ale nie jego
prawdziwosc. Twoje stanowisko oznacza wiec, ze wyznajesz prawde subiektywna.
Nie jest to wielka katastofa ale powoduje, ze matematyka z zalozeniem
przeliczalnosci ma charakter wiary.

> A kto Ci taka zagadke zadal? Ja mowilem, ze dowolna teoria pierwszego rzedu
> posiadajaca model nieskonczony posiada modele w dowolnej mocy nieskonczonej.
> Liczby rzeczywiste nie sa wyjatkiem. Teoria liczb rzeczywistych, zawierajaca
> aksjomaty ciala uporzadkowanego i ew. jeszcze rozwiazywalnosc niektorych rownan
> algebraicznych, bedzie miala model przeliczalny. A jak dorzucisz aksjomat
> ciaglosci i uprzesz sie, zeby go interpretowac klasycznie, to juz nie.

Powiedziales, ze liczby rzeczywiste nie maja modelu przeliczalnego
a teraz sie wykrecasz. Ja sie upre by aksjomat ciaglosci interpretowac
nieklasycznie.

Czy liczb rzeczywistych moze byc wiecej niz naturalnych?
Tzn czy istnieje metasystem, gdzie tak jest.

> > Jak matematycy chca rozmawiac o twierdzeniach 0_prawdziwych to niech tez m
> owia
> > wprost, ze to jest wyznanie wiary a nie dowod.

> Kryteria uznawania za prawde sa w matematyce
> zbyt ostre, zeby cos takiego zaakceptowac.

Nie wiem, czy zauwazyles, ale ja przyjalem wszystkie reguly wnioskowania
matematycznego a nie akceptuje znaczacej wiekszosci dowodow.

Czy to oznacza, ze aby przystapic do grona matematykow trzeba przejsc test wiary?
Jak nie wierzysz w przeliczalnosc liczb naturalnych to wypadasz?

Wytlumacz mi jak mozesz twierdzic, ze twierdzenia matematyki sa prawdziwe, jezeli
nie mozesz mi zabronic twierdzic, ze liczb naturalnych jest nieprzeliczalnie
wiele.
To gdybym nagle wylonil sie z grupa 1000 matematykow, opanowalibysmy cambridge i
zalozyli wlasne pismo to nagle powstalyby dwie matematyki? Obie zupelnie rozne
ale obie absolutnie prawdziwe?

> Matematyczne dowody sa o wiele scislejsze i pewniejsze niz te wszystkie
> przyklady. Ale (z malymi wyjatkami) nie sa 1_prawdziwe w Twoim sensie. Jak
> chcesz, mozesz je odrzucic, tylko raczej zacznij od odrzucenia wiary w to, ze w
> dzien jest jasno.

Przeciez twierdze, ze matematyka nie ma nic wspolnego z rzeczywistoscia.
Nie musze odrzucac, zadnych faktow fizycznych. Nawet jak odrzuce cala matematyke,
to nie bedzie mi sie chcialo odrzucic zadnego modelu fizycznego. Ja nie wymagam
aby matematyka modelu fizycznego byla prawdziwa z punktu widzenia matematyki.


> Thrunduil, czytales Penrose'a ,,Nowy umysl cesarza'' albo ,,Cienie umyslu''?

wlasnie utkalem na pewnej stronie.

[Gość: Pulbek]

Gość portalu: thrundui napisał(a):

> 1 a
> 2 b
> 3 c
> 4 a->b
> 5 -a->b
> 6 -b->-a
> 7 --b
> 8 -(a->-b)
>
> a teraz?

Teraz lepiej. Dostales to co (chyba) chciales, to znaczy
system, w ktorym przy uzyciu reguly podstawiania, ktora
nazywasz regula celowosci, mozesz wyprowadzic wszystkie
te i tylko te formuly, ktore sa klasycznie prawdziwe
jezeli formuly a,b i c sa prawdziwe.

Tautologia to takie zdanie, ktore jest klasycznie
prawdziwe _niezaleznie_ od prawdziwosci a,b i c. W
szczegolnosci wiec Twoj system pozwala wyprowadzic
wszystkie klasyczne tautulogie, ale takze ogromne mnostwo
zdan ktore tautologiami nie sa. Juz pojedyncze symbole
nimi nie sa.

Ale osiagnales pewien sukces: nie ma takiego zdania p, ze
Twoj system wyprowadza zarowno p jak i -p.

Masz wiec pewien formalizm zdaniowy i to nawet
niesprzeczny w sensie syntaktycznym. Co z nim chcesz
dalej zrobic?

Na jezyku zdan matematyki nie zbudujesz. Musisz oprzec na
swoim rachunku jakis jezyk pierwszego rzedu, to znaczy
taki z kwantyfikatorami, predykatami i termami. Dopiero
jak to zrobisz mozesz pojsc dalej, to znaczy zdefiniowac
swoja wersje teorii zbiorow albo arytmetyki.

Sprobuj rozszerzyc swoj jezyk o predykaty i
kwantyfikatory, zobaczysz jak sie ladnie wszystko zawali.
Prawdopodobnie bedziesz musial sie ograniczyc do
predykatow ktore sa zawsze spelnione, bo w Twoim
formalizmie nie masz zadnego mechanizmu stwierdzania ze
cos nie jest prawda.

Do mowienia w tym systemie o rozstrzygalnosci to tu jest
jeszcze dluga droga daleka przed nami.

No ale nic, sprobuj sam.


Stefan:
> Thrunduil, zrozum w koncu, jesli nie masz ZADNEJ reguly
> wnioskowania, to nie mozesz udowodnic NICZEGO.

On caly czas ma te swoja "celowosc". Cos tam moze
wyprowadzic.


Pulbek.

[Gość: thrundui]

> Masz wiec pewien formalizm zdaniowy i to nawet
> niesprzeczny w sensie syntaktycznym. Co z nim chcesz
> dalej zrobic?

Czas zdefiniowac teorie.

Nie jest tak, ze mam za duzo zdan prawdziwych.
Teoria powstaje przez dolaczenie nowych aksjomatow.
Moge uznac, ze zdania teorii nie moga juz zawierac a,b,c.
Nie wiem czy tak sie da zrobic. Jezeli jednak sie da, to wszytskie konsekwencje
teorii w moim sensie beda konsekwencjami teorii w sensie klasycznym.
Wszyskie nadmiarowe zdania zostana wyeliminowane.

Jezyk pierwszego rzedu jest tylko teoria, wiec nie musze sie nim zbytnio
przejmowac. NIe jest w kazdym badz razie uprzywilejowany. Gdybym jednak chcial go
dolaczyc, to wlasciwie tez nie widze wielkiego klopotu, jezeli uznam, ze wiadomo
co to jest predykat. Jednak w klasycznym podejsciu on nie jest zdefiniowany
wiec i ja nie musze sie strasznie tym przejmowac.

Aby to zdefiniowac musialbym dowiedziec sie skad wiadomo jak czytac znak
predykatu w logice klasycznej.

To co ja zrobilem to bylo jednoczesne definiowanie jezyka i operatorow
logicznych. Moze w logice pierwszego rzedu tez to sie uda, jezeli zaloze ze
wiadomo jak czytac symbol predykatu.
Problem bedzie z rachunkiem zbiorow, bo tam jest nieskonczenie wiele aksjomatow.

Ale mnie tak naprawde interesuje tylko logika. Reszta juz dzieje sie sama.

[Gość: Pulbek]

Gość portalu: thrundui napisał(a):

> > Masz wiec pewien formalizm zdaniowy i to nawet
> > niesprzeczny w sensie syntaktycznym. Co z nim chcesz
> > dalej zrobic?
>
> Nie jest tak, ze mam za duzo zdan prawdziwych.
> Teoria powstaje przez dolaczenie nowych aksjomatow.
[...]
> Wszyskie nadmiarowe zdania zostana wyeliminowane.
>

Jak chcesz je wyeliminowac? Przez dodawanie nowych
aksjomatow mozesz udowadniac _wiecej_ rzeczy, a nie
mniej. Chcesz sprawic zeby Twoja logika byla
niemonotoniczna?

W Twoim systemie mozesz wyprowadzic zdanie 'a'. Jezeli
dodasz rozne nowe aksjomaty (a na tym polega tworzenie
teorii) to nadal bedziesz mogl wyprowadzic 'a', Chyba ze
masz w zanadrzu jakies niesamowite sztuczki. Ale uzywajac
takich sztuczek od razu pozegnamy sie z logika klasyczna.

> Jezyk pierwszego rzedu jest tylko teoria, wiec nie
> musze sie nim zbytnio przejmowac.

??

Logika pierwszego rzedu jest teoria logiki zdaniowej?
Jakim cudem? Przeciez jest wyrazona w zupelnie innym
jezyku? Nie ma w niej nawet zmiennych zdaniowych!

W jaki zywy sposob chcesz zdefiniowac na przyklad
arytmetyke w jezyku zdan? Przeciez nie mozesz napisac
nawet '0', bo to sie nie miesci w Twoim jezyku.

[...]
>
> Aby to zdefiniowac musialbym dowiedziec sie skad
> wiadomo jak czytac znak predykatu w logice klasycznej.
>

Nic nie rozumiem. A skad wiadomo jak czytac znak
implikacji w logice klasycznej? A skad wiadomo jak czytac
znak implikacji w Twoim formalizmie? Znikad. Aksjomaty
mowia jak go czytac. To samo z predykatami w logice
pierwszego rzedu.

> Problem bedzie z rachunkiem zbiorow, bo tam jest
> nieskonczenie wiele aksjomatow.

To bedzie akurat najmniejszy problem, zapewniam Cie.

>
> Ale mnie tak naprawde interesuje tylko logika. Reszta
> juz dzieje sie sama.

Logika nie konczy sie na rachunku zdan. Jesli sadzisz ze
logika pierwszego rzedu daje sie zapisac jako teoria
logiki zdaniowej, to to zrob.

Dla ustalenia terminologii: teoria to zbior zdan, zwykle
prezentowany w jakis skonczony sposob.

Podejrzewam ze planujesz do tego podejsc bardziej
liberalnie i w swoich teoriach dopuszczac rozszerzanie
jezyka. Prosze bardzo, do dziela. Stawiam banany
przeciwko sliwkom, ze nawet arytmetyki nie uda Ci sie tak
zdefiniowac.

Pozdrawiam,

Pulbek.

[Gość: thrundui]

> > Wszyskie nadmiarowe zdania zostana wyeliminowane.

> Jak chcesz je wyeliminowac? Przez dodawanie nowych
> aksjomatow mozesz udowadniac _wiecej_ rzeczy, a nie
> mniej. Chcesz sprawic zeby Twoja logika byla
> niemonotoniczna?

aksjomatycznie tego oczywiscie nie da sie zrobic

Tyle tylko, ze mam jeszcze prawo do bardzo wielu niekonwencjonalnych sztuczek.
Zauwaz, ze moja logika nie wymaga zadnego jezyka. Logike klasyczna mozna wyrazic
tylko w jakims jezyku - angielki, chinski, cokolwiek. Wersja argielska moze byc
niedostepna dla chinczyka i na odwrot. Chyba, ze przez podobny format i
zgadniecie. Ale nie o takie wnioskowanie chodzi.

U mnie nie ma reguly podstawiania, odrywania, metnego definiowania jezyka, nie ma
jeszcze nawet metasystemu!

W logice klasycznej teorii nie da sie latwo wprowadzic. Pojecie teorii jest w
metasystemie a nie systemie logicznym. U mnie mozna wprowadzic teorie bez
odwolywania sie do metasystemu po prostu dodajac nowe aksjomaty. W systemie
klasycznym te nowe aksjomaty maja juz zupelnie inna range niz aksjomaty klasyczne
bo nie definiuja regul wnioskowania. U mnie definiuja. U mnie nie ma wiec logiki,
sa tylko teorie.

Skoro system klasyczny jest zasmiecony definicja teorii to ja tez moge zasmiecic
swoj system taka definicja. I moge w niej przyjac, ze do konsekwencji teorii
nalezy wszystko oprocz zdan zawierajacych a lub b lub c.

> > Jezyk pierwszego rzedu jest tylko teoria, wiec nie
> > musze sie nim zbytnio przejmowac.

Gdyby jezyk pierwszego rzedu byl logika to bylby zupelny. Predykat moglby byc
albo prawdziwy albo falszywy. Normalnie predykat ma jest jeszcze inna opcje do
wyboru.

> Logika pierwszego rzedu jest teoria logiki zdaniowej?
> Jakim cudem? Przeciez jest wyrazona w zupelnie innym
> jezyku? Nie ma w niej nawet zmiennych zdaniowych!

Moge sie zgodzic, ze jest to jakas logika, ale o statusie nizszym niz klasyczny
rachunek zdan. Wlasciwie to ja nie rozumiem jego znaczenia.

> W jaki zywy sposob chcesz zdefiniowac na przyklad
> arytmetyke w jezyku zdan? Przeciez nie mozesz napisac
> nawet '0', bo to sie nie miesci w Twoim jezyku.

11. 0

> Nic nie rozumiem. A skad wiadomo jak czytac znak
> implikacji w logice klasycznej? A skad wiadomo jak czytac
> znak implikacji w Twoim formalizmie? Znikad. Aksjomaty
> mowia jak go czytac. To samo z predykatami w logice
> pierwszego rzedu.

Mozliwe.
Jeszcze nigdzie nie widzialem syntaktycznej definicji rachunku predykatorow.

[Gość: Pulbek]

Gość portalu: thrundui napisał(a):

>
> W logice klasycznej teorii nie da sie latwo wprowadzic. Pojecie teorii jest w
> metasystemie a nie systemie logicznym. U mnie mozna wprowadzic teorie bez
> odwolywania sie do metasystemu po prostu dodajac nowe aksjomaty.

Dokladnie tak samo wprowadza sie teorie do logiki klasycznej. Po prostu
wprowadzajac nowe aksjomaty.

> W systemie
> klasycznym te nowe aksjomaty maja juz zupelnie inna range niz aksjomaty klasycz
> ne
> bo nie definiuja regul wnioskowania.

Maja dokladnie taka sama range, bo klasyczne aksjomaty tez nie definiuja regul
wnioskowania. Twoje zreszta tez nie definuja, jedyna Twoja regula wnioskowania
to "zasada celowosci".

> Skoro system klasyczny jest zasmiecony definicja teorii to ja tez moge zasmieci
> c swoj system taka definicja. I moge w niej przyjac, ze do konsekwencji teorii
> nalezy wszystko oprocz zdan zawierajacych a lub b lub c.

No to zrob to. Ale tak zeby cos bylo jej konsekwencja. Nie uda sie! Pomijajac juz
fakt ze to bardzo dziwne zeby pusta teoria miala inne konsekwencje niz gola
logika.


> Gdyby jezyk pierwszego rzedu byl logika to bylby zupelny. Predykat moglby byc
> albo prawdziwy albo falszywy. Normalnie predykat ma jest jeszcze inna opcje do
> wyboru.

Ha, i tu Cie wlasnie mam. Otoz logika pierwszego rzedu jest jak najbardziej
zupelna. I twierdzenie Goedla wcale temu nie przeczy!


> > W jaki zywy sposob chcesz zdefiniowac na przyklad
> > arytmetyke w jezyku zdan? Przeciez nie mozesz napisac
> > nawet '0', bo to sie nie miesci w Twoim jezyku.
>
> 11. 0
>

Zero to jest Twoim zdaniem formula? I to na dodatek prawdziwa?

[...]
> Jeszcze nigdzie nie widzialem syntaktycznej definicji rachunku predykatorow.

Acha.

Pulbek.

[Gość: thrundui]

> Maja dokladnie taka sama range, bo klasyczne aksjomaty tez nie definiuja regul
> wnioskowania. Twoje zreszta tez nie definuja, jedyna Twoja regula wnioskowania
> to "zasada celowosci".

to np a->a nie jest regula wnioskowania w teorii?

> I moge w niej przyjac, ze do konsekwencji teorii
> > nalezy wszystko oprocz zdan zawierajacych a lub b lub c.

> No to zrob to. Ale tak zeby cos bylo jej konsekwencja. Nie uda sie! Pomijajac
> juz fakt ze to bardzo dziwne zeby pusta teoria miala inne konsekwencje niz gola
> logika.

To nowy aksjomat
x
konsekwencje:
x->x, --x, -x->x,...
Pusta teoria u mnie bedzie miala takie same konsekwencje jak logika, bo
jako konsekwencje zdefiniuje to co nie zawiera a,b,c (ulepszona teraz definicja
teorii)

> Ha, i tu Cie wlasnie mam. Otoz logika pierwszego rzedu jest jak najbardziej
> zupelna. I twierdzenie Goedla wcale temu nie przeczy!

to predykat p(x) jest falszywy czy prawdziwy?
zdanie p jest zawsze prawdziwe albo falszywe.

> > 11. 0

> Zero to jest Twoim zdaniem formula? I to na dodatek prawdziwa?

A co to jest zero?
Mowiles, ze u mnie nie ma zera a ja go stworzylem.

> > Jeszcze nigdzie nie widzialem syntaktycznej definicji rachunku predykatorow

> Acha.

To jakos go pokaz.
Mam nadzieje, ze nie chcesz mi pokazac to co ja mysle, ze chcesz pokazac.

[Gość: Pulbek]

Gość portalu: thrundui napisał(a):

>
> to np a->a nie jest regula wnioskowania w teorii?
>

Nie. To jest twierdzenie, albo aksjomat. Zaleznie od sposobu wprowadzenia logiki.
Mamy tu jakies straszne nieporozumienie. "Regula wnioskowania" nazywamy
mechanizm "sklejania" formul w dowody. Regula wnioskowania to metoda, a nie
formula. Majac tylko gole formuly (aksjomaty) nic nie udowodnisz, bo nie wiesz co
to jest dowod. Reguly wnioskowania mowia Ci jak robic dowody. U Ciebie jedyny
mechanizm robienia dowodow z formul to "zasada celowosci".

>
> To nowy aksjomat
> x
> konsekwencje:
> x->x, --x, -x->x,...

No to chyba wpadles z deszczu pod rynne, bo x tez nie jest tautologia klasyczna.
Myslalem ze chcesz czegos takiego uniknac? Czy moze teraz na nowo zdefiniujesz
konsekwencje teorii i wyrzucisz z nich wszystko co zawiera x?

Poza tym nie uzywaj prosze litery x na oznaczenie zmiennej zdaniowej, bo za
chwile bedziemy mowili o logice pierwszego rzedu i sie nam wszystko pomiesza.
Zmienne zdaniowe przyjelo sie oznaczac a,b,c,d,...

> to predykat p(x) jest falszywy czy prawdziwy?
> zdanie p jest zawsze prawdziwe albo falszywe.
>

p(x) to nie jest zdanie. Zdanie to formula bez zmiennych wolnych. W formule p(x)
jest zmienna wolna x.

> 11. 0
>
> A co to jest zero?
> Mowiles, ze u mnie nie ma zera a ja go stworzylem.
>

Mowilem, bo nie bylo. Skoro teraz jest to nie mowie.

W klasycznym rozumieniu zero to symbol stalej. Nigdy sie nie spotkalem z pogladem
ze zero to zdanie. I ze na dodatek jest aksjomatem. A co z kwantyfikatorami? Czy
napis 'dla kazdego x' tez jest zdaniem i aksjomatem?

> > > Jeszcze nigdzie nie widzialem syntaktycznej definicji rachunku predykatorow
> To jakos go pokaz.
> Mam nadzieje, ze nie chcesz mi pokazac to co ja mysle, ze chcesz pokazac.

Kurcze, trudne zadanie przede mna stawiasz... Ja sie namecze, napisze, a Ty
powiesz tylko "Eee, tak myslalem ze mi to chcesz pokazac...".

To juz moze jutro pokaze, bo to troche pisaniny. Ale zapewniam Cie ze nie pojawi
sie w niej zadne ze slow "model", "interpretacja", "semantyka". Beda tylko
aksjomaty i reguly wnioskowania.

Pulbek.

[Gość: Pulbek]

Gość portalu: Pulbek napisał(a):

> >
> > To nowy aksjomat
> > x
> > konsekwencje:
> > x->x, --x, -x->x,...
>
> No to chyba wpadles z deszczu pod rynne, bo x tez nie jest tautologia klasyczna
> .

Hm, zastanowilem sie chwile i chyba rozumiem o co Ci chodzi. x jest aksjomatem
Twojej teorii, tak? A w dowodach mozesz uzywac a,b,c tylko na koncu musza
wszystkie zniknac?

W takim razie zgoda. Mozesz tu tworzyc teorie zdaniowe. Ale nie pokazesz
wszystkich _tautologii_ klasycznych.

Zastanow sie nad przykladem, w ktorym Twoim jedynym aksjomatem jest -d.
Powinienes umiec stad wyprowadzic tautologie d->d, ale nie mozesz! Gdybys mogl za
a i b podstawic d to by bylo OK, ale nie mozesz bo d nie ma na Twojej liscie
aksjomatow! Wiec nie mozesz zamiast --d napisac d, na przyklad, bo nie mozesz
zamienic b z d.

Innymi slowy nie dasz rady stworzyc zadnej teorii w ktorej stwierdzasz ze cos
jest falszywe. Tymczasem bez tego ani rusz. W arytmetyce jest aksjomat ze x+1
jest rozne od x. W teorii zbiorow jest aksjomat ze x nie nalezy do x. To sa
wszystko stwierdzenia ze cos _nie_ zachodzi.

Co Ty na to?

Pulbek.

[Gość: thrundui]

> Zastanow sie nad przykladem, w ktorym Twoim jedynym aksjomatem jest -d.
> Powinienes umiec stad wyprowadzic tautologie d->d, ale nie mozesz!

-a->-a
--d->--d
d->d

moga jednak powstac zamieszania z nawiasami w przypadku odwrotnej reguly
podstawiania.

>Ale i tak nie rozumiem przejscia od
ᡂ. --(a -> -b) -> --(a -> -b)
>do
ᡃ. (a -> -b) -> (a -> -b) z 10 i 7.
>Widze tu zastapienie --(a -> -b) przez (a -> -b), tymczasem ani jednego ani
>drugiego nie widze na liscie i nie wiem, jak moglyby na nia trafic. Dla
>przypomnienia, oto lista aksjomatow:

dokladniej, jak wygladaja reguly podstawienia:
a
b
--b
------
--a

skoro a to to samo co b, b to to samo co --b, a wiec --a.

I regula odwrotna:

b
--b
--a
------
a

skoro --a to to samo co --b, oraz --b to to samo co b, a wiec --a to to samo co
a.

dlatego mozna robic reguly podstawiania w obu kierunkach.
Nad odwrotnym podstawianiem wiekszych czesci to ja musze jeszcze zastanowic.
Chyba trzeba dokladniej przesledzic role nawiasow.
W kazdym razie odwrotne podstawianie wyglada obiecujaco.

>ale Thrunduil mowi jeszcze, ze zasada celowosci to NIE JEST regula podstawiania.
>Rozumiesz w takim razie, co to jest?

zasada celowosci:
to wszytsko ma sens i jest dokladnie przemyslane. Nie ma nic czego nie powinno
byc i niczego nie brakuje. To do czegos sluzy.

>Pytanie dla Thrundui, z gatunku celnych: Czy potrafisz w swoim rachunku pokazac
>tautologie

>-((a->a)->((a->a)->-(a->a)))

Taki sam dowod jak (a->-b)->(a->-b)
Jak sie na niego zgodzicie, to to bedzie to samo.

>> to predykat p(x) jest falszywy czy prawdziwy?
>> zdanie p jest zawsze prawdziwe albo falszywe.
>>

>p(x) to nie jest zdanie. Zdanie to formula bez zmiennych wolnych. W formule p(x)
>jest zmienna wolna x.

Tym sie rozni rachunek predykatorow jako logika i jako teoria. Gdyby byl logika,
to zdanie to byloby albo prawdziwe albo falszywe. Rachunek moze byc logika albo
nie. To kwestia woli.

Robisz tutaj male oszustwo.
Zupelnosc definiuje sie w ten sposob, ze kazda formula dobrze zbudowana jest albo
prawdziwa albo falszywa. W rachunku predykatow p(x) jest dobrze zbudowane.
Twoja zupelnosc jest spreparowana. Wyrzuciles to co ci sie nie podoba.
W ten sposob kazda teorie mozna zrobic zupelna zakladajac, ze zdanie to z
definicji tylko konsekwencje teorii.

Dla mnie cos jest logike, jezeli definiuje prawde. Taki rachunek predykatow nie
jest logika, bo nie okresla, czy p(x) jest falszywe czy nie.

>> > > Jeszcze nigdzie nie widzialem syntaktycznej definicji rachunku
>predykatorow
>> To jakos go pokaz.
>> Mam nadzieje, ze nie chcesz mi pokazac to co ja mysle, ze chcesz pokazac.

>Kurcze, trudne zadanie przede mna stawiasz... Ja sie namecze, napisze, a Ty
>powiesz tylko "Eee, tak myslalem ze mi to chcesz pokazac...".

Czy to to co zawiera takie zdania jak:
- jezeli cos tam nie zawiera zmiennej wolnej to
- jezeli cos tam zawiera zmienne wolne, z ktorych co najmniej dwie sa nie
zwiazane ale nie wiecej niz 15 to:
itd
?

[Gość: Pulbek]

Twoj dowod jest niepoprawny.

_Nie_mozesz_ przejsc od --(a->-b) do a->-b. Zaden z
Twoich aksjomatow na to nie pozwala.

Mozesz przejsc od --b do b, na to Twoje aksjomaty, wraz
z regula celowosci, pozwalaja. Ale zeby skorzystac z
tego przejscia w swoim dowodzie, musisz podstawic a->-b
zamiast b. Tymczasem tego _nie_mozesz_ zrobic, bo a->-b
nie ma na Twojej liscie aksjomatow!

Gdybys potrafil kasowac podwojna negacje przed dowolna
formula, byloby lepiej. Ale te aksjomaty ktore
wypisales, wraz z "zasada celowosci", o ile ja dobrze
rozumiem, pozwalaja na kasowanie podwojnej negacji
tylko sprzed formul, ktore potrafisz podstawic za b.
Czyli tylko takich, ktore potrafisz wyprowadzic.

A a->-b nie mozesz wyprowadzic, i zreszta cale
szczescie bo jakbys mogl caly system zrobilby sie
sprzeczny.

Widzisz problem?

Pulbek.

[Gość: thrundui]

> _Nie_mozesz_ przejsc od --(a->-b) do a->-b. Zaden z
> Twoich aksjomatow na to nie pozwala.

z --d moge przejsc do d.
aksjomaty:
a
b
--b
i nowy
--d

powtorze jeszcze raz rozumowanie:
--b to to samo co --d.
--b to to samo co b
wiec
--d to to samo co d

Nie widze powodow, dla ktorych moznaby to wyeliminowac.
Moge wiec usuwac

[Gość: Pulbek]

Gość portalu: thrundui napisał(a):

> z --d moge przejsc do d.
> aksjomaty:
> a
> b
> --b
> i nowy
> --d
>
> powtorze jeszcze raz rozumowanie:
> --b to to samo co --d.
> --b to to samo co b
> wiec
> --d to to samo co d
>

Wlasnie ze nie, w tym problem. Jezeli do swoich
aksjomatow dodasz tylko jeden: --d, to mozesz napisac
tylko tyle:
--b to to samo co --d
--b to to samo co b
a wiec
--d to to samo co b

Ale jak z tego wywnioskujesz ze --d to to samo co d?
Musialbyc jeszcze wiedziec ze b to to samo co d, a tego
nie wiesz bo na swojej liscie nie masz jeszcze d!
Przypominam, ze Twoja "zasada celowosci" pozwala Ci
podstawiac tylko takie napisy ktore juz masz na liscie!

Nawiasy nie maja tu nic do rzeczy.

Pulbek.

[Gość: thrudnu]

> Wlasnie ze nie, w tym problem. Jezeli do swoich
> aksjomatow dodasz tylko jeden: --d, to mozesz napisac
> tylko tyle:
> --b to to samo co --d
> --b to to samo co b
> a wiec
> --d to to samo co b

--d --d
--b --b
--b b
---------------
--d d

Mi sie wydaje, ze to widac.
Jezeli z --b mozna zrobic b
to dlaczego z --d nie mozna zrobic d

mamy przeciez
--d
--b
nie ma wiec roznicy miedzy b a d.

zakceptowales,ze:
z b mozna zrobic --b
oraz d
to --d.

Teraz mamy sytuacje dokladnie symetryczna
z --b mozna zrobic b
oraz --d
to d.

Jest to troche dziwne, bo o ile w normalna strone moja regula podstawiania
przypomina klasyczna, to w ta strone jest juz czyms zupelnie innym.
Ale to tylko przedstawienie symetryczne. zasada ta sama.

[Gość: Pulbek]

Gość portalu: thrudnu napisał(a):

> Mi sie wydaje, ze to widac.
> Jezeli z --b mozna zrobic b
> to dlaczego z --d nie mozna zrobic d

Bo b i d to nie to samo! Dlaczego uwazasz ze to to samo,
co Ci pozwala tak stwierdzic? NIE masz d na swojej liscie
aksjomatow!

>
> mamy przeciez
> --d
> --b
> nie ma wiec roznicy miedzy b a d.
>

Nie ma roznicy miedzy --b a --d, ale skad wiesz ze nie ma
roznicy miedzy b a d?

> zakceptowales,ze:
> z b mozna zrobic --b
> oraz d
> to --d.
>

Jezeli do aksjomatow dodasz d, to z zasady celowosci i z
aksjomatow b, --b wychodzi Ci --d. Dzieje sie tak, bo:

b i d to to samo (oba sa aksjomatami)
b i --b to to samo (oba sa aksjomatami)
a wiec
d i --b to to samo
a wiec
d i --d to to samo.

W te strone to dziala. W druga strone nie dziala! Z d
mozna wyprowadzic --d, ale z --d nie da sie wyprowadzic
d! Sprobuj to zrobic _bardzo_dokladnie_, nie machajac
rekami w rodzaju "przeciez wszystko jest symetryczne", to
zobaczysz dlaczego sie nie uda!

> Jest to troche dziwne, bo o ile w normalna strone moja
> regula podstawiania
> przypomina klasyczna, to w ta strone jest juz czyms
> zupelnie innym.

Najwyrazniej wobec tego ja nie rozumiem na czym. Do tej
pory myslalem ze zasada celowosci brzmi nastepujaco:

jezeli
- na liscie wystepuje pewna formula P
- w P jest pewna podformula Q, ktora tez jest na liscie
- na liscie jest pewna inna formula R
to
- do listy mozna dodac formule powstala z P przez
zastapienie Q przez R.

Czy Ty rozumiesz zasade celowosci inaczej?

Pulbek.

[Gość: Stefan]

Pulbek:
> On caly czas ma te swoja "celowosc". Cos tam moze wyprowadzic.

O kurcze, stale zapominam. Tak, z podstawianiem COS moze wyprowadzic.

Thrunduil:
> 1 a
> 2 b
> 3 c
> 4 a->b
> 5 -a->b
> 6 -b->-a
> 7 --b
> 8 -(a->-b)
Pulbek:
> Teraz lepiej. Dostales to co (chyba) chciales, to znaczy system, w ktorym przy
> uzyciu reguly podstawiania, ktora nazywasz regula celowosci, mozesz
> wyprowadzic wszystkie te i tylko te formuly, ktore sa klasycznie prawdziwe
> jezeli formuly a,b i c sa prawdziwe.

A co z (a -> -a) -> (a -> -a) ? Poniewaz to jest implikacja rzeczy
niezanegowanych, musialby dla jej uzyskania podstawiac do 4. Skoro podstawiac
mozna tylko rzeczy juz wyprowadzone, to najpierw trzeba wyprowadzic a -> -a .
To chyba juz nie pasuje do zadnego aksjomatu. Czy czegos nie dostrzeglem? Wiec
dostal podzbior wlasciwy zbioru tych formul, w ktorych nie wystepuja zadne
zmienne poza a, b i c, i ktore sa klasycznie prawdziwe jezeli formuly a, b i c
sa prawdziwe.

Co klasycznego sie w tym systemie nie zmiescilo? Ano wszystko, co w normalnym
rachunku zdan okresla nature implikacji. Zeby dowiesc ,,jesli A to B''
zakladamy A i wyprowadzamy B nie przejmujac sie tym, czy A jest prawdziwe.
Thrunduil nie moze nic takiego zrobic: zeby dowiesc implikacje (przy ktorej
poprzedniku nie ma jawnej negacji) musi najpierw udowodnic poprzednik.

Ja:
> Thrunduil, czytales Penrose'a ,,Nowy umysl cesarza'' albo ,,Cienie umyslu''?
Thrunduil:
> wlasnie utkalem na pewnej stronie.

Zgadlem. Pewne sformulowania Thrunduila pachnialy Penrosem. To sa ciekawe i
glebokie przemyslenia. Ale wydawalo mi sie zawsze, ze raczej nie do zrozumienia
dla ludzi bez porzadnych podstaw. Oczywiscie wydawca nie przestrzega przed tym,
bo po co ma sobie zmniejszac ilosc sprzedanych egzemplarzy. Niebezpieczenstwo
dla osob nieprzygotowanych jest mniej wiecej takie. Gdzies w zakamarkach
kodeksu drogowego jest zezwolenie na to, zeby na dwukierunkowej ulicy zjechac na
lewa strone i zaparkowac lewym bokiem do chodnika, o ile ten manewr nie utrudni
zycia innym. Wyobraz sobie teraz kogos, kto nigdy nie slyszal o zasadzie ruchu
prawostronnego, przeczytal tylko ten drobny przepis i wyciagnal wniosek, ze
wolno jezdzic po lewej stronie.

Pulbeku, jesli nadal interesuje Cie problem chinskiego pokoju, to siegnij po
,,Cienie umyslu''. Penrose ma sporo naprawde ciekawego do powiedzenia w tej
sprawie. Ale czytaj krytycznie.

- Stefan

[Gość: thrundui]

> 1 a
> 2 b
> 3 c
> 4 a->b
> 5 -a->b
> 6 -b->-a
> 7 --b
> 8 -(a->-b)

> A co z (a -> -a) -> (a -> -a) ?

9 -b->-a z 6
10 --(a->-b)->--a(a->-b) z 9 i 8
11 (a->-b)->(a->-b) z 10 i 7.
12. (a->-a)->(a->-a) z 11 i 1.

Mamy pelna symetria
b to to samo co --b
--b to to samo co b

> Zgadlem. Pewne sformulowania Thrunduila pachnialy Penrosem. To sa ciekawe i
> glebokie przemyslenia. Ale wydawalo mi sie zawsze, ze raczej nie do zrozumienia
> dla ludzi bez porzadnych podstaw. Oczywiscie wydawca nie przestrzega przed tym,
> bo po co ma sobie zmniejszac ilosc sprzedanych egzemplarzy. Niebezpieczenstwo
> dla osob nieprzygotowanych jest mniej wiecej takie. Gdzies w zakamarkach
> kodeksu drogowego jest zezwolenie na to, zeby na dwukierunkowej ulicy zjechac na
> lewa strone i zaparkowac lewym bokiem do chodnika, o ile ten manewr nie utrudni
> zycia innym. Wyobraz sobie teraz kogos, kto nigdy nie slyszal o zasadzie ruchu
> prawostronnego, przeczytal tylko ten drobny przepis i wyciagnal wniosek, ze
> wolno jezdzic po lewej stronie.

czas na argumenty silowe, odwolywania do rozumu, inteligencji, przyzwoitosci,
honoru i ojczyzny, przez zameczenie, zanudzenie, odwolanie do demokracji, dobra
wspolnego,...

czyli teza udowodniona.

[Gość: Stefan]

Thrunduil:
> 1 a
> 2 b
> 3 c
> 4 a->b
> 5 -a->b
> 6 -b->-a
> 7 --b
> 8 -(a->-b)
Ja:
> A co z (a -> -a) -> (a -> -a) ?
Thrunduil:
> 9 -b->-a z 6
> 10 --(a->-b)->--a(a->-b) z 9 i 8
> 11 (a->-b)->(a->-b) z 10 i 7.
> 12. (a->-a)->(a->-a) z 11 i 1.

Nie rozumiem przejscia z 10 do 11. 7 mowi tylko, ze --b jest
twierdzeniem. Zasade celowosci sformulowales tak:

Thrunduil (dawniej):
> jest regula podstawiania (domyslna), ale mozna podstawiac tylko to
> co jest do tej pory na liscie.

Wiec na jej podstawie sa twierdzeniami wszystkie zdania zaczynajace
sie od podwojnej negacji a dalej majace cos juz wczesniej udowodnione.
Nie widze, co Ci pozwala na kasowanie podwojnej negacji.

Thrunduil:
> Mamy pelna symetria
> b to to samo co --b
> --b to to samo co b

To z Twoich aksjomatow nie wynika. Tylko b oraz --b. Nic o zadnej
symetrii.

Thrunduil:
> czas na argumenty silowe, odwolywania do rozumu, inteligencji,
> przyzwoitosci, honoru i ojczyzny, przez zameczenie, zanudzenie,
> odwolanie do demokracji, dobra wspolnego,... czyli teza
> udowodniona.

[:-)]
Nie gniewaj sie, Thrunduil. Tez miewam slabsze momenty.

- Stefan

[Gość: thrundui]

> Nie rozumiem przejscia z 10 do 11. 7 mowi tylko, ze --b jest
> twierdzeniem. Zasade celowosci sformulowales tak:

> Thrunduil (dawniej):
> > jest regula podstawiania (domyslna), ale mozna podstawiac tylko to
> > co jest do tej pory na liscie.

> Wiec na jej podstawie sa twierdzeniami wszystkie zdania zaczynajace
> sie od podwojnej negacji a dalej majace cos juz wczesniej udowodnione.
> Nie widze, co Ci pozwala na kasowanie podwojnej negacji.

Zasada celowosci to nie regula podstawiania.
Z niej wynika regula podstawiania.
Nie wiem jednak dokladnie co z niej wynika. Wy zamiast wymyslac dziwne
interpretacje dla reguly celowosci i podstawiac za implikacje zaczeliscie grzebac
w tautologiach, jakby one mialy dla mnie jakies wielkie znaczenie.

Dla mnie ten uklad aksjomatow wskazuje, ze b i --b to wlasciwie to samo. Tylko w
ten sposob uzyskam prawo podstawienia w a->b za b a, uzyskujac a->--b. Ale skoro
b i --b to prawie to samo to z a->--b mamy tez a->b. Dokladnie ta sama zasada,
ktora dala nam prawo podstawic --b.
Majac --(a->-a) mamy tez (a->-a).
Nie widze powodu dla ktorego mozemy podstawiac tylko w jedna strone.
Tak jest w klasycznej ale u mnie to jest bardzo niejasne.
Moja regula podstawiania to cos bardzo innego.

Nie wiem czy taka zasada jest wlasciwa. Nie ma to jednak strasznie wielkiego
znaczenia bo ja moge sobie popsuc system i zapisac ja slownie jak bedzie trzeba.
Zawsze tez moge dodac nowy aksjomat jak cos pojdzie nie tak.

[Gość: Pulbek]

Gość portalu: Stefan napisał(a):

> Wiec na jej podstawie sa twierdzeniami wszystkie zdania zaczynajace
> sie od podwojnej negacji a dalej majace cos juz wczesniej udowodnione.
> Nie widze, co Ci pozwala na kasowanie podwojnej negacji.
>

Thrundui zastepuje formulami z listy nie tylko symbole, ale tez inne formuly z
listy. Dlatego udaje mu sie kasowac podwojna negacje, bo nie tylko mozna za b
podstawic --b, ale na odwrot tez.

Pulbek.

PS. Straszny juz balagan w tym watku. Moze thrundui wroci na lewa strone ekranu,
w koncu to jego dyskusja?

[Gość: Stefan]

Pulbek:
> Thrundui zastepuje formulami z listy nie tylko symbole, ale tez inne formuly z
> listy. Dlatego udaje mu sie kasowac podwojna negacje, bo nie tylko mozna za b
> podstawic --b, ale na odwrot tez.

O kurcze. Cos chyba musialem przeoczyc. Czyli mozna wziac dowolna formule z
listy, wynalezc w niej dowolna podformule z listy i zastapic inna formula z
listy? Czy to juz cala zasada celowosci, czy jest w niej jeszcze jakas ukryta
magia, ktora wyplynie na wierzch przy okazji?

Pulbeku, czy masz dowod, ze w ten sposob daja sie wywiesc dokladnie te klasyczne
formuly, ktorych jedyne zmienne to a, b i c i ktore sa prawdziwe, gdy a, b i c
sa prawdziwe? Tak zrozumialem Twoja wypowiedz. Chyba jestem slaby w te klocki.
Przy tak skomplikowanej regule wnioskowania zbior twierdzen nie jest juz dla
mnie oczywisty.

Ale i tak nie rozumiem przejscia od
10. --(a -> -b) -> --(a -> -b)
do
11. (a -> -b) -> (a -> -b) z 10 i 7.
Widze tu zastapienie --(a -> -b) przez (a -> -b), tymczasem ani jednego ani
drugiego nie widze na liscie i nie wiem, jak moglyby na nia trafic. Dla
przypomnienia, oto lista aksjomatow:

Thrunduil:
> 1 a
> 2 b
> 3 c
> 4 a -> b
> 5 -a ->b
> 6 -b -> -a
> 7 --b
> 8 -(a -> -b)

Ale Thrunduil mowi jeszcze, ze zasada celowosci to NIE JEST regula podstawiania.
Rozumiesz w takim razie, co to jest?

- Stefan

[Gość: Pulbek]

Gość portalu: Stefan napisał(a):


> O kurcze. Cos chyba musialem przeoczyc. Czyli mozna wziac dowolna formule z
> listy, wynalezc w niej dowolna podformule z listy i zastapic inna formula z
> listy? Czy to juz cala zasada celowosci?

O ile dobrze rozumiem, cala...

>
> Pulbeku, czy masz dowod, ze w ten sposob daja sie wywiesc dokladnie te klasyczn
> e
> formuly, ktorych jedyne zmienne to a, b i c i ktore sa prawdziwe, gdy a, b i c
> sa prawdziwe?

W jedna strone latwo: jezeli a,b,c sa prawdziwe to na poczatku na liscie sa same
zdania prawdziwe, a podstawianie podzdania prawdziwego na prawdziwe nie zmienia
prawdziwosci calego zdania.

W druga strone: przez indukcje strukturalna pokazuje ze daje sie wyprowadzic
wszystkie zdania p i zdania -q, gdzie p jest prawdziwe a q falszywe (od tej pory
zakladam ze a,b,c sa prawdziwe).

Przypadek bazowy - latwo. a,b,c prawdziwe.

Zdanie falszywe jest albo postaci -p albo p->q, gdzie p prawdziwe a q falszywe. W
pierwszym przypadku p z zalozenia da sie wyprowadzic, wiec --p tez. W drugim
przypadku z zalozenia da sie wyprowadzic p i -q, wiec (z ostatniego aksjomatu) da
sie wyprowadzic -(p->--q), a wiec ...

Zaraz - co a wiec? Nie mozemy --q zastapic przez q, bo q jest falszywe! :-(

Jak to dobrze czlowiekowi robi pisanie porzadnych dowodow!

Pytanie dla Thrundui, z gatunku celnych: Czy potrafisz w swoim rachunku pokazac
tautologie

-((a->a)->((a->a)->-(a->a)))

?

Pulbek.

[Gość: +++ignor]

Witam!


Jedna z definicji Polaka wymyslono w Piwnicy po Baranami dla Aloszy Awdiejewa:
"Polak to najlepszy z Rosjan".

Ale poza żartami można przyjmować bardzo różne kryteria polskości: etniczne,
kulturowe, państwowe, wspolnotowe, subiektywne, językowe, genetyczne...

Każde z nich ma wyjatki i żadne nie jest definicja zupełną:

1. ktoś nie jest etnicznym Polakiem może sie uważać za Polaka i być nim: każdy
naturalizowany w Polsce
2.osoba należaca do kultury polskiej: np Japończyk polonofil, zwyciesca
konkursu chopinowskiego nie jest Polakiem
3. obywatel polski nie musi być Polakiem: część Żydów, Niemców obywateli
polskich
4. osoba należąca do wspólnoty polskiej, dobrowolnie związana.., ale czy Anglik
ożeniony z Polką, służący ochotniczo w Wojsku Polskim na terenie Polski będzie
Polakiem
5. schizofrenik Murzyn na Madaskarze uważający sie za Polaka, też chyba nie
będzie Polakiem
6. Nie wystarczy mówić po Polsku by byc Polakiem; podobno Peter Raina uważa sie
za Polaka i choc bardzo wartościowy dla Polski..?
7. przykładów dużo, gdy urodzeni w ewidentnie polskich rodzinach nie są
Polakami, i odwrotnie: mamy wielu naturalizowanych w Polsce obcokrajowców,
którzy doskonale sprawdzili się jako Polacy
8. wspaniali Polacy moga też mieszkać poza Polską

Te definicje nie sa ścisłe i chyba nie powinny byc ścisłe, bo wtedy pozbawimy
sie różnorodności, a przeciez nie o to chodzi...


Pozdrawiam!

Ignorant
+++

Nierozstrzygalnosc

[Gość: Stefan]

LPiotrek:
> Przepraszam ze sie wtracam ,ale skoro napisales wczesniej ze ten dowod jest
> prosty ,to chyba nie zaszkodziloby dodac jeszcze pare slow komentarza do
> niego.

Witaj LPiotrku, dawno Cie tu nie widzialem. Twoj post zaplatal sie w inne juz
dawno przejrzane, wiec z trudem go wyczailem. Odpowiadam wiec z lewego skraju,
zeby mojemu nie przytrafilo sie to samo.

Nie bardzo wiem, co w sprawie tw. Turinga chwyciles a co nie, wiec sprobuje
wypowiedziec moj poglad od pieca. Samego dowodu nie podaje, bo zrobil to juz
Pulbek.

,,Rozstrzygalnosc'' jest pojeciem semantycznym, to znaczy zastanawiamy sie, co
sie da efektywnie rozpoznac, obliczyc i tak dalej dowolnymi metodami w
,,prawdziwym'' swiecie, bez ogladania sie na ew. aksjomatyzacje.
Wyprowadzalnosc czegos w logice moze prowadzic do problemow nierozstrzygalnych,
ale to jest wtorne zastosowanie pojecia. Rozstrzygalne lub nie, moga byc
PROBLEMY, czyli (nieformalnie mowiac) rodziny pytan o swiecie postaci TAK/NIE,
indeksowane jakims zbiorem, na ogol nieskonczonym przeliczalnym. Problem nazywa
sie ROZSTRZYGALNY, jesli istnieje komputerowy program (formalnie mowi sie:
maszyna Turinga), ktora potrafi wczytac indeks, porachowac przez skonczony czas,
zatrzymac sie i prawidlowo odpowiedziec, czy dla tego konkretnego indeksu
odpowiedz jest ,,TAK'' czy ,,NIE''.

Przyklad problemu: indeksujemy formulami rachunku zdan pytanie: ,,czy to zdanie
jest tautologia?''

[Gość: Pulbek]

Gość portalu: Stefan napisał(a):

> Wiec co musi zawierac jezyk?
>

[Gość: thrundui]

> Z drugiej strony (i to na poczatku ludzi zdumiewa), dla
> _kazdego_ programu M i wejscia D problem

> "Czy M zatrzymuje sie na D?"

> jest rozstrzygalny. Dlaczego? Bo ten problem ma tylko
> jedna instancje, innymi slowy mozliwe sa tylko dwie
> odpowiedzi - TAK albo NIE.

Nie chce na nowo rozpoczynac dyskusji.
Powiem tylko, ze sie z tym niezgadzam.

[Gość: Stefan]

Pulbek:
> Z drugiej strony (i to na poczatku ludzi zdumiewa), dla _kazdego_ programu M i
> wejscia D problem
>
> "Czy M zatrzymuje sie na D?"
>
> jest rozstrzygalny. Dlaczego? Bo ten problem ma tylko jedna instancje, innymi
> slowy mozliwe sa tylko dwie odpowiedzi - TAK albo NIE. Wobec tego jeden z
> programow
>
> print("TAK")
>
> albo
>
> print("NIE")
>
> rozstrzyga ten problem. Nie wiadomo ktory, ale ktorys rozstrzyga.

No wlasnie. W zwiazku z tym musze odszczekac jedno moje stwierdzenie:

Ja:
> moze nas interesowac tylko podzbior danego problemu, np. wlasnosc stopu
> programow niedluzszych niz 100mld instrukcji dzialajacych na danych o dlugosci
> najwyzej 100mld bitow

[Gość: LPiotrek]

> Starczy na razie? Stoje otworem do ew. pytan.
> - Stefan

Dzieki Stefanie za wyklad od "pieca".
Jednak nie rozwial on mojej niewiedzy.
Sprobuje wiec zadac kilka pytan.

1. Czy z dowodu przedstawionego przez Pulbeka
wynika ze programy P i P' nie istnieja ?
Bo mi sie wydaje ze tak - sa przeciez oparte na
nieistniejacej procedurze X.
2. Jezeli mi sie dobrze wydaje to czy mozna
mowic ze problem stopu MT jest problemem
rzeczywistym ?? Wg mnie bylby rzeczywistym gdyby
z tego dowodu wynikalo ze programy P i P' istnieja
rzeczywiscie.
3. A moze rzeczywistosc tego problemu stopu
polega na tym ze wlasnie nie mozna napisac
P i P' bo nie istnieje odpowiednie do tego X ???

4. Czy nie mozna podejsc do tego w ten sposob
ze skoro nie istnieje P' - czyli pewien program ktory
powinien sam siebie analizowac i orzekac o sobie -
bo potrzebowalby do tego procedury X a takowa nie istnieje
,to umowic sie ze rzeczywiste sa tylko te problemy
ktore dotycza programow istniejacych rzeczywiscie
a nie takich ktorych bysmy chcieli napisac ,ale
nie jestesmy w stanie tego zrobic ???

5. Najwazniejsze pytanie: czy poprzednie pytania
sa dla was jasne ( Ciebie i Pulbeka ) ?
Bo moze ja nic z tego nie zrozumialem i zadaje wam
jakies dziwne pytania ?

Na koniec przyszlo mi do glowy ,ze przeciez procedura X
moglaby takze sprawdzac czy wynik jaki ona wygeneruje
ma wplyw na wynik jaki powinna wygenerowac. Jezeli by stwierdzila
taka zaleznosc to mogloby sie okazac ze cokolwiek ona
odpowie to zawsze bedzie dobrze tzn. prawda ,albo
odwrotnie tj. jak w dowodzie Pulbeka zawsze sprzecznosc
tzn. wynik falszywy. Bo jesli X orzeknie ze P' sie zapetli
to P' sie wtedy zatrzyma i na odwrot.
Tylko ze to wymagaloby aby procedura X oprocz odpowiedzi
TAK/NIE zwracala takze dodatkowa informacje o tym jak
nalezy interpretowac jej zasadnicza odpowiedz. Przy czym
musialby byc spelniony dodatkowy warunek aby ta dodatkowa
informacja nie byla dalej wykorzystywana w taki sposob
ktory powodowalby koniecznosc zmiany tej dodatkowej
informacji aby calosc pozostawala w zgodzie z prawda.
Najlepiej/najprosciej aby dodatkowa informacja nie byla
nigdzie dalej interpretowana przez program. Wtedy nie
bedzie z pewnoscia takiego szkodliwego sprzezenia.
Wtedy taka dodatkowa informacja moglaby sluzyc tylko nam
do tego abysmy mogli wlasciwie ocenic zasadnicza odpowiedz
procedury X.
Przykladowo w dowodzie Pulbeka procedura X zwracala by
dodatkowa informacje ze jej zasadnicza odpowiedz jest
falszem (jest zanegowana ). Wtedy my bysmy wiedzieli
ze ona sobie radzi z problemem. Jej zasadnicza odpowiedz
moglaby byc dowolna (gdyby jej argumentem bylo P' )
,a i tak w sumie wszystko by sie
zgadzalo. Bo program P' zachowywalby sie dokladnie
przeciwnie do tej zasadniczej odpowiedzi czyli
zgodnie jesli uwzglednic ta dodatkowa informacje.

Moze to wszystko wyglada na jakies bzdurzenie ,ale mi sie
wydaje ze takie podejscie moglo by rozwiazac problem
tego typu nierozstrzygalnosci.A jesli nie to przynajmniej
ten dowod ktory zaprezentowal Pulbek trzeba by zmodyfikowac
aby wykazac ze problem bedzie istnial dalej .

pozdrawiam
LPiotrek

[Gość: Stefan]

LPiotrek:
> 1. Czy z dowodu przedstawionego przez Pulbeka wynika ze programy P i P' nie
> istnieja ?

Pulbek doprowadzil do sprzecznosci zalozenie, ze X moglby istniec. Jego P i P'
sa oparte o X, wiec tez nie istnieja.

LPiotrek:
> 2. Jezeli mi sie dobrze wydaje to czy mozna mowic ze problem stopu MT jest
> problemem rzeczywistym ?? Wg mnie bylby rzeczywistym gdyby z tego dowodu
> wynikalo ze programy P i P' istnieja rzeczywiscie.

Problem stopu jest rzeczywisty, a hipotetyczna maszyna zgadujaca poprawnie
odpowiedz nie jest rzeczywista. Znaczy nie istnieje. To wynika z tego dowodu.

LPiotrek:
> 3. A moze rzeczywistosc tego problemu stopu polega na tym ze wlasnie nie mozna
> napisac P i P' bo nie istnieje odpowiednie do tego X ???

To jest problem o tyle ,,rzeczywisty'' o ile maszyny Turinga sa rzeczywiste. To
jest abstrakcyjne pojecie matematyczne, wiec jego rzeczywistosc jest pewnie
zalezna od wyznawanego pogladu filozoficznego. Moze sie znajdzie jakis kruczek,
zeby wyjac jakies jezyki programowania z tego modelu i zastosowc dla nich jakies
sztuczki niemozliwe dla maszyn Turinga. Na razie jednak nikt nic takiego nie
wymyslil.

LPiotrek:
> 4. Czy nie mozna podejsc do tego w ten sposob ze skoro nie istnieje P' - czyli
> pewien program ktory powinien sam siebie analizowac i orzekac o sobie - bo
> potrzebowalby do tego procedury X a takowa nie istnieje ,to umowic sie ze
> rzeczywiste sa tylko te problemy ktore dotycza programow istniejacych
> rzeczywiscie a nie takich ktorych bysmy chcieli napisac ,ale nie jestesmy w
> stanie tego zrobic ???

Tego postulatu nie rozumiem. Jesli za ,,rzeczywiste'' uznasz tylko programy juz
napisane, to jest ich tylko skonczona ilosc, wiec wlasnosc stopu jest dla nich
rozstrzygalna. Ale co z programami, ktore ktos napisze jutro? Czy one juz nie
bedza ,,rzeczywiste''? Z takiej rozstrzygalnosci nie ma zadnego pozytku. Na
ogol wiec rozwaza sie nie programy juz napisane tylko programy dajace sie napisac
w danym jezyku programowania. I jesli ten jezyk nie jest kompletnie trywialny,
to wlasnosc stopu jest dla niego nierozstrzygalna.

LPiotrek:
> 5. Najwazniejsze pytanie: czy poprzednie pytania sa dla was jasne ( Ciebie i
> Pulbeka ) ?

(:-})
Nie wiem. Staralem sie zrozumiec twoje intencje. Wyniki tych staran mozesz
ocenic sam po moich odpowiedziach.

LPiotrek:
> Na koniec przyszlo mi do glowy ,ze przeciez procedura X moglaby takze sprawdzac
> czy wynik jaki ona wygeneruje ma wplyw na wynik jaki powinna wygenerowac.
[...]
> Przykladowo w dowodzie Pulbeka procedura X zwracala by dodatkowa informacje ze
> jej zasadnicza odpowiedz jest falszem (jest zanegowana ). Wtedy my bysmy
> wiedzieli ze ona sobie radzi z problemem. Jej zasadnicza odpowiedz moglaby byc
> dowolna (gdyby jej argumentem bylo P' ) ,a i tak w sumie wszystko by sie
> zgadzalo. Bo program P' zachowywalby sie dokladnie przeciwnie do tej zasadniczej
> odpowiedzi czyli zgodnie jesli uwzglednic ta dodatkowa informacje.

Ale po co chcesz to komplikowac? Ta procedura zostala skrojona do dowodu
twierdzenia i swoja role spelnila dobrze. Czy zyskamy cos, jesli zamiast niej
uzyjemy czegos bardziej skomplikowanego?

Jesli Cie interesuje nierozstrzygalnosc innych bardziej skomplikowanych
problemow, to na ogol dowodzi sie jej przez sprowadzenie do nierozstrzygalnosci
problemu stopu maszyny Turinga. Udowania sie, ze gdyby cos tam bylo
rozstrzygalne to jako efekt uboczny dawaloby nam mozliwosc rozstrzygniecia
problemu stopu, co jest niemozliwe. Wiec powyzszy dowod jest jedynym dowodem
nierozstrzygalnosci prowadzonym od samych podstaw, jaki kiedykolwiek widzialem.
Oczywiscie mozna napisac dowod nierozstrzygalnosci czegos innego od podstaw, ale
nikomu sie nie chce, bo po co.

- Stefan

[Gość: Pulbek]

Gość portalu: Stefan napisał(a):

> > Na koniec przyszlo mi do glowy ,ze przeciez procedura X moglaby takze spra
> > wdzac czy wynik jaki ona wygeneruje ma wplyw na wynik jaki powinna
> > wygenerowac.
> [...]
> Ale po co chcesz to komplikowac? Ta procedura zostala skrojona do dowodu
> twierdzenia i swoja role spelnila dobrze. Czy zyskamy cos, jesli zamiast niej
> uzyjemy czegos bardziej skomplikowanego?
>

Wiesz Stefanie, wydaje mi sie ze LPiotrkowi chodzi o cos innego. W istocie
proponuje inny model obliczen: taki, w ktorym procedura moze zwrocic dwa wyniki,
przy czym tylko jeden z nich jest widoczny z procedury ktora ja wywolala, a drugi
jest propagowany bez zmian, az dopiero na koncu moze go zintepretowac uzytkownik.

No i teraz pytanie: czy istnieje procedura X(y,z), ktora zwraca dwa wyniki a,b
takie ze (a xor b) wtedy i tylko wtedy gdy y konczy sie na z. Ale jak jakas
procedura wywoluje X, to widzi tylko wynik a.

Wydaje sie ze faktycznie ta najprostsza konstrukcja programow P i P' tu nie
prowadzi do natychmiastowej sprzecznosci. Procedura X teoretycznie moglaby jakos
magicznie rozpoznac ze dostala argumenty (P',P') i zwrocic wynik "zatrzyma sie
(pst! to nieprawda!)", i bylby to poprawny wynik. Troche dziwne ze moglaby tez
zwrocic "petli sie (pst! to nieprawda!)" i tez byloby dobrze... Ale sprzecznosci
tu nie ma. Sam sie zastanawiam jak sformalizowac nieznosne uczucie ze cos tu jest
okropnie nie tak...

Pulbek.

[Gość: LPiotrek]

> Wiesz Stefanie, wydaje mi sie ze LPiotrkowi chodzi o cos innego. W istocie
> proponuje inny model obliczen: taki, w ktorym procedura moze zwrocic dwa
wyniki,
> przy czym tylko jeden z nich jest widoczny z procedury ktora ja wywolala, a
drugi
> jest propagowany bez zmian, az dopiero na koncu moze go zintepretowac
uzytkownik.

Wielkie dzieki Pulbek - o to mi chodzi.
Podtrzymales mnie na duchu ,bo juz zaczynalem miec wrazenie ,ze
chyba strasznie majacze :-)
Stefanowi tez dziekuje za odpowiedzi. Musze sprostowac swoja niefortunna
wypowiedz o istniejacych programach. Ja mialem na mysli to ,ze one
chociaz nie napisane jeszcze, istnieja potencjalnie ,podobnie jak
liczby o 100 milionach cyfr - mimo ze nikt jeszcze wiekszosci z nich
nie napisal to one sa.

> > rzeczywiste sa tylko te problemy ktore dotycza programow istniejacych
> > rzeczywiscie a nie takich ktorych bysmy chcieli napisac ,ale nie jestesmy w
> > stanie tego zrobic ???
>
> Tego postulatu nie rozumiem. Jesli za ,,rzeczywiste'' uznasz tylko programy
juz
> napisane, to jest ich tylko skonczona ilosc, wiec wlasnosc stopu jest dla nich
> rozstrzygalna. Ale co z programami, ktore ktos napisze jutro? Czy one juz nie

Po tym wyjasnieniu teraz ten postulat chyba zaczyna miec sens - prawda ?

Po prostu programow P i P' nie da sie napisac ,wiec dla mnie NIE
jest RZECZYWISTYM problemem okreslenie czy one beda sie petlic czy nie.
Rzeczywistym problemem dla mnie jest to ,ze ich sie nie da napisac.
Tylko ze ja tego problemu nie utozsamialbym z problemem stopu
tych programow ktore mozna napisac.
Nie zrozum mnie Stefan zle - to Ty jestes fachowcem nie ja ,wiec to co
ja tu pisze to tylko takie moje wrazenia laika.
Prawde mowiac to wydaje mi sie ze mowienie o problemie stopu ,to jest
bardzo mylace. Ja bym to nazwal problemem sprzecznego sprzezenia .
I wlasnie ten problem chcialem rozwiazac proponujac ten
inny model obliczen - co dokladnie wyczail Pulbek.

Ciekaw jestem Pulbeku ,co miales na mysli piszac :
[...]
> Ale sprzecznosci
> tu nie ma. Sam sie zastanawiam jak sformalizowac nieznosne uczucie ze cos tu
jest
> okropnie nie tak...

Czy miales na mysli ten moj model obliczen ??
Czy moze dowod tw. Turinga ?
Mi sie wydaje ,ze tw. Turinga nie sposob udowodnic bez posluzenia
sie takim sprzecznym sprzezeniem. Wiec znalezienie sposobu na wyrazenie/opisanie
takiego sprzecznego sprzezenia rozwiazywaloby problem stopu.

pozdrawiam was serdecznie
LPiotrek

[Gość: Pulbek]

Gość portalu: LPiotrek napisał(a):

> Po prostu programow P i P' nie da sie napisac ,wiec dla
> mnie NIE jest RZECZYWISTYM problemem okreslenie czy one
> beda sie petlic czy nie. Rzeczywistym problemem dla
> mnie jest to ,ze ich sie nie da napisac.
> Tylko ze ja tego problemu nie utozsamialbym z problemem
> stopu tych programow ktore mozna napisac.

Ale zastanow sie przez chwilke. Zalozmy ze problem stopu
programow 'ktore mozna napisac' daje sie rozwiazac. To by
znaczylo ze programy P i P' daja sie napisac, a wiec
problem stopu dla nich tez sie da rozwiazac. Ale to daje
sprzecznosc. Czujesz klimat? :-)

Problem stopu jest rzeczywiscie rzeczywisty.


> Ciekaw jestem Pulbeku ,co miales na mysli piszac :
> [...]
> > Ale sprzecznosci
> > tu nie ma. Sam sie zastanawiam jak sformalizowac
> > nieznosne uczucie ze cos tu
> > jest okropnie nie tak...
>
> Czy miales na mysli ten moj model obliczen ??
> Czy moze dowod tw. Turinga ?

Po pierwsze, model. Nie wiem czy wiesz dokladnie co to
jest maszyna Turinga, ale Twoj model to w istocie maszyna
Turinga z dodatkowym jednym elementem dostepnym tylko do
zapisu, a jezeli na koncu obliczenia na tym elemencie
jest 1 to stany akceptujace zamienia sie z
nieakceptujacymi.

Chyba latwo pokazac ze ten model mozna symulowac zwykla
maszyna Turinga i na odwrot, wiec jest on rownowazny
zwyklej m.T. To by znaczylo ze problem stopu dla Twojego
modelu tez jest nierozstrzygalny i to powinno sie dac
jakos latwo pokazac.

Ale nie wiem jak to ladnie opowiedziec w jezyku
'procedur' i 'programow', a nie 'maszyn Turinga'. Stad to
nieznosne uczucie.

Pozdrawiam,

Pulbek.

[Gość: Stefan]

Pulbek:
> Twoj model to w istocie maszyna Turinga z dodatkowym jednym
> elementem dostepnym tylko do zapisu, a jezeli na koncu obliczenia na
> tym elemencie jest 1 to stany akceptujace zamienia sie z
> nieakceptujacymi.
[...]
> Ale nie wiem jak to ladnie opowiedziec w jezyku 'procedur' i
> 'programow', a nie 'maszyn Turinga'.

Moze przez procedury z efektami ubocznymi?


VAR pst : Boolean; (* deklaracja zmiennej globalnej typu logicznego *)

PROCEDURE costam(x, VAR y);
(* definicja procedury czytajaca z x i piszaca do y *)
BEGIN
y := ...; (* jakies oficjalne dzialania zmieniajace wartosc y *)
pst := ...; (* jakies tajne dzialania zmieniajace wartosc pst *)
END; (* koniec definicji procedury costam *)

BEGIN
...
costam(a,b);
(* wywolanie procedury czyta z a i pisze do b *)
(* przy okazji zakulisowo zmienia pst *)
...
END.


Czy o to chodzilo?

- Stefan

[Gość: Stefan]

Pulbek:
> Twoj model to w istocie maszyna Turinga z dodatkowym jednym
> elementem dostepnym tylko do zapisu, a jezeli na koncu obliczenia na
> tym elemencie jest 1 to stany akceptujace zamienia sie z
> nieakceptujacymi.
[...]
> Ale nie wiem jak to ladnie opowiedziec w jezyku 'procedur' i
> 'programow', a nie 'maszyn Turinga'.

Moze przez procedury z efektami ubocznymi?


VAR pst : Boolean; (* deklaracja zmiennej globalnej typu logicznego *)

PROCEDURE costam(x, VAR y);
(* definicja procedury czytajaca z x i piszaca do y *)
BEGIN
y := ...; (* jakies oficjalne dzialania zmieniajace wartosc y *)
pst := ...; (* jakies tajne dzialania zmieniajace wartosc pst *)
END; (* koniec definicji procedury costam *)

BEGIN
...
costam(a,b);
(* wywolanie procedury czyta z a i pisze do b *)
(* przy okazji zakulisowo zmienia pst *)
...
END.


Czy o to chodzilo?

- Stefan

[Gość: Stefan]

Pulbek:
> Twoj model to w istocie maszyna Turinga z dodatkowym jednym
> elementem dostepnym tylko do zapisu, a jezeli na koncu obliczenia na
> tym elemencie jest 1 to stany akceptujace zamienia sie z
> nieakceptujacymi.
[...]
> Ale nie wiem jak to ladnie opowiedziec w jezyku 'procedur' i
> 'programow', a nie 'maszyn Turinga'.

Moze przez procedury z efektami ubocznymi?


VAR pst : Boolean; (* deklaracja zmiennej globalnej typu logicznego *)

PROCEDURE costam(x, VAR y);
(* definicja procedury czytajaca z x i piszaca do y *)
BEGIN
y := ...; (* jakies oficjalne dzialania zmieniajace wartosc y *)
pst := ...; (* jakies tajne dzialania zmieniajace wartosc pst *)
END; (* koniec definicji procedury costam *)

BEGIN
...
costam(a,b);
(* wywolanie procedury czyta z a i pisze do b *)
(* przy okazji zakulisowo zmienia pst *)
...
END.


Czy o to chodzilo?

- Stefan

[Gość: Pulbek]

No dobra, juz chyba wiem. Sluchaj, LPiotrku.

W oryginalnym dowodzie nieroztrzygalnosci problemu
stopu (tym dla zwyklych programow) kluczowa procedure X
traktuje sie jako 'black box': nie interesuje nas jak
ona wyglada w srodku. Same jej 'zewnetrzne' wlasnosci
wystarczaja do uzyskania sprzecznosci.

Ale nie musimy byc tacy grzeczni. Mozemy zalozyc ze
procedura X istnieje i zadac jej dowolny gwalt, zeby
pokazac sprzecznosc. I tak zrobimy w Twoim modelu
obliczen, zeby pokazac ze problem stopu caly czas jest
nieobliczalny.

Zalozmy ze istnieje taka Twoja procedura X(y,z), ktora
- dostaje na wejsciu program y i wejscie z
- zwraca dwa wyniki: a i b
- wartosc b mowi czy a jest wlasciwa odpowiedzia czy
nie
- tylko wartosc a jest dostepna dla reszty programu.

No dobrze, ale jak X ustala wartosc b? Gdzies to musi
robic, w jakis sposob. Innymi slowy, w Twoim jezyku
programowania musi istniec jakas instrukcja (byc moze
zupelnie nowa, byc moze po prostu jakies przypisanie na
zmienna, byc moze wypisanie czegos na ekran, wszystko
jedno) ktora mowi: "pst! zapamietaj ze wynik bedzie
falszywy" albo "pst! zapamietaj ze wynik bedzie
prawdziwy".

Teraz: X jest programem, czyli fragmentem tekstu. Mamy
go na tacy. Mozemy go wiec _przerobic_ i zrobic nowa
procedure X', ktora
- korzysta z jednej nowej zmiennej globalnej PST,
- nigdzie tej zmiennej nie czyta,
- wszedzie tam gdzie X mowi "pst! cos tam", zamiast
tego X' ustawia zmienna PST na odpowiednia wartosc.

X' tworzymy po prostu edytujac X jako fragment tekstu.

Teraz rozwaz taka procedure Z(x,y):

var PST, wynik;
BEGIN
wynik := X'(x,y);
wynik := wynik xor PST;
return wynik;
END

Jest to zupelnie normalny program, zapisany na
'normalna', a nie na Twoja maszyne Turinga. Co wiecej,
robi dokladnie to co robila procedura X w normalnym
dowodzie: rozwiazuje problem stopu dla zwyklej m.T. Ale
juz wiemy za taka procedura nie istnieje: procedury Z
nie da sie napisac. Wniosek: Twoja procedura X, na te
'niezwykla' m.T., tez nie istnieje.

To typowy przyklad dowodu przez redukcje: pokazalem ze
jesli bysmy umieli rozstrzygnac problem stopu dla
Twoich nietypowych programow, to daloby nam to metode
roztrzygania problemu stopu dla zwyklych programow. Ale
wiemy ze takiej metody nie ma. CBDO.

Intuicyjnie, idea dowodu polega na tym ze procedura X,
skoro mamy ja na tacy, nie da rady nas oszukac i ukryc
czesci swoich wynikow. Mozemy ja troche potorturowac i
wydobyc z niej wszystko co wie. :-)

I tyle.

Pulbek.

[Gość: LPiotrek]

> No dobra, juz chyba wiem. Sluchaj, LPiotrku.
>
> W oryginalnym dowodzie nieroztrzygalnosci problemu
> stopu (tym dla zwyklych programow) kluczowa procedure X
> traktuje sie jako 'black box': nie interesuje nas jak
> ona wyglada w srodku. Same jej 'zewnetrzne' wlasnosci
> wystarczaja do uzyskania sprzecznosci.
>
> Ale nie musimy byc tacy grzeczni. Mozemy zalozyc ze
> procedura X istnieje i zadac jej dowolny gwalt, zeby
> pokazac sprzecznosc. I tak zrobimy w Twoim modelu
> obliczen, zeby pokazac ze problem stopu caly czas jest
> nieobliczalny

Fajnie ,ze to napisales. Bo to jest woda na moj mlyn :-)
Dlaczego ?
Bo zadawanie gwaltu procedurze X jest rownoznaczne z
pozbawieniem jej mozliwosci wyrazenia tego co chciala by nam
przekazac ,ale nie jest w stanie nie dlatego ze nie
ma nam nic prawdziwego i konkretnego do przekazania
tylko dlatego ze TO MY zadajemy jej gwalt.
Ja to nazywam sprzecznym sprzezeniem. Moze nazwa nie
jest najlepsza ,ale wg. mnie oddaje istote dzialania
tego sprzezenia.

To nie problem stopu jest nieobliczalny , tylko brak
nieskrepowanej mozliwosci wyrazenia tego co "wie"
procedura X jest powodem tego ,ze wyglada to tak
jakby ona "nie wiedziala" jak sobie z nim poradzic.

Zamiast stosowania takich sprzecznych sprzezen, mozna
by po prostu usunac z tej procedury to co ona zwraca
,a co jest objete tym sprzecznym sprzezeniem.

W przypadku procedury X z Twojego pierwszego dowodu Tw. Turinga
sprowadziloby sie do tego ze procedura X nic nam nie zwraca.
Ale to byloby przeciez trywialne - nieprawdaz ?
Bo jak ona moglaby cokolwiek policzyc/rozstrzygnac skoro nic
nie zwraca ?
Tylko jaki z tego wniosek : ze nic sie nie da rozstrzygnac ?

Dla mnie wniosek jest taki : nic sie nie da rozstrzygnac w ukladzie
objetym sprzecznym sprzezeniem.

A czy to bedzie problem stopu MT ,czy cokolwiek innego to juz
mniejsza o to, bo sednem calej sprawy jest to sprzeczne sprzezenie.

Mowienie ,ze to problem stopu jest taki szczegolny i nierozstrzygalny
to wg. mnie jak w tym dowcipie: kowal zawinil - Cygana powiesili.

On jest rozstrzygalny ,tylko aby go rozstrzygnac trzeba posluzyc
sie odpowiednia konstrukcja. Konstrukcja ktora bedzie wolna od
tego sprzecznego sprzezenia. Przeciez to od nas zalezy jaka
konstrukcje zastosujemy. Czy bedziemy gwalcic X czy nie.
Jesli chcemy gwalcic ,to mozemy od razu zrezygnowac z pisania X
,bo nie napiszemy takiego X ,zeby go sie zgwalcic nie dalo.
Ale jezeli zalezy nam na tym zeby moc ZAWSZE rozstrzygnac
problem stopu to mozemy napisac odpowiednie X i odpowiednio
z tego co X nam odpowie/zwroci skorzystac i to wszystko co jest
konieczne by miec problem stopu z glowy.

Ciekaw jestem waszego zdania na ten temat

Ale przyszla mi do glowy taka mysl ,ze przeciez procedura X ,nie jest
znowu w maszynie Turinga taka bezbronna. Bo gdy to ona sie realizuje
to nic jej tego dzialania nie przerywa !
W maszynie Turinga nie ma mowy o przerwaniach !
Tak wiec procedura X moze w nieco inny sposob porozumiec sie
z obserwatorem. Jezeli nie mozemy miec zagwarantowanej nieczytalnosci
przez P' tej dodatkowej "ukrytej" informacji to jej sens moze
miec teraz inne znaczenie np. stan"0" jak poprzednio "pst.prawda"
,ale stan "1" nie bedzie juz znaczyl "pst.falsz" tylko:
" nie moge ci powiedziec czy prawda czy falsz nie dlatego ze nie wiem ,tylko
dlatego ,ze cokolwiek ci powiem ,to zostanie to tak wykorzystane
ze ta moja odpowiedz nie da ci zadnej pewnosci jak zinterpretowac
odpowiedz zasadnicza. Wiec jak chcesz miec pewnosc w jaki sposob
zinterpretowac odpowiedz zasadnicza to zaladuj mi tu procedure Y
zeby to ona policzyla jakie sa tu sprzeczne sprzezenia i wtedy
bedziesz mial pewna odpowiedz "
Troche to zawile ,ale powinno dzialac !
Bo procedura Y jest niewidoczna przez X' i P' oraz nie wykorzystuje
niczego co policzyla procedura X. Y oblicza tylko sprzeczne sprzezenia
- i informuje o tym obserwatora tzn. ona informuje obserwatora
jak zinterpretowac zasadnicza odpowiedz z procedury X -
,a nie problem stopu ,bo ten ostatni policzyla X. Sprzeczne sprzezenia
musi sie dac policzyc ,bo w przeciwnym wypadku nie daloby sie
sformuowac dowodu Tw. Turinga w pierwotnej wersji !!
( Bo gdyby w tamtym dowodzie nie wychodzila sprzecznosc "czarno na bialym",
to nie mozna by powiedziec ze X na pewno nie istnieje )
Tam bylo jedno sprzeczne sprzezenie. W tej wersji z procedura X' sa
dwa sprzeczne sprzezenia. Oczywiscie X moglaby rowniez policzyc ich
ilosc tylko ze kazda proba poinformowania o tym obserwatora
mogla by sie skonczyc zmiana ilosci tych sprzezen ,wiec kazda taka
proba bylaby nieskuteczna. Dlatego trzeba zastosowac procedure
niewidoczna dla P' czy X' , taka ktora nie da sie zgwalcic :-)

Teraz sytuacja jest prosta: X rozwiazuje problem stopu , a Y
rozwiazuje problem komunikacji X-a z obserwatorem (czyli rozwala
te sprzeczne sprzezenia - one moga sobie tam byc dalej ,ale
juz nie przeszkodza obserwatorowi wiedziec z pewnoscia 100%-owa
ze X rozwala problem stopu dla kazdej maszyny Turinga.

I co Wy na to ??

pozdrawiam
LPiotrek

[Gość: Stefan]

LPiotrek:
> Mowienie ,ze to problem stopu jest taki szczegolny i nierozstrzygalny
> to wg. mnie jak w tym dowcipie: kowal zawinil - Cygana powiesili.
>
> On jest rozstrzygalny ,tylko aby go rozstrzygnac trzeba posluzyc
> sie odpowiednia konstrukcja.
[...]
> Ciekaw jestem waszego zdania na ten temat

W Twojej konstrukcji czesto uzywasz zaimka ,,my'': MY gwalcimy X zeby cos tam.
Rozpatrzmy to moze inaczej, jako gre, rozdzielmy ,,my'' na ,,ja'' i ,,Ty''. Ty
potrafisz napisac superprogram, ktory prawidlowo rozstrzyga wlasnosc stopu
dowolnego programu na dowolnych danych. Jesli to prawda, to wygrywasz. Ja
wygrywam, jesli przedstawie Ci program i dane, na ktorych Twoj superprogram
zawiedzie. To znaczy albo da falszywa odpowiedz albo sie beznadziejnie zapetli.

W konstrukcji Twojego superprogramu mozesz robic co chcesz: uzywac efektow
ubocznych, albo kogos gwalcic, albo nic takiego nie popelniac, mnie to w ogole
nie bedzie interesowalo. Ale tez Ty nie protestuj, ze moj przyklad jest
,,nieuczciwy'', czy ,,sprzecznie sprzezony''. Ty kostruujesz swoj superprogram
dowolnymi metodami, ja potem konstruuje moj program i dane dowolnymi metodami, a
potem patrzymy, czy Twoj superprogram da mu rade.

Twierdzenie Turinga mowi, ze ja mam zawsze strategie wygrywajaca. To znaczy ze
do kazdego Twojego superprogramu jestem w stanie znalezc program i dane, na
ktorych Twoj superprogram zawiedzie. Jak ja to zrobie?

[Gość: LPiotrek]

> W Twojej konstrukcji czesto uzywasz zaimka ,,my'': MY gwalcimy X zeby cos tam.
> Rozpatrzmy to moze inaczej, jako gre, rozdzielmy ,,my'' na ,,ja'' i ,,Ty''. Ty
> potrafisz napisac superprogram, ktory prawidlowo rozstrzyga wlasnosc stopu
> dowolnego programu na dowolnych danych. Jesli to prawda, to wygrywasz. Ja
> wygrywam, jesli przedstawie Ci program i dane, na ktorych Twoj superprogram
> zawiedzie. To znaczy albo da falszywa odpowiedz albo sie beznadziejnie
zapetli.

To nie jest uczciwa propozycja, bo wymagasz abym przedstawil Ci dowod
konstrukcyjny w postaci gotowego programu.
Ja mam inna propozycje: sprobuj udowodnic ,ze napisanie
takiego programu jest niemozliwe. Tylko nie wymagaj od
tego programu aby udostepnil Ci on caly swoj kod i dane.
Umowmy sie ,ze ten program udostepni Ci tylko ten kod i te
dane ,ktore beda mialy ewentualny wplyw na dzialanie analizowanego
programu (tego Twojego ) i ze tym dostepnym dla Twojego
programu kodem bedzie kod procedury X - obliczajacej
problem stopu.
No bo niby z jakiego praktycznego powodu program analizujacy
mialby udostepniac swoj caly kod i dane programowi analizowanemu ??

> W konstrukcji Twojego superprogramu mozesz robic co chcesz: uzywac efektow
> ubocznych, albo kogos gwalcic, albo nic takiego nie popelniac, mnie to w ogole

czy w programie mozna kogos gwalcic ?
czy znasz Stefan jakis jezyk mogacy sluzyc do tego ?
- moze visual basic ? - ktos twierdzil ostatnio ze to dzielo szatana :-)

> nie bedzie interesowalo. Ale tez Ty nie protestuj, ze moj przyklad jest
> ,,nieuczciwy'', czy ,,sprzecznie sprzezony''. Ty kostruujesz swoj superprogram
> dowolnymi metodami, ja potem konstruuje moj program i dane dowolnymi
metodami, a
> potem patrzymy, czy Twoj superprogram da mu rade.

Ja wcale nie protestuje przeciwko sprzecznemu sprzezeniu.
Ja tylko stwierdzam fakt jego wystepowania i wynikajace
z tego konsekwencje.

> Twierdzenie Turinga mowi, ze ja mam zawsze strategie wygrywajaca. To znaczy ze
> do kazdego Twojego superprogramu jestem w stanie znalezc program i dane, na
> ktorych Twoj superprogram zawiedzie

Masz taka strategie ,ale tylko dla kazdego takiego ktorego
mozesz poznac caly kod i dane.
A przeciez w swiecie rzeczywistym mozna tworzyc takie
programy ,ktore nie udostepniaja innym calego swojego
kodu i wszystkich swoich danych.
Dlatego tak postawiony problem jest dla mnie problemem
abstrakcyjnym ,a nie rzeczywistym.
To tak jakby twierdzic ,ze istnieje rzeczywisty problem
wbicia gwozdzia w sosnowa deske. Bo uczyniono zalozenie
ze trzeba to zrobic jednym golym palcem.
Dla mnie to nie jest zaden rzeczywisty problem - biore
mlotek do reki i jest po sprawie.

> W tym i tylko tym sensie problem stopu jest nierozstrzygalny: do kazdej Twojej
> proby rozstrzygniecia potrafie znalezc przyklad, na ktorym ta proba sie
wywroci.

Dla kazdej proby ,ale obwarowanej zalozeniem o dostepnosci
"mojego" kodu i danych.
Wg. mnie jest to bardzo specyficzny i wasko pojety sens.
Ja traktowalem problem stopu w sensie doslownym i stad
to nieporozumienie.

Wg. mnie nie byloby tego zamieszania gdyby Pulbek o tym
napomknal przy okazji prezentacji tego dowodu.
Ze w tak specyficznym sensie problem istnieje rzeczywiscie
chociaz w sensie doslownym to ten problem rzeczywiscie nie
istnieje ( albo ,ze nie istnieje dowod na to ze problem
rozumiany w sensie doslownym istnieje rzeczywiscie )
Ciekaw jestem Stefan ,co o tym sadzisz i co Ci podpowiada
o tym Twoja kobieca intuicja.
Istnieje taki dowod - czy nie ???

pozdrawiam
LPiotrek

[Gość: Pulbek]

Gość portalu: LPiotrek napisał(a):

> To nie jest uczciwa propozycja, bo wymagasz abym przedstawil Ci dowod
> konstrukcyjny w postaci gotowego programu.
> Ja mam inna propozycje: sprobuj udowodnic ,ze napisanie
> takiego programu jest niemozliwe.

Dowod wyglada tak: jesli taki program istnieje, to klops. Jest to klasyczny dowod
nie wprost, co Cie w nim dziwi?

> Tylko nie wymagaj od
> tego programu aby udostepnil Ci on caly swoj kod i dane.
> Umowmy sie ,ze ten program udostepni Ci tylko ten kod i te
> dane ,ktore beda mialy ewentualny wplyw na dzialanie analizowanego
> programu (tego Twojego )

Program to pewien tekst. Nie jest tak ze on mi cos 'udostepnia', bo program to
nie czlowiek i nie moze nic 'udostepniac'. Program to napis i mozna go czytac i
tworzyc na jego podstawie inne napisy. Dlaczego zabraniasz mi czytac czesc tego
napisu? Jezeli program istnieje, to istnieje caly a nie pol.

Ale narobilem! Tak efektownie napisalem o tym torturowaniu programow ze az
zainspirowalem LPiotrka do animizacji programow :-)

Pulbek.

[Gość: Stefan]

LPiotrek:
> To nie jest uczciwa propozycja, bo wymagasz abym przedstawil Ci dowod
> konstrukcyjny w postaci gotowego programu.

Chcesz zachowac tajemnice handlowa? Ale wtedy niezawodnosc Twojego programu
bedzie oparta na tym, czy ktos nie odgadnie Twojego kodu. Nie bedziesz wiec
mogl twierdzic ,,moj superprogram prawidlowo rozstrzyga wlasnosc stopu dla
DOWOLNYCH programow i danych'' tylko ,,nie macie metody zgadniecia, na jakich
programach i danych moj superprogram sie wyklada''. To jest o wiele mniej.
Twierdzenie Turinga mowi o tym, ze nie istnieje superprogram rozstrzygajacy
wlasnosc stopu dla WSZYSTKICH programow i danych. Ono nie mowi o tym, ze ja
bede potrafil zbudowac kontrprzyklad nie majac w reku wszystkich informacji.

Czyli gra jest taka:

[Gość: LPiotrek]

Przyznaje ze ten moj pomysl z "niewidoczna" procedura Y
byl delikatnie mowiac niezbyt udany :(
Poza tym miala by ta sama slabosc co procedura X ,tzn.
nie umiala by sobie poradzic ze wszystkimi mozliwymi
"sprzezeniami".
Na swoje usprawiedliwienie podam skad mi przyszedl taki
beznadziejny pomysl. Nie chcialem wcale zachowywac zadnej
tajemnicy handlowej. Tak bardzo sie zasugerowalem tym
ze w dowodzie tw. Turinga traktuje sie procedure X jako
orginal ,ze pomyslalem skoro ukryje czesc orginalu - bo to
jest przeciez technicznie mozliwe - to trzeba bedzie zmienic
dowod tw. Turinga. Na dodatek faktycznie Pulbek mnie jeszcze
upewnil w mym blednym przekonaniu piszac o torturowaniu
procedury X. Tak naprawde X wcale nie trzeba torturowac ,bo
X jest tylko blizniacza kopia orginalu ,ktory mozemy sobie
ukryc nawet na koncu swiata a to i tak niczego nie zmieni. Bo ta kopia
bez zadnych tortur bardzo chetnie bedzie wspolpracowala z X'.
Ta kopia to po prostu czesc konstrukcji na ktorej "wywraca"
sie moj "superprogram". Nie mozna wymagac od tej konstrukcji
by w niej nie wolno bylo czegos robic na co tylko jezyk MT pozwala.
Nie dziwie sie teraz wam, ze nie mogliscie zrozumiec o co mi chodzi :-)

> Wedlug klasycznej definicji rozstrzygalnosci warunki tej gry sa ustawione
> niesymetrycznie, na Twoja niekorzysc. Mianowicie tego rodzaju remis uwaza sie
> za nierozstrzygalnosc. Dla rozstrzygalnosci zada sie niekwestionowanego
> zwyciestwa superprogramu rozstrzygajacego. Twierdzenie Turinga mowi tylko, ze
W
> TYM SENSIE problem stopu jest nierozstrzygalny.
[...]
> Praktycznie to chcialoby sie przed uruchomieniem programu dac go do obejrzenia
> superprogramowi z pytaniem: ,,czy to obliczenie sie skonczy, bo jesli nie to
nie
> mam po co go uruchamiac?''. Superprogramu, ktory potrafi zawsze dobrze
> odpowiedziec na takie pytanie, nie ma i nie bedzie. Jesli jakos oslabisz slowo
> ,,zawsze'', to byc moze bedzie, zalezy od oslabienia.
>
> Czy luka miedzy naszymi pogladami maleje?

Mysle ,ze maleje. Dopiero teraz widze to dosyc wyraznie
mam nadzieje. Pulbek mnie troche naprowadzil powtarzajac
swoje argumenty i nie przyjmujac mozliwosci ukrycia czegokolowiek.
Ty tylko dodatkowo opisales "zalete" tego ukrywania.

Tylko teraz pozostalo mi jedno spostrzezenie.
Moze troche nie na temat:
Jezeli mialbym program/procedure ,ktora nic nie oblicza
tylko decyduje. I ma mozliwosc podjecia 1 decyzji poprzez
wyrazenie swojego zyczenia,
To nie istnieje gwarancja ,ze obserwator z zewnatrz
bedzie ZAWSZE wiedzial/ mial pewnosc ,ze zyczenie tej
procedury zostaje spelnione. Bo moze trafic na takiego
wrednego dzina/program ,ktory owszem spelnia to zyczenie
zawsze ,ale posiada inna logike do porozumiewania sie
z moja procedura niz moja procedura ze mna.
Np. miedzy nim a moja procedura jest logika ujemna ,a miedzy
mna a moja procedura dodatnia
A gdy moja procedura ustala ,ze mna przeciwna logike porozumiewania sie
to "wredny" dzin tez sie rownoczesnie przestawia na
przeciwna logike. Przez co ja mam wrazenie ,ze on wcale
nie slucha mojej procedury.
Moje spostrzezenie : nie da sie wybrac takiej logiki
ani systemu porozumiewania sie ,aby nie bylo dzina
majacego odwrotna. I z tego powodu nie istnieje taka
superprocedura o ktorej ja bym wiedzial ,ze sluchaja
jej wszystkie dziny. Mimo tego ze wszystkie dziny sluchaja
kazdej procedury.
( ograniczenie do jednego zyczenia jest stad ,ze gdyby byly
dwa to pierwsze byloby takie: posluguj sie taka logika
w komunikacji ze mna jaka ja sie posluguje w komunikacji
z moim obserwatorem/panem , ale dwa zyczenia to za duzo dobrego )

Czy widzisz Stefan podobienstwo dzina do Twojego programu
,a procedury do mojego "superprogramu" ??

Ja widze takie podobienstwo i nierozstrzygalnosc problemu
stopu MT wyglada mi jak problem "nieposlusznego" dzina ,
przynajmniej ze wzgledu na sposob w jaki zostal skonstruowany
dowod.
Bardziej przemawiaja do mnie argumenty zdroworozsadkowe
Pulbeka - tylko dlaczego nie uwzgledniono ich w konstrukcji
dowodu ??
Zamiast nich Turing posluzyl sie taka "boczna furtka" i dlatego
mam wrazenie ,ze jego dowod ma sie tak do hipotezy Goldbacha
i innych otwartych problemow, jak piesc do nosa.
Jezeli jest inaczej ,to ciekaw jestem dlaczego .

pozdrawiam
LPiotrek
ps. przepraszam ,ze odpisuje z duzym poslizgiem ,ale
musialem dlugo "trawic" ten problem.

[Gość: Stefan]

LPiotrek:
> Na dodatek faktycznie Pulbek mnie jeszcze upewnil w mym blednym przekonaniu
> piszac o torturowaniu procedury X.

Matematycy tak mowia. Takie przenosnie i porownania sa obrazowe i pobudzaja
wyobraznie, wiec prowadza do skuteczniejszego przekazywania informacji. A
poniewaz ten jezyk jest bardzo odlegly od wymaganego scislego formalizmu, wiec
sie z nim nie myli. Zdaje sobie sprawe, ze osobom spoza fachu moze byc trudno
polapac sie w tym, co nalezy traktowac do jakiego stopnia doslownie.

LPiotrek:
> Zamiast nich Turing posluzyl sie taka "boczna furtka" i dlatego mam wrazenie
> ,ze jego dowod ma sie tak do hipotezy Goldbacha i innych otwartych problemow,
> jak piesc do nosa.

To jest sluszne wrazenie. Jest wiele bardzo trudnych problemow formulujacych
sie latwo i jasno. Hipoteza Goldbacha jest jednym z nich. Dzialanie programu
latwo jest uzaleznic od dowolnego z nich. Gdyby sie tak zdarzylo, ze ktos
rozwiaze hipoteze Goldbacha (w ktorakolwiek strone), to argument Pulbeka na niej
oparty przestanie byc wazny. A twierdzenie Turinga nadal bedzie prawdziwe.
Turing potrzebowal dowodu niezaleznego od takiej czy innej konkretnej
komplikacji wewnatrz programu, i taki dowod przedstawil.

- Stefan

[Gość: LPiotrek]

> LPiotrek:
> > Na dodatek faktycznie Pulbek mnie jeszcze upewnil w mym blednym przekonaniu
> > piszac o torturowaniu procedury X.
>
> Matematycy tak mowia. Takie przenosnie i porownania sa obrazowe i pobudzaja
> wyobraznie, wiec prowadza do skuteczniejszego przekazywania informacji. A
> poniewaz ten jezyk jest bardzo odlegly od wymaganego scislego formalizmu, wiec
> sie z nim nie myli. Zdaje sobie sprawe, ze osobom spoza fachu moze byc trudno
> polapac sie w tym, co nalezy traktowac do jakiego stopnia doslownie.

Zle mnie zrozumiales. Mi chodzilo o to ze zmylil mnie tym
ze mowil o torturowaniu X ,a nie kopii X z przestrzeni
wszystkich mozliwych programow. Dla was jest to oczywiste
ze to jest kopia, a dla mnie nie bylo. Samo torturowanie
wcale mnie nie zmylilo ,co najwyzej rozbawilo :)
Orginalu moze nie dac sie torturowac ,bo moze nieistniec
fizyczna mozliwosc odczytu jego pewnych fragmentow lub
pewnych danych jakie tam powstaja.

Natomiast nie ustosunkowales sie do mojego wrazenia
,ze dowod tw. Turinga opiera sie tylko na tym ,ze
w zbiorze {True,False} nie istnieje element neutralny
wiec konstrukcja a=NOT(a) bedzie zawsze sprzeczna dla
kazdego a z tego zbioru niezaleznie od tego jaka
jest geneza a.

napisales:
> Turing potrzebowal dowodu niezaleznego od takiej czy innej konkretnej
> komplikacji wewnatrz programu, i taki dowod przedstawil.

Przedstawil ,bo konstrukcja jego dowodu zawiera wlasnie taki motyw
a=NOT(a) .Moim zdaniem "naduzycie" polega na tym ,ze wniosek z dowodu
jest taki: jak sie spotka superprogram z wrednymi danymi i utworza
taka konstrukcje to nie da sie obliczyc a. (Problem jaka jest wartosc a
jest nierozstrzygalny ). Dla mnie jest to niewlasciwy wniosek.
Wlasciwy powinien brzmiec : nie istnieje zadna wartosc a
jaka zgodzilibysmy sie zaakceptowac. Czyli w takim wypadku problem
znika ,bo nie ma sensu zastanawiac sie nad tym jakie powinno byc a ,skoro
wiemy ze zadne a nie bedzie dobre.
Czyli wniosek powinien brzmiec :nieroztrzygalny jest problem stopu tych
programow ktorych nie jestesmy w stanie napisac.
Tzn. inaczej napisac sobie mozemy co tylko zechcemy ,tylko ze to
moze byc sprzeczne ,czyli nieistniejace.

pozdrawiam
LPiotrek

[Gość: Pulbek]

Gość portalu: LPiotrek napisał(a):


> Zle mnie zrozumiales. Mi chodzilo o to ze zmylil mnie
> tym ze mowil o torturowaniu X ,a nie kopii X z
> przestrzeni wszystkich mozliwych programow. Dla was
> jest to oczywiste ze to jest kopia, a dla mnie nie
> bylo.

Prawde mowiac to wcale nie jest dla mnie oczywiste, nie
wiem jak dla Stefana. Tak naprawde to w ogole nie
rozumiem o co chodzi z tymi kopiami. Program to program,
po co tu jakies kopie?

Kurcze, X to jest po prostu napis a nie jakies dziwne
cos!

> Natomiast nie ustosunkowales sie do mojego wrazenia
> ,ze dowod tw. Turinga opiera sie tylko na tym ,ze
> w zbiorze {True,False} nie istnieje element neutralny
> wiec konstrukcja a=NOT(a) bedzie zawsze sprzeczna dla
> kazdego a z tego zbioru niezaleznie od tego jaka
> jest geneza a.
>

No przeciez wlasnie na tym polega tw. Turinga. Ono mowi
ze nie ma programu ktory odpowiada TAK albo NIE na
pytanie o stop. Gdyby program mogl zwrocic wartosc
neutralna ktora nic nie mowi, to mozna po prostu napisac
program ktory zawsze zwraca wartosc neutralna i sprawa
zalatwiona.

Zreszta tak naprawde programy w pewnym sensie moga
'zwracac' wartosc neutralna. Robia to wtedy gdy sie
petla.

Tyle ze zwracanie wartosci neutralnej jest malo przydatne
w praktyce, wiec ludzie sie tym nie za bardzo
zainteresowali. No bo ostatecznie kazdy program albo sie
zatrzymuje albo nie (tak, wiem, thrundui sie z tym nie
zgadza), wiec dobrze by bylo umiec to sprawdzic, a nie
zwracac jakies bezwartosciowe wartosci neutralne.

[...]
> Czyli wniosek powinien brzmiec :nieroztrzygalny jest
> problem stopu tych programow ktorych nie jestesmy w
> stanie napisac. Tzn. inaczej napisac sobie mozemy co
> tylko zechcemy ,tylko ze to moze byc sprzeczne ,czyli
> nieistniejace.

Teraz to juz zaczynasz niezle kombinowac, ciekawe po co.
Jezeli mozemy cos napisac to to cos istnieje i kropka.
Nie mam najmniejszego pojecia o co Ci chodzi kiedy mowisz
ze mozemy napisac cos nieistniejacego.

Pulbek.

[Gość: LPiotrek]

> > Zle mnie zrozumiales. Mi chodzilo o to ze zmylil mnie
> > tym ze mowil o torturowaniu X ,a nie kopii X z
> > przestrzeni wszystkich mozliwych programow. Dla was
> > jest to oczywiste ze to jest kopia, a dla mnie nie
> > bylo.
>
> Prawde mowiac to wcale nie jest dla mnie oczywiste, nie
> wiem jak dla Stefana. Tak naprawde to w ogole nie
> rozumiem o co chodzi z tymi kopiami. Program to program,
> po co tu jakies kopie?
>
> Kurcze, X to jest po prostu napis a nie jakies dziwne
> cos!

Napisy sie nie petla ,ani nie zatrzymuja :-))
X to jest napis i interpretacja jego dzialania.
Bez tej interpretacji nie byloby zadnych krokow,petli,skokow itp.
W sumie robi sie z tego dziwne cos , czyli program.

Ja to widze tak: jezeli nie byloby kopii ,to jakis analizowany
program P' musialby zwracac sie do orginalu programu X po to
zeby X zwrocil mu to co zwraca uzytkownikowi. W ten sposob P'
moglby petlic sie wtedy gdy X zwraca obserwatorowi ze P' sie zatrzyma.
Ale X moglby byc "sprytniejszy" i miec zarezerwowane tylko dla
obserwatora pewne mechanizmy dointerpretowujace to co standardowo
zwraca obserwatorowi ,a takze programowi P'.
W ten sposob dopoki w P' nie byloby kopii tych ukrytych mechanzmow
jakimi X komunikuje sie z uzytkownikiem ,to zeby X falszywie
poinformowalo obserwatora o tym jak sie zachowa P' , P' musialoby
wydobyc z X te mechanizmy jakimis "torturami" (np. skanujac
obszar we-wy do komunikacji X z obserwatorem ) i sie nimi posluzyc.
Wtedy to od nas zalezaloby na co pozwolimy P' wobec X ,albo inaczej
jak skonstruujemy X ,a tym samym czy X bedzie skutecznie analizowal P'.

Jednak te powyzsze rozwazania nie maja tu sensu ,bo w P' moze istniec
kopia wszystkich mechanizmow X - kopia X. Wtedy P' nie zwraca sie po nic
do orginalu X ,bo nie musi - ma go przeciez w sobie. Tutaj pisanie o
torturowaniu jest nieco mylace. Po prostu te mechanizmy sobie istnieja
przez "jakis przypadek" i P' robi z nich uzytek ,zeby zachowac sie
inaczej niz to jak X przekaze obserwatorowi ze P' sie zachowa.
Wlasciwie to te mechanizmy w P' musialy sie znalezc ,skoro P' moze
byc dowolnym programem dlatego napisalem : "jakis przypadek",a nie
istnieje ograniczenie zabraniajace im pojawic sie w P'.


> > wiec konstrukcja a=NOT(a) bedzie zawsze sprzeczna dla
> > kazdego a z tego zbioru niezaleznie od tego jaka
> > jest geneza a.
>
>
> No przeciez wlasnie na tym polega tw. Turinga. Ono mowi
> ze nie ma programu ktory odpowiada TAK albo NIE na
> pytanie o stop. Gdyby program mogl zwrocic wartosc



> neutralna ktora nic nie mowi, to mozna po prostu napisac
> program ktory zawsze zwraca wartosc neutralna i sprawa
> zalatwiona.
>
> Zreszta tak naprawde programy w pewnym sensie moga
> 'zwracac' wartosc neutralna. Robia to wtedy gdy sie
> petla.

Wtedy to nic nie zwracaja. To zwracanie wartosci neutralnej o jakie
mi chodzi ,zwracac powinno jednak pewna wartosciowa informacje.
Dla mnie jest zasadnicza roznica miedzy przypadkiem kiedy
program analizujacy zapetli sie i nic nie zwroci, a sytuacja
kiedy zwroci mi informacje, iz ze wzgledu na nasz wzajemny sposob
komunikacji nie moze podac mi prawdziwej odpowiedzi chociaz odpowiedz
ta jest mu znana poniewaz nawet moze o niej decydowac.
Mimo ,ze taka odpowiedz nie zawiera tej najwazniejszej informacji ,to
dla mnie - o ile ta odpowiedz jest prawdziwa - taki program poradzil sobie z
problemem stopu ,choc dla Turinga ,Ciebie ,Stefana i wielu innych - NIE.
Dla mnie w tym przypadku problem lezy tylko w komunikacji.
Dla mnie problem lezalby w stopie ,jezeli taki program nic by mi nie zwrocil,
zwrocil by mi falsz bez zadnego ostrzezenia jak powyzej, albo zwrocil by mi
informacje ze napotkal problem w rodzaju hipotezy Goldbacha i zebym poczekal
np. ze 20 miliardow lat to moze powie mi wtedy cos wiecej.

> Tyle ze zwracanie wartosci neutralnej jest malo przydatne
> w praktyce, wiec ludzie sie tym nie za bardzo
> zainteresowali. No bo ostatecznie kazdy program albo sie
> zatrzymuje albo nie (tak, wiem, thrundui sie z tym nie
> zgadza), wiec dobrze by bylo umiec to sprawdzic, a nie
> zwracac jakies bezwartosciowe wartosci neutralne.

To czy sa bezwartosciowe ,to zalezy od punktu widzenia.
Dla mnie mogly by byc bardzo cenne w pewnych przypadkach ,w innych
mogly by byc bezwartosciowe.
Ja mam "nieco" inne zdanie w tej kwestii niz thrunduil - takie jak Wy macie.
Choc nie chce mi sie z nim prowadzic dialogu (to nie ze zlosci tylko
po prostu mamy zbyt niekompatybilne logiki) ,to wydaje mi sie ze jego
stanowisko byloby jasniejsze gdyby wyjasnil dlaczego nie wybral przeciwnej
opcji tzn. ze wszystkie programy sie petla. Przeciez nawet jesli jakis
program sie "zatrzyma" i stoi tak przez 15 miliardow lat ,to skad wiemy
ze pozniej nie "ruszy"- czyli zgodnie z jego logika nie daloby sie
eksperymentalnie dowiesc falszywosci takiego


> > Czyli wniosek powinien brzmiec :nieroztrzygalny jest
> > problem stopu tych programow ktorych nie jestesmy w
> > stanie napisac. Tzn. inaczej napisac sobie mozemy co
> > tylko zechcemy ,tylko ze to moze byc sprzeczne ,czyli
> > nieistniejace.
>
> Teraz to juz zaczynasz niezle kombinowac, ciekawe po co.
> Jezeli mozemy cos napisac to to cos istnieje i kropka.
> Nie mam najmniejszego pojecia o co Ci chodzi kiedy mowisz
> ze mozemy napisac cos nieistniejacego.

Chodzi mi o przypisania sekwencyjne i wspolbiezne.
Przy sekwencyjnym przypisaniu a = NOT(a) nie ma nigdy sprzecznosci.
Przy wspolbieznym mamy sprzecznosc gdy a nie jest neutralne.
W dowodzie tw. Turinga jesli X podawaloby zawsze prawdziwe
wartosci to mielibysmy takie przypisanie wspolbiezne ,bo P'
powinno wtedy zachowywac sie odwrotnie niz wlasny argument ktorym
jest rowniez P'.
Zapisac to sobie mozemy tyle ze od razu nasuwa sie wniosek ,ze
takie cos nie istnieje.

pozdrawiam
LPiotrek

[Gość: Pulbek]

Prawde mowiac, LPiotrku, mam klopot z odpowiedzia na Twoj list. Kultura
nakazuje na odniesienie sie do tego co w nim napisales, tylko ze ja naprawde
nie wiem jak. Czasami zamiast zbijac argumenty oponenta (szczegolnie jesli sie
ich nie rozumie, tak jak ja teraz Twoich) trzeba powtorzyc swoje innymi
slowami. Moze Ty lepiej zrozumiesz moj tok rozumowania niz ja Twoj?

No wiec powtarzam. Poprzednio chyba zbytnio szafowalem dramatycznymi slowami o
gwalceniu i torturowaniu i moze stad Twoja konfuzja. Teraz bedzie spokojnie i
krok po kroczku.

No wiec mamy tu w istocie dwa jezyki programowania: jeden zwykly T (Turinga),
czyli zwykle procedury i drugi rozszerzony LP (LPiotrka), czyli zwykle
procedury z jakas mozliwoscia 'zakulisowej' komunikacji z uzytkownikiem. To, w
jaki sposob zachodzi ta komunikacja, jest tu zupelnie nieistotne, jak sie okaze.
Wazne tylko, zeby byla widoczna w programie.

Twierdzenie Turinga mowi: w jezyku T nie da sie napisac programu, ktory
rozstrzyga wlasnosc stopu programow w jezyku T.

Hipoteza LPiotrka mowi: w jezyku LP byc moze da sie napisac program, ktory
rozstrzyga wlasnosc stopu programow w jezyku T.

Lemat Pulbeka mowi: ta hipoteza jest falszywa. Ogolna idea dowodu: zakladajac
ze mamy taki program X w jezyku LP ktory robi co trzeba, umiem napisac program
Z w jezyku T (czyli tym prostszym), ktory robi dokladnie to samo. A tego sie
nie da zrobic z tw. Turinga, czyli zalozenie bylo falszywe.

Jak to robie? Napisalem juz wczesniej. Znajduje w X wszystkie miejsca w ktorych
X 'zakulisowo' komunikuje sie z uzytkownikiem i je zmieniam na przypisania na
dodatkowa zmienna. Piszesz ze X moze odwolywac sie do innych procedur - tak,
ale wtedy te procedury tez musza byc jakos napisane i tez je moge zmienic. W
koncu jakas procedura musi napisac ze komunikuje sie z uzytkownikiem.

Pamietaj - procedura to po prostu kawalek tekstu. Jezeli istnieje Twoja
procedura X (razem z jej wszystkimi podprocedurami), to istnieje tez jej
zmodyfikowana wersja - procedura Z (z odpowiednio zmienionymi podprocedurami,
jesli to konieczne). Zauwaz, ze Z jest napisana w tym prostszym jezyku, T.

Nie jestem pewien czy umiem to wytlumaczyc jeszcze prosciej.


Tyle dowod. A teraz argument zdroworozsadkowy na rzecz nierostrzygalnosci
problemu stopu. Pomysl na przyklad o takim programie:

n:=2;
while true do begin
n:=n+2;
if (n nie jest suma dwoch liczb pierwszych) then stop;
end;

Ten program sie zatrzymuje wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwa jest hipoteza
Goldbacha - znany otwarty problem matematyczny. Podobne programy mozna napisac
dla Wielkiego Twierdzenia Fermata i mnostwa innych otwartych lub bardzo
trudnych problemow. Gdyby mozna bylo rozstrzygnac problem stopu, to by znaczylo
ze komputer potrafi sam udowodnic w.tw.Fermata! Bardzo dziwne by to bylo, nie
uwazasz?

Z tego od razu wynika na przyklad ze nie mozna policzyc czy procedura
sie 'negatywnie sprzeza', jak niejasno piszesz. No bo (mowiac bardzo
nieformalnie, niejasno i w uproszczeniu) wez program

if (hipoteza Goldbacha jest prawdziwa)
then (sprzez sie negatywnie)
else (nie sprzegaj sie)

I co, sprzega sie to czy nie? Byloby dziwne gdyby komputer umial to sprawdzic.




Uwaga dla Stefana: sadze ze nie da sie pokazac nierozstrzygalnosci problemu
stopu dla tego rozszerzenia LPiotrka bez zagladania do srodka procedury, ktora
on sprobuje stworzyc. Nieformalny argument za tym pogladem: zeby zasymulowac
jego rozszerzona maszyne Turinga M zwyczajną maszyną M', nie wystarczy w M'
wywolac M jako black box. W konstrukcji M' trzeba jawnie skorzystac ze zbioru
stanow i tablicy przejsc M, zeby to wszystko zagralo.


Pozdrowienia,

Pulbek.

[Gość: Stefan]

Pulbek:
> Uwaga dla Stefana: sadze ze nie da sie pokazac nierozstrzygalnosci problemu
> stopu dla tego rozszerzenia LPiotrka bez zagladania do srodka procedury, ktora
> on sprobuje stworzyc. Nieformalny argument za tym pogladem: zeby zasymulowac
> jego rozszerzona maszyne Turinga M zwyczajną maszyną M', nie wystarczy w M'
> wywolac M jako black box. W konstrukcji M' trzeba jawnie skorzystac ze zbioru
> stanow i tablicy przejsc M, zeby to wszystko zagralo.

Tak, zagalapowalem sie. Tu nie chodzi o modyfikacje LPiotrka. Rowniez dla
klasycznego dowodu tw. Turinga trzeba umiec podsunac maszynie jej program jako
dane. Trzeba wiec miec ten program. Czarna skrzynka nie daje sie w nic wczytac
jako dane.

- Stefan

[Gość: thrundui]

Obawiam sie, ze zle zabieracie sie do konstrukcji maszyny, ktora stwierdzi
zatrzymanie sie kazdego programu.

Konstruujac udziwnione kody jest to conajmniej niejasne.
Chociaz moja propozycja w tym kierunku to dodanie zmiennej czysto losowej.
Na podstwanie tej zmiennej program bedzie sie sam modyfikowal i wtedu argument
mozliwoscia okresielenia ptogramu, ktorego stop bedzie dla maszyny niejasny
chyba pada.

Moja propozycja
to zbudowanie maszyny, ktora zawsze mowi, ze program sie zatrzyma.
Teraz wszystkie argumenty z poszukiwaniem nie maja sensu.
Niepoprwanosc algorytmu jest fizycznie niemozliwa do sprawdzenia

jak zapuscimy dany program i on nie zatrzymal sie przez ostatnie 15 mld lat
to ciagle nie wiemy kto mial racje.

Dowody matematyczne natomiast w tym wypadku nie sa do konca dowodami i ich
absolutna poprawnosc jest watpliwa.

[Gość: Pulbek]

Gość portalu: thrundui napisał(a):

> Moja propozycja
> to zbudowanie maszyny, ktora zawsze mowi, ze program sie zatrzyma.
[..]
> jak zapuscimy dany program i on nie zatrzymal sie przez ostatnie 15 mld lat
> to ciagle nie wiemy kto mial racje.
>
> Dowody matematyczne natomiast w tym wypadku nie sa do konca dowodami i ich
> absolutna poprawnosc jest watpliwa.

Acha, bo jak liczb naturalnych jest nieprzeliczalnie wiele to program

WHILE true DO nothing

sie zatrzymuje, co? Puk puk puk...

Pulbek.

[Gość: Stefan]

Pulbek:
> Acha, bo jak liczb naturalnych jest nieprzeliczalnie wiele to program
>
> WHILE true DO nothing
>
> sie zatrzymuje, co?

On sie chyba zatrzymuje nawet jak ich jest przeliczalnie wiele. Bo nie istnieje
zaden EKSPERYMENTALNY dowod, ze on dziala wiecznie, a te rozne tam panie,
rozumowania, to psu na bude...

Ale zastanawiam sie, czy jednak nie daloby sie ZAOBSERWOWAC nieskonczonego
dzialania tego programu. Uruchamiamy go na ziemskim komputerze zaopatrzonym w
dobra radiostacje i odlatujemy w strone jakiejs porzadnej czarnej dziury. Pod
wplywem wzmozonej grawitacji czas w rakiecie zaczyna plynac coraz wolniej, czyli
z naszego punktu widzenia czas na Ziemi przyspiesza. Sygnaly swiadczace o tym,
ze komputer wlasnie wykonal kolejny nothing otrzymujemy coraz czesciej. Czuje,
ze jestem na tropie waznego odkrycia. Przeliczenie czasow jest mniej wiecej
takie:
t1 = T - T/(1+t0)
gdzie t0 to czas ziemski, t1 to czas rakietowy, T to ilosc czasu rakietowego
potrzebna na dolecenie z Ziemi do horyzontu zdarzen tej dziury. Wprawdzie
jednostki sie nie zgadzaja, ale kto by w chwili takiego podniecenia badawczego
troszczyl sie o jednostki. Jak na Ziemi uplynie nieskonczenie wiele czasu,
czyli nothing wykona sie przeliczalnie wiele razy, to my akurat osiagniemy
promien Schwartzschilda. Jesli na chwile przedtem nie otrzymamy sygnalu, ze
program zakonczyl dzialanie, to sprawdzilismy empirycznie, ze nie ma wlasnosci
stopu (albo ze sygnalizator popsul sie ze starosci). I mozemy tryumfalnie
pograzyc sie na zawsze w czarna dziure.

Kiedy juz nakreslilem zarys tego smialego eksperymentu, to sam nie wiem, czy
jestem kandydatem do Nobla (z tytulu praktycznego wykorzystania czarnej dziury),
czy do Turinga (eksperymentalny dowod braku wlasnosci stopu to nie w kij
dmuchal), czy do Fieldsa (na wszelki wypadek). W kazdym razie nie martwcie sie
panowie, to jest osiagniecie kolektywne, wiec odpale Wam Wasza dole.

- Stefan

[Gość: thrundui]

> > WHILE true DO nothing
> > sie zatrzymuje, co?

> On sie chyba zatrzymuje nawet jak ich jest przeliczalnie wiele. Bo nie istnieje
> zaden EKSPERYMENTALNY dowod, ze on dziala wiecznie, a te rozne tam panie,
> rozumowania, to psu na bude...

to byl tylko apel o uczciwosc
wy chcieliscie programu FIZYCZNEGO ktory pokaze, ze problem stopu nie istnieje
a jak go pokazalem to pienicie sie, ze fizycznie nie mozecie go obalic.

jak chcecie przeprowadzac wnioskowania na poziomie logiki to nie wymagajcie od
kogos dowodu konstrukcyjnego.
Nieprzeliczalnosc liczb wymiernych to juz i tak za silny argument.

[Gość: Stefan]

Thrunduil:
> to byl tylko apel o uczciwosc wy chcieliscie programu FIZYCZNEGO ktory pokaze,
> ze problem stopu nie istnieje a jak go pokazalem to pienicie sie, ze fizycznie
> nie mozecie go obalic.

Przepraszam, ale sie pogubilem. Po pierwsze nie rozumiem, co Twoje nowatorstwo
w matematyce ma wspolnego z uczciwoscia a moja klasyka z nieuczciwoscia. Po
drugie nic nie rozumiem o tej fizycznosci. Po trzecie jesli sie tu cos pieni to
tylko dlatego, ze wlasnie wsypalem niewlasciwy proszek do pralki.

Rozstrzygalnoscia problemow zajmuje sie nalezaca do informatyki teoretycznej
teoria rozstrzygalnosci i obliczalnosci a nie fizyka. Informatyka teoretyczna
ma swoje kryteria prawdy inne niz fizyka. Np. eksperyment nie stanowi kryterium
a rozumowanie tak. Pod tym wzgledem jest podobna do matematyki.

Thrunduil:
> jak chcecie przeprowadzac wnioskowania na poziomie logiki

Ja nie chce. Rozstrzygalnoscia problemow zajmuje sie nalezaca do informatyki
teoretycznej teoria rozstrzygalnosci i obliczalnosci a nie logika. Te wszystkie
nauki

[Gość: Pulbek]

Gość portalu: thrundui napisał(a):

> to byl tylko apel o uczciwosc
> wy chcieliscie programu FIZYCZNEGO ktory pokaze, ze problem stopu nie istnieje
> a jak go pokazalem to pienicie sie, ze fizycznie nie mozecie go obalic.
>
> jak chcecie przeprowadzac wnioskowania na poziomie logiki to nie wymagajcie od
> kogos dowodu konstrukcyjnego.

Thrundui, o co Ci chodzi wlasciwie? Twierdzenie Turinga mowi

"Nie istnieje program sprawdzajacy wlasnosc stopu, bo dla kazdej _konstrukcji_
takiego programu istnieje pewien przyklad, na ktorym mozna przedstawic pewne
_rozumowanie_ stwierdzajace ze konstrukcja dala bledny wynik."

Uwazasz ze to nieuczciwe? Nie ma sprawy, ja sie nie upieram. Innymi slowy
apelujac o uczciwosc apelujesz o to zeby nie zajmowac sie twierdzeniem Turinga
ani nierozstrzygalnoscia. No wiec jesli nie chcesz to sie nie zajmuj. Opublikuj
swoje uczciwe rozwiazanie ktore zawsze udziela odpowiedzi twierdzacej i sprawdz
czy wszyscy informatycy z zachwytem zaczna go uzywac do sprawdzania poprawnosci
swoich programow. Ja natomiast chetnie pozostane nieuczciwy, skoro to dziala.

Pulbek.

[Gość: thrundui]

> Thrundui, o co Ci chodzi wlasciwie? Twierdzenie Turinga mowi

> "Nie istnieje program sprawdzajacy wlasnosc stopu, bo dla kazdej _konstrukcji_
> takiego programu istnieje pewien przyklad, na ktorym mozna przedstawic pewne
> _rozumowanie_ stwierdzajace ze konstrukcja dala bledny wynik."

> Uwazasz ze to nieuczciwe? Nie ma sprawy, ja sie nie upieram. Innymi slowy
> apelujac o uczciwosc apelujesz o to zeby nie zajmowac sie twierdzeniem Turinga
> ani nierozstrzygalnoscia.

uczciwosc dotyczyla tego, ze chcieliscie konstrukcji maszyny rozwiazujacej
problem stopu.

dla mnie zdanie turinga jest bardzo niezrozumiale.
jego status jest bardzo niejasny.
Nie jest to zdanie ze swiata nauki, bo nie mozna go sfalsyfikowac.
Nie jest ze swiata czystej matematyki bo nie mozna formalnie udowodnic.
jest z jakiegos metafizycznego swiata, gdzie istnieja jakies obiekty niedostepne
rozumowi.
istnienie takich zdan pokazuje, ze za duzo pozwolono w logice.

jego uzasadnienie wymaga silnych argumentow zewnetrzych do matematyki.
a takich argumentow nie widzialem. Zreszta nie wierze w ich istnienie podobnie
jak w istnienie liczb naturalnych. Nie moze chyba istniec dobre kryterium
zewnetrzne odnoszace sie do stworow nieistniejacych.

[Gość: Stefan]

Thrunduil:
> dla mnie zdanie turinga jest bardzo niezrozumiale.

Staramy Ci sie je jakos uprzystepnic, ale faktycznie idzie nam ciezko.

Thrunduil:
> jego status jest bardzo niejasny.
> Nie jest to zdanie ze swiata nauki, bo nie mozna go sfalsyfikowac.
> Nie jest ze swiata czystej matematyki bo nie mozna formalnie udowodnic.

Tw. Turinga NALEZY do czystej matematyki. Posiada porzadny dowod matematyczny.
Ten dowod NIE JEST formalnym wyprowadzeniem z wydumanych aksjomatow, bo prawie
zaden dowod matematyczny taki nie jest.

Thrunduil:
> istnienie takich zdan pokazuje, ze za duzo pozwolono w logice.

Tw. Turinga nie nalezy do czystej logiki, chociaz ma z nia wiele waznych
zwiazkow.

Thrunduil:
> jego uzasadnienie wymaga silnych argumentow zewnetrzych do matematyki.

Nie. To, czego ono potrzebuje, to jest wlasnie matematyka. Przyjrzyj sie temu
dowodowi starannie, a moze w koncu zobaczysz chocby z daleka, na czym ta nauka
polega.

- Stefan

[Gość: thrundui]

> Thrunduil:
> > jego uzasadnienie wymaga silnych argumentow zewnetrzych do matematyki.

> Nie. To, czego ono potrzebuje, to jest wlasnie matematyka. Przyjrzyj sie temu
> dowodowi starannie, a moze w koncu zobaczysz chocby z daleka, na czym ta nauka
> polega.

nie rozumiem idei dowodu, ktory nie jest dowodem z aksjomatow.

moznaby przyjac, ze tw turinga jest twierdzeniem prawdziwym w modelu, gdzie liczb
naturalnych jest przeliczalnie wiele.
Tyle tylko, ze obawiam sie, ze takiego modelu nie da sie zrobic aksjomatycznie.
Wiec przy okazji powstalo pytanie co to jest model. To nie jest stwor
matematyczny ani nie fizyczny.
Kolejny poziom, gdzie zaklada sie ze wszyscy sie rozumieja.

Dlaczego nie rozroznia sie twierdzen absolutnie prawdziwych - takich, ktore sa
konsekwencjami formalnymi i sa prawdziwe w kazdym modelu
od twierdzen, ktore sa prawdziwe tylko w szczegolnych modelach?

Jak to jest, ze wszyscy zgadzaja sie na takie dowody, kiedy uwzgledniajac ilosc
mozliwych pogaldow jest to wlasciwie nieprawdopodobne.
I nikomu to nie przeszkadza. Mam wrazenie, ze ten problem nie jest uswiadomony.

[Gość: Stefan]

Thrunduil:
> moznaby przyjac, ze tw turinga jest twierdzeniem prawdziwym w modelu, gdzie
> liczb naturalnych jest przeliczalnie wiele.

Tak.

Thrunduil:
> Tyle tylko, ze obawiam sie, ze takiego modelu nie da sie zrobic
> aksjomatycznie.

Moze i daloby sie, ale po co? Matematyka NIE POLEGA na wyprowadzaniu z
aksjomatow. Pewna jej uboczna odnoga, logika formalna, bada stosunki formul
wywodliwych z aksjomatow do formul prawdziwych. Z tw. Goedla wynika, ze tych
teorii, ktore mozna zaksjomatyzowac w sposob zupelny, jest raczej niewiele i sa
raczej nieciekawe. Wiec wiekszosc matematykow logika interesuje tylko
marginalnie. Wszystko inne udowadnia sie w modelach metodami takimi, jak w
calej matematyce.

Thrunduil:
> Wiec przy okazji powstalo pytanie co to jest model.

Pytanie, czym w takim razie zajmuje sie matematyka, jest dosyc trudnym problemem
filozoficznym. Ja na nie nie umiem udzielic zadowalajacej odpowiedzi. Jednak
istnieje dobrze wyodrebnione cialo wiedzy i metod, co do ktorych stosowania nie
ma sporow wsrod fachowcow, i ktora to wiedza wielokrotnie wykazala swoja
przydatnosc i skutecznosc w poznawaniu i kontrolowaniu swiata materialnego.
Opiera sie na byc moze niepewnych podstawach filozoficznych ale tworzy zwarta
konstrukcje, na ktorej nie widac zadnych pekniec.

W kazdym razie, prosze, przestan mnie dreczyc pogladem, ze do matematyki nalezy
tylko to, co daje sie formalnie wyprowadzic przez przeksztalcanie jakichs
aksjomatow.

Thrunduil:
> Dlaczego nie rozroznia sie twierdzen absolutnie prawdziwych - takich, ktore sa
> konsekwencjami formalnymi i sa prawdziwe w kazdym modelu od twierdzen, ktore
> sa prawdziwe tylko w szczegolnych modelach?

Logicy to oczywiscie odrozniaja. Nawet nazywaja inaczej. Jesli masz w pelni
sformalizowana teorie aksjomatyczna (aberacja, ktora zdarza sie prawie wylacznie
w logice a i to rzadko), to za TWIERDZENIE tej teorii uwaza sie formule, ktora
ma formalny wywod z aksjomatow. Za TAUTOLOGIE uwaza sie formule, ktora jest
prawdziwa semantycznie w kazdym modelu teorii. W najczesciej spotykanych
teoriach, to wychodzi na jedno, ale oczywiscie sa przyklady teorii, w ktorych
nie kazda tautologia jest twierdzeniem. Formula spelniona tylko w pojedynczym
modelu to ani twierdzenie ani tautologia. Takich formul uzywa sie np. do
rozrozniania modeli teorii miedzy soba.

Ale logicy rozpatruja rowniez dualne podejscie: zamiast wielu modeli do jednej
formalnej teorii, biora jakis swiat i badaja rodzine wszystkich teorii, ktorych
ten swiat jest modelem. Np. bierzemy prawdziwe liczby naturalne i badamy
rodzine wszystkich arytmetyk. Swiat jest pierwotny, a teorie sa wtorne. Jesli
matematyka jest Ci potrzebna do modelowania jakiejs rzeczywistosci (obojetne czy
swiata fizycznego czy ekonomicznego), to tak jest o wiele naturalniej.

Twierdzenia nie sa w zadnym sensie ,,bardziej prawdziwe'' niz tautologie. Jesli
istnieja niewywodliwe tautologie, to swiadczy to tylko o niedoskonalosci srodkow
dowodowych danej teorii. A stad nie mozna czerpac krytycyzmu w stosunku do
swiata, a raczej w stosunku do formalizacji.

Thrunduil:
> Jak to jest, ze wszyscy zgadzaja sie na takie dowody, kiedy uwzgledniajac
> ilosc mozliwych pogaldow jest to wlasciwie nieprawdopodobne.

Byloby kompletnie nieprawdopodobne, gdyby ludzie swoje poglady wybierali
przypadkowo. Fakt, ze WSZYSCY fachowcy zgadzaja sie na matematyczne kryteria
prawdy, swiadczy wlasnie o tym, ze jest w nich cos glebokiego i przekonujacego.
Nawet jesli nie potrafie jasno powiedziec, co to jest.

Thrunduil:
> Mam wrazenie, ze ten problem nie jest uswiadomony.

Nie, Thrunduil. Matematycy czesto zajmuja sie dzieleniem wlosa na czworo i
rozpatrywaniem subtelnosci. A filozofowie napisali o tym niejedno dzielo.

- Stefan

[Gość: thrundui]

> Matematyka NIE POLEGA na wyprowadzaniu z aksjomatow.

nikt jej nie kaze. nie w tym problem.
chodzi o jakies spojne podejscie filozoficzne do matematyki.

platonizm jest glupi, chyba ze zaczne wierzyc w duchy.
kiedys mialem podejscie formalne, z biegiem czasu przestalem sie przejmowac, co
dane twierdzenie znaczy. Wkoncu uznalem, ze zajmowanie sie twierdzeniami nie ma
sensu bo one sa juz calkowicie okreslone w momencie wyciagniecia aksjomatow z
worka.
a teraz ono sie calkowicie rozpadlo jak okazalo sie, ze status formalny znaczacej
wiekszosci twierdzen jest niejasny.

nie jest tak, ze jest to powszechnie uswiadomione.
znam wielu studentow matematyki UW.
wszyscy swiecie wierza, ze nieprzeliczalnosc liczb rzeczywistych jest wywodliwa,
przeliczalnosc liczb naturalnych, twierdzenie godla, itp jest wywodliwe.
Moze i jest. To ze moze padl dowod niczego nie oznacza. Nie rozumiem tylko
dlaczego jest to oczywiste.
To troche nieuczciwe, ze na studiach tego nie mowia.

> W kazdym razie, prosze, przestan mnie dreczyc pogladem, ze do matematyki nalezy
> tylko to, co daje sie formalnie wyprowadzic przez przeksztalcanie jakichs
> aksjomatow.

ja mam uzytkowe podejscie do matematyki. Jest mi wszytstko jedno co sie w
matematyce dzieje. Chce tylko aby to bylo spojne.
Dopuszczenie jakos rozumianego wgladu byloby nawet korzystne. Jak sie go dobrze
zrobi i dopusci chocby niewielkie prawdopodobienstwo popelnienia jakos
rozumianego bledu to mogloby to nawet sprowadzic matematyke do dzialu nauk. To
wymaga jednak dosc dobrych regul zewnetrznych czy argumentow filozoficznych.

Nie widzialem takich podstaw. Zreszta bardzo nie szukalem bo formalizm mi
wystarczal. Byl on wystarczajaco spojny. Istnienie zdan prawdziwych nie
wywodliwych jest duzym problemem dla takiego podejscia. Mozna go jednak pokonac
manipulujac formulami dopuszczalnymi tak aby formuly bedace niewywodliwe juz nie
istnialy. Tak zmodyfikowane podejscie zachowa juz spojnosc. Powstanie tylko
jakies wielkie dziwactwo. Ja jednak moge poswiecic bardzo wiele dla zachowania
spojnosci.

Podejscie z wgladem jest oczywiscie duzo bardziej atrakcyjne. Fajnie jest kiedy
twierdzenie cos znaczy a nie tylko istnieje. Mam jednak bardzo powazne
watpliwosci czy takie podejscie mozna jakos uzasadnic. Prawda semantyczna jest
wielkim wytrychem, takie maskowane zewnetrzne kryterium prawdy oparte o zasady
demokracji. Potrzebne jest zupelnie inne kryterium dla okreslenia co jest prawda
a co nie. A to zapewne nie jest proste.

W takiej sytuacji majac z jednej strony zupelnie niejasne podstawy ale dosc
atrakcyjne podejscie a spojne ale absurdalne wole to absurdalne. Przynajmniej na
poziomie podstaw. Im dalej od podstaw tym bardziej mozna sobie je zignorowac,
chociaz nie przychodzi to latwo.

[Gość: lisa2]

Przepraszam, że się wtrącam.

Dyskutujecie tak ciekawie, a ja lubię takie dyskusje.

Dziś znalazłam wasz wątek i z zapartym tchem, albo jak kto woli, wpatrzona w
ekran jak sroka w gnat, pochłaniam go.

Wchłąnęłam już do 31-01-2002 10:43 i nie wytrzymałam.

Wyjaśnienia:

Mój stan umysłowy - na poziomie szkoły nieco niższej niż średnia + techniczna
(matematyka, logika, retoryka, informatyka - wszystko to, na poziomie zerowym,
podstawowym, albo coś słyszałam); główka płaska [ : > ;

Mój stan ciekawości i zainteresowania tematem - duuuży, zwłaszcza rzeczywistą
logiką, a nie urojeniami pseudologicznymi.

Mój stan zrozumienia tego co napisaliście, do daty i godziny podanej wyżej,
coraz większy, ale bardzo niski.

Zrozumiałam z Waszych wywodów, że na poziomie logiki (która jest tylko jedna)
dotąd nie potrafiliście dojść do porozumienia i skakaliście po różnych
poziomach wiedzy i dyskusji (dla mnie filozoficznych) by przedstawić swoje
racje.

Stan waszych umysłów, wskazują na to wasze próby przedstawiania argumentów, był
w różnych momentach na różnych poziomach abstrakcji i czasami wydawało mi się,
że uprawiacie SOFISTYKĘ. Nie potrafiąc składnio udowodnić swojej tezy
sięgaliście co i rusz po inne MIECZE, powołując się na coraz to inne TARCZE, i
tak to szło, ze czasami widziałam w jednym ręku wodę, a w drugim mydło, przeciw
Big Bang i kwarkowi, a innym razem cebulę i piasek przeciw szufladzie i
klamotom.

Otóż doszłam do stanu rozpaczy, ale i dalej chciałam to czytać, więc im
bardziej się zbliżałam do stanu aktualnej pozycji, dyskusja wasza, choć często
zbyt mądra, coraz bardziej mi rozjaśniała istotę sporu cząstkowego.

W końcu, moja płaska główka, zniecierpliwiona długością pozostałej, bocznej
części paska przewijania, i dość dalekiej pozycji do końca wskaźnika aktualnego
tekstu - wlazłam wam w paradę - bo zaświtała mi, może głupia, a może nie, ale
taka myśl.

Cel mojej tu wizyty:

Otóż, czytając wasze uczone dysputy, doszłam do wniosku, być może bardzo
logicznego, lub patrząc na to z INNEGO POZIOMU, nielogicznego, że możecie
spróbować dojść do logicznych wniosków, przy pomocy przykładów z całkiem
ludzkiej i potrzebnej dziedziny w celu udowodnienia lub obalenia dowodu i stanu
rzeczywistego "Definicja w logice..."

Ja proponuję za przykład następującą dyskusję, która powinna być wyjaśniana na
bierząco:

Tematem pomocniczym i przykładowym, lecz nażuconym przeze mnie, jest:

Przyjęcie nowego pracownika do pracy;
Firma: budka warzywniak na bazarze;
Jeden z panów: właściciel;
Drugi z panów: bezrobotny;
Otoczenie: dowolni gapie (wszak dyskusja jest na łamach Forum - publiczna) i
ich dowolna ilość;

Dane dodatkowe: celem nie jest przyjęcie lub nieprzyjęcie pracownika, CELEM
JEST PRZEKONANIE PRZECIWNIKA O SWOJEJ RACJI i udowodnienie tego.

Oczywiście macie tu pole do popisu, a ja może znajdę pracę.

Potraktujcie panowie moją propozycję BARDZO POWAŻNIE i wszystko to co tu o
sobie piszę.

Myślę, że jak już doczytam wasze dyspuyu do końca, czyli do mojego postu, to
znajdę jako następny odpowiedź na moją propozycję.

lisa2 [ : >