Dziwny problem

[Gość: Marcin Kośnik]

Mam dosyć dziwny problem matematyczny.
Podobno metodą tzw. indukcji matematycznej można dowieść każde twierdzenie
mówiące o liczbach naturalnych. Może ktoś wie jak tą metodą udowodnić że
liczb parzystych jest dwa razy mniej niż wszystkich liczb naturalnych.

[Gość: t]

Liczb parzystych (lub nieparzystych) jest "mniej" niz naturalnych jesli chodzi
o ZAWIERANIE sie zbiorow (zbiory liczb parz i nieparz zawieraja sie w zbiorze
liczb N).
Zbior liczb parzystych (lub nieparzystych) jest natomiast rownoliczny ze
zbiorem liczb naturalnych! Czy liczb tych jest tyle samo, nie da sie wiec tego
udowodnic.

[Gość: radżadżadża]

Coś Ci się pokręciło! Jednych i drugich jest tyle samo. A indukcja wszystkego
nie załatwia. Za fajnie by było.

[Gość: Marcin Kośnik]

Jeżeli można udowodnić, że dla dowolnie dużej liczby n, w zbiorze
(1,2,3,...,2n) jest połowa liczb parzystych, to dlaczego nie można tego
powiedzieć o całym zbiorze liczb naturalnytch?

[marchewa4]

Gość portalu: Marcin Kośnik napisał(a):

> Jeżeli można udowodnić, że dla dowolnie dużej liczby n, w zbiorze
> (1,2,3,...,2n) jest połowa liczb parzystych, to dlaczego nie można tego
> powiedzieć o całym zbiorze liczb naturalnytch?

Poniewaz twierdzen prawdziwych dla zbiorow skonczonych nie mozna bez dowodu
przyjmowac za prawdziwe dla zbiorow nieskonczonych.

Jak dowiesc, ze liczb parzystych jest tyle samo co naturalnych? Tak jak w
szkole: pokazac wzajemnie jednoznaczne przyporzadkowanie obu zbiorow. Wtedy
kazdemu elementowi jednego zbioru odpowiada dokladnie jeden element drugiego i
na odwrot, a zatem sa rownoliczne.
A to przyporzadkowanie jest w tym przypadku elementarne:
N <-> P
2*n = p

Pozdrowienia
M.

PS. Pozwol, ze na koniec strawestuje Twoje pytanie:

> Jeżeli można udowodnić, że dla dowolnie dużej liczby n, w zbiorze
> (1,2,3,...,2n) istnieje liczba najwieksza, to dlaczego nie można tego
> powiedzieć o całym zbiorze liczb naturalnych?