w okrag wpisano trapez

[czarodziejka]

W okrąg wpisano trapez o przekątnej d.
Ramię trapezu widać ze środka tego okręgu pod kątem 60°.
Oblicz pole tego trapezu.

[marchewa4]

Odpowiedz: d^2*sqrt(3)/4.

M.

PS. Nie znalazlem na tyle latwego rozwiazania, zeby zaklasyfikowac to zadanie
matematyczne jako lamiglowke, ale moze ono istnieje...

marchewa4

[czarodziejka]

marchewa4 napisał:
> Odpowiedz: d^2*sqrt(3)/4.

odpowiedz dobra



marchewa4 napisał:
> PS. Nie znalazlem na tyle latwego rozwiazania, zeby zaklasyfikowac to zadanie
> matematyczne jako lamiglowke, ale moze ono istnieje...

ups .... ..... .....
1. a czym się różni ciekawe zadanie matematyczne od łamigłówki
2. w moim rozwiązaniu pole tego trapezu to pole prostokąta o przekątnej d i
kącie 30 stopni miedzy przekątną a dłuższym bokiem <

[marchewa4]

czarodziejka napisała:

> 1. a czym się różni ciekawe zadanie matematyczne od łamigłówki
Troche to intuicyjne, ale ... bym moze aparatem matematycznym, ktory jest
konieczny do rozwiazania. Lamiglowka moim zdaniem nie powinna wymagac takowego
na poziomie wiekszym niz koncowka szkoly podstawowej i uzywanego w miare
powszechnie. Zamieszczajac kiedys zadanie o totolotku na tym forum, mialem
watpliwosci, czy ono tu pasuje, bo wymagalo znajomosci wlasnosci logarytmow, a
nie wszyscy uzywaja logarytmow na co dzien i ta wiedza nie jest im potrzebna.
Inaczej w zagadkach (lamiglowkach). Tu, moim zdaniem, powinna wystarczac
umiejetnosc logicznego myslenia i podstawowy aparat matematyczny.
Takie jest moje odczucie, wiem, ze inni moga miec inne zdanie na ten temat.

> 2. w moim rozwiązaniu pole tego trapezu to pole prostokąta o przekątnej d i
> kącie 30 stopni miedzy przekątną a dłuższym bokiem

A jak dowodzisz, ze te pola sa rowne (tzn. skad wyplywa wniosek, ze kat miedzy
przekatna a podstawa wynosi 30 stopni)?

> czy takie rozwiązanie
> klasyfikuje zadanie jako zadanie, czy jako łamigłówke?
Z odpowiedzia poczekam na Twoja odpowiedz ;-)

Pozdrawiam rowniez

M.

[grzk]

Jezeli założysz, że pole każdego trapezu spełniającego warunki zadania jest
jednakowe, to oblicz pole trapeza, którego przekątna przechodzi przez środek
okręgu. Jest to prostokąt o krótszym boku o długości R i przekątnej d=2R. Z
tego długość dłuższego boku R*sqrt(3), a pole R^2*sqrt(3).
Jeśli nie lubisz prostokąta, to równie łatwo oblicza się pole, gdy podstawa
jest jest średnicą okręgu.
Pozostaje tylko kwestia założenia, o którym pisałem na początku...

grzk

[marchewa4]

grzk napisał:

> Jezeli założysz, że pole każdego trapezu spełniającego warunki zadania jest
> jednakowe,
(...)
> Pozostaje tylko kwestia założenia, o którym pisałem na początku...

A skad takie zalozenie? Dla mnie nie jest ono oczywiste. Nalezaloby to chyba
udowodnic, albo przynajmniej powolac sie na powszechnie znane twierdzenie.

M.

PS. Zeby nie bylo watpliwosci, potrafie udowodnic, ze pole trapezu z zadania
zawsze wynosi d^2 sqrt(3)/4, ale dowod nie jest banalny.
Nie chodzi mi o to, jak wyznaczyc pole w przypadkach szczegolnych, ale jak
udowodnic, ze dla KAZDEGO trapezu spelniajacego warunki zadania jego pole jest
rowne polu wspomnianego przez Czarodziejke prostokata.

Innymi slowy: jak udowodnic, ze przekatna trapezu tworzy z jego podstawa kat
30°?

[grzk]

marchewa4 napisał:

> A skad takie zalozenie? Dla mnie nie jest ono oczywiste. Nalezaloby to chyba
> udowodnic, albo przynajmniej powolac sie na powszechnie znane twierdzenie.

Dla mnie również nie jest to oczywiste i dlatego przypomniałem założenie
dodatkowo na końcu. Prawdopobobnie najprościej to udowodnić rozwiązując zadanie.
Przyznasz chyba, że pokusa jest duża, ale jak słuśznie napisałeś bez dowodu
dodatkowego założenia jest to rozwiązanie dla przypadku szczególnego, a nie
ogólnego

Pozdrawiam
g

[grzk]

marchewa4 napisał:

> Innymi slowy: jak udowodnic, ze przekatna trapezu tworzy z jego podstawa kat
> 30°?

Oto prosty dowód, że dla trapeza spełniającego warunki zadania miara kąta
pomiędzy podstawą i przekątną jest równa 30:

Narysuj trapez ABCD. Niech O oznacza środek okręgu opisanego na tym trapezie.
trójkąty BDO i ABO są równoramienne (długość ramion R) =>
kąt OBD = kąt ODB = alfa
kąt OAB = kąt OBA = beta
trójkąt AOD jest równoboczny <=> kąt AOD = 60
dla kąta pełnego utworzonego w punkcie O zachodzi:
360 = 60 + (180 - 2*alfa) + (180 - 2*beta) <=>
alfa + beta = 30

dla kąta pomiędzy podstawą AB i przekątną BD:
kąt ABD = kąt ABO + kąt OBD = alfa + beta = 30 co kończy dowód

pozdrawiam Grzegorz

[czarodziejka]

marchewa4 napisał:
> jak udowodnic, ze przekatna trapezu tworzy z jego podstawa kat 30°?

kat miedzy przekatna o dluzsza podstawa trapezu
to kat wpisany oparty na tym samym luku,
co kat srodkowy o mierze 60 stopni,
o ktorym mowa w zadaniu

[marchewa4]

czarodziejka napisała:

> marchewa4 napisał:
> > jak udowodnic, ze przekatna trapezu tworzy z jego podstawa kat 30°?
>
> kat miedzy przekatna o dluzsza podstawa trapezu
> to kat wpisany oparty na tym samym luku,
> co kat srodkowy o mierze 60 stopni,
> o ktorym mowa w zadaniu

To straszne. Zawsze rysowalem sobie kat srodkowy do lewego ramienia i przekatna
od lewego dolnego wierzcholka trapezu do prawego gornego i w ten sposob
przeoczylem ten prosty fakt. Wstyd mi bardzo :-(

M.

[czarodziejka]

marchewa4 napisał:
> przeoczylem ten prosty fakt. Wstyd mi bardzo :-(

nie ma sprawy ;o)
tylko powiedz, czy teraz uważasz to ZADANIE za LAMIGLOWKE, czy nadal nie? ;oP

pozdrawiam

[marchewa4]

czarodziejka napisała:

> nie ma sprawy ;o)
> tylko powiedz, czy teraz uważasz to ZADANIE za LAMIGLOWKE, czy nadal nie? ;oP

Jak juz napisalem, nie potrafie podac czegos takiego jak definicja lamiglowki i
opeiram sie na intuicji. To zadanie nie jest dla mnie lamiglowka.

Pozdrowienia dla wszystkich

M.

Nie bardzo widze, co oznacza: "Ramie trapezu widac

[Gość: Turysta]

czarodziejka napisała:

> W okrąg wpisano trapez o przekątnej d.
> Ramię trapezu widać ze środka tego okręgu pod kątem 60°.
> Oblicz pole tego trapezu.
>
>
>

[cardemon]

Gość portalu: Turysta napisał(a):

> czarodziejka napisała:
>
> > W okrąg wpisano trapez o przekątnej d.
> > Ramię trapezu widać ze środka tego okręgu pod kątem 60°.
> > Oblicz pole tego trapezu.
> >
> ze środka tego okręgu pod kątem 60°"
>
> Moze to ktos wyjasnic ?????????

Jesli wypuscisz ze srodka okregu dwa promienie, z ktorych pierwszy zetknie sie
z poczatkowym punktem odcinka bedacego ramieniem trapezu, a drugi promien z
koncowym punktem tego odcinka, to kat miedzy obydwoma promieniami wyniesie 60°.

pzdr. CdM

Ramię trapezu widać pod kątem ...

[czarodziejka]

cardemon wyjasnil juz ;o)
dopowiem, ze określenie "widać coś pod kątem" wzięło sie prawdopodobnie z
takiego schematu: umieść swoje oko w środku okręgu i zobacz CALE RAMIĘ trapezu
(i nic ponad to) = poprowadz od oka do konców tego ramienia odcinki