Zadanie matematyczne z kozą

[apryczkowski]

Jest sobie pastwisko w kształcie koła o promieniu R
(poza nim nie ma trawy). Przyszedł chłop z kozą i
paluję tę kozę na okręgu pastwiska. Jakiej długości
musi być łańcuch kozy by wyżarła dokładnie połowę trawy.
Ja sobie dałem spokój z tym zadaniem, ale jeżeli ktoś
da radę, no to gratulacje.
APryczkowski
PS Może to niedyskretne, ale jeżeli rozwiążesz napisz
czym się zajmujesz.

To zarloczna koza , a nich ja !!!

[Gość: lupo]

Ten mniejszy promien ( promyczek ? )
ma miec
_________________
r=R/sqrt(2)
_________________
czyli R podzielone przez 1.4142 ( pierwiastek kwadratowy z 2 )

pzdr,
lupo

P.S. Smacznego dla kozy !!!

Ta zlosliwa koza , a nich ja !!!

[Gość: lupo]

Kto za szybko czyta , ten bladzi. Mea culpa.
Moje rozwiazanie jest tylko dla przypadku,
gdy zlosliwa koza zostanie "przygwozdzona"
na srodku tego okregu.

Czy to nie jest wszystko jedno, gdzie sie
ta koza nazre ? Mleko da tak czy tak.

Sorry,
pzdr,
lupo

brzydko postąpiłby ten kto poprosiłby o pomoc ...

[apryczkowski]

w jego rozwiązaniu na lekcji matematyki. Historia tego
zadania notuje takie incydenty.
Zadanie pozostało dalej nierozwiązane.
APryczkowski

[Gość: walrus]

Rozwiazanie
R√2

[Gość: shania]

wyszlo mi takie rownanie (gdzie niewiadoma jest r - czyli dlugosc lancucha):

arctg[Sqrt[4R^2 - r^2]/r]*r^2 + arctg[r*Sqrt[4R^2 - r^2]/(2R^2 - r^2)]*R^2 -
R^2*Sin[arctg[r*Sqrt[4R^2 - r^2]/(2R^2 - r^2)]] == Pi*R^2

ale ono jest zbyt obrzydliwe, zeby je rozwiazywac, wiec bede myslec dalej ;-)
pozdrawiam

[Gość: nauczyciel]

to ( takie?) zadanie krąży - przynajmniej po Lublinie, od kilkunastu conajmniej
lat i nie znam nikogo, komu by się udało , a wiem, że naukowcy(?) z wydz. mat.
UMCS też mieli z nim styczność, ze wzglęów sentymentalnych chciałabym poznać
rozwiążanie, czekam na następne głosy na forum.

[Gość: walrus]

wzoru wam nie napisze ale rozwiazanie jest R√2

rozwiazalem przypadkowo , zastanawiajac sie jak powierzchnie zajmuje wycinek
kola oparty na srednicy okregu o promieni R, bo koza jest na okragu kolkowana,
a moza sie poruszac tylko o okregu r , pole wycinka to P(w)=A°/360°*Pi*r2
kat A° jest znanyto 90° czyli P(w)=0,25*Pi*r2
r2=R2+R2=2R2 (prawo pitagorasa, narysujcie to zobaczycie)
P(w)=0,25*Pi*2R2
P(w)=0,5 *Pi*R2
czyli r=R√2
niezbyt matematyczne to rozwiazanie ale wynik jest wynikiem albo?

[Gość: walrus]

Gość portalu: walrus napisał(a):

> wzoru wam nie napisze ale rozwiazanie jest R√2
>
> rozwiazalem przypadkowo , zastanawiajac sie jak powierzchnie zajmuje wycinek
> kola oparty na srednicy okregu o promieni R, bo koza jest na okragu
kolkowana,
> a moza sie poruszac tylko o okregu r , pole wycinka to
P(w)=A°/360°*Pi*r(do kwadratu)
> kat A° jest znany to 90° czyli P(w)=0,25*Pi*r(do kwadratu)
> r(do kwadratu)=R(do kwadratu)+R(do kwadratu)=2R(do kwadratu )
(prawo pitagorasa, narysujcie to zobaczycie)
> P(w)=0,25*Pi*2R2(do kwadratu)
> P(w)=0,5 *Pi*R2 /dito)
> czyli r=R√2
> niezbyt matematyczne to rozwiazanie ale wynik jest wynikiem albo?

[Gość: shania]

ja niestety nie rozumiem co to jest ten kat A...

[walrus1]

Gość portalu: shania napisał(a):

> ja niestety nie rozumiem co to jest ten kat A...

to kat alfa miedzy promieniami wycinka

[Gość: shania]

to ja juz widze gdzie ten kat,
ale to rozwiazanie nie jest prawidlowe,
bo rozwazana figura NIE JEST takim wycinkiem kola

po narysowaniu kola i wycinka wychodzi,
ze z tego kola zostaje jeszcze cos jakby ksiezyc oraz dwa male kawaleczki
- i te dwa male kawaleczki tez trzeba uwzglednic do pola,
bo tam koza tez moze jesc

wiec chyba pozostaje tylko rozwiazanie numeryczne...

[Gość: walrus]

Pytanie bylo:
"Jakiej długości
musi być łańcuch kozy by wyżarła dokładnie połowę trawy. "
nie chodzi o to czy jeszcze cos zostanie czy nie, ani tez jak sie koza
zachowa, tylko o to jakiej dlugosci ten lancuch musi byc, prawdopodobnie to
tresowana koza ,ktora wyzera tylko wycinki kola.
Nie jestem matematykiem, o wzory i funkcje misicie sie sami postarac, ale
zadanie jest rozwiazalne.
pozdr.

[Gość: shania]

no wlasnie: koza miala zjesc DOKLADNIE polowe trawy
a przy proponowanej dlugosci lancucha R√2
zje WIECEJ
tzn. 0.5pi*R^2 + (0.5pi-1)R^2
wiec ta odpowiedz na pewno nie jest dobra
nie wiem jaka jest wlasciwa ale na pewno nie R√2
zycze wiecej wyobrazni matematycznej :-)

[Gość: walrus]

Gość portalu: shania napisał(a):

> no wlasnie: koza miala zjesc DOKLADNIE polowe trawy
> a przy proponowanej dlugosci lancucha R√2
> zje WIECEJ
> tzn. 0.5pi*R^2 + (0.5pi-1)R^2
> wiec ta odpowiedz na pewno nie jest dobra
> nie wiem jaka jest wlasciwa ale na pewno nie R√2
> zycze wiecej wyobrazni matematycznej :-)

nie wiem w czym lezy problem, wstaw r=R√2
w wzor powierzchni wycinka okregu o szukanym promieniu r
czyli ogolny wzor P(wycinka)=alfa/360*pi*r*r
alfa=90 tzn
P(w)=90/360*pi*R√2*R√2 czyli
P(w)=1/4*pi*R*R*2
P(w)=1/2*pi*R*R czyli polowa powierzchni okregu o promieniu R(P=pi*R*R)
c.b.d.u.

[Gość: shania]

no dobrze, ale dlaczego mam wstawiac do wzoru na pole wycinka skoro to co koza
zje to jest zupelnie inna fugura?
rownie dobrze moglabym podstawiac do wzoru na pole kwadratu - i tez by to nie
mialo nic wspolnego z rozwiazaniem...

[Gość: shania]

no dobrze, ale dlaczego mam wstawiac do wzoru na pole wycinka skoro to co koza
zje to jest zupelnie inna fugura?
rownie dobrze moglabym podstawiac do wzoru na pole kwadratu - i tez by to nie
mialo nic wspolnego z rozwiazaniem...

[Gość: walrus]

Gość portalu: shania napisał(a):

> no dobrze, ale dlaczego mam wstawiac do wzoru na pole wycinka skoro to co
koza
> zje to jest zupelnie inna fugura?
> rownie dobrze moglabym podstawiac do wzoru na pole kwadratu - i tez by to nie
> mialo nic wspolnego z rozwiazaniem...


Czesc
kwadrat nie "wychodzi", pole najwiekszego kwadratu wpisanego w okrag to w tym
wypadku P(kw)=2R*R, pole wpisanego trojakta jest mniejsze, oprocz wielokatow
istnieje jeszsze okrag ,ktory ma jeden punkt wspolny z danym okregiem tu
rozwiazanie wynosi r=R/√2
pozdr

[Gość: shania]

a tresowanej kozie prawdopodobnie wcale nie bylby potrzebny lancuch...

[Gość: shania]

jedyne co mi przychodzi do glowy to rozwiazac numerycznie rownanie:

arccos(2r/R)*r^2+arccos[(2R^2-r^2)/2R^2]*R^2-r/2R*sqrt(4R^2-r^2)-pi*R^2/2=0

(to rownanie ktore pisalam poprzednio chyba jednak bylo zle)

numerycznie otrzymany wynik 1,1587285*R
(metoda Newtona rozwiazywania rownan niealgebraicznych)
mozna to sprawdzic np. w programie Mathematica

[Gość: ela]

prawidłowe rozwiązanie (wg mnie)

2r^arccosr/2R + 2R^arccos(2R^-r^)/2R^ - r/2sgrt(4R^-r^) -piR^/2 = 0

W Twoim rozwiązaniu błędem jest R w mianowniku wyrażenia na pole deltoidu (nie
zgadza się w tym wypadku jednostka miary pola powierzchni.

Pozdrowienia