prostokąt

[tswiercz]

Mam taką zagadkę:
Czy prostokąt składający się z sumy mniejszych prostokątów (jest podzielony na mniejsze), których jeden bok ma długość wyrażoną w liczbie całkowitej, też posiada bok o długości całkowitej?

[Gość: Renox]

Niekoniecznie. Istnieje taka możliwość i chyba nawet jest ona bardzo
powszechna, że ten duży prostokąt ma bok o długości całkowitej. Jednak wykryłem
przypadek, gdzie prostokąt taki ma wszystkie boki o wartości niecałkowitej.

[tswiercz]

a to bardzo ciekawe.
Mógłbyś mi podać ten przypadek, bo ja widziałem dowód (niestety nie pamiętam), który twierdzi, że jeden bok musi być całkowity.

[Gość: Renox]

Niestety ten przypadek nie jest wyjątkiem. Jeden z jego boków jest jednak
liczbą całkowitą, nie zauważyłem pewnej właściwości - sorry za zamieszanie.
Ale za to.....
Mogę przeprowadzić dowód na to, że tak jest. Wydaje mi się, że jest on słuszny,
a więc:
Możemy podzielić ten główny prostokąt na wiele mniejszych prostokątów, ale o
takim samym stosunku dwóch jego boków. Utworzy to taki obraz sieci. Jeżeli
przyjmiemy, że jeden z tych boków jest całkowity, a drugi niecałkowity, to
wtedy również cały ten główny prostokąt będzie posiadał przynajmniej jeden z
boków o liczbie całkowitej. W przypadku, gdy główny prostokąt podzielimy na
prostokąty o niereguralnych stosunakch dwóch boków, ale pokrywający cały
prostokąt to ta właściwość sprawdza się także. Dlatego, że suma długości boków
tych prostokątów przy tym boku prostokąta głównego, który w poprzednim podziale
był wyrażony liczbą całkowitą będzie musiała także równać się liczbie
całkowitej, bo jest to wspólna krawędź. Ta właściwość może być zastosowana do
każdego przypadku, w którym oczywiście powierzchnie wszystkich prostokątów
pokrywają się z powierzchnią głównego prostokąta. Tym samym ten mój poprzedni
wyjątek jest nieprawidłowy, o czym już wspomniałem. Wybaczcie za zbyt
rozpisanie się na temat tej prawie oczywistej rzeczy.
Pozdrawiam i mam nadzieję, że jest to podobny dowód do tego, którego treści
Tswierczu zapomniałeś.