swiat jest pelen zagadek

[you-know-who]

oto najprostsza i zarazem najtrudniejsza zagadka jaka znam.
nie dalem jej rady, poniewaz jednak ta zagadka dotyczy pieniedzy, licze na
tutejszego rezydenta-ekonomiste.
forum.gazeta.pl/forum/72,2.html?f=32&w=76438434

[jorl]

Przeczytalem Twoja zagadke ykw. Zalozenia ktore dales nie sa do konca jasne.
Chodzi tu czy ten czlowiek mi proponujacy ponowny wybor WIE co jest w pudelkach
czy NIE wie. Jak wie to trzeba pokerowskiej psychologii a nie rachunku
prawdopodobienstwa.
Jak nie to wszystko jedno czy bede tylko raz wybieral czy milion po kolei. jesli
ilosc pudelek w grze sie nie zmieni.
Pozdrowienia

[you-know-who]

wkladam banknoty i zaklejam pudelka przed twoim pierwszym wyborem.
to co wiem a czego nie wiem od tej pory nie ma znaczenia, bo zawsze daje ci
szanse zmiany pudelka. ty nie wiesz, czy twoja pierwsza wygrana rowna $100 jest
2x wieksza czy 2x mniejsza od sumy w drugim pudelku.

co wybierzesz aby wygrac jak najwiecej?
niemozliwe aby szansy tych dwoch sum w drugim pudelku (100x2 i 100/2) byly inne
niz 50%, bo przeciez sam losowales nie preferujac niczego, a ja zapewniam cie ze
w zamknietym pudelku jest albo 2 razy wiecej albo mniej.


aby dobitniej wyrazic twoj dezyderat: zalozmy ze w pierwszym pudelku jest $10, a
w drugim wiesz na pewno ze jest albo $10000 albo $0.01.
czy zaryzykujesz utrate $10, czy nie??

[jorl]

Ciagle niejasne sa zalozenia tego experymentu.
1.Wyciagnalem pudelko i NIE wiem co w nim jest, prawda czy nie?
2.Wiem ze zawsze mi zaproponujesz drugi wybierac? No to jestes mi niepotrzebny.
Moge sobie brac, odkladac, brac odkladac albo inaczej sie dluzej zastanawiac
myslowo "brac odkladac".

Cos ykw wyrazasz sie nieprecyzyjnie.
Pozdrowienia

[you-know-who]

wybierasz a ja ci pokazuje co jest w pierwszym pudelku.

orginalna zagadka mowi ze dopiero wtedy daje ci mozliwosc zmiany.

wg. mnie nie jest to takie wazne czy wiesz ze dam ci wybor.
paradoks zawsze jest. niby wiesz ze informacji nie przybywa czyli powinienes
zadowolic sie twoim przypadkowym wyborem, ale kiedy sie zastanowisz, zawsze
dochodzisz do wniosku ze lepsze jest drugie pudelko.

[jorl]

No to napisales na poczatku kompletnie nieprecyzyjnie. Bo dopiero teraz piszesz
ze pierwsze pudelko po wylosowaniu moge otworzyc! Tak rozumiem.
No to jak jest jeszcze jedno pudelko to MUSI miec jak co wiecej. To je biore. No
chyba ze powiesz teraz ze pierwsze odkladam, Ty mieszasz, i mam prawo znowu
wybierc z dwoch a nie jednego.
Nie ykw, tak skonstruowane zagadki nie sa powazne. Przemysl, napisz ale tak zeby
bylo KOMPLETNIE jasne o co chodzi a nie zebym musial zgadywac twoje zalozenia.
Byles wczoraj ykw na urodzinach jakis? Jakies party? Bo takie sformuowanie nie
licujez fizykiem.
Pozdrowienia

definitywna wersja najwiekszej zagadki swiata

[you-know-who]

nie byl oczywiscie sformulaowana po polsku, moze stad klopoty.
niestety nie wiem w jakim byla. tu jest wersja angielska, do ktorej tez mozna
sie pewnie przyczepic. a zwlaszcza do nic nie tlumaczacego 'rozwiazania'.

Someone shows you two boxes and he tells you that one of these boxes contains
two times as much as the other one, but he does not tell you which one this is.
He lets you choose one of these boxes, and opens it. It turns out to be filled
with $10. Now he gives you the opportunity to choose the other box instead of
the current one (and skip the $10 of the first box), because the second box
could contain twice as much (i.e. $20).

The Question: Should you choose the second box, or should you stick to your
first choice to maximize the expected amount of money?

A Hint : If you have $10, and you could double this with a chance of 1/2, or
half it with a chance of 1/2, one would expect an average of 1/2 * $20 + 1/2 *
$5 = $12.5 (so you would expect to gain $2.5)!...

The Solution: No, there is no reason to change your choice.

An explanation: The hint that is given is misleading! In this puzzle, it is not
straightforward to calculate the expectation as suggested in the hint. So, just
use your common sense, and note that the chance is and stays 50% that your first
choice will be the best one. There is no reason at all to change that choice at
the moment you find out that the box contains $10...
--------------------
ha, nie ma zadnego rozwiazania! to jest paradoks!

z twojego punktu widzenia jako gracza wyliczenie wartosci przez ciebie
oczekiwanej jest kompletnie poprawne. najlepszym dowodem jest to ze nikt komu da
sie wzmocniona wersje zagadki (0.01 - 10 - 10000 zamiast 5-10-20 albo 50-100-200)
nie bedzie czekal ani chwili, zaryzykuje swoja dotychczasowa wygrana.

z punktu widzenia postronnego obserwatora natomiest wyliczenie jest bardzo
proste i prowadzi do odpowiedzi ze nie ma co probowac, bo nic statystycznie sie
nie wygra:
niech w pudelkach bedzie N i N/2. jesli zaryzykujesz bedziesz mial

50% szansy ze za pierwszym razem wybrales N, a wiec 'grajac dalej' zyskujesz
N/2-N = -N/2,

oraz 50% szansy ze za pierwszym razem wybrales N/2, a wiec 'grajac dalej'
zyskujesz N -N/2 = +N/2,

srednio zero.
--------------

Istotnie, znakomity Paradox :)

[j-k]

- gdy logika mowi jedno
(ze zmiana jest oplacalna)

- a ekonomia drugie
(gdyz i tak jest "tylko" stala pula do wziecia :)

[you-know-who]

tak, nawet przyszly mi do glowy inne sformulowania tego paradoksu dotyczace
polityki, emigracji z kraju do kraju...

pzdr

[moxey]

ale tu musze juz przedzierzgnac sie w psychologa.

po krotkich studiach i eksperymentach myslowych, ktore przeprowadzilem na sobie
i kregu znanych mi ludzi, mysle ze decyzja o podjeciu ryzyka utraty
dotychczasowej wygranej wobec matematycznie (jak w naszym problemie) lub
demagogicznie (jak u doradcy finansowego) podpartej oczekiwanej wiekszej
wygranej zalezy od obecnie posiadanej wartosci N.

latwo to zilustrowac:

przyklad #1, 0.01-10-10000

czyli poswiecamy dyche za mozliwosc wygrania 10000.
*tylko czlowiek niespelna rozumu by sie zawahal.*
bo dycha to "malo".

(kontr)przyklad #2

busz proponuje ci gre w dwa pudelka i w pierwszym znajdujesz N=$7,000,000;
warunki gry mowia ze w drugim pudelku jest albo $70, albo $700,000,000,000,
przyszloroczny budzet pentagonu.

oczywiscie za poswiecasz mozliwosc wygrania dodatkowej niewatpliwie
interesujacej sumy, wobec mozliwosci utraty twoich $7mln.
*tylko czlowiek niespelna rozumu by sie zawahal.*
bo $7mln to "duzo".

---------------
nie zmienia to matematycznej istoty problemu.
latwo moge udowodnic (i to przeciez zrobilem) ze wartosc oczekiwana wygranej
musi byc zerowa. latwo tez moge udowodnic ze ryzykujac zyskuje, prawda? ale ja
nie jestem matematykiem tylko psychologiem i dla mnie ta zagadka jest rozwiazana :-)

moxey

[w_ojciech]

Spróbuj sformułować tak zagadkę by technika rozwiązania była
aczosowa. Są takie techniki!.

Zagadka jest prosta.

istotnie

[you-know-who]

> Zagadka jest prosta.

tyle wiem. masz rozwiazanie to rzucaj zebysmy mogli skrytykowac.

[w_ojciech]

Masz trzy poziomy.

1. Algebra.
2. Semantyka.
3. Metateoria.

Poziomy 1 i 2 w tym zadaniu nie dają rozwiązania.
Poziom trzeci to trywialność. Postulat prostoty mówi, że jeśli mamy
dwie RÓWNOWAŻNE procedury i jedna jest częścią drugiej, to TA część
jest docelowym rozwiązaniem.

PS. Szacujesz semantykę, która jest zmienna czasowo i
cywilizacyjnie. Nie umiesz sobie z tym poradzić.

[you-know-who]

czy ty wojciechu nie wziales o jeden za duzo wykladow z filozofii?
to jest problem z rachunku prawdopodobienstwa, teorii gier, ale na pewno nie z
czasowo-cywilizacyjno-semantycznej teorii niczego.

[w_ojciech]

Spekulujesz na temat sum, które mogą być znaczące dla gracza. Ty
bawisz się w "filozofię". Tu masz ciekawy przyczynek do ustalania
strat w ekonomii
www.tiger.edu.pl/aktualnosci/kleiman_abs.htm
Niestety nie już na serwerze polskiego znacznie obszerniejszego
streszczenia.

drugie podejście

[w_ojciech]

Wyobraźmy sobie serię takich wyborów. Co wtedy zrobić? Ja
wyznaczyłbym sobie serię celów i próbowałbym wyborami dopasować
rezultaty do nich. Konkretniej sprawę ujmując. Niech serią celów
będzie np. ciąg 20, 120, 250. Przypuśćmy, że w pierwszym wyborze mam
50$. Odległości od najbliższych celów wynoszą (30, 70). Jeśli
dokonam drugiego wyboru to mam odległości (5,20). Czyli mam lepsze
dopasowanie do ciągu celów. Jeśli zaś, mam w pierwszym wyborze 100$,
to wykonanie drugiego wyboru może pogorszyć dopasowanie do celów bo
mając odległości (80, 20) otrzymałbym odległości (80, 50)

Tak postępując wielokrotnie otrzymuję ciąg wygranych zbliżonych do
moich oczekiwań.


Gdzie taka sytuacja może wystąpić? Wyobraźmy sobie, że to co
wygrywamy to talony, a cele to ceny towarów, które możemy kupić.
Jeśli na talonie brakuje pieniędzy to musimy dopłacić różnicę. Jeśli
zaś na talonie jest więcej pieniędzy, to różnica przepada.

Zadanie sprawia trudność gdyż nie widać strategii sterującej
wyborami. Tutaj ją widać, ale to już inne zadanie.

to metoda yogi berra

[you-know-who]

celem w najtrudniejszej zagadce swiata jest prosty wybor, jak rozwidlenie na
drodze. ja pytam: w lewo czy w prawo, ty dajesz mi trzecia sugestie:
when you come to a fork in the road....take it!

[w_ojciech]

Chyba mam rozwiązanie. Spójrzmy na trzy poniższe zdania:
1. W jednej kopercie jest 2 razy więcej pieniędzy niż w drugiej.
2. W jednej kopercie jest x (x > 1) razy więcej pieniędzy niż w
drugiej.
3. W obu kopertach są różne sumy pieniędzy.

Zdanie 2 jest ogólniejsze od 1. Natomiast zdania 2 i 3 są
równoważne. Problem w wersji 3 jest trywialny.

Morał. Jak nie widać rozwiązania to czasami należy problem
sformułować ogólniej.

uzupełnienie

[w_ojciech]

w_ojciech napisał:
> Zdanie 2 jest ogólniejsze od 1.
============================================
To stwierdzenie nie jest prawdziwe, bo w 2 jest kwantyfikator
szczegółowy. Jednak rozumowanie to można łatwo uzupełnić o taki
fakt: rozważanie 2 dla jakiegoś wybranego x (x > 1) i dla x = 2 jest
analogiczne.

[you-know-who]

zdaje sie ze chciales tu udowodnic ze w kopertach sa rozne liczby dolarow;
pomijajac poprawnosc dowodu, pozwol ze spytam: no i co z tego?

ciagle nie odpowiadasz mi na pytanie stanowiace tresc problemu:
zmieniac czy nie zmieniac koperte i dlaczego.

[w_ojciech]

Dla mnie sprawa jest zakończona. Zdania 1 i 2 są dowodowo
analogiczne, a zdania 2 i 3 formalnie równoważne. Zatem MOGĘ
rozwiązywać zagadkę w wersji 3.

Czyli drugi wybór jest nieporozumieniem. Wybieramy raz i idziemy z
wygraną do domu.

inna wersja problemu

[w_ojciech]

Rozważ taką sytuację. Przychodzi Moxey do Wojtka i Wojtek mówi tak:
Masz tu koperty z różnymi sumami pieniędzy k1 i k2. Wybierz jedną z
nich. Moxey wybrał jedną z nich.
Potem Wojtek mówi:
Możesz wybrać drugą zamiast tej pierwszej. Zrobisz to?
I Moxey rozumuje tak. Mam nierówność (k1/k2 + k2/k1)/2 > 1 (bo k1
jest różne od k2).

Zatem
drugi wybór jest zawsze lepszy od pierwszego.


Sformułowałem ten problem inaczej by się uwolnić od frazy "w jednej
kopercie jest 2 razy więcej pieniędzy" i zastąpić ją frazą "w
kopertach są różne sumy pieniędzy".

errata

[w_ojciech]

w_ojciech napisał:
> drugi wybór jest zawsze lepszy od pierwszego.
==============================================
Winno być:
drugi wybór jest racjonalniejszy od pierwszego.

na czym polega trick

[w_ojciech]

Spójrzmy na taką modyfikację tej zagadki. Po wyborze pierwszej
koperty np. z 10$. Na stole pojawia się dodatkowa trzecia. I
dostajemy informację, że w jednej z nich jest 2 razy mniej pieniędzy
(czyli 5$), a w drugiej 2 razy więcej (czyli 20$). Rozpatrywanie
nierówności (2 + 1/2)/2 > 1 DOPIERO teraz ma sens.

I to by było na tyle.

Rozumiem wszystko w tej kwestii.

[picard2]

Moim zdaniem jedyna taktyka jest założenie ze szukamy S (np Euro).
Gdy w pierwszym pudelku znajdujemy co najmniej S zadowalamy się ta suma.
To jest logika poparta statystyka numeryczna która każdy może zrobić
na Matlabie (lub na innym programie tego typu).Po 10E3 prób dochodzimy do
prawdopodobieństwa ~50/50 a po 10E7 maszyna wykazuje dokładnie 50/50.
Demonstracja może być tylko logiczna jeśli pudełko zawierają większa lub
mniejsza sumę od S która wybraliśmy z góry
wierzymy w hazard to znaczy zbieżność 50/50 natomiast gdy S jest zawarte miedzy
możliwym minimum i maximum tego rodzaju strategia pozwala na wygranie największe
możliwej sumy.To wydaje się nie
zgodne z intuicja ale tego rodzaju optymizacja działa w każdym
wypadku niezależnie od wielkość sumy S.Oczywiście prawdopodobieństwo
otrzymania rozkładu 50/50 jest tym mniejsze gdy wybierzemy S
bardzo wysokie albo bardzo niskie.

Chris.

dla smakoszy

[w_ojciech]

Wskażemy palcem gdzie jest błąd w rozumowaniu. Problem nie ma nic
wspólnego ani z rachunkiem prawdopodobieństwa ani z teorią gier.
Właściwy adres to podstawy matematyki.

Powiedzmy, że przy pierwszym wyborze mamy 10$. Rozumujemy dalej tak.
W pozostałej kopercie jest 5$ lub 20$. Wobec czego widząc, że
zachodzi nierówność:
(*) (5$ + 20$)/2 > 10$
myślimy, że drugi wybór będzie racjonalny. Wszystko byłoby dobrze,
ale uzyskanie nierówności (*) nie jest poprawne.
Jak to jest możliwe?

W (*) mamy adresy do trzech przedmiotów (kopert). Zauważmy, że jeśli
istnieje koperta z 5$, to nie istnieje koperta z 20$ i odwrotnie.
Krótko mówiąc podstawiacz by powiedział, że nie wolno zbudować
zdania w którym używamy jednocześnie adresów do tych trzech
przedmiotów razem. Wolno natomiast budować zdania z adresami (5$,
10$) lub (10$, 20$).

Wyrażenie (*) zawsze odwołuje się do adresu jakiegoś przedmiotu,
który nie ma denotacji.

Bardzo ładna zagadka.

inne wytłumaczenie

[w_ojciech]

Zwróćmy jeszcze raz uwagę na nierówność:
(*) (5$ + 20$)/2 > 10$
Zbudujmy dla niego formę zdaniową i zbadajmy jakie warunki muszą być
spełnione. Forma która nas interesuje ma postać:
(**) (x + y) / 2 > z.
Z zadania wynika, że muszą być spełnione warunki
W1. x,y,z są różne,
W2. x,y,z należą do dwuelementowej dziedziny (bo są tylko dwie
koperty),
itd, itp.

Zobaczmy, że warunki W1 i W2 są sprzeczne. Zatem każde wyrażenie
które otrzymamy z (**) jest bezużyteczne.

Powodem tej sytuacji jest to, że zwrot "w jednej kopercie jest 2
razy więcej pieniędzy niż w drugiej". Wprowadza 2 wielkości (5$ i
20$) dysjunkcyjnie, a nie koniunkcyjnie.

[jorl]

Zwracam honor ykw, to ja jakos nie dotarlem, chyba bo na chybcika, do sensu
zagadki. A powinienem.
Co do zagadki. Wiec to raczej jest problem psychologiczny. Biedak bedzie inaczej
postepowal, taki co ma dosc tez inaczej. Dokladnie zalezy od wielkosci sum
pieniedzy. W stosunku do wlasnych oczywiscie.
Ja nie gram nigdy w totolotka. Pare razy w zyciu zagralem ale raczej to bylo dla
towarzystwa. Raz corka, jak byla mala, chciala zobaczyc jak to jest wiec
zagralem. Oczywiscie nic nie wygralem.
Nie gram tez bo w lotku jest nadzieja matematyczny 50% a wiec z oszustami sie
nie bawie. Chociaz i w lepsze jak ruletka tez nie gram. I mnie absolutnie do
tego nie ciagnie.
I w Twoja ykw zagadke bym dla zartu tylko gral czyli wybor bym sobie zrobil np.
przypadowy.
Pozdrowienia

Cos nie gra

[picard2]

Albo y.k.w nie zrozumial swojego problemu albo ja go nie zrozumialem;
Dla mnie chodzi o dwa pudelka zawierajace jakiekolwiek sumy o roznej
wartosci;Wydaje sie ze nie istnieje zadne inne prawdopodobienstwo
wybrania wiekszej sumy jak przypadek.Z punktu
widzenia statystyki numerycznej mozna ocenic wieksza sume.Filozofia
ani psychologia nie jest moja dziedzina.
Pelniejsze opracowanie tego problemu mozna znalesc w
www.johnkay.com/in_action/458

[you-know-who]

drogi picardzie, to do czego podeslales link wydaje mi sie innym wariantem problemu ktory ja opisuje (gdzie druga suma rozni sie o znany czynnik q. proponowane rozwiazanie jest natury psychologicznej i nie jest w ogole przydatne w przytoczonym przeze mnie problemie.
zadne sumy nie sa dla nas duze ani male, rowniez dla sponsora zabawy.

mamy zadecydowac znajac tylko q, no i majac pewnosc ze sponsor gry jet tak bogaty ze nie ma co sie martwic o jego niewyplacalnosc - czyli nie mamy zadnej pewnej informacji, nawet takiej ze powioedzmy wyciagnelismy pierwsza wygrana x1=$9999 i wiemy lub podejrzewamy ze sponsor nie wlozyl wiecej niz $10k do jakiejkolwiek z kopert.

to bylaby jakas dodatkowa informacja lub "prior model" dla rozkladu gestosci prawdopodobienstwa - niestety zagadka jest lekko wyidealizowana (nie wiecej niz reszta matematyki!) i nie daje zadnej tego typu informacji. tzn, sponsor jest z zalozenia nieslychanie bogaty. (pisze o tym po petruccio na fn probowal tego jako mozliwego kierunku rozwiazania.)