Siedem monet.

[Gość: cardemon]

Wez siedem monet i rozloz je w ksztalcie okregu reszkami do gory. Kazda
moneta sasiaduje z dwiema innymi. Zadanie jest proste: nalezy przekrecic
monety tak, by otrzymac siedem orzelkow, ale jak przekrecasz dana monete,
musisz tez przekrecic te dwie sasiadujace z nia. Czy mozna to zrobic, a jesli
tak, to jaka jest najmniejsza liczba "przekrecen" (jedno "przekrecenie" to
odwrocenie 3 monet)?

[mesquaki]

Mozna to zrobic przekrecajac je wszystkie po kolei. Ale to chyba malo chytry
sposob?

[Gość: cardemon]

mesquaki napisała:

> Mozna to zrobic przekrecajac je wszystkie po kolei. Ale to chyba malo chytry
> sposob?

Moze malo chytry, ale jedyny! Czy mozna dojsc do tego rozwiazania droga
logiczno-matematycznego myslenia?

pzdr.

[mesquaki]

Kazda moneta musi byc odwrocona nieparzysta ilosc razy. Jeden raz to za malo,
siedmiu monet sie w ten sposob nie odwroci. Nie mozna tez jednym przekretem
odwrocic trzech a nastepnie bawic sie z czworka pozostalych, bo to by odwracalo
te pierwsze 3. Tak samo nie mozna dwoma przekretami odwrocic szesciu i odwracac
pozostala. Wiec trzeba odwrocic wszystkie po 3 razy. Zeby kazda z monet byla
odwrocona 3 razy, trzeba przekrecic po kolei kazda z nich.
wiem, ze to pokretne i do matematyczno-logicznosci ma daleeeeko ;)

[kopperek]

Nie można:) Ale jednak spróbuję...

Co wiadomo od razu: całkowita liczba obrotów to 3N (N -
ilość kroków, czyli potrójnych obrotów), z drugiej strony
jest to liczba w postaci 7+2*k (k - całkowite) - to jest
chyba jasne?. A więc

3N = 7 + 2k k,N - całkowite
stąd N = 3,5,7,9,.....

Powyższe równanie określa warunek konieczny, ale
oczywiście nie odpowada na pytanie o sposób obracania
monet. Niemniej widać, że ilość kroków będzie nieparzysta
i nie mniejsza niż 3.
Sprawdzenie dla N=3 nie jest trudne - po 2 kroku mamy 3
możliwe układy (zakładam oczywiście, że nigdy i-ty ruch
nie powoduje powrotu do stanu z kroku numer i-2 :))).
Żadna z tych trzech możliwości nie pozwala na zakończenie
zadania w następnym, trzecim ruchu.
Ale dla N=5....
Czy możliwe jest uzyskanie po czterech ruchach stanu
"orzełki na czterech kolejnych monetach i tylko na tych
czterech"????

No dobra....
Możliwości po drugim ruchu: (orzełki na 1,2,4,5 monecie),
(1,2,3,4,5,6), (1,4) - oczywiście numeracja jest
względna, jej przesunięcie daje układy równoważne.
Pozycje te odpowiadają odpowiednio przesunięciu się w
drugim ruchu o 2,3,1 monetę w porównaniu do ruchu
pierwszego, który miał postać (1,2,3).

Teraz tak: są dwa takie układy po trzecim ruchu, które
umożliwiają uzyskanie po czwartym ruchu żądanego układu
"cztery kolejne orzełki": (1,2,5) oraz (1,2,3,5,6).

Jeżeli porównamy możliwe układy po drugim ruchu z
żądanymi układami po trzecim to widać, że po prostu jest
to nie do pogodzenia (no, ten krok nie jest aż taki
banalny, w sumie sześć ścieżek do prześledzenia). A zatem
pięć ruchów to jednak za mało.
Dla siedmiu się da - to już jest raczej jasne, i w tym
miejscu zadanie sią kończy.

No chyba, że coś pochrzaniłem...